直线和方程教案

直线和方程教案（精选8篇）

直线和方程教案 第1篇

高二年级数学教案设计：直线的方程

一、教学目标

（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程.（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程.（3）掌握直线方程各种形式之间的互化.（4）通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力.（5）通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点.（6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法.教学建议

1.教材分析

（1）知识结构

由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特殊式.（2）重点、难点分析

①本节的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出直线的方程.解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线.本节内容就是求直线的方程，因此是非常重要的内容，它对以后学习用方程讨论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用.直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特殊形式的源头.学生对点斜式学习的效果将直接影响后继知识的学习.②本节的难点是直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系证明.2.教法建议

（1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显.教学中各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬.（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础.直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证.教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点

（3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解.（4）教学中要使学生明白两个独立条件确定一条直线，如两个点、一个点和一个方向或其他两个独立条件.两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率.因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式（斜截式和截距式仅是它们的特例），因此点斜式最重要.教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮.求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程.根据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程.（5）注意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线（也是曲线）与坐标轴交点的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；距离是线段的长度，是一个正实数（或非负实数）.（6）本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直线的重要知识交汇点之一，教学中要适当选择一些有关的问题指导学生练习，培养学生的综合能力.（7）直线方程的理论在其他学科和生产生活实际中有大量的应用.教学中注意联系实际和其它学科，教师要注意引导，增强学生用数学的意识和能力.（8）本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能更好地掌握，而不是仅停留在观念上.二、教学设计示例

直线方程的一般形式

教学目标：

（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化.（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明

（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点.教学重点、难点：直线方程的一般式.直线与二元一次方程

（、不同时为0）的对应关系及其证明.教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

下面给出教学实施过程设计的简要思路：

教学设计思路：

（一）引入的设计

前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：

问：说出过点

（2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么?

答：直线方程是，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的次数为一次.肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述.再看一个问题：

问：求出过点，的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么?

答：直线方程是

（或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的次数为一次.肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的次数为一次”.启发：你在想什么（或你想到了什么）?谁来谈谈?各小组可以讨论讨论.学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：

【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗?”

（二）本节主体内容教学的设计

这是本节课要解决的第一个问题，如何解决?自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路.学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导.经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论.首先让学生陈述解决思路或解决方案：

思路一：…

思路二：…

……

教师组织评价，确定方案（其它待课下研究）如下：

按斜率是否存在，任意直线的位置有两种可能，即斜率

存在或不存在.当

存在时，直线的截距

也一定存在，直线的方程可表示为，它是二元一次方程.当

不存在时，直线的方程可表示为

形式的方程，它是二元一次方程吗?

学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：

平面直角坐标系中直线

上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程

解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的.综合两种情况，我们得出如下结论：

在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于、的二元一次方程.至此，我们的问题1就解决了.简单点说就是：直线方程都是二元一次方程.而且这个方程一定可以表示成或的形式，准确地说应该是“要么形如

这样，要么形如

这样的方程”.同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达?

学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式.这样上边的结论可以表述如下：

在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如

（其中、不同时为0）的二元一次方程.启发：任何一条直线都有这种形式的方程.你是否觉得还有什么与之相关的问题呢?

【问题2】任何形如

（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗?

不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面.这是显然的吗?不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论.那么如何研究呢?

师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：

回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程

（其中、不同时为0）系数

是否为0恰好对应斜率

是否存在，即

（1）当

时，方程可化为

这是表示斜率为、在轴上的截距为的直线.（2）当

时，由于、不同时为0，必有，方程可化为

这表示一条与

轴垂直的直线.因此，得到结论：

在平面直角坐标系中，任何形如

（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线.为方便，我们把

（其中、不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的.【动画演示】

演示“直线各参数.gsp”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线.至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系.（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计在此从略

高二年级数学教案设计：曲线和方程

一、教学目标

（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题.（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念.（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点.（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法.（5）进一步理解数形结合的思想方法.教学建议

教材分析

（1）知识结构

曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质.曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序.前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程.至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究.因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题.（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想.②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法.教法建议

（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系.曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系.注意强调曲线方程的完备性和纯粹性.（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备.（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则.（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：

设

表示曲线

上适合某种条件的点的集合；

表示二元方程的解对应的点的坐标的集合.可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即

（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程（曲线的方程），这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做.同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得.教学中对课本例2的解法分析很重要.这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即

文字语言中的几何条件

数学符号语言中的等式

数学符号语言中含动点坐标，的代数方程

简化了的，的代数方程

由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程.”

（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”.二、教学设计示例

课题：求曲线的方程（第一课时）

教学目标：

（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题.（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线.（3）初步掌握求曲线方程的方法.（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力.教学重点、难点：求曲线的方程.教学用具：计算机.教学方法：启发引导法，讨论法.教学过程：

【引入】

1.提问：什么是曲线的方程和方程的曲线.学生思考并回答.教师强调.2.坐标法和解析几何的意义、基本问题.对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何.解析几何的两大基本问题就是：

（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程.（2）通过方程，研究平面曲线的性质.事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线.本节课就初步研究曲线方程的求法.【问题】

如何根据已知条件，求出曲线的方程.【实例分析】

例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程.首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决.解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），由斜率关系可求得l的斜率为

于是有

即l的方程为

①

分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决.可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗?或者说①就是直线的方程?根据是什么，有证明吗?

（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）.证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解.设

是线段的垂直平分线上任意一点，则

即

将上式两边平方，整理得

这说明点的坐标

是方程的解.（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.设点的坐标

是方程①的任意一解，则

到、的距离分别为

所以，即点

在直线

上.综合（1）、（2），①是所求直线的方程.至此，证明完毕.回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设

是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程

吗?可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：

解法二：设

是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点

属于集合由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为

将上式两边平方，整理得

果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足.显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证.这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想.因此是个好方法.让我们用这个方法试解如下问题：

例2：点

与两条互相垂直的直线的距离的积是常数

求点的轨迹方程.分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有.所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系.然后仿照例1中的解法进行求解.求解过程略.【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：

首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正.说得更准确一点就是：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如

表示曲线上任意一点的坐标；

（2）写出适合条件的点的集合；

（3）用坐标表示条件，列出方程；

（4）化方程

为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明.上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正.下面再看一个问题：

例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到

点的距离减去它到

轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系.解：设点

是曲线上任意一点，轴，垂足是

（如图2），那么点

属于集合由距离公式，点

适合的条件可表示为

①

将①式

移项后再两边平方，得

化简得

由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于

轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示.【练习巩固】

题目：在正三角形

内有一动点，已知

到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点

轨迹方程.分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示.设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为

.根据条件，代入坐标可得

化简得

①

由于题目中要求点

在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为

【小结】师生共同总结：

（1）解析几何研究研究问题的方法是什么?

（2）如何求曲线的方程?

（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价.各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么?

【作业】课本第72页练习1，2，3；

直线和方程教案 第2篇

一、教学目标(一)知识教学点

使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．

(二)能力训练点

通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．

(三)学科渗透点

圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．

二、教材分析

1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．

(解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．)2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．

(解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．)

三、活动设计

问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读．

四、教学过程(一)复习提问

前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？ 问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)． 问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．

问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 求曲线方程的一般步骤为：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少．

下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．

(二)建立圆的标准方程 1．建系设点

由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．

2．写点集

根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}． 3．列方程

由两点间的距离公式得：

4．化简方程 将上式两边平方得：

(x-a)2+(y-b)2=r2．

(1)

方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．

这时，请大家思考下面一个问题．

问题5：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．

教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

(三)圆的标准方程的应用

例

1写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)

(1)圆心在原点，半径是3；

(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；

(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切．

教师纠错，分别给出正确答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；

指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程． 例

2说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4 教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．

例3(1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？

解(1)： 分析一：

从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决． 解法一：(学生口答)设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：

又由两点间的距离公式得：

∴所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10 分析二：

从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决． 解法二：(给出板书)∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．

化简得：

x2+y2-10x-12y+51=0．

即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程． 解(2)：(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：

因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内． 这时，教师小结本题： 1．求圆的方程的方法

(1)待定系数法，确定a，b，r；(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．

2．点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上(2)点在圆外(3)点在圆内 d=r； d＞r； d＜r．

3．以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(证明留作作业)例

4图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到0.01m)．

此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：

(1)先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算；(2)用待定系数法求圆的标准方程；

(3)要注意P2的横坐标x=-2＜0，纵坐标y＞0，所以A2P2的长度只有一解．(四)本课小结

1．圆的方程的推导步骤；

2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径； 3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．

五、布置作业

1．求下列条件所决定的圆的方程：

(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；

(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切． 2．已知：一个圆的直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)． 证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．

3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．

4．赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程． 作业答案：

1．(1)(x-3)2+(y+5)2= 32

2．因为直径的端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则圆心和半径分别为

所以圆的方程为

化简得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0 即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

4．如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程： x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2≤y≤0)

直线和方程教案 第3篇

为准确控制巷道高程, 顺利实现贯通, 跃进煤矿将数学直线方程应用于煤矿测量工作中, 通过解方程组求得相关数据, 以指导施工单位控制变坡点高程, 该方法的应用取得了良好的效果。

1 工程概况

义煤集团跃进煤矿回风巷施工至M点时按照设计及相关规程要求开始施工第一联络车场, 并与-200 m水平井底车场贯通, 贯通后回风巷和西翼运输大巷同时掘进施工 (图1) 。在-200 m水平运输大巷和井底煤仓施工贯通期间, 由于施工误差和测量累计误差, 导致运输巷和煤仓高程的高差与设计高差偏差较大, 经过对煤仓和运输巷的联系测量, 煤仓的高程为-179.586 m, 运输巷和联络巷交叉点的高程为-199.121 m。受-200 m西翼候车室和水仓的影响, 运输巷和候车室的净岩柱要满足相关规定, 同时考虑到安装强力胶带的各种技术参数要求, 将运输巷和联络巷的三角处定为起坡点, 按+8°上坡掘进, 这样能与下层位候车室和水仓保持足够的岩柱后, 再向前掘进设计为0.5%上坡, 近似水平巷道, 满足排水需要。由于原设计发生变动, 测量部门必须按变动后的数据控制巷道掘进的坡度。

2 测算方案

为了保证运输大巷顺利贯通, 跃进煤矿通过应用数学直线方程解算出准确的变坡点高程。通过合理设未知数, 对2段不同坡度的巷道分别建立直线方程, 然后组成方程组, 解出这个方程组即得到准确的数值。

经过对煤仓和运输巷进行联系测量, 可以得出煤仓点A点坐标为 (834.724, 707.211) , A点高程为-179.586 m, 在上坡+8°掘进至50 m左右时, 引测一控制点CP1 (932.330, 500.228) , 高程-193.792 m。由CP1点和煤仓点A坐标, 反算出CP1点到A点的距离L=228.843 m。

以平距为横轴、高程为纵轴建立坐标系, 则CP1点的坐标为 (0, -193.792) , A点坐标为 (228.843, -179.586) (图2) 。由CP1点到K点的直线斜率0.141、K点到A点的直线斜率0.005, 可以建立直线方程。

由图2建立的方程组如下:

undefined

解方程组得

由此, 可以得到CP1点到变坡点K的水平距离为96.044 m, 变坡点K的高程为-180.250 m。然后以此指导施工单位控制距离和高程。

3 结语

数学直线方程法在义煤集团公司跃进煤矿倾斜巷道中标定腰线和控制高程应用过程中, 收到了良好效果。不仅提高了巷道的工程质量, 而且提高了测量精度, 达到了标准化的工程, 最终实现顺利贯通。在地面工程建设中, 此方法也适用于设计和测算控制高程等。

摘要：为了提高煤矿井下巷道工程质量, 准确控制巷道高程, 义煤集团公司跃进煤矿将数学直线方程应用于煤矿测量工作中, 通过解方程组求得相关数据, 指导施工单位控制变坡点高程, 大大提高了巷道高程和坡度的精度。

直线和圆的方程考题解析 第4篇

11.1直线方程教案 第5篇

一、教学目标

在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力。

二、教学重点及难点

本节的重点是直线的点法向式方程的推导及应用。在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程。

本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力。

三、教学过程 复习上一堂课的教学内容 讲授新课

（一）点法向式方程

1、概念引入

从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P，且与某一方向平行的直线l是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l也是惟一确定的。

2、概念形成 直线的点法向式方程

在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l是惟一确定的。建立直角坐标平面，设P的坐标是(x0,y0)，方向用非零向量n(a,b)表示。那么如何根据条件求出直线l的方程呢？ 直线的点法向式方程的推导

设直线l上任意一点Q的坐标为(x,y)，由直线垂直于非零向量n，故PQn.根据PQn的充要条件知PQn0，即：a(xx0)b(yy0)0⑤；反之，若(x1,y1)为方程⑤的任意一解，即a(x1x0)b(y1y0)0，记(x1,y1)为坐标的点为Q1，可知PQ1n，即Q1在直线l上。综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l的方程，直线l是方程①的直线。

我们把方程a(xx0)b(yy0)0叫做直线l的点法向式方程，非零向量n叫做直线l的法向量。

直线和方程教案 第6篇

http:// 第一章 直线教案 直线方程的点斜式、斜截式教案

教学目标

1．通过教学，学生能掌握直线方程的两种表现形式，即点斜式、斜截式．

2．通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题；尊重从特殊→一般→特殊的认识规律． 3．培养学生的探索、概括能力，同时也培养学生思维的科学性与创造性． 教学重点与难点

引导学生根据直线这一结论探讨确定一直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程． 教学过程

师：在初中，我们学习过一次函数y=kx+b及其图象l(一条直线)，下面请同学们思考以下几个问题： 1．对函数y=kx+b来说，当不区分自变量x和 y时，我们可以将y=kx+b叫做什么？(二元一次方程)2．对于直线l来说，k和b在l中表示什么？(“k”表示直线 l的方向，其值满足 k=tanθ，因此，把 k叫做直线 l的斜率；“b”表示直线l与y轴交点的纵坐标，又叫做直线l在y轴上的纵截距．)

3．方程y=kx+b与直线l之间存在着什么样的关系？(以这个方程的解为坐标的点都是这条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．)师：你怎么知道以方程y=kx+b的解为坐标的点都是直线l上的点呢？你都验证了吗？ 生：„„

师：事实上，可以证明

证明：设P(x1，y1)在l上，则由相似三角形性质，所以y1=kx1+b，即(x1，y1)是方程y=kx+b的解． 反之：设(x1，y1)是y=kx+b的解，则

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师：通过上述问题，我们弄清了方程y=kx+b的解和直线l上的点之间的关系，它们是一种什么关系呢？ 生：一一对应关系．

师：很好！有了这种一一对应关系，那么我们在研究直线时，就可以通过方程来考虑，这也正是解析几何研究问题的基本思想．

现在我们不妨考虑一下，如果把直线当做结论，那么，确定一条直线需要几个条件？ 生：两个条件． 师：哪两个条件？

生甲：需要知道k和b的值就可以了．

生乙：因为两点确定一条直线，所以只要知道两个点就可以确定一条直线． 师：两位同学说得都很好，还有其它条件吗？ 生：„„

师：好！大家提出了许多种，今天先讨论其中的两种．若已知k、b，求直线方程． 生：设P(x，y)为l上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式得：

师：推导过程很正确！我们能不能把题目再引申一下，使其更具有一般性？

生：把条件改为：已知直线l的斜率为k，且经过点P1(x1，y1)，求直线l的方程． 师：条件改得很好！能解决这个问题吗？ 生：设P(x，y)为l上任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得：

师：在解决上面的两个问题中，大家都用到了k值，若k不存在的情况下其直线方程怎么表示？ 生：若k不存在，则直线方程为x=0或x=x1．

师：很好！把上面的问题归纳一下，应分为几种情况加以考虑？ 生：两种．

1)当k存在时，经过点P1(x1，y1)的直钱方程为y-y1=k(x-x1)； 2)当k不存在时，经过点P1(x1，y1)的直线方程为x=x1．

师：总结得不错！通过总结，大家注意到，在运用方程y=kx+b和y-y1=k(x-x1)解决问题时的前提条件是k存在．另外要知道这两个方程之间的联系，即方程y=kx+b是方程y-y1=k(x-x1)的特殊形式，但两个方程表示的图形都是直线．为了以后应用起来方便，我们不妨给这两个方程分别取个名字．下面请大家集思广益，给这两个方程取个贴切、易记的名字．

生：直线方程y-y1=k(x-x1)是由直线上一点和直线的斜率确定的，因此，可以叫做直线方程的点斜式；直线方程y=kx+b是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的，所以，可以叫做直线方程的斜截式．

师：这两个名字都指出了方程存在的前提条件，因此，便于同学们理解和记忆，以后大家可以继续使用．下面请大家根据今天课上所讨论的内容解决有关问题．

例1 已知直线l的倾斜角为0°，求直线l经过一点P1(x1，y1)的方程．(打投影仪)学生口答：利用点斜式得直线l的方程是y=y1．

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http:// 例2 已知直线l的倾斜角为90°时，求直线l经过一点P1(x1，y1)的方程．(打投影仪)学生口答：因为直线l的斜率不存在，所以经过点P1(x1，y1)的直线方程为x=x1．

例3 一条直线经过点P1(-2，3)，倾斜角α=45°，求直线的方程，并画出图形．(打投影仪)师：这是课本的例题，解完后自行对照课本．(同时请一位同学板演)师：通过前面的学习和应用，请同学们总结一下，确定一条直线需要几个独立条件？ 生：两个．

师：如果已知直线l过一点，能否确定直线在坐标系中的位置？

生：不能确定，可以得到无数条经过这一点的直线．(教师可以用电脑演示)

师：若只知道直线l的斜率呢？

生：可以得到无数条斜率相同的直线．(教师用电脑演示)师：像这样的问题在我们今后学完有关直线的问题以后再做进一步探讨．本节课需要大家理解；确定一条直线必须具备两个独立条件，并且会根据所给条件求出直线的方程．

下面，请大家回忆一下本节课所讨论的内容．

生：知道了直线方程的两种表现形式：点斜式、斜截式． 师：应用这两个方程时应注意什么？ 生：注意方程存在的条件是k存在．

师：在今天这节课上，有的同学还提到了另外几种确定一条直线的条件，请同学们课下思考． 作业：第20页，练习1，2，3．

第26页，习题二：1，2(1)、(2)、(3)． 设计说明

本节课的教学过程主要有以下几个部分：

1．复习引入，通过问题逐步引导学生发现方程y=kx+b与直线l的一一对应关系，从而为研究直线即可通过研究方程而得到．

2．提出问题：

1)确定一条直线需要具备几个独立条件？ 2)根据条件求出直线的方程． 3．需猜想：

1)确定一条直线需要知道k、b即可；

2)确定一条直线需要知道直线l经过两个已知点； 3)„„

4．根据猜想：已知k、b，求直线l的方程；已知k，点P1(x1，y1)，求经过点P1和斜率为k的直线方程． 5．得到直线方程的点斜式、斜截式及方程存在的条件．

6．已知一个条件，不能确定唯一的一条直线，进一步体会确定一条直线需要具备两个独立条件． 7．例题、小结、作业．

第一个环节的设计主要考虑了初、高中数学教材中相关知识点的衔接．因为搞好初、高中数学教学的衔接，从教学管理的角度看，适应学生的心理特征及认知规律．为此，从初中代数中的一次函数y=kx+b引入，自然

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http:// 地过渡到本节课想要解决的问题，即求直线的方程的问题上去．在引入过程中，注意先帮助学生弄清直线与方程为一一对应关系，理解了要研究直线可从研究方程入手，以及要研究方程的特征，也可以从研究直线考虑，突出了解析几何研究问题的思想方法．

第二、三、四环节的设计体现了解析法的基本思想在于把几何问题代数化，图形性质坐标化，其框图如下：

考虑到传统的教学模式都是根据已知条件求结论，按照“MM教育方式”，应培养学生的探索性，因此在注重学生思维的科学性上，设计了根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件是什么？然后再根据猜想得到的条件求直线的方程．从教学内容上没有脱离教材，但从教法上比较注重创设问题情境，揭示知识的形成发展过程，不仅要让学生知其然，更应让学生知其所以然，帮助学生把研究的对象从复杂的背景中分离出来，突出知识的本质特点，讲清知识的来龙去脉，揭示新知识(根据已知条件，求出直线的方程)的提出过程，使学生对所学知识理解得更加深刻．

关于直线的许多问题中，都要涉及到斜率和截距的问题，用斜率和截距来解决有关问题也是高中学生学习的需要．另外，在学生得出直线方程的点斜式和斜截式之后，教师要有意识地引导学生注意这两个方程的存在条件是k存在，若k不存在时应作为特殊情况加以考虑，在此涉及到了分类讨论的思想．

在高中数学中，用斜率和截距来解决直线及其方程的问题，其中以下两种题型必不可少． 1．已知直线方程研究其几何性质的问题

例1 如果AC＜0且BC＜0，那么Ax+By+C=0不通过[ ]．

分析

由AC＜0且BC＜0可得 AB＞0，直线 Ax+By+C=0的

限，故选(C)．

显然，直线的斜率和截距是刻画直线几何性质的，是研究这类问题的关键． 2．求直线方程

例2 在平面直角坐标系xoy中，过点P(-3，4)且与直线OP夹角

例3 过点(5，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是____．

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http:// 分析 两坐标轴截距相等包含了两种情况：截距不为零，截距为

直线过原点和点(5，2)，可求得直线方程为2x-5y=0，所以 所求直线方程为x+y-7=0或2x-5y=0．

例4 求过点P(0，1)的直线l的方程，使l夹在两直线l1∶x-3y+10=0与l2∶2x+y-8=0之间的线段恰被P点平分．

解 设过点P(O，1)的直线方程为y=kx+1(斜率k不存在时，显然不满足条件)，与直线l1、l2分别交于A、B两点(如图1-19)

上述几例是用待定系数法求直线方程，解这类题的要点是：通过对已知条件的分析，寻求满足直线方程的两个独立条件，列出直线方程求待定系数．在使用直线方程时要注意，方程成立的条件，如点斜式、斜截式要求斜率存在，截距式要求截距不为零等．

为了使学生理解求一条直线的方程需要具备两个独立条件，在本节课的最后部分我们强调直线若满足一个条件，那么这条直线是不能唯一确定的，所以在直线这一章学完以后，还要准备适当地补充直线系的概念及直线系的基本类型题．

一般地，我们把满足一个共同条件的直线的集合(直线的系列)称为一个直线系，把满足直线系的方程叫做直线系方程．

直线系的基本类型有：平行直线系(直线系中的所有直线的斜率k是同一个常数)；共点直线系(直线系中的直线都过同一个点)．

引理

若两相交曲线为C1∶f(x，y)= 0，C2∶g(x，y)=0，则曲线系C∶f(x，y)+λg(x，y)=0(参数λ∈R)，必通过C1与C2的所有的交点．

定理 已知两条相交直线l1∶a1x+b1y+c1=0和l2∶a2x+b2y+c2=0，则a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0是过l1和l2交点的直线系(不包括l2)，式中的λ是一个任意实数．

例1 填写满足下列条件的直线系方程(1)斜率为-2的直线系方程是(y=-2x+b)．

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(3)经过点(-2，-3)的直线系方程是(y+3=k(x+2)或x=-2)．

例2 应用上述定理，求经过l1∶2x-3y+2=0与l2∶3x-4y-2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程．(1)过原点；

(2)平行于直线2x-y-6=0；(3)垂直于直线4x+3y-4=0． 解

过l1、l2交点的直线系是：

l∶2x-3y+2+λ(3x-4y-2)= 0，① 即：(2+3λ)x+(-3-4λ)y+(2-2λ)=0，②(1)因为l过原点，所以2-2λ=0，λ=1代入②得： 5x-7y=0．

(2)因为 l平行于直线2x-y-6=0，2x-y-18=0．

(3)因为l垂直于4x+3y-4=0，所以4(2+3λ)-3(3+4λ)=0，即-1=0，此方程无解．

这说明①中不存在与直线4x+3y-4=0相垂直的直线，事实上，①不含l2，而l2恰恰是过l1，l2交点且与4x+3y-4=0垂直的直线，所以 所求直线就是l2∶3x-4y-2=0．

例3 不论 m取什么值，直线(2m-1)x+(m+3)y-m+11=0必过一定点，试证明之，并求此定点．

x=2，y=-3．

将x=2，y=-3代入直线系方程左边，则

(2m-1)·2+(m+ 3)·(-3)-m+ 11= 0，即证明直线系过定点(2，-3)． 解法二

将原方程变形为：

(-x+3y+11)+m(2x+y-1)=0，这是经过以下两直线交点的直线系

解方程组，得这两条直线交点坐标为(2，-3)，不论m取何值时，已知直线必过点(2，-3)．

以上是教案设计过程中的几点说明，此外，在教学过程中还应重视数学思想方法和数学语言的教学．因为数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为解决问题能力的桥梁．数学语言是进行数学思维和数学交流的工具，注重数学语言训练，有助于理解数学知识和方法，有助于数学交流，有助于学生的数学应用意识的培养．为此，本教案中涉及到了由特殊→一般→特殊的认知规律，运用了归纳、猜想等合情推理方法，在每个环节的设计中，要求学生对每一个问题都要独立思考，在学生遭遇挫折后，要引导他们进行正确归因，帮助他们找出症结，加强个别指导，激发不同层次的学生的学习兴趣．

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直线的两点式方程教案 第7篇

一、教学目标

1、知识与技能

（1）握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：

1、重点：直线方程两点式。

2、难点：两点式推导过程的理解。

三、教学设想

问

题

1、利用点斜式解答如下问题：

（1）已知直线l经过两点P1(1,2),P2(3,5),求直线l的方程.（2）已知两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x1x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程。

设计意图

遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。师生活动

教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：（1）y232(x1)y2y1x2x1（2）yy1(xx1)

教师指出：当y1y2时，方程可以写成

yy1y2y1 xx1x2x1(x1x2,y1y2)

由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式 问

题

2、若点P1(x1,x2),P2(x2,y2)中有x1x2，或y1y2，此时这两点的直线方程是什么？

设计意图

使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。

师生活动

教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：xx1；当y1y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：yy1。

问

题

3、例题教学

已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0，求直线l的方程。

设计意图

使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。

师生活动

教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程：

xayb1

教师指出：a,b的几何意义和截距式方程的概念。

问

题

4、例题教学

已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

设计意图

让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题。

师生活动

教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。

5、课堂练习

学生独立完成，教师检查、反馈。

6、小结

增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解。

教师提出：

（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？

7、布置作业

妙用直线系求直线方程 第8篇

由于两直线平行, 它们的斜率相等或它们的斜率都不存在, 因此两直线平行时, 它们一次项系数有必然的关系.

例1求与直线3x+4y+1=0平行且过点 (1, 2) 的直线l的方程.

分析与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C1=0 (C1≠C) , 再由其它条件求C1.

2.垂直直线系

由于直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件为A1A2+B1B2=0.因此, 当两直线垂直时, 它们的一次项系数有必然的关系.可以考虑用直线系方程求解.

例2求经过A (2, 1) , 且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.

3.共点直线系

例3求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P, 且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.

分析可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k, 直接写出方程;也可采用过直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2) =0, 直接设出过两直线交点的方程, 再根据垂直条件用待定系数法求解.