概率论范文（精选11篇）
概率论 第1篇
下面要研究的问题是, 物质世界中是否存在一个主观智能体, 使得这个主观智能体与整个物质世界之间产生一般对应关系。也就是说, 是否存在一个物质总量小于整个物质世界的物质系统, 来反映整个物质世界的运行状况。
现在用反证法进行逻辑推理。假设存在一个主观智能体A, 与整个物质世界之间产生一般对应关系。将整个物质世界中除A以外的部分组成的物质体系记为B。A的运行状态记为a, B的运行状态称为b, 整个物质系统的运行状态记为a+b, 那么由于A与整个物质世界之间是一一对应关系, 则从A的角度看, 当a为一个确定的状态值时, a+b也为一个确定的状态值。但另一方面, 同样从A的角度看, b的状态值不确定时, a+b的状态值无法确定。这样就产生了矛盾。这个矛盾说明, 物质世界中不可能存在一个主观智能体, 使得这个主观智能体与整个物质世界之间产生一般对应关系。同理, 在物质世界中任何一个物质系统都不可能与该物质系统的一个部分产生一一对应关系。也就是说, 如果要制造出反映某物质系统的运行状态的现实智能体的话, 那么所需要的物质总量大于该物质系统所包含的物质总量。
对于物质世界中的某一物质系统C, 记物质世界中除C以外的部分为D。那么从现实智能体的角度看, C的运动除受自身内部结构的影响外, 还受到D的运动的影响。那么如果要在物质世界中产生一个现实智能体对C的状态进行完全准确的反映, 则该现实智能体必然要完全准确地掌握D的运动状态, 以完全准确地掌握D的运动对C的影响。那就意味着该现实智能体要能同时完全准确地掌握C和D的运动状态, 也就是完全准确地反映整个物质世界的运动状态。而由前面的论述, 完全准确地反映整个物质世界运行状态的现实智能体是不可能存在的。因而完全准确地反映物质系统C的现实智能体在物质世界中并不存在。
而人脑作为一种现实智能体, 同样是不可能完全准确地反映物质世界及其任何部分的运行状态的, 而只能对运动状态进行近似的描述。现实中的各种例子都与这个结论一致。例如在测量中, 我们不可能得到物体长度的完全准确的数值, 而只能通过改进测量手段和工具、多次测量取平均值等方法减小误差, 而误差只可能减小, 不可能消除。又由微观物理学中的不确定关系, 我们不可能准确地知道单个粒子的运动情况, 但是我们可以 (相对) 准确地知道大量粒子运动时的统计规律。我们用概率来对粒子的分布规律进行描述。社会科学中的各种关系更加复杂, 由于反映的对象是复杂的主观智能体, 因而不仅不可能得出完全准确的运动状态, 多数时候连相对准确都很难做到。
概率是现实智能体对物质系统的运动进行近似描述的手段。由于不同的现实智能体对物质系统运动情况的掌握程度和范围不同, 对物质系统运动情况的近似描述也会不同, 因而概率是针对一个特定的智能体而言的。例如由E和F两个人来描述一次抛硬币结果中正面向上和反面向上的概率。该硬币有一特殊情况, 那就是反面的密度远远大于正面。现设E不知道这一情况, 而F知道这一情况。那么E就会认为正反两面朝上的概率相等, 而F的描述结果中反面向上的概率会较大。而两种概率描述相对于E和F掌握的情况都是科学合理的。因此概率必然和特定的现实智能体发生关联, 在关联之前具有主观性;而在与特定的智能体已经产生了关联之后, 概率又具有了客观性。
参考文献
概率论复习 第2篇
第一章
1、随机事件的关系与运算,概率的性质(差并对立事件概率的计算公式),条件概率公式公式，事件的独立性。
2、古典概型的计算：例P28T9,11,12,203、全概率公式和贝叶斯公式的应用:例P48-49 T14,15,16,18,20
第二章
1、分布函数的定义及性质：例P74 T7,13，2、连续型随机变量的密度函数的性质: 例P74 T11，12,14, P143 T6,83、随机变量及随机变量函数的数学期望和方差的性质及计算：例P83 T10,13, P88 T3,54、切比雪夫不等式及其应用
5、常用离散型随机变量的概率分布列、常用连续型随机变量的概率密度及数学期望和方差
如P114表2.5.1，P115T11,12,196、随机变量函数的分布：P123 T7,8,1
1第三章
1、二维随机变量的分布函数定义及性质，边际分布函数的求解p145 例3.2.12、离散型二维随机变量的联合分布列和边际分布列的求解，及离散型二维随机变量函数分布列的求解：P136 例3.1.2，P143 T2,3；P155 例3.3.1；P163T13、连续型二维随机变量的联合密度函数的性质，边际密度函数的求解，随机变量独立性的判断：P147 例3.2.3，P152例3.2.8；P153T5，6，134、二维随机变量函数的数学期望和方差的计算，协方差的性质及计算，相关系数的定义及性质:P183T21,24,25
D(X+Y)=DX+DY+2COV(X,Y), D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)
5、独立和不相关之间的关系
第四章
概率论的起源 第3篇
几百年前在欧洲的许多国家，贵族间赌博之风盛行，当时有一个“赌金分配问题”曾引起热烈的讨论，并经历了长达一百多年才得到正确的解决，在这过程中孕育了概率论这个重要的基本概念. “赌金分配问题”可以简化为：甲、乙二人赌博，各出赌注30元，共60元，每局甲、乙获胜的机会均等. 约定：谁先胜满3局就可以赢得全部赌注60元，现已赌完3局，甲2胜1负，后来因故中断赌局，问这60元赌注该如何分给二人才算公平？
初看觉得应按2：1分配，即甲得40元，乙得20元，还有人认为没有分出胜负，甲、乙应该平分. 当时的一些学者，对这类赌情问题进行研究，有的还出版了著作，然而都没有得出正确的结论. 直到一百多年后，一个名为德·梅勒（De Mere，1607～1684）的法国人把这个问题寄给了当时的数学天才帕斯卡，这个问题也把帕斯卡难住了，他苦苦思考了两三年，直到1654年才算有了点眉目，于是他写信给他的好友费马. 随后在这两位伟大的数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，两人用不同的方法正确地解决了这个问题.他们认为赌注的分配应考虑如果继续赌下去，甲、乙最终获胜的机会如何？不难看出至多再赌2局即可分出胜负，这2局获胜的情况有4种：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙，前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，二者之比为3∶1，故赌注的公平分配应按3∶1的比例，即甲得45元，乙得15元.
通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念——数学期望，概率论从此发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科.
帕斯卡和费马以“赌金分配问题”开始的通信形式的讨论，开创了概率论研究的先河，后来荷兰数学家惠更斯（1629～1695）也参加了这场讨论，并写出了关于概率论的第一篇正式论文《赌博中的推理》.帕斯卡、费马、惠更斯一起被誉为概率论的创始人.时至今日，概率论已不再是只与赌博问题相联系的学科了，它已经在各行各业中得到了广泛的应用，发展成为一门极其重要的数学学科.
概率论的起源 第4篇
几百年前在欧洲的许多国家，贵族间赌博之风盛行，当时有一个“赌金分配问题”曾引起热烈的讨论，并经历了长达一百多年才得到正确的解决，在这过程中孕育了概率论这个重要的基本概念. “赌金分配问题”可以简化为：甲、乙二人赌博，各出赌注30元，共60元，每局甲、乙获胜的机会均等. 约定：谁先胜满3局就可以赢得全部赌注60元，现已赌完3局，甲2胜1负，后来因故中断赌局，问这60元赌注该如何分给二人才算公平？
初看觉得应按2：1分配，即甲得40元，乙得20元，还有人认为没有分出胜负，甲、乙应该平分. 当时的一些学者，对这类赌情问题进行研究，有的还出版了著作，然而都没有得出正确的结论. 直到一百多年后，一个名为德·梅勒（De Mere，1607～1684）的法国人把这个问题寄给了当时的数学天才帕斯卡，这个问题也把帕斯卡难住了，他苦苦思考了两三年，直到1654年才算有了点眉目，于是他写信给他的好友费马. 随后在这两位伟大的数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，两人用不同的方法正确地解决了这个问题.他们认为赌注的分配应考虑如果继续赌下去，甲、乙最终获胜的机会如何？ 不难看出至多再赌2局即可分出胜负，这2局获胜的情况有4种：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙，前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，二者之比为3∶1， 故赌注的公平分配应按3∶1的比例，即甲得45元，乙得15元.
通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念———数学期望，概率论从此发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科.
苦研概率论博彩欠债百万 第5篇
挡不住的上当
5月11日，一条“富家女借精生子”的短信发到了湖北省武汉市新洲区男子黄先生的手机上。黄先生今年49岁，打着光棍，短信内容让他激动不已，对方让他先缴纳8万元保证金，他竟不顾银行工作人员劝阻，执意汇款，后来又向对方账户汇出了5万元表示诚意，还想再汇1万元。“我就是要汇，你们不要阻碍我追求幸福，我今天不汇，明天也要汇，新洲汇不了，到其他地区我也要汇。”即使在警方告诉黄先生这是一场骗局之后，他仍坚持汇款。
90后情侣抢劫送货快递员
5月2日，在北京市朝阳区松榆里某居民楼内，一京东快递员被两人抢走苹果手机3部，价值2万余元人民币。经过警方调查，两名戴口罩嫌疑人使用货到付款方式购买手机，将快递员约至楼内使用电棍实施抢劫，并骑摩托车逃离现场。据二人供述，两人系男女朋友关系，曾在案发小区附近的同一学校学习，对小区周边的环境非常熟悉。目前，两人因涉嫌抢劫罪被朝阳警方刑事拘留。
看鉴宝节目上瘾盗古董
安徽人赵某，很迷电视鉴宝节目。但缺本钱的他听老乡说，萧山和大江东一带，有不少农村房子拆迁，在一些废墟里偶尔能捡到古董宝贝。于是赵某就盯上了无人居住的老宅。不多时，他的租房内摆了偷来的大量名酒和古董字画。但见到找上门的民警，他后悔地说，自己是鉴宝节目看多了，心痒了。目前，赵某因涉嫌盗窃已被批捕，赵某共交代案件十余起，警方已查证案件6起，涉案金额3万元左右。
签字惹上了拘留
3月1日，包某因在机动车驾驶室的前后窗视线范围内悬挂放置妨碍驾驶人视线的物品，被深圳交警部门处以罚款50元、记0分的处罚。但在处罚决定书上签名时，包某签上了“操”和“操你妈”二词。5月13日，包某被警方传唤到案，拟被行政拘留10天。深圳交警部门表示，这是第一宗通过书写下流文字公然侮辱正在执勤的交通警察，构成拒绝、阻碍交通警察依法执行职务的案件。
基于概率论的工程索赔研究 第6篇
建筑工程索赔在工程建设过程中难免会发生,发生的因素中有互相独立的、也有相互关联的,在建设工程实施前,能否预测索赔事件的发生概率为多少?影响费用和工期如何?如果未能有效、合理控制,势必会造成投资或成本的超支,严重影响工程建设质量和进度等目标。因此,本文首先对工程索赔产生的原因进行归类分析,引入概率论原理,建立相关数学模型,使用实际类似案例进行论证,为拟建项目的索赔事件控制提供科学、合理的数据支撑。从而依据计算出的发生概率和影响后果,制定事前控制措施,一定程度上提高了工程建设效率,为相应的项目管理工作提供参考依据。
1工程索赔概述及产生因素
工程索赔是指在合同履行过程中,对于并非自己的过错,而是应由对方承担责任的情况造成的实际损失向对方提出经济补偿和(或)时间补偿的要求。
1.1工程索赔分类
由于施工现场条件、气候条件的变化,施工进度、物价的变化,以及合同条款、规范、标准文件和施工图纸的变更、差异、延误等因素的影响,使得工程承包中不可避免地出现索赔。按索赔目的可分类为工期索赔和经济索赔,按处理方式可分类为单项索赔和综合索赔,索赔按对象分类可分为索赔和反索赔。
1.2工程索赔产生因素及归类
工程索赔产生的因素较多,有自然因素,有人为因素,主要体现在发包人违约,包括发包人、监理人及承包人没有履行合同责任,没有正确地行使合同赋予的权力,工程管理失误等;合同缺陷,如合同条文不全、错误、矛盾、有歧义,设计图纸、技术规范错误等导致成本增加或工期延长,发包人应当给予补偿;合同变更,如双方签订新的变更协议、设计变更、施工方法变更、追加或者取消某项工作、合同其他规定的变更等;工程环境变化,工程项目本身和工程环境有许多不确定性,技术环境、经济环境、政治环境、法律环境等的变化都会导致工程的计划实施过程与实际情况不一样,这些因素都会导致施工工期和费用变化,承包商可依据相关合同条款进行索赔。不可抗力因素,不可抗力可以分为自然事件和社会事件。不利的物质条件通常是指承包人在施工现场遇到的不可预见的自然物质条件、非自然的物质障碍和污染物,包括自然事件及社会事性,如恶劣的气候条件、地震、洪水、战争状态、罢工等。
2工程索赔发生概率研究
2.1工程索赔两种概率形式
建设工程索赔事件一般可分为相互独立事件和关联事件,相互独立事件是指事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响。关联事件是指事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率有一定程度影响。
一般地,某几个索赔事件之间可能存在相互独立的关系;也可能存在相互耦合的关系,即相互影响。在单项索赔中以独立事件为主,在综合索赔中以关联事件为主。例如:由于设计变更,某区域已砌筑好的墙体需拆除,同时已浇筑好的混凝土需拆除,此两项索赔事件属于相互独立关系,计算索赔费用时可分别独立计算,如提前统计预知此两事件发生概率,则同时发生概率如图1。由于设计变更,某区域已浇筑好混凝土需拆除后重新浇筑,但是甲供材料混凝土未按时送达现场,此两项索赔事件属于有关联关系,则同时发生概率如图2。
2.2工程索赔概率模型建立
建设工程索赔事件中,各索赔事件中以关联关系占多数,即一揽子索赔中包含的子事件是连锁反应的,并且有较强的相关性。结合上述分析,独立单项事件之间(见图1)的概率数学模型可表达为:
关联事件之间(见图2)的概率数学模型可表达为:
式中,R1为发生总概率;A11、A12为任意两个关联索赔事件;P(A11)为索赔事件A11的概率;P(A12│A11)为以事件A11为前提,事件A12的条件概率。
将式中的两个索赔事件引申到若干个索赔事件中,当相互独立时,有关系式如下:
当索赔事件间完全相关时,有关系式如下:
当索赔事件相关性较强时,有关系式如下:
式中,R为发生总概率;Ai为第i个索赔事件;P(Ai)为事件Ai的有效概率;P(Ai)P(Ai-1Ai-2..A1)为事件1到i-1均有效时,事件i也有效的条件概率。
上述条件概率的求解,与本文研究的具体问题有很密切的关系。任一个索赔事件的概率P(Ai)最大值为1;当相互独立时,有关系式如下:
由此可得出:条件概率Pi是介于[Ri,1]之间,即有如下关系式:
3案例分析
某拟建项目一期工程,位于成都市郊区。由地下室及1~5号住宅楼组成;住宅楼为26层剪力墙结构;建筑总面积41 900 m2,其中地下室1层,建筑面积4 075 m2。抗震设防烈度为7度,合理使用年限为50年。在实施工程前,通过类似工程统计,预测可能发生诸多索赔事件,有独立互斥的,但大多数为有关联的,将这些索赔事件进行归类,主要分为发包人违约(某甲供材料延迟到达现场等)、合同缺陷(人工、材料调整方式未明确等)、设计变更(进行砌筑墙体位置的变化等)、环境因素(软弱地基进行换填处理等)。通过已完成的4个类似工程相关发生概率数据统计分析,应用上述公式计算如表1。
通过上述案例结论,拟建项目所有索赔事件若是关联的,则同时发生的概率仅为0.05,属于小概率事件,但是,若以上所有索赔事件是独立的,则应该对各个影响因素的概率进行排序,定出权重大小,分别针对不同影响因素的权重和概率制定目标控制措施。并积累整理类似工程的索赔因素及其发生概率,将其作为拟建工程的数据参考,为拟建工程在实施过程中对索赔事件的控制和风险判断提供合理的数据支撑,有效地进行项目管理,更好地实现工程项目的管理目标。
4结语
本文通过对工程索赔的产生因素进行归类,分别分析了独立索赔事件和关联索赔事件的发生概率,进而建立了相关数学模型,并利用类似工程进行了验证,证明了该公式的科学性和可操作性。对工程索赔事件的发生概率进行准确计算,并适当制定控制措施,对业主方、承包方等项目参与主体而言,不仅反映了其对项目管理水平的高低,同时可切实维护自身合法利益,取得效益最大化。
参考文献
[1]赵亮,戎颖,张超.基于贝叶斯定理的工程索赔博弈模型研究[J].辽宁经济,2013,32(5):94-96.
[2]安慧,郑传军,李美娜.基于博弈模型的工程索赔策略探究[J].建筑经济,2012,32(11):57-60.
基于Matlab的概率论仿真实验 第7篇
本文针对概率论教学中几个比较抽象的结论,通过matlab仿真,将结论用图形模拟出来,通过图形这种形象的方式,加深巩固理解概率论定理。
1、随机变量函数的分布
有些时候,随机变量本身不能直接测量得到,但是它可能是能够测量到的随机变量的函数,在实际中,常常对随机变量的函数感兴趣。随机变量的函数的取值范围比较容易得到,但是其分布通常并不直观。
教学中,我们通常考虑的函数有最大值、最小值、和、商,共四种情形。主要讨论由自变量的统计规律来推导函数的统计规律,由于随机变量内在的随机特性,其函数的统计规律往往理解起来较为抽象,一般要从公式推导才能得到。大数定律告诉我们,随着实验次数的增加,事件发生的频率稳定于事件发生的概率,因此利用Matlab做随机实验的仿真,可以借助于随机变量的频率分布图来观察随机变量函数的概率分布规律。以下为四种常见函数的仿真:
自变量均采用均匀分布,即:X~U(0,1),Y~U(0,1),考虑Min(X,Y)、Max(X,Y)、X+Y、X/Y的分布。以Min(X,Y)为例,matlab仿真程序如下:
%min(X,Y)频率分布图
n=100000;
datas=rand(2,n);
s=min(datas);
st=hist(s,20);
bar(0:1/19:1,st/n)%end
该例做了100000次实验,运行结果如图1所示,直方图高度为Min(X,Y)落入下面相应区间的频率。图1表明:两个同为(0,1)区间的均匀分布,最小值Min(X,Y)的分布规律应该是线性递减。实际上Min(X,Y)的概率密度为:
可以看到,当z在区间(0,1)时,概率密度是线性减函数,仿真结果与之吻合很好。再考虑一个离散的例子:抛掷两个均匀的骰子,考虑最小点数的分布。在等可能的36个样本点中,1~6作为两点中最小值出现的次数为11、9、7、5、3、1,也是呈现出一个线性递减的规律。这个例子不需要写程序,实际生活中都可以亲自实验,最终的结论是类似的。
图2~4分别为为Max(X,Y)、X+Y、X/Y的频率分布仿真结果,图3表明X+Y出现1的频率最大,离1越远,出现频率越低,图4表明X/Y在区间(0,1)中各个位置出现频率相等,然后随着取值逐渐增大,出现频率越来越低。这些结论都可以由函数的概率密度得到验证。
通过该例的思考,我们在讨论其它类型的随机变量的分布规律与其函数的分布规律的联系和区别的时候,也可以通过仿真结果形象地认识函数的分布规律。
2、中心极限定理
正态分布不但在理论上具有重要的地位,在实际中也有大量的随机变量服从正态分布,中心极限定理从理论上说明了缘由。课堂上一般介绍两个中心极限定理:棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理和列维-林德伯格中心极限定理。教学中发现学生总是不容易接受和运用定理,文献[2,3]中也有提到这点。
采用Matlab做概率统计实验仿真,可以观察相互独立同分布的随机变量序列部分和的变化趋势,也可以观察二项分布中参数n增大时的变化趋势。引导学生参与进来,一起编写、运行程序,最后观察结果,等同于让学生重新发现定理。经过这样一个过程,学生对理论的理解就深刻地多,运用起来也就熟练地多。
以p=0.7,n分别取10、40、70为例,在同一图形窗口中显示二项分布分布律与相应正态分布概率密度曲线,如图5,程序如下:
仿真结果表明:二项分布会随着n的增加,逐渐近似为正态分布,这种近似误差的绝对值的平均值有越来越小的趋势,这点从程序中m各分量的变化趋势可以看出。而且,通过仿真实验,可以很容易得到二项分布近似成正态分布时的参数对应关系。至于列维-林德伯格中心极限定理的仿真,本文不再赘述,有兴趣的读者可以自己编写仿真程序。
3、结论
Matlab做概率论仿真实验具有很大的优势,利用Matlab可以写出简洁实用的仿真程序,实验结果可以通过Matlab直观地可视化表现出来,抽象的结论通过Matlab仿真更容易理解。仿真实验可以在教师课堂教学中增加教学效果,也可以让学生自学概率论时帮助理解内容。
参考文献
[1]茆诗松主编.统计手册[M].科学出版社,2003:1008-1014
[2]黎玉芳.中心极限定理的教学方法探讨.中国科技信息[J],2010(24),220-221
从投掷问题到概率论的创立 第8篇
一、概率论的概念
概率论是通过大量的同类型随机现象的研究, 从中揭示出某种确定的规律.而这种规律性又是日常中许多事物所具有的.因此概率在日常生活中十分的常见.
二、概率论的起源
三四百年前在欧洲许多国家, 贵族之间盛行赌博之风.投掷骰子是他们常用的赌博方式, 最初概率论的起源跟赌博有很大的关系.
17世纪, 帕斯卡和费马研究了意大利帕乔里的著作《摘要》, 从而两人建立了概率学的基础模型.费马和帕斯卡在通信和著作中建立了概率论的基本原则———数学期望的概念, 点数问题是其中的代表例子.惠更斯是概率论学科的奠基者之一.《赌博游戏中的计算》是第一部概率论著作, 这本书首次提出了数学期望的概念, 创立了“惠更斯分析法”, 第一次把概率建立在公理、命题和问题上而构成一个较完整的理论体系.
关于点数问题, 帕斯卡与费马分别给出了各自的方法和公式, 后来惠更斯也给出了方法.在此, 笔者提出阐明自己的新方法, 看看是否比前人更加简单.
三、解题方法
先明确一下问题, 甲、乙二人各出同样的赌注, 掷硬币进行赌博, 若正面朝上, 甲得1分, 乙不得分, 若反面朝上, 乙得1分, 甲不得分.谁先得到事先约定的分数, 就赢得全部赌注.问题是在没有赌完的情况下, 如何分配赌本才算公平.
设甲还需赢m次, 乙还需赢n次.
对于甲来说, 若赢得赌注最少经过m次掷币, 因其最后一次定为甲赢, 则不确定的项为 (m-1) 次掷币, 也就是说在 (m-1) 项中会出现0次乙.又因为其经过m次掷币, 则其每一种情况出现的可能性为, 则其所有情况出现的可能性为排列数与可能性之积:.甲最多经过 (m+n-1) 次掷币才能赢.同理, 其不定项为前 (m+n-2) 次, 在其中会出现 (n-1) 次乙, 且经过 (m+n-1) 次掷币的可能性为, 则其所有出现的可能性为.通过递推或观察首末次的规律, 可知中间项.
此方法对乙同样适用, 不过需将m与n互替使用.
所以甲、乙两人继续赌下去, 最终能获胜的概率之比用公式可表达为:
若甲乙用同一枚硬币进行赌博, 但出现的机会确实均等的.
正如上例所举, 如果m+n趋近于无穷大, 即
通过二项式展开公式, 上下消除跟值, 则式子的结果将趋于1, 而正反两面, 即m或n次后, 正方两面的概率都将趋于1/2.
因此, 欧洲的抛硬币决定赌博胜负的办法, 如果在较少的随机事件中产生结果, 那就有可能出现一个胜者, 或正或反.但如果两人的次数趋于无穷大, 则其结果趋近于概率, 没有赢家.
同样, 将硬币换作骰子, 其六个点数出现的概率为固定的1/6, 只是每个点数出现的频率和投掷次数有关, 即上面的m和n.
四、概率论的实际应用
经过以上探讨之后, 我们再来看看生活中概率论的实践, 是否符合概率和频率之间的关系.
彩票的概率问题, 已经成为当下最基本存在的概率性问题, 不管是3D彩球还是7色球, 其每一期开奖结果中, 每一个数字出现的概率都一定, 比如3D彩球的概率都为.但是, 7个彩球里, 随机地挑选三个彩球出来的综合概率则是, 再加上7个数字的随机组合与排列, 其数列有:
1 2 3, 1 2 4, …, 1 2 7, 2 1 3, 2 1 4, …, 2 1 7, …, 7 6 5,
共计73个数列, 而在这些数列中, 每一期只会出现一个, 则其概率为, 则每一期出奖结果的中奖率为.
由此可见, 3D彩球的中奖概率已经很少, 但是在彩票购买站点, 负责人依旧会将每一期的数字进行排列, 从而总结规律提供给彩民参考.而这个数据记录, 则是概率发生的次数, 而其中所有的数列发生的频率趋近于概率的时候, 则极有可能中奖.
不只是彩票购买存在如此的概率计算, 生活中其他很多项目也涉及概率与频率的关系问题, 在此笔者就不一一累述.
总结笔者通过数学积分方式及生活概率问题的阐述, 简单明确地阐述了概率问题与频率问题之间的关系, 同时也确定了随机事件的发生次数越多, 频率就趋近于概率的这一理论.
摘要：在日常生活中, 存款、利息、投资、保险、成本、利润、彩票等, 我们常遇见一些概率问题.概率在生活中应用的范围越来越广.概率中的经典问题投掷硬币, 帕斯卡、费马、惠更斯提出了解题方法.关于投掷骰子点数方面笔者提出了新的解题方法.
探索高中概率论中随机事件的关系 第9篇
一、随机事件的相互独立
1. 两个事件的相互独立:对任意的两个事件A, B，若P (AB）=P (A) P (B），则事件A与B相互独立.
2. n个事件的相互独立：一般地，对于事件A1, A2，…，An，若有
其中1≤i
3. 两两独立但不相互独立.
例⒈设样本空间{ω1，ω2，ω3，ω4}含有等可能的四个基本事件，又A={ω1，ω2}，B={ω1，ω3}，C={ω1，ω4}，显然有P (A)=P (B)=P (C)=，并且P (AB)=P (A)×P (B), P (BC)=P (B)×P (C), P (CA)=P (A)×P (C)但ABC={1}，所以P (ABC)=≠P (A)×P (B)×P (C) .
二、互斥事件
1. 两个事件的互斥：如果A与B不能同时发生，也就是说AB是一个不可能事件，即AB=准，则P (A∪B)=P (A)+P (B).
2. n个事件互斥：事件A1, A2，…，An互不相容是指它们中任意两个事件都互斥，即：AiAj=φ，i≠j, i、j=1, 2，…，n,
三、对立事件
1. 两个事件的对立：设A是一个事件，令是A的对立事件.
2. 对立不适用于多个事件.
四、互斥事件与对立事件的区别
1. 互斥的概念适用于两个或多个事件，对立的概念适用于两个事件.
2. 从集合角度看，事件A, B互斥，就是它们相应集合的交集是空集，A不包含B, B也不包含A，空集与任何集合都不互斥;几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合是彼此交集是空集，事件A, B对立，就是事件A包含的结果的集合是其对立B包含的结果的补集.
3. 两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生;而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生.
4. 两事件对立是两事件互斥的充分必要条件，两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立.
例：掷一颗骰子，其样本空间为Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}，若令A为出现1点之事件：A={1}，B为出现5点之事件:B={5}，这两个事件A与B是互斥事件，但却不是对立的，因为{1}+{2}≠Ω，相应事件C={2, 3, 4, 5, 6}是事件A的对立事件，A+C={1}+{2, 3, 4, 5, 6}=Ω，AC=准.
五、相互独立事件与互斥事件的区别
1. 互斥是在同一事件下，相互独立是在不同事件下.
2. 单纯在概率的基础上，只要P (AB)=P (A) P (B)，就是独立.互斥指两个事件不可能同时发生，即：AB=准，则P (A∪B)=P (A) +P (B) .
3. 在使用加法公式P (A∪B)=P (A)+P (B)-P (AB)时，若A, B互斥，P (A∪B)=P (A)+P (B);若A, B相互独立，P (A∪B)=P (A) +P (B) -P (A) P (B) .
4. 一般情况下，相互独立与互斥不能同时存在，若A, B中有一个概率为零，则A与B相互独立和互斥可同时存在.
5. 互斥未必相互独立.
例：52张扑克牌平均分给甲、乙、丙、丁四个人，A表示甲得3张K, B表示乙得2张K;则A与B互斥但不相互独立.
解：当P (A)>0, P (B)>0时，若A, B互斥，则A∩B=准，从而P (AB)=0，但P (A) P (B)>0，因而等式P (AB)=P (A) P (B)不成立，即互斥未必相互独立.
6. 相互独立未必互斥.
例：盒子里装有m只白球，k只黑球，做有放回的摸球试验，A表示“第一次摸到黑球”，B表示“第二次摸到白球”;则A和B是相互独立但不是互斥的.
解：若A, B独立，则P (AB)=P (A) P (B)>0，从而A, B不互斥(否则，P (AB)=0，导致矛盾).
7. 两事件A, B相互独立是指事件A出现的概率与事件B是否出现没有关系，并不是说A, B间没有关系.相反若A, B独立，则常有AB≠准，即A与B不互斥.A, B互斥是指A的出现必导致B的不出现，并没有说出现A的概率与B是否出现有关系.
例:甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?
有同学这样解答：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B,
错误的原因：把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和.
正确的解答：本题为“相互独立事件同时发生的概率”，设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A, B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件AB，于是
概率论与数理统计的翻转教学 第10篇
【关键词】翻转课堂 大学数学 概率统计 课堂教学
【中图分类号】G64【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0145-01
1.翻转课堂
翻转课堂（Flipped Classroom）是一种不同于传统教学的新型教学模式，它要求学生在课前预先学习知识点，再在课堂上讨论巩固，也就是课上与课下的“翻转”。一般来说，实施翻转课堂的教师需要利用计算机技术将知识点讲解过程录制成视频交给学生观看，并配上相应题目给学生自查。回到课堂上之后，学生与老师再充分交流，合作探究，完成知识点的内化过程。
翻转课堂最早起源于美国科罗拉多州WoodlandPark High School，该校老师乔纳森·伯尔曼和亚伦·萨姆斯将学习内容录制成微视频上传到网上供缺课学生观看。2007年，他们又全面要求学生在家里观看教学视频，回到学校之后再对学生进行辅导。这种学习方法取得良好成效并最终在美国中小学教育中得到了广泛应用。如今，不仅仅是中小学教育，大学课堂也在逐步引进翻转课堂。
国内方面，对于翻转课堂还处于理论和探究的阶段，笔者就大学课程中概率论与数理统计之“期望的定义与性质”部分进行翻转课堂的尝试，并总结了翻转课堂在大学数学课程实施过程中的一些问题，且针对这些问题采取了相应的解决办法。
2.翻转课堂的实施
2.1课前自学
课前教师需录制教学微视频供学生进行自主学习。这种视频时间一般控制在十分钟以内，因为对学生而言，如果视频过长，内容过多，注意力容易分散，不利于学习。再者，多个知识点融在一个视频当中，也不方便学生在有疑问的时候查找观看。因此，我们在录制视频的时候讲究短小精悍针对性强。本节“期望的定义与性质”就被细分成了4个部分并录制了相应的4个微视频。
另外在每个视频中都给出了若干较为基础的题目用于学生自测学习情况。
2.2课中内化
课堂讨论和探究的阶段共两次课，分组完成。
第一次课，学生刚看完视频，对知识点还比较生疏，讨论的目的在于熟悉基础知识点。课上，每个小组分别对本节的内容进行讲解，并配以例题展示。讲解完之后其它同学可对讲解小组所讲内容进行提问和补充。第一次课结束之后，再留给学生一些较难的实际背景下的期望问题，让学生在课下讨论解决。
第二次课，每组从上述题目中随机抽取一道讲解，其他组做相应的提问或补充。接着，再给出一些题目让学生在课上练习，对还存在问题的学生及时给予纠正和指导。最终使得学生能够灵活运用期望的实际含义和性质解决实际背景下的期望问题。
需要说明的是，对于大学数学这种基础课程，教师面对的往往是将近100人的课堂，这导致讨论课的时间和秩序不好把握。为此，我们要求每组学生只选择一部分内容讲解。又为了避免学生只关心自己讲解的部分而忽略了其它内容，所以每组讲完之后其它同学可以就本节任一知识点进行提问和补充。另外，为了让所有学生都积极参与，我们把讲解，提问，回答每个部分都设置了严密的加分规则并与学生的期末成绩挂钩，以此促进了学生积极性，让学生尽量参与到讨论中。
2.3课后升华
讨论课后，大部分学生已经能够准确理解期望的概念并应用，但是要最终吸收内化，还需要学生更多地去探究与思考。因此我们要求学生自选切入点，完成一篇与本节内容相关的小论文。
3.翻转课堂的反思
目前，翻转课堂在我国的发展还处于尝试和适应的阶段，结合我国高校的具体情况不免存在一些问题：
首先，翻转课堂考验了教师录制和制作视频的能力。好的视频不仅仅是机械地录制，还需要在剪辑，音效甚至视频合成上花功夫。这对长期以传统方式教学的教师来说难度很大，工作量也很大。
其次，实施翻转课堂的网络平台不够完善，没有办法对学生课下的自主学习进行实时监控。
对于基础课程来说，还有一个问题是人数众多，虽然前面我们已经在控制讨论课的节奏和秩序上想了一些办法，但是课上还是避免不了超时和吵闹的情况。
最后，由于数学不是专业课，多数学生不愿意在这门课程上花费时间。无论是课前的自主学习还是课后的小论文，学生完成的情况都不太理想。
4.结语
翻转课堂作为一种新兴的教学模式是对传统教学的颠覆，对学生和老师的极大挑战。如果能适应这种教学模式，学生的自学能力和创新能力都能够得到很好的锻炼，但如果没有解决前面说到的这些问题，就达不到期望的教学效果。所以，翻转课堂的“本土化”，还需要慢慢地摸索。
参考文献：
[1]卢强.翻转课堂的冷思考：实证与反思[J].电化教育研究，2013（8）.
[2]胡运红，杨建雅，王鹏岭.翻转课堂教学模式下的大学数学微课探究——以线性代数的某知识点为例[J].运城学院学报，2015（6）.
概率论中的数学分析思想 第11篇
例1密度函数
解:由于f (x) 在x<2为分段函数, 故所求概率必须分段来求。显然, 在 (-2, -1) 和 (1, 2) 上f (x) 取值为0, 在 (-1, 0) 上f (x) 取值为x+1, 在 (0, 1) 上f (x) 取值为-x+1, 则
对于此题, 如此计算还略显复杂, 我们可以利用定积分的几何意义, 曲线y=f (x) 在x轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和。根据前面的分析, 可知所求概率就是图中三角形的面积, 而三角形的面积很容易求出, S=1, 即P (x<2) =1.以二维连续型随机变量计算公式和数学分析中二重积分可以知道计算二重积分的步骤:
(ⅰ) 画出积分区域D的图形
(ⅱ) 判定D的类型 (X型或Y型) , 确定积分顺序
(ⅲ) 把二重积分化为二次积分, 正确写出积分上下限:
(ⅳ) 计算二次积分得到二重积分值。
注:计算时可以考虑积分区域的对称性, 二重积分的性质可以类比一重积分的性质进行推广。
显然, 求联合分布函数、边际分布函数就是求一变上限函数, 求某一概率就是求一二重积分。故可以模仿二重积分的计算步骤。首先画出概率密度函数的非零积分区域, 确定类型和积分范围, 然后按积分范围内函数取值分段积分。
应用
例2设随机变量 (ζ, η) 的概率密度为
求: (1) 系数A
(3)
(5) P (ζ=η)
注:ζ, η同积分区域中的x、y地位相同
解:概率密度函数f (x, y) 的非零积分区域如图 (3) 阴影:对于0
(1) A可以利用密度函数的规范性
(2) 将阴影部分向x轴作投影, 得到
(3) 与 (2) 类似, 但是为了计算简便, 我们不再对其进行X型分割 (对其进行X型分割也是可以的, 只是要利用积分区域的可加性, 分段积分, 而是进行Y型分割, 如图 (5) :将图形向y轴作投影, 则得到用平行x轴的直线从左向右穿过区域, 首先穿过的为x=y, 后穿过的为x=1, 则区域所以
(4) 如图 (6) :则
(5) 由于在某一点的概率为0, 故在直线y=x上概率P (ζ=η) =0, 此题也可以从二重积分的几何意义考虑, 二元函数 (x, y) 表示三维空间中的一张曲面, 因此f (x, y) dxdy在几何上就表示oxy平面以上曲面f (x, y) 以下小区域dxdy为底面积的曲顶柱体的体积。对于由一条直线构成的曲顶柱体的体积为0.
参考文献
[1]华中理工大学数学系:《概率论与数理统计》[M]高等教育出版社施普林格出版社1999.8
[2]魏宗舒等编:《概率论与数理统计教程》[M]高等教育出版社2005.2
[3]华东师范大学数学系编:《数学分析》[M]高等教育出版社2005.4