随机变量的均值与方差的计算公式的证明

2024-05-11

随机变量的均值与方差的计算公式的证明（精选3篇）

随机变量的均值与方差的计算公式的证明第1篇

随机变量的均值与方差的计算公式的证明

姜堰市励才实验学校姜近芳

组合数有很多奇妙的性质,笔者试用这些性质证明了随机变量的均值与方差的两组计算公式。

预备知识: 1.kCnkn1!nCk1 kn!nn1k1!nk!k!nk!

k1k1k1k1k2k2.k2Cn=nkCn1nCn1nk1Cn1=nCn1nn1Cn2

3.N个球中有M个红色的,其余均为白色的,从中取出n个球,不同的取法有: 0n1n12n2lnlnn,M.CMCNMCMCNMCMCNMCMCNMCNlmin

公式证明:

1.X～Bn,p1EXnp.2VXnp1p.证明:EXx1p1x2p2x3p3xnpn

0010Cnp1pCnp1pn

0nCn1p1pn1222Cnp1pn2n2nnnCnp n112Cn1p1pn1nCn1p 

np1pp

np.n1

VXx1p1x2p2xnpn 222

x1p1x2p2x3p3xnpn

2x1p1x2p2x3p3xnpn

22222p1p2p3pn

n12222Cnp1p

n1n2nnn2Cnp222 n1n1 Cn1p

n3n2n2Cn2 2p1Cnp1p0npCn1p11Cn1p1pn2n20nn1p2Cn1p21Cn1p2p

np1pp

np1p.n1nn1p21ppn2n2p2

2.X～Hn,M,N1EX =nMnMNMNn.2VX.NN2N1证明:EXx1p1x2p2x3p3xnpnlminn,M10n1n12n2lnl0CCCC2CClCCMNMMNMMNMMNM nCN

M0n11n2l1nlCCCCCCM1NMM1NMM1NM nCN



=Mn1CN1 nCNnM.N

222VXx1p1x2p2xnpn

2222x1p1x2p2x3p3xnpn

2x1p1x2p2x3p3xnpn

2p1p2p3pn

120n21n122n22lnl20CC1CC2CClCC MNMMNMMNMMNMnCN

=10n11n2l1nl〔MCM1CNMCM1CNMCM1CNM nCN

MM1CM2CNMCM2CNMCM2CNM〕 0n21n3l2nl2

1nMn1n2nMCNMM1C 1N2NCN2

nMnn1nMMM1 NNN1N2

nMNMNn.N2N1

离散型随机变量的均值和方差第2篇

已知离散型随机变量的分布列求均值和方差

例1 已知随机变量[ξ]的分布列如下表：

（1）求[ξ]的均值、方差和标准差；

（2）设[η=2ξ+3]，求[E（η），D（η）].

解析本题考查期望、方差的性质：若[y=ax+b]，则[E（y）=aE（x）+b，D（y）=a2D（x）].

（1）均值[E（ξ）=（-1）×12+0×13+1×16=-13]，

方差[D（ξ）=[（-1）-（-13）]2×12][+[0-（-13）]2×13]

[+[1-（-13）]2×16=59]，

标准差[D（ξ）=53].

（2）[E（η）=2E（ξ）+3=73]，[D（η）=4D（ξ）=209].

例2 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠. 若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层下电梯的概率均为[13]，用[ξ]表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则随机变量[ξ]的数学期望[E（ξ）=]（）

[A]. [43] [B]. [73]

[C]. [53] [D]. [23]

解析一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，属于二项分布于是[ξ]～[B（5，13）]，故[E（ξ）=np=5×13=53].

答案 [C]

[已知均值或方差求参数值]

例3 某射击运动员射中的环数[ξ]的分布列如下：

已知[E（ξ）=8.9]，则[y]的值为（）

A. [0.4] B. [0.6]

C. [0.7] D. [0.9]

解析本题运用分布列的性质和期望公式列方程组求解.

由条件得：[x+y+0.1+0.3=1，7x+8×0.1+9×0.3+10y=8.9，]

解得[x=0.2，y=0.4.]

答案 [A]

例4 张老师从课本上抄录一个随机变量[ξ]的分布列如下表：

[[ξ]＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&？＼&！＼&？＼&]

请同学计算[ξ]的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同. 据此得出正确答案[E（ξ）=] .

解析设“？”为[a]，“！”为[b]，则[2a+b=1]，[E（ξ）=a+2b+3a=2（2a+b）=2]. 故填2.

[对两种方案的对比判断]

例5 最近，李师傅一家三口打算用10万元钱进行投资理财，构想了三种方案：

方案一：李师傅的儿子认为，根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票. 据分析预测，投资股市一年可能获利[40%]，也可能亏损[20%]（假定只有这两种可能），且获利的概率为[12]；

方案二：李师傅认为，现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金. 据分析预测，投资基金一年后可能获利[20%]，可能损失[10%]，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为[35，15，15]；

方案三：李师傅的妻子认为，投资股市、基金都有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为[4%]，存款利息税率为[5%].

针对以上三种投资方案，请你为李师傅选择一种合理的理财方案，并说明理由.

解析合理的理财方案应满足两个条件：①获利高，②稳定性强. 可从数学期望和方差两方面考虑，优先选择期望值较大的方案，若期望值相同应选择方差较小的方案.

（1）若按方案一执行，设收益为[ξ]万元，则[ξ]的分布列为：

[[ξ]＼&[4]＼&[-2]＼&[P]＼&[12]＼&[12]＼&]

于是[E（ξ）=4×12+（-2）×12=1]万元.

（2）若按方案二执行，设收益为[η]万元，则[η]的分布列为：

于是[E（η）=2×35+0×15+（-1）×15=1]万元.

（3）若按方案三执行，

收益[y=10×4%×（1-5%）=0.38]万元.

由于[E（ξ）=E（η）>y]，

且[D（ξ）=（4-1）2×12+（-2-1）2×12=9]，

[D（η）=（2-1）2×35+（0-1）2×15+（-1-1）2×15=85].

由上知[D（ξ）>D（η）]，这说明虽然方案一、方案二收益相等，但方案二更稳定，所以建议李师傅家选择方案二进行投资理财较为合理.

总的来说，求解离散型随机变量的均值与方差，关键要过好“三关”：一是“判断关”，即依据题意判断随机变量的所有可能的取值；二是“求概率关”，即利用排列组合相关原理，以及古典概型等公式求出随机变量取各值时的概率；三是“应用定义关”，即列出随机变量的分布列，利用随机变量的均值与方差公式进行计算. 另外，还应牢记几种特殊分布列的数学期望和方差公式，可适当简化计算过程.

[练习]

1. 已知离散型随机变量[X]的分布列为：

则[X]的均值[E（X）=]（）

A. [32] B. [2]

C. [52] D. [3]

nlc202309081939

2. 若[X]是离散型随机变量，[P（X=x1）=23，][P（X=x2）=13]，且[x1

A. [53] B. [73]

C. [3] D. [113]

3. 已知抛物线[y=ax2+bx+c（a≠0）]的对称轴在[y]轴的左侧，其中[a，b，c∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}]，在这些抛物线中，记随机变量[ξ=|a-b|]的取值，则[E（ξ）=]（）

A. [89] B. [35]

C. [25] D. [13]

4. 已知随机变量[ξ]的分布列为[P（ξ=m）=13，][P（ξ=n）=a]，若[E（ξ）=2]，则[D（ξ）]的最小值为 .

5. 设袋子中装有[a]个红球，[b]个黄球，[c]个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.

（1）当[a=3，b=2，c=1]时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量[ξ]为取出此2球所得分数之和，求[ξ]的分布列；

（2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量[η]为取出此球所得分数，若[E（η）=53，D（η）=59]，求[a∶b∶c].

[参考答案]

1. [E（X）=1×35+2×310+3×110=32]，故选[A].

2. 由条件知：[x1?23+x2?13=43（x1-43）2?23+（x2-43）2?13=29]

解得[x1=53x2=23]或[x1=1x2=2]

又[x1

于是[x1+x2=3]，故选[C].

3. 因为抛物线的对称轴在[y]轴的左侧，所以[-b2a<0]，即[ba>0]，即[a，b]同号. 则[ξ]的分布列为：

所以[E（ξ）=0×13+1×49+2×29=89]，故选[A].

4. 由题意得：[a+13=1]，

[∴a=23]，

[∴m3+2n3=2]，得[m=6-2n].

[∴D（ξ）=13（m-2）2+23（n-2）2]

[=13（6-2n-2）2+23（n-2）2]

[=2n2-8n+8=2（n-2）2，]

则当[n=2]时，[D（ξ）]取最小值为0.

5. （1）由题意得：[ξ]可取2，3，4，5，6.

且[P（ξ=2）=3×36×6=14，]

[P（ξ=3）=2×3×26×6=13，]

[P（ξ=4）=2×3×1+2×26×6=518，]

[P（ξ=5）=2×2×16×6=19，P（ξ=6）=1×16×6=136.]

[∴ξ]的分布列为：

（2）由题意得：[η]的分布列为：

则[E（η）=aa+b+c+2ba+b+c+3ca+b+c=53]，

[D（η）=（1-53）2?aa+b+c+（2-53）2?ba+b+c]

[+（3-53）2?ca+b+c=59，]

化简得：[2a-b-4c=0a+4b-11c=0]

解得：[a=3cb=2c]

故[a∶b∶c=3∶2∶1].

随机变量的均值与方差的计算公式的证明第3篇

离散型随机变量的期望与方差是高中数学的基本知识，是高考的必考内容.该知识是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等知识为工具，以考查对概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布列性质及其应用为目标的中档题，概率应用题一般都侧重于分布列与期望，近几年各地高考中对应用题的考查也有以概率应用题替代传统应用题的趋势.

在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景.涉及的主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题，选题、考试问题，试验、游戏、竞赛、研究性问题，旅游、交通问题，摸球问题、取卡片、数字和入座问题，信息、投资、路线等问题.属于基础题或中档.从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识.

命题特点

离散型随机变量的期望与方差在近几年高考命题中有以下特点：①期望与方差的基本概念及运算的考查重视基础，在选择、填空题中出现，一般难度不大，属于得分题，涉及知识主要与排列组合、古典概型、分布列、二项分布（两点分布）公式等综合命题.②在解答题中考查最为频繁，试题背景多是课本、高考常见实际背景（产品检验、摸球、射击等），涉及知识主要与统计中的直方图、茎叶图、频率分布图等结合先求概率分布列、再运用均值、方差公式进行计算，数形结合、分类讨论是解决期望与方差问题的重要思想方法.③考查期望与方差的实际应用意义的理解.总的来说该内容在高考中必考，且是力争满分的试题.

1. 离散型随机变量的期望、方差

求离散型随机变量的期望与方差时，关键是先求出随机变量的分布列，再运用期望、方差公式进行计算.

例1 设袋子中装有[a]个红球，[b]个黄球，[c]个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.

（1）当[a=3，b=2，c=1]时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量[ξ]为取出这2个球所得分数之和，求ξ的分布列；

（2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量[η]为取出此球所得分数.若[Eη=53]，[Dη=59]，求[a][∶][b][∶][c].

解析（1）由题意得[ξ=2，3，4，5，6]，

∴[Pξ=2=3×36×6=14，Pξ=3=2×3×16×6=13，]

[Pξ=4=2×3×1+2×26×6=518]，

[Pξ=5=2×2×16×6=19，Pξ=6=1×16×6=136].

∴[ξ]的分布列为

[[ξ]＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&[P]＼&[14]＼&[13]＼&[518]＼&[19]＼&[136]＼&]

（2）由题意知[η]的分布列为

[[η]＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&[aa+b+c]＼&[ba+b+c]＼&[ca+b+c]＼&]

[∴Eη=aa+b+c+2ba+b+c+3ca+b+c=53]， [Dη=1-532?aa+b+c+2-532?2ba+b+c+3-532?3ca+b+c=59，]

化简得，[2a-b-4c=0，a+4b-11c=0，]解得，[a=3c，b=2c].

∴[a][∶][b][∶][c]=3[∶]2[∶]1.

点拨求离散型随机变量的分布列时要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率.求概率时，要注意概率类型的确定与转化.

2. 期望与方差在风险决策的实际应用问题

例2 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列如下.

甲保护区：乙保护区：

[[ξ]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&0.3＼&0.3＼&0.2＼&0.2＼&][[ξ]＼&0＼&1＼&2＼&[P]＼&0.1＼&0.5＼&0.4＼&]

试评定这两个保护区的管理水平.

解析甲保护区的违规次数[ξ1]的数学期望和方差为：[Eξ1=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3].

[Dξ1=（0-1.3）2×0.3+（1-1.3）2×0.3+（2-1.3）2×0.2+][（3-1.3）2×0.2=1.21.]

乙保护区的违规次数[ξ2]的数学期望和方差为：

[Eξ2=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3].

[Dξ2=（0-1.3）2×0.1+（1-1.3）2×0.5+（2-1.3）2×0.4=0.41.]

因为[Eξ1=Eξ2，Dξ1>Dξ2]，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动.（标准差[σξ1=Dξ1=1.1，σξ2=Dξ2≈0.64]这两个值在科学计算器上容易获得，显然，[σξ1>σξ]）

点拨（1）解决实际应用问题时，关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件.

（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

备考指南

1. 立足课本，依托高考真题，训练各地摸拟试题以熟悉产品检验问题、射击、投篮、试验、比赛、摸球、取卡片等常见问题背景.对一些陌生背景试题要静得下心分析并迁移到常见问题上.

nlc202309032101

2. 熟练准确的概率计算能力.离散型随机变量经常与几何概率、计数原理、事件的互斥、统计等知识相结合考查，因此要求掌握古典概型、几何概型、及利用事件关系求概率的方法，能准确把分布列写出.

3. 离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力.

限时训练

1. 已知离散型随机变量[X]的分布列如下.

[[X]＼&[1]＼&[2]＼&[3]＼&[P]＼&[35]＼&[310]＼&[110]＼&]

则[X]的数学期望[EX=] （）

A.[32] B.[2]

C.[52] D.[3]

2. 已知随机变量[ξ]满足条件[ξ～B（n，p）]，且[E（ξ）=][12，D（ξ）=125]，则[n与p]的值分别为（）

A.16与[45] B.20与[25]

C.15与[45] D.12与[35]

3. 设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为[67]，则口袋中白球的个数为（）

A.3 B.4 C.5 D.2

4. 甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是[23]，则面试结束后通过的人数[ξ]的期望是（）

A. [43] B. [119]

C.1 D. [89]

5. 某射手射击所得环数[ξ]的分布列如下：

[[ξ]＼&7＼&8＼&9＼&10＼&[P]＼&[x]＼&0.1＼&0.3＼&[y]＼&]

已知[ξ]的期望[E（ξ）=8.9]，则[y]的值为（）

A.0.4 B.0.6

C.0.7 D.0.9

6. 已知X的分布列为

[[X]＼&-1＼&0＼&1＼&[P]＼&[12]＼&[13]＼&[16]＼&]

设[Y=2X+3]，则[E（Y）]的值为（）

A. [73] B.4 C.-1 D.1

7. 设随机变量[X～B（n，p），]且[E（X）=1.6，][D（X）=1.28，]则（）

A.n=8，p=0.2 B.n=4，p=0.4

C.n=5，p=0.32 D.n=7，p=0.45

8. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的期望值为（）

A.2.44 B.3.376

C.2.376 D.2.4

9. 一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（）

A.39元 B.37元

C.20元 D.[1003]元

10. 某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为[a]，平局的概率为[b]，负的概率为[c，其中a，b，c∈[0，1）]，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则[ab]的最大值为（）

A. [13] B. [12]

C. [112] D. [16]

11. 某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）.设某学生对每道题答对的概率都为[23]，则该学生在面试时得分的期望值为_______分.

12. 一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分.没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为.此人得分的数学期望与方差分别为________.

13. 如图，[A，B]两点间有5条线并联，它们在单位时间内能通过的信息量依次为2，3，4，3，2.现从中任取3条线且记在单位时间内通过的信息总量为[ξ].则信息总量[ξ]的数学期望为__________.

14. 设l为平面上过点（0，1）的直线，l的斜率等可能地取[-22，-3，-52，0，52，3，22]用[ξ]表示坐标原点到l的距离，则随机变量[ξ]的数学期望[E（ξ）=]________.

15. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以[X]（单位：t，100≤[X]≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，[T]（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

（1）将[T]表示为[X]的函数；

（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个需求量，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[X∈[100，110），]则取[X=105，且X=105]的概率等于需求量落入[[100，110]]的概率），求[T]的数学期望.

16. 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：

[甲公司某员工A＼&＼&乙公司某员工B＼&3＼&9＼&6＼&5＼&8＼&3＼&3＼&2＼&3＼&4＼&6＼&6＼&6＼&7＼&7＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&0＼&1＼&4＼&4＼&2＼&2＼&2＼&＼&＼&]

每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.

（1）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；

（2）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为[X]（单位：元），求[X]的分布列和数学期望；

（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.

17. 八一商场进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为[15]，中奖后商场返还顾客现金1000元.顾客甲购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是甲补偿50元给同事购买价格600元的商品（甲可以得到三张奖券），甲抽奖后实际支出为[ξ]（元）.

（1）求[ξ]的分布列；

（2）试说明甲出资50元增加1张奖券是否划算.