浅谈计算极限的方法与技巧

浅谈计算极限的方法与技巧（精选14篇）

浅谈计算极限的方法与技巧 第1篇

龙源期刊网 http://.cn

浅谈计算极限的方法与技巧

作者：徐向东

来源：《学园》2013年第11期

【摘 要】掌握极限的计算是高等数学教学的基本要求，本文归纳了极限计算的一些特别的方法与技巧。

【关键词】极限 方法与技巧 导数 定积分 级数

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）11-0056-02

极限的计算不仅是高等数学的基本计算之一，同时又是解决许多实际问题中不可缺少的工具，它在物理学、工程学等相关学科上有广泛的应用，因此，求极限是学生必须练好的一门基本功。然而面对许多错综复杂的极限题，许多学生感到茫然失措，本文从高等数学教学目的出发，为了使学生学好极限，总结了求解极限的一些特别的方法与技巧。计算极限的常用的基本方法有下列几种：（1）利用极限定义及极限四则运算法则计算极限；（2）利用连续函数的性质计算极限；（3）利用两个重要极限计算极限；（4）利用洛比塔法则计算极限；（5）利用夹逼定理计算极限；（6）利用单调有界定理计算极限；（7）利用等价无穷小量替代法计算极限；（8）利用“无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量”这一性质计算极限；（9）利用因式分解、通分、三角公式恒等变形，有理化法计算极限。

十四 利用初等变形计算极限

用初等数学的方法将xn变形，然后求极限。要么分子、分母同乘一个因子，利用初等公式化简，使之出现连锁反应，要么拆通项，或者分解因式使之成为两因式乘积形式，使得中间项相消，从而化简使其易求极限。

参考文献

[1]高文杰等.高等数学全程辅导[M].天津：天津大学出版社，2005

〔责任编辑：肖薇〕

浅谈计算极限的方法与技巧 第2篇

《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的b0(a,b为常数且a0)；极限严格定义证明，例如：lim

n当an0，|q|1时nlim(3x1)5；limq；等等 nx2不存在，当|q|1时（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需

再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)g(x)]AB

（2）limf(x)g(x)AB

f(x)

g(x)AB（3）lim,(此时需B0成立)

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）limsinx

xx01

11xxlim(1)elim(1x)e（2）；xxx0

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。1

例如：limsin3x

3xx01，lim(12x)x02xe，lim(1x3)3e；等等。xx

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：1

x～sin

x～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价

关系成立，例如：当x0时，e

3x

1 ～ 3x ；ln(1x2)～ x。

定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当lim

f1(x)g1(x)f1(x)g1(x)

xx0

存在时，lim

f(x)g(x)

也存在且等于

xx0

f(x)lim

f1(x)g1(x)

xx0，即lim

f(x)g(x)

xx0

=lim

xx0。

5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：

（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

（3）lim

f(x)g(x)

存在（或是无穷大）；

则极限lim

f(x)g(x)

也一定存在，且等于lim

f(x)g(x)，即lim

f(x)g(x)

=lim

f(x)g(x)。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不

满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“

00

”型或“



”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕

后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注

意条件。

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间

内的一点，则有limf(x)f(x0)。

xx0

7．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：

（1）ynxnzn,(n1,2,3,)

（2）limyna，limzna

n

n

则极限limxn

n一定存在，且极限值也是a，即limxn

na。

二、求极限方法举例

1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1lim

3x12x1

x

1)2



2解：原式=lim

(3x1lim

3x3



3x1

(x1)(3x12)

x1

(x1)(3x12)。

注：本题也可以用洛比达法则。例2lim

n(n2

n1)n

n[(n2)(n1)]分子分母同除以

n

解：原式=limn

n2

n1

lim

3

3n

1

212

n



n

例3 lim

(1)n3n

n

2n

3

n

(1上下同除以3

n)n

1解：原式



lim3

1n(2。3)n

12． 利用函数的连续性（定理6）求极限

例4 limx2

ex

x2

解：因为x2

x

02是函数f(x)xe的一个连续点，所以原式=22

e24e。3． 利用两个重要极限求极限

例5 lim

1cosxx0

3x

2sin

x2sin

x

解：原式=lim221

x0

3x

lim

x012(x6。

22)。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6 lim(13sinx)x

x0

16sinx

6sinx

解：原式=lim(13sinx)

3sinx

x

lim[(13sinx)3sinx]

x0

x0

例7 lim（n2n

n

n1)

3n13n

n1

3n解：原式=lim(1

3

n1



33

]n1

e

3

n

n1)lim[(1n

n1)

4． 利用定理2求极限

例8 limx2

sin

1x0

x

解：原式=0（定理2的结果）。5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9 lim

xln(13x)x0

arctan（x2)

解：x0时，ln(13x)～3x，arctan(x2)～x2， 原式=lim

x3xx

3。

x0

x例10 lim

ee

sinx

x0

xsinx

sinx

(exsinx

1)

sinx

解：原式=lim

e

xsinx)

x0

xsinx

lim

e(x0

xsinx

1。

注：下面的解法是错误的： xsinx

原式=lim

(e1)(e

1)

lim

xsinx1x0

xsinx

x0

xsinx。

正如下面例题解法错误一样：lim

tanxsinx

x

lim

xx0x0

x0

x。

tan(x2

sin

1例11 lim

x)

x0

sinx

e

6。

解：当x0时，x2sin

1x

是无穷小，tan(xsin

1x)与xsin

1x

等价，xsin

所以，原式=lim

x0

xlimxsin10

。（最后一步用到定理2）

x0xx

6． 利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12 lim

1cosx3x

x0

（例4）

解：原式=lim

sinx6x

x0



。（最后一步用到了重要极限）

cos

例13 lim

x1

x

x1



sin

1x



。2

解：原式=lim

x1

例14 lim

xsinxx

x0

解：原式=lim

1cosx3x

x0

=lim

sinx6x

x0



。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

例15 lim解：

sinxxcosx

xsinx

x0

原式lim

lim

sinxxcosx

xxxsinx3x

x0

lim

cosx(cosxxsinx)

3x

x0

x0



3例18 lim[

x0

1x



1ln(1x)

]

1x

1x

解：错误解法：原式=lim[

x0



]0。

正确解法：

原式lim

ln(1x)xxln(1x)11x2x

1

x0

lim

x0

ln(1x)x

xx

lim

x0

lim

x2x(1x)

x0



12。

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19 lim

x2sinx3xcosx

x

解：易见：该极限是“

00

”型，但用洛比达法则后得到：lim

12cosx3sinx

x，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

1

原式=lim

x

2sinx

x

（分子、分母同时除以x）cosxx

3

=

（利用定理1和定理2）

7． 利用极限存在准则求极限

例20 已知x1

2,xn1

2xn,(n1,2,)，求limxn

n

解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0<设

xn<2），由准则1极限limxn存在，n

limxna。对已知的递推公式 xn1

n

2xn两边求极限，得：

a所以

2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）

limxn2。n

1n1nnn

n

例21 lim(

1n2



1nn)

1nn

解： 易见：

n1



1n2



nn1

因为 limn

nnn

1，lim

nn1



n

1

1nn

所以由准则2得：lim（n

n1

n2

浅谈计算极限的方法与技巧 第3篇

本文从另一角度对几种重要方法作出归类总结。

一利用变量代换计算极限

有些极限的计算, 适当利用变量代换, 可以很快从“山重水复疑无路”的困境中走出来, 让人感到“柳暗花明又一村”。

二利用数列的求和公式计算极限

某些极限可以表示成无穷和式的极限, 但不能利用极限的加法法则, 必须利用求和公式, 先求和再计算极限。

三利用等价无穷小量计算极限

计算极限时巧妙运用无穷小量的代换及性质, 不仅可以求出极限, 而且可以简化运算。

四利用极限与无穷小量的关系计算极限

通过已知极限与无穷小量的关系, 去掉极限符号进行运算, 化成欲求极限的形式。

五利用泰勒展开式计算极限

在求未定式极限时, 常用的方法是等价无穷小量代换与洛比达法则, 但有时为求更精细的极限和计算简便, 可利用泰勒公式求极限。

六利用夹逼定理计算极限

∴根据夹逼定理有:原式=4。

七利用单调有界定理计算极限

例7:设{xn}满足-1

解:由题设条件有:x1=x02+2x0= (x0+1) 2-1。

∵-1

设-1

由数学归纳法得知, 对一切自然数n, 有-1

故{xn}单调减少, 所以根据单调有界定理有{xn}收敛, 并设 , 则有 , 即l=l2+2l, ∴l=0或l=-1。

由数列单调减少和有界性, 得 。

八利用导数定义计算极限

函数可导或在某点可导实质上是一个极限 (导数定义) 存在问题, 这点可以成为计算与其相关函数某些极限的条件。

例8:设f (0) >0, f′ (0) 存在, 求 。

解:此极限为1∞型未定式, 凑成重要极限“e”的形式。

九运用定积分定义计算极限

设函数f (x) 在[a, b]上可积, 则f (x) 在[a, b]的任意积分和 均以∫baf (x) dx为极限, 利用这一结论可将某些极限转换为定积分。

十利用级数性质转化极限计算

级数 收敛的必要条件 , 由此对可看作是级数通项极限的极限而言, 若判定此级数收敛, 则立知极限为零。

例10:证明: (a为任意实数) 。

证:对于级数 , 由比值判别法, 令 , 则:

十一利用Lagrange中值定理计算极限

例11:求 。

解:对函数f (x) =ex在[sinx, x] (当x>0) 或[x, sinx] (当x<0) 上运用Lagrange中值定理, 即可求得:

原式 , (ξ介于sinx与x之间) 。

十二利用Cauchy中值定理计算极限

例12:求 。

解:对f (x) =arcsinx与g (x) =ex在区间[x, tanx] (当x>0) 或[tanx, x] (当x<0) 上运用Cauchy中值定理, 即可求得:

十三利用积分中值定理计算极限

例13:设f (t) 在 上连续, 求 。

解:对f (t) 在[sinx, arcsinx] (当x>0) 或[arcsinx, sinx] (当x<0) 上运用积分中值定理, 即可求得:

原式 (ξ介于sinx与arcsinx之间) (注:最后一步利用f (t) 的连续性)

十四利用初等变形计算极限

用初等数学的方法将xn变形, 然后求极限。要么分子、分母同乘一个因子, 利用初等公式化简, 使之出现连锁反应, 要么拆通项, 或者分解因式使之成为两因式乘积形式, 使得中间项相消, 从而化简使其易求极限。

例14:设 , 求 。

解:对通项xn分子、分母同时乘以 , 利用初等公式=cossin22sinxxx, 将xn恒等变形, 使之成为紧缩形式。

参考文献

浅谈极限的计算方法与技巧 第4篇

【关键词】极限；计算；两个重要极限；等价无穷小；洛必达法则

1 引言

极限概念是深入研究函数变化性态的一个最基本概念，极限方法是数学中最重要的一种思想方法，是微积分学的基础。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如，魏晋时代的数学家刘徽在《九章算术》中利用割圆术，用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率。随着微积分学的诞生，极限作为高等数学中的一个概念被明确提出。但最初提出的这一概念是比较含糊的，因此在数学界引起不少争论。直到19世纪，由柯西、魏尔斯特拉斯等人才将其置于严密的理论基础之上，从而得到了世界的公认。

2 极限的几种计算方法

2.1 利用无穷小量的性质和等价无穷小的代换求极限

2.1.1 无穷小量有下列重要性质：

2.1.1.1 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量；

2.1.1.2 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量；

2.1.1.3 常量与无穷小量的乘积为无穷小量；

2.1.1.4 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量。

当 时，有下列常见等价无穷小：

sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，ln（1+x）～x，ex-1～x，（为非零常数）。

2.1.2 利用等价无穷小代换求极限时应注意以下问题：

2.1.2.1 等价无穷小代换只能对分子或分母中的因式进行代换.

2.1.2.2 在乘除运算中才可以将无穷小用其简单的等价无穷小去替换.

例1：求极限

解：因为当时，x为无穷小量，且，即为有界变量，

由性质（4）得=0.

例2：求极限

解：原式=

例3：求极限

解： 原式

2.2利用极限的四则运算法则求极限

定理1：设，则

①；

②；

③.

也就是说，如果两个函数的极限都存在，那么这两个函数的和、差、积、商的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为分母的函数的极限不能为0）.

由上述定理可以得到下面的推论

推论：设，

①若C为常数， 则；

②若n为正整数，则.

上述法则及推论对于，等情形均成立.

例1：求极限

解：原式==8

在应用极限的四则运算法则时，通常需要先对函数做某些恒等变换或化简，变换的方法通常有分解因式，分子（母）有理化，通分，比较最高次幂法等。

例2：求极限

解： 原式=

例3 求极限

解：原式=

=

例4：求极限

解：原式=

==

例5：求極限

解：原式=

对于此极限，我们有一个一般的结果，用数学式子可表示为：

（l、m为正整数；al， ……，a0，bm， ……b0为常数且al·bm≠0）.

2.3利用两个重要极限求极限

2.3.1

该重要极限在极限计算中有重要作用，它在形式上有以下特点：

①它是型未定式.

②它可以写成（（ ）代表同样的变量或同样的表达式）.

例1：求极限.

解： 原式=

例2：求极限

解： 原式=

2.3.2

该重要极限在形式上有以下特点：

①它是型未定式.

②它可写成或.

例1：求极限

解：原式=

例2：求极限

解：原式=

2.4 利用洛必达法则求极限

2.4.1 型未定式

定理1：洛必达法则Ⅰ：若函数f （x）与g（x）满足条件

①；

②和在点x0 的附近（点x0 可除外）可导，且；

③存在（或无穷大）.

则=

上述法则对时的型未定式同样适用.

例1 求

解： 原式=

2.4.2 型未定式

定理2：洛必达法则Ⅱ：若函数f （x）与g（x）满足条件

①；②和在点x0 的附近（点x0 可除外）可导，且；③存在（或无穷大）.

则=

上述法则对时的型未定式同样适用.

例2：求

解：原式=

注：利用洛必达法则不仅可以解决型和型未定式的极限问题，还可以解决0·∞型，∞-∞型，1∞型，00型，∞0型等类型的未定式极限问题，解决这些类型未定式的方法，就是经过适当的变换，将它们化为 型或型未定式的极限。

3 结论

极限的计算方法灵活多样，根据题目的特点，合理选择运算方法是关键，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]北京大学数学力学系.高等代数[M].北京：人民教育出版社，1978.

[3]数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，1995.

[4]陈传璋，金福临编.数学分析（上下册）第二版[M]，高等教育出版社，2006： 123-146.

二元函数极限计算方法研究 第5篇

二元函数极限计算方法研究

本文主要讨论两个方面的问题.一是二元函数的重极限的计算方法,二是重极限的不存在判别法.

作 者：符兴安 作者单位：楚雄师范学院数学系,云南,楚雄,675000刊 名：楚雄师范学院学报英文刊名：JOURNAL OF CHUXIONG NORMAL UNIVERSITY年，卷(期)：200318(6)分类号：B171关键词：二元函数 重极限 两边夹

高数_第1章_极限计算方法总结 第6篇

一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：

数列极限、函数极限，课本42页的表格必须认真填写并掌握。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：lim10；lim(3x1)5；limqn0,当q1等。2x2n(n1)n定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且（1）lim[f(x)g(x)]AB（2）limf(x)g(x)AB

（3）limf(x)A,(此时需B0成立)

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同g(x)B时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3．两个重要极限

sinx(11)xe

1（2）lim(1x)xe ； lim（1）limxxx0x0x说明：（1）不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。

（2）一定注意两个重要极限成立的条件。

例如：lim1sin3x1，lim(12x)x0x03x12xe，lim(13)e；等等。

xxx34．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价 关系成立，例如：当x0时，定理4 如果函数

e3x1 ～ 3x ；ln(1x2)～ x2。

f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，f1(x)f1(x)f(x)g(x)～g1(x)，则当lim存在时，lim也存在且等于lim。

xx0g(x)xx0g(x)xx0g(x)115．连续性

定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间内 的一点，则有limxxf(x)f(x0)。求极限的一个方法。

06．极限存在准则

定理6（准则1）单调有界数列必有极限。

定理7（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：

（1）ynxnzn,(n1,2,3,)（2）limyna，limznnan

则极限limxn一定存在，且极限值也是a，即limxannn。

二、求极限方法举例

1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1 lim3x12x1x1

解：原式=lim(3x1)222x1(x1)(3x12)lim3x3x1(x1)(3x12)34。注：本题也可以用洛比达法则。例2 limnn(n2n1)

n解：原式=limn[(n2)(n1)]分子分母同除以nn2n1lim3n312112nn例3 lim(1)n3nn2n3n

上下同除以3n(1)n1解：原式lim3n1(2。3)n12． 利用函数的连续性（定理6）求极限 1例4 limx2exx2

1解：因为x是函数f(x)x2ex02的一个连续点，所以

原式=22e24e。

3． 利用两个重要极限求极限 例5 lim1cosxx03x2。

xx2sin22lim21lim解：原式=x0x0x26。3x212()22sin2注：本题也可以用洛比达法则(第三章)例6

2xlim(13sinx)

x016sinx3sinxx13sinx6sinxx解：原式=lim(13sinx)x0lim[(13sinx)x0]e6。

例7 lim(nn2n)n1解：原式=lim(1n3)n1n13n3n1lim[(1n3)n1n13]3nn1e3。

4． 利用定理2求极限

2例8 limxsinx01 x解：原式=0（定理2的结果）。

5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限

例9 limx0xln(13x)2

arctan(x)22x0

解：x0时，ln(13x)～3x，arctan(x)～x， 原式=limx3x3。2xexesinx例10 lim

x0xsinxesinx(exsinx1)esinx(xsinx)lim1。解：原式=limx0x0xsinxxsinx注：下面的解法是错误的：

(ex1)(esinx1)xsinxlim1。

原式=limx0x0xsinxxsinx

正如下面例题解法错误一样：

tanxsinxxxlimlim0。

33x0x0xx 3

例11

1tan(x2sin)x limx0sinx2xsin解：当x0时，111是无穷小，tan(x2sin)与x2sin等价，xxxx2sin

所以，原式=limx01xlimxsin10。

（最后一步用到定理2）

x0xx5． 利用极限存在准则求极限

例20 已知x1xn 2,xn12xn,(n1,2,)，求limnn解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0

xn存在，limxna。对已知的递推公式 xn12xnn两边求极限，得：

a2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）

所以 limxn2。

n例21 lim(n1n1n21n21211nn2)

1nn2解： 易见：nn2n12n22nn12

因为 limnnnn21，limnnn11221

1nn2所以由准则2得：lim(n1n12n2)1。

计算机考试技巧与方法有哪些 第7篇

选择题

绝大多数选择题的设问是正确观点，称为正面试题;如果设问是错误观点，称为反面试题。考生在作答选择题时可以使用一些答题方法，以提高答题准确率。

正选法(顺选法)：如果对题肢中的4个选项，一看就能肯定其中的1个是正确的，就可以直接得出答案。注意，必须要有百分之百的把握才行;

逆选法(排谬法)：逆选法是将错误答案排除的方法。对题肢中的4个选项，一看就知道其中1个(或2个、3个)是错误的，可以使用逆选法，即排除错误选项。

比较法(蒙猜法)：这种办法是没有办法的办法，在有一定知识基础上的蒙猜也是一种方法。

一般情况下在做选择题过程中是三种方法的综合使用。例如：通过逆选法，如果还剩下2个选项无法排除，那么在剩下的选项中随机选一个，因为错选了也不倒扣分，所以不应该漏选，每题都选一个答案。

填空题

填空填一般难度都比较大，一般需要考生准确地填入字符，往往需要非常精确，错一个字也不得分。在分值方面，每题也是2分。所以建议考生对填空题不要太过于看重，与其为个别题目耽误时间，不如回过头来检查一些自己还没有十足把握的选择题。在作答填空题时要注意以几点：

(1)答案要写得简洁明了，尽量使用专业术语。

(2)认真填写答案，字迹要工整、清楚，格式要正确，在把答案往答题卡上填写后尽量不要涂改。

(3)注意，在答题卡上填写答案时，一定要注意题目的序号，不要弄错位置。

(4)对于那些有两种答案的填空题，只需填一种答案就可以了，多填并不多给分。

计算机考试致命三大题

分别是程序修改，填空和编程，重点考察考生的基本操作能力和程序编写能力，要求考生具有综合运用基础知识进行实际操作的能力。上机试题综合性强、难度较大。上机考试的评分是以机评为主，人工复查为辅的。机评当然不存在公正性的问题，但却存在呆板的问题，有时还可能因为出题者考虑不周出现错评的情况。考生做题时不充分考虑到这些情况，就有可能吃亏。

(1)对于上机考试的复习，切不可“死记硬背”。根据以往考试经验，有部分考生能够通过笔试，而上机考试却不能通过，主要原因是这部分考生已经习惯于传统考试的“死记硬背”，而对于真正的知识应用，却显得束手无策。为了克服这个弊病，考生一定要在熟记基本知识点的基础上，加强编程训练，加强上机训练，从历年试题中寻找解题技巧，理清解题思路，将各种程序结构反复练习。

(2)在考前，一定要重视等级考试模拟软件的使用。在考试之前，应使用等级考试模拟软件进行实际的上机操作练习，尤其要做一些具有针对性的上机模拟题，以便熟悉考试题型，体验真实的上机环境，减轻考试时的紧张程度。

(3)学会并习惯使用帮助系统。每个编程软件都有较全面的帮助系统，熟练掌握帮助系统，可以使考生减少记忆量，解决解题中的疑难问题。

(4)熟悉考试场地及环境，尤其是要熟悉考场的硬件情况和所使用的相关软件的情况。考点在正式考试前，会给考生提供一次模拟上机的机会。模拟考试时，考生重点不应放在把题做出来，而是放在熟悉考试环境，相应软件的使用方法，考试系统的使用等方面。

(5)做上机题时要不急不燥，认真审题。

计算机考试综合方面的经验

(1)注意审题。命题人出题是有针对性的，考生在答题时也要有针对性。在解答之前，除了要弄清楚问题，还有必要弄清楚命题人的意图，从而能够针对问题从容做答。

(2)先分析，后下笔。明白了问题是什么以后，先把问题在脑海里过一遍，考虑好如何做答后，再依思路从容做答。而不要手忙脚乱、毛毛躁躁、急于下笔。

(3)对于十分了解或熟悉的问题，切忌粗心大意、得意忘形、而应认真分析，识破命题人设下的障眼法，针对问题，清清楚楚地写出答案。

(4)对于拿不准的题目，要静下心来，先弄清命题人的意图，再根据自己已掌握的知识的“蛛丝马迹”综合考虑，争取多拿一分是一分。

(5)对于偶尔碰到的、以前没有见到过的问题或是虽然在复习中见过但已完全记不清的问题，也不要惊慌，关键是要树立信心，将自己的判断同书本知识联系起来做答。对于完全陌生的问题，实在不知如何根据书本知识进行解答时，就可完全放弃书本知识，用自己的思考和逻辑推断作答。并且，由于这里面有不少猜测的成分，能得几分尚不可知，故不可占用太多的时间。

(6)理论考试时应遵循的大策略应该是：确保选择，力争填空。

1.计算机考试有哪些科目

2.下半年计算机考试复习技巧

3.20职称计算机考试技巧和注意

4.计算机考试的等级级别

5.2016计算机考试注意事项

6.计算机考试成绩查询相关问题

7.山西计算机考试试题及答案

8.计算机考试有哪几种？

9.2017计算机考试大纲

求数列极限的技巧与方法 第8篇

数列极限是数学这门学科的重要内容之一。对于一些复杂极限, 直接按照极限的定义来求就显得很困难, 不仅计算量大, 而且不一定就能求出结果。因此, 为了解决求极限的问题, 我们在研究比较复杂的数列极限问题时, 通常先考查该数列极限的存在性问题;如果有极限, 我们再考虑如何计算此极限 (也就是极限值的计算问题) 。这就是极限理论的两个基本问题。求数列极限的方法多种多样, 比如:化简通项求极限、单调有界原理求极限等。现在我通过一些具体的例子, 和大家一起探讨求数列极限的常用技巧与方法。

二、求数列极限的常用技巧与方法

1. 化简通项求极限

在求一些比较复杂的数列极限, 特别是处理通项为n项和式的一类很特殊的极限时, 经常先对通项进行化简, 化简时往往利用链锁消去法。其工作原理如下:

2. 利用级数求n项和式的极限

通项为和式的数列极限, 可以化为积分或级数求和问题, 当然也是计算这类数列极限的一个重要方法。

3. 利用单调有界原理求数列的极限

利用单调有界原理, 解决了一些特殊数列的极限问题, 在用单调有界原理证明数列极限的存在问题时, 首先根据给出数列的通项公式, 列举该数列的前几项, 然后根据观察, 初步判断已给数列的单调性和有界性。最后采用数学归纳法来验证观察所得出的结论, 看看是否可以采用单调有界原理来证明此数列的存在问题。

计算极限除了上面讲的方法还有很多, 比如讨论如何应用我们学过的幂级数、定积分、O-Stolz公式、泰勒展式、微分中值定理等方法计算数列极限。主要是我们如何通过实例来阐述求数列极限中体现出的数学逻辑思维方法, 如利用简单的初等函数 (特别是高中数学中的基本初等函数) 的麦克劳林展开式, 往往能求得一些特殊形式的数列极限。还比如我们可以利用级数收敛性判定极限存在性, 知道由于级数与数列可以有的时候相互转化, 因此使得级数与数列的性质有了必然的联系。这样, 数列极限的存在性及数列极限的求解, 就可以可转化为研究级数收敛性问题, 我们利用O-Stolz公式计算数列极限、应用泰勒公式求数列极限, 就可以减少做题的过程, 使这个问题更容易地解决。不过总的来说, 像有的方法仅限于求两个无穷小量的乘积或除的极限, 而对两个无穷小数列非乘且非除的极限, 以上方法不能直接去做, 因此用Taylor公式代换是解决这类数列极限问题的一种很好的方法。还有利用微分中值定理求极限, 利用数列函数的增减性求数列函数的最大值和最小值, 还有数列函数的图像等方面都被广泛应用。其实数列它是一种特殊的函数, 是一种定义域为正整数集的特殊的函数, 因此它也像一般函数一样具有单调性。

数列单调性也是它的重要性质, 数列的单调性应用非常广泛。求解数列极限的方法还有很多, 比如把通项an=f (n) 拓展为[1, ∞) 上的函数f (x) , 然后应用洛必达法则, 或利用结果 (其中an>0) 以及均值定理等都可以求出极限。还有在高中阶段求数列的极限的时候, 可以将比较复杂数列极限的问题, 通过变形或化简。比如用分组求和法、错位求和法求极限, 分母有理化、还有分母分子同时都除以n的最高次幂的方法将它化简。这样我们可以将它转化成为简单基本数列极限的问题, 就可以求出所要得到的极限。但是我们解决数列的极限问题时应该灵活运用我们所学的数列极限的有关方法与技巧, 注意要认真思考, 多联想所学的知识, 要学会学以致用。函数极限只是把数列极限进一步深度话。但是函数极限与数列极限有类似的四则运算的法则, 求函数极限的基本思想也是运用求数列的各种方法技巧的互相转化问题, 尤其在实施转化时, 可注意方法与技巧的转化, 就可以仿照求数列极限的一些方法与技能。

浅谈计算极限的方法与技巧 第9篇

关键词：中职 极限配合与技术测量基础 教学 激发兴趣

随着社会经济的不断发展，现在的企业越来越注重人才的实际操作能力。为了适应这一转变，我们中职职业教育的课程也都实行了教学改革，更加注重理论与实际的联系，从而培养适应时代进步发展需求的学生。极限配合与技术测量基础是中职机械类专业的一门专业基础课，该课程的目的是要培养学生能看懂完整的机械图样，并知道如何保证图样上的一些技术要求，为将来的实训打下坚实的基础。本课程是在机械制图课程的基础上，教学生理解图样上一些相关的技术要求的含义、标注以及如何检验。课程内容包含了技术测量的基本知识、常用计量器具、几何公差、表面结构要求、螺纹的公差与检测，其知识系统性强，概念抽象。因此对如何将这门课的知识更好地传授给学生，如何更好地调动学生学习的兴趣，笔者做以下几点分析。

一、教师要扩充知识

极限配合与技术测量基础课程涉及了机械制造、机械制图、机械加工工艺、热处理等多方面的知识，综合性、系统性很强，所以对任课教师有更高的要求。中职教师理论知识丰富，但是实践经验有限，因此对于所教的知识难免会脱离实际。这门课程综合性很强，如果不能全面了解相关知识，很难融会贯通。例如对某一个零件图样，尺寸公差和形位公差如何保证，用什么机床、什么刀具加工，零件如何装夹等等，这些都需要教师在课前做好充分准备。教师要不断完善自身的专业知识，关注本专业的发展动态，与时俱进，这样才能在实际教学中有的放矢，将知识系统全面地教授给学生。

二、激发学生兴趣

学生普遍基础差，学习积极性不高，而极限配合与技术测量基础课程概念枯燥、内容抽象，很多学生在上课之初很容易产生厌学情绪。因此，教师在课堂教学时一定要改变以往的方式，用简单易懂的语言代替专业术语，多引用一些日常生活中的例子来分析问题，激起学生的共鸣，引起学生的兴趣。比如在第一堂课讲互换性概念的时候，笔者就向学生提问一个更换汽车轮胎的问题。由于汽车是学生每天都能接触的，因此对此问题学生的参与度很高，大家都能积极参与讨论，讲述自己的看法。这样在讨论的过程中，学生不知不觉地理解了互换性的含义，而且整个课堂气氛活跃，参与度很高。

三、合理安排教学内容，充分发挥学生的主体作用

极限配合与技术测量基础课程内容较多，要在有限的课时内，使学生掌握基本知识，并能看懂图样，熟悉图样上的各种代号、符号、技术要求，还要掌握常规的测量技术，教师就必须以实用为原则，精选教学内容，合理安排教学课时。对一些文字叙述性的概念，教师可以提出一些启发性的问题，让学生自己归纳总结；对一般难度的知识，可以先通过实例讲述，然后提出问题，让学生自己解决。教师将学生分组安排，通过小组讨论、组员竞赛等方式，培养学生自我学习的能力。在学习中，学生要学会找重点、难点，学会主动学习。

四、理论与实践教学相结合

极限配合与技术测量基础课的传统教学方式是以理论为主，又由于这门课的知识涉及较广，因此课堂教学很容易陷入“教师教得累，学生不愿听”的尴尬处境。因此在课程设计时，教师要安排尽可能多的实践，让学生自己动手去测量、去体会，从而更好地掌握所学的理论知识，更好地将理论与实践相结合。比如，在常用计量器具教学时，教师分配每个学生一套工量具，让学生分组学习。教师先通过初步讲解，让学生每人都进行一次实际测量，然后分给每小组一个工件，通过竞赛的方式，让学生比一比哪组能更快更准地测量出工件的数据。这种理论与实践结合的方式，可以很好地提高学生学习兴趣，调动课堂气氛，使学生能主动愉快地学习。

总之，在中职极限配合与技术测量基础课程教学中，教师要不断提高自己，要激发学生的兴趣，善用通俗易懂的语言讲授专业知识，还要在教学过程中充分发挥学生的主观能动性，将理论与实践结合，不断摸索新的教学方法，使学生能够很好地掌握学习内容，为以后其他专业课的学习与实践打好基础。

参考文献：

[1]徐巧，张智明，梅顺齐.《互换性与测量技术基础》课程教学方法探讨[J].中国科教创新导刊，2008（25）.

[2]杨昌义.极限配合与技术测量基础[M].北京：中国劳动保障出版社，2007.

[3]王凤娟.“公差配合与技术测量”的教学探讨[J].石家庄职业技术学院学报，2004（3）.

浅谈作文教学的方法与技巧 第10篇

我谈小考前——

作文教学的方法与技巧

太来小学：颜泽

写作是对学生字、词、句、篇的综合考核，是学生语文素养的集中体现。因此，在100分试题中通常都占30分，甚至还多。所以作文教学是师生狠抓的重点，只有平时训练好了，技巧也有了，方能在考场中百战百胜，让语文成绩走向更好。那么怎样抓好作文教学呢？我认为必须做到以下几点：

1、留心观察周围的事物，并把观察到的写下来。

因为人类获得知识主要靠眼睛去捕捉，耳朵去聆听，只有看到了，听到了，才有所想，自己的思维才能整合，写出东西来。当我们把观察到的不断地写下来，也就不断地积累了写作素材。

2、平时多看课外书对写作也有很大的帮助。

主要是学生在课外阅读中能学到教材中欠缺的知识，对课堂教学是一个补充，这样，课内与课外结合起来，学生的写作材料，好词佳句就更丰富了。

3、教师的包办批改应该变一变，让学生“互评互改”，让他们处于主动地位，培养自己思维的独立性和创造性。他们作文写好后，组织在小组内讲评。先学习别人作文的优点，再用批评的眼光互相指出作文中的缺点，并指出改进意见。在此基础上重新再写，从而使学生每写

一篇都有收获。

4、掌握写作技巧，作文成绩事半功倍。

a、审题要细心

考试时时间紧张，部分同学往往一看题目就自以为是，觉得简单。这是考场作文的大忌。老师要告诉学生，毕业考试作文的命题都是由命题者反复推敲、字斟句酌才拟定的，每个字都有它的作用，切不可粗枝大叶，否则满盘皆输。如作文题目：《校园趣事》，重点应抓住“趣事”来写，但范围是校园，不小心的同学就会写成其他地方的趣事，造成了审题发生偏差。

b、开头要独具一格。

常言道：“好的开端就等于成功了一半”。考试作文的开头十分重要，它要求语句要优美亮丽、引人入胜，让评卷老师在时间紧张的情况下也被打动。从而对此文倍加好感。

c、结尾画龙点睛，总结全文。

作文的开头好，能引起读者的阅读兴趣，产生好感。结尾若能做到画龙点睛，便会使文章浑然一体，有了灵魂，有了力量，更能充分地表现主题，实现写作意图。

浅谈英语语法教学的技巧与方法 第11篇

语法教学的最终目的是培养学生准确运用英语的能力。教师在语法教学中应贯彻以学生能运用所学语法为主旨的教学目标,根据不同的教学对象和教学内容,把语法讲解和语法运用结合起来,以笔头、口头等多种形式将语法练习有机地融入课堂交际活动之中。具体来我想谈谈以下语法教学方法:

一、注意语法教学的趣味性

心理学家认为，学习兴趣是一个人力求认识世界，渴望获得文化知识和不断探求真理而带有情绪色彩的意向活动。很多学生不太重视语法学习，认为语法很难学，没意义。因此，老师在语法教学上应注意方法多样性，以激起学生的学习兴趣。语法教学不应该只是一味的讲授语法知识，而忽略听、说、读、写的技能。不重视学生的口头交际，老师讲的太多，课堂上只有一个人的表演，学生就会觉得特别枯燥无味。所以英语老师教语法应重视学生的参与，形式要不断变化，不时的改变教学活动，来激发学生的学习积极性。

二、在练中学语法

英语语法教学应该打破传统的满堂灌方式，以学生为中心。老师在教一个语法点时，应该多举一些现实生活的例子，身边的例子，让学生自己造句练习，这样印象会比较深刻。在教学中，老师可采用“语境教学法”，创设一些情境和提供大量语言实践的机会，使学生通过体验，感知，实践，参与和交流等方式学习语言，形成语感。另外，老师在讲解语法时应言简意赅，形象化，具体化。可以将一些复杂的语法规则以儿歌的形式让学生记住并灵活应用。再者，学生可以通过背诵课文掌握语法。“学生要想成为熟练的语言运用者，就必须能够熟练地使用语言单位，而语言单位并不是人们曾经普遍认为的单词，而是句子。”（Alexander, L.G., 何其辛合作编著，1997）。若能在好的文章中学句子、学语法，学生会较容易地记住该语法。最后老师还应重视总结和巩固的环节。

三、注意英语语法的变化

英语语法具有相对的稳定性，多数语法规则一般不发生变化。但是语言是活的，是不断发展变化的，随着语言变化，这些规则也在发生变化，所以老师也应该不断的学习了解和进步。其次，教师一定要把握好本课的重点和难点，以及语法教学的深度和广度，如不是本单元需要掌握的内容，不可延伸过多，讲解过深，点到为止。否则，学生会越听越糊涂，根本接受不了，而且浪费时间，老师该讲的没来得及讲，学生该掌握的没有掌握。教师可以通过集体备课，来讨论确定，统一语法教学的广度，深度和进度。

浅谈英语阅读理解的方法与技巧 第12篇

浅谈英语阅读理解的方法与技巧

近几年来,我国的英语考试越来越重视学生的阅读理解能力和对于语言的运用能力,尽可能提高学生的这些能力已被认为是教学任务的重点.一个人英语阅读能力的高低,往往决定了他吸收有用的信息的数量和质量.阅读的目的不仅要让学生学会语言知识,获取文章提供的.信息,文章的内涵,更重要的是要学生掌握阅读的方法和技能,成为有独立阅读能力的人.

作 者：谭雅里  作者单位：湖南长沙师范学校 刊 名：中国校外教育（理论） 英文刊名：CHINA AFTER SCHOOL EDUCATION 年，卷(期)： “”(10) 分类号：H3 关键词：阅读理解   阅读方法与技巧   阅读习惯  

高阶行列式的计算方法与技巧浅谈 第13篇

1 高阶行列式的种类

首先，行列式的计算本身就是高数中的重点和难点，特别是高阶行列式的计算，更是高数计算中最为让人头疼的一种计算方法。在这一知识点上，也是很多学生最为容易出错的地方。其实，高阶行列式的计算方法有很多种，比如同一道题，就可以用几种的方法进行计算。所以也可以说，高阶行列式计算方法是一种非常灵活的计算方法。只要掌握了其计算中的方式方法，就不难将它灵活运用了。

1.1 高阶行列计算方法的种类

在行列式计算中，有很多的展开方式计算法的种类:

其一，在高阶行列式中按行或按列展开的方式中就包括四种方式， (1) 子式，所谓的子式展开法就是在一个多阶的行列式中，任意的取值某行或某列，在公式中位于这一行和列交叉处的这些数的立方再按照原有数重新列成为某阶行列式，这种形式就被称为子式; (2) 所谓的余子式是在多阶子式重新组合的行列式中，去掉两相交点的在行列的数值后，所余下的行列式称为余子式; (3) 代数余子式，就是将数值代入余子式的计算方法; (4) 高阶行列计算中行列的展开形式，如下:

其二，在高阶行列式计算中，还有一种行列计算方法被称为拉普拉斯定理。在这个定理中，在N>1阶次的行列式中，当D等于某K (1KM) ，在此某行或某列中所有的K次的子式与它所代表的代数余子式的乘积的总和

为公式:D=ci=∑ik1DkiAki。

其三，在高阶行列式计算方法中还有一种计算公式，如下:

1.2 高阶行列计算方法

在计算过程中，高阶行列的计算方法是相对比较难的。但同时，高阶行列式的计算方法也是分为很多种的。针对于不同阶次数列的公式，也有着相应的简便的计算方法。我们先来看一下利用定义法来进行高阶行列式的计算方法，在公式中，对于二阶、三阶的行列式来说，都是可以利用定义法来进行高阶行列式计算，如:

在这个公式中，是要求Dn中大多数的项为零的。那么，在计算过程中只需要计算不为零的项就可以了，但是这种计算方法有一个最大的弊端，那就是当公式中的N较大时，这种计算方法是比较不适用的。例如当N=10时，这时计算就得先算出10!等于的N多项，然后再进行计算。因此，这个时候利用定义式对高阶行列式进行计算就是很麻烦的事情，并且还很容易出错。因此对于N的数值较大时，就要采取其它的计算方法了。

第二种高阶行列式的计算方法为三角法，所谓的三角法计算方式就是将以下列的数值全部加入到第一列当中去，然后求值。如公式:

这种方式比较适用于多行列式中，并且公式中非零元素较多的情况下。

第三种计算立法为降解法，顾名思义，就是将行列公式中的各数值先行展开，再利用拉普拉斯定理，将高阶行列式化解成为相对较为容易计算的低阶次的公式，再进行计算。

在这个行列公式中，可以先提取行列式中的共同值，如:

然后再将这一所得公式利用降解法将其化减为更便于计算的行列式，算出最后的结果。利用这种方法进行高阶行列式的计算不仅便于多阶次的行列式计算，而且在计算过程中出错率会明显地减少，是一种较为实用的高阶行列式计算方法。

第四种方法为高阶行列式计算中的加边法，也可以称为升降法。在行列式计算过程中，对于某些公式来说，行列数值是不相等的，因此是需要先将其公式中的阶次数增大的，以达成现有的行列数值与原有的行列数值相等，这样的话是比较容易计算的。如:

虽然这种方法比较方便，但是需要注意的是这种公式的计算方法仅适用于那些比较特殊的行列式中，对于一般的行列式来说，其行列数是相等的。因此，无需使用这种计算方法。

第五种高阶行列式的计算方法为递推法计算。这种计算方法其实就是利用Dn和Dn-1的递推形式先建立起两者之间的相对关系，然后再根据此公式代入计算出保项数值。如公式:

在这个公式中可以看出，行列式中的最后一列数全部为b，那么，这里要考虑的问题就有两个:一个是当a=b时，另一个是当a≠b时，于是，就出现了两个不同的公式和两种不同的计算方法。首先，我们来看一下当a≠b时，这时的计算中，我们可以先把一个公式利用拆分法将其拆分为两个对等的简便公式，再将拆分后的两个公式进行相加，得出了以下的行列式。该公式为:

然后再根据公式中的对称性原则进行计算，最后得出结果;另一种计算方式是当a=b时，这时的公式为把公式首行的数值乘以 (-1) ，再将得出的数值加到其余的下列各数值中去。如公式:

接下来，按照第一行的列数进行展开式计算方法，最后得出结果。

高阶行列式计算的第六种计算方法为数学归纳法计算。其主要是利用数学归纳法证明公式是否成立的一种最为直接的计算方法。比如:

当我们想要证明这个公式成立时，首先我们要进行假设，当N=K时，命题是否成立，那么我们就要先求证当N=K+1时，该命题是成立的。具体方法如下:

在这个行列式中，我们可以充分地利用前面所讲的各种拆分方式进行计算，得出最后的展开公式为:

因为n=k+1,

由此可证，该公式命题成立。这种计算方式虽然相对比较繁琐，但是正确率是很高的。而且利用这种方式进行命题的论证也是十分有说服力的。

第七种高阶行列式的计算方法为折项法，这种方法是根据公式中元素的性质，将其拆分为许多同等数值的元素再进行计算，如:

在这个行列式中，因为其中的行列数较多，不方便计算，需要利用拆项法将一个公式拆分为两个完全相等的行列式再进行计算。如:

将拆分成两个对等行列的公式再进行相加运算，最后得出相应的结果。

高阶行列式计算的第八种方法为拆因子法，所谓的拆因子法就是将行列式中的各数值根据计算的需求进行拆分或变换，使其成为更为方便运算的行列式。

最后一种高阶行列式的计算方法为范德蒙行列式计算，其主要形式也是先提取一个相同的数值，如在公式:

中，我们就要先找到行列式中共同的数值，并将其提取出来。使其变成以下的公式:

然后再将所得的这个行列式按照一定的计算方法逐步推理进行运算，最后得出相应的结论。

以上九种方式就是高阶行列式计算方法的全部计算形式，虽然方法多种多样，但是在许多计算中，还是经常会出现错误。其主要原因就是因为在学习当中学生们只会死记公式，而没有找到一种比较灵活的技巧将这些公式灵活地运用。下面，就来有针对性地讲一下高阶行列式计算中的各种技巧。

2 高阶行列式计算的技巧

高阶行列式计算之所以难以掌握，主要是因为没有一个很好的计算技巧，只要能掌握计算中的各种技巧，那么，高阶行列式的计算就会变得很容易，并且出错率也会大大地减少。在行列式的计算过程中，虽然一般情况下都是以行列式的性质来进行计算的，但是在遇到特殊形式的行列式中，就需要在计算过程中掌握一定的技巧。首先我们来看一下利用行列式方程的思想进行计算，在行列公式中，由于不同的公式性质可以得到不同的递推计算方法，在公式算计中，将每一个公式都看作为一个方程式，并且将其联立为方程组，之后可以通过解方程组的方式进行行列式的计算。这种方法相对于一般的解行列式的方法要简单得多，在这里，我们就针对一些例题进行逐步分析讲解:

在这道例题中，我们可以看出由于公式中带零的元素比较多，所以可以直接采用展开行列式的方法进行计算，而无需进行降解了。

如果是在行列式

中，如果这道题要求的是要将所有的行列数值相加并相等，其最简单的方法就是将所有的行列都加入到第一行列中去，然后再提取公式中的公共数值，然后再把每一行都减去第一行或列的数值，这样就可以使行列式中出现最大量的带零元素了，再将得到的新带零元素公式用定义法进行计算。很容易就会得出结果。

另外还有一种情况:

在这个公式里，如果当b≠0时，要想计算该行列式中大部分的行列相邻数值相差1或者是相等的时候，可以采用利用前一行或列的数值减去后一行或列的数值，或是后一行列的数值减去前一行列的数值的计算方法，这样计算出的公式中就会出现很多带零的元素，再用前面的方法进行计算，这种方法也是相对比较简单的一种高阶行列式中的计算技巧。

高阶行列式计算中的另外一种比较特殊的方法是:如果想要求得的公式是三线型的话，那么首先要求在公式中除了某一行或某一列，或者是某个行列对角线的行或列不为零外，其余的元素均要为零。这样的话，那么就要首先利用前面的方法将行列式中的元素数值通过一般计算变为带零元素较多的新公式后，再进行计算。

相对于上述的这种情况，还有一种特殊的情况:

分析:当α=β时，用类似的方法即可求出Dn。

当α≠β将最后一列拆成两项之和，则有

在这个行列式中，如果想要求得的行列公式为两三角形式的行列式时，当对角线的上方数值和对角线地下方数值都相同时，可以把某一个行或某一列的数值进行拆分，通过求和的形式进行计算，然后再将两个新的行列式利用其公式的性质进行相加求和，从中找出该公式的递推关系，再通过这种关系进行计算。这种方法是将复杂的公式先简单化，再利用行列式中的各种性质关系进行分步计算，以求得最为准确的结果。

由上述这些例子我们不难看出，高阶行列式计算虽然复杂。但是也是十分的灵活多变的，并且有很多的技巧可以帮助我们进行计算。

结语:在高阶行列式计算过程中，虽然它是高数学习中最难掌握的一个知识点，但是其也是有很多计算技巧的。这些技巧可以帮助我们将复杂的公式化简，只要在高阶行列式计算过程中，按照行列式的一定的计算顺序和步骤进行计算，并且灵活地运用这些解题的技巧。那么，就可以在保证快速解题的同时保证计算的正确率。同时也可以将高阶行列式计算变得简单易学。

摘要：为了追随时代的发展, 为了与世界尽快接轨, 在我国国内不仅英语学科发生着不断的演变, 数学这一重要的科目也随之演变着, 尤其是在数学科目当中的各种计算方法及技巧等方面的运用, 更是越来越趋于完善。主要来论述在数学科目当中高阶行列式的计算方法与技巧。

关键词：计算,拉普拉定理,行列式,范德蒙定理

参考文献

[1]王彦.N阶行列式几种常见的计算方法[J].现代企业教育, 2011, (9) .

[2]高丽, 郭海清.两类特殊行列式的计算[J].西南民族大学学报:自然科学版, 2007, 33 (6) .

分部积分的计算方法与技巧 第14篇

关键词： 不定积分    计算方法    被积函数

1.引言

当今高科技领域越来越离不开不定积分的计算，比如在航空、航天、船舶等高科技计算过程中，并且有的要应用到相当复杂的不定积分计算.除了在高科技领域应用广泛外，在其他领域的应用也相当广泛，如：在金融股市上、在防治生态环境上、在国防上等，已经和各行各业息息相关.既然不定积分的计算方法技巧如此的重要，那么，它的方法和技巧又是怎样的呢？文中主要通过实例逐一展示以上的计算方法与技巧，并在题后对所用的方法与技巧进行相关评析.

2.分部积分法

2.1分部积分法的常见类型

① x e dx， x sinbxdx， x cosbxdx，其中n是正整数，x 也可是n次多项式p （x）.选取u=x ，v′=e ，sinbx，cosbx.此类型的被积函数，可以见例10的解法.

② x lnxdx， x arcsinxdx， x arctanxdx，其中n是正整数或零，x 是n次多项式p （x）选取u=lnx，arcsinx，arctanx，v′=x .当n=0时，被积函数只是一个因子，如 arcsinxdx.此类型的被积函数，可以见例11的解法.

③ e sin（ax+b）dx， e cos（ax+b）dx，可设u=e 或设u=sin（ax+b），cos（ax+b）.此类型的被积函数，可以见例12的解法.

④如果被积函数含有lnf（x），arcsinf（x），arccosf（x），arctanf（x）等函数的积分，那么一般选取u=lnf（x），arcsinf（x）等.此类型的被积函数，可以见例13的解法.

一般情况下，当被积函数只有一个因子，但不适于用换元积分法时，可以从分部积分法入手.

如：① lnxdx=xlnx- ldx=xlnx-x+C

② arcsinxdx=xarcsinx- xdarcsinx=xarcsinx-  dx

=xarcsinx-   dx =xarcsinx+  （1-x ） d（1-x ）

=xarcsinx- （1-x ） +C

例1：求不定积分： x e dx

解： x e dx=  x de

= （x e - e dx）= （x e - xe ）

= （x e -xe + e dx）= x e - xe + e +C

在例1中，3次重复使用了分部积分法常见类型①，这样的方法对于多项式p （x）的低次幂容易求得结果，但对于高次幂会非常繁琐.

例2：求不定积分 e cos xdx

解：I=  e （1+cos2x）dx= e +  e cos2xdx，而

e cos2xdx=  cos2xde

= （e cos2x+2 e sin2xdx）

= e cos2x+  sin2xde

= e cos2x+ （e sin2x-2 e cos2xdx）

移项得， e cos2xdx= e （cos2x+sin2x）+C

从而I= e （2+cos2x+sin2x）+F

在例2中，计算 e cos2xdx时，2次重复使用分部积分法，直到等式的右边也出现 e cos2xdx时就停止使用.目的在于移项求出 e cos2xdx的值.本题的计算并不困难，但技巧性很强，在做这类型的题目时要注意观察.

例3：求不定积分  dx

解：令u=arctan ，且 dx=d ，

则I= arctan -  dx= arctan + +C.

在例3中，u的选取很重要，如果选取u=x  ，那么这道题目就很难算出来，而要想选出适当的u则必须注意观察被积函数的表达式.通过对这道例题的观察发现是可以用利用分部积分法的常见类型④的技巧来令u的.因为积分   dx的被积函数中的分子是含arctanf（x）的形式.

2.2重复实施分部积分法时的“表格运算法”

假设p（x）是一个多项式，那么在利用分部积分法 udv=uv- vdu，计算形如 p （x）e dx， p （x）sinmxdx，p （x）cosmxdx的不定积分时，选定p （x）为u，则需要多次施行分部积分，这个过程很容易发生计算错误.为了能避免错误，并提高运算效率，可以采用如下的表格计算格式.

例4：（x -1）e dx

解：列表

（斜线箭头两端的两项相乘，前面加上所示符号，符号是正负相间出现的，然后再加即得结果.）

在上面的列表中，把x -1放在第一行的最左端，然后从左到右，依次写出逐次求导的结果，直到導数等于零为止.再将e 放在第二行的左端，然后从左到右，依次写出逐次求原函数的结果，直到导数为零的下方位置为止，最后按照表中所示的符号规则写出最终答案.

∴ （x -1）e dx

=（x -1）（ e ）- e + e +C

=e （ x - x- ）+C

例5： x  dx

解：列表

原式

分部积分法的运用范围比较有限，主要用于解决被积函数是两类不同类型函数乘积形式的积分，u和v的选择一般的可总结为“指三幂对反，谁在后面谁为u”，即被积函数是指数函数、三角函数、幂函数、对数函数、反三角函数中的两类函数乘积形式，谁在后面谁为u，按这种方法选择u和v是十分有效的.“表格运算法”特别适合用于计算   （x）edx，p（x）sinmxdx，p（x）cosmmxdx这类型的不定积分.

利用重复实施分部积分时的“表格运算法”是求导与求原函数同时运用的，这样不仅使得问题变得简单有规律可循，而且锻炼了我们的正逆向思维.在求不定积分的最后结果时，不要忘了加上常数，表明被积函数的原函数有无穷多个.

重复实施分部积分法时的“表格运算法”与常见的类型（1）中的被积函数是相同的.这两种方法各有优点和缺点.选取“表格运算法”的优点是由于我们对求导的运算有规律可循，但是求原函数是有一定的困难的.求原函数要逆向过程，为了使求出的原函数是正确的，我们可以对原函数进行求导，看是不是等于被积函数.这就使计算量增大，粗心的人很容易算错，比如例3中的第二行求原函数时，计算就比较繁杂了，因此要应用“表格运算法”时必须细心还要有逆向过程的想法.

选用常见类型（1）的方法有点对于被积函数是多项式p（x）的低次幂与指数函数的乘积容易求得结果，但是对于被积函数是多项式p（x）的高次幂与指数函数的乘积利用这种方法是极为困难的，计算过程也十分繁琐.因此，不定积分的计算方法比较灵活，技巧很多，在做题中应抓住被积函数的特点，以便选取恰当的计算方法.

3.结语

本文归纳了以分部积分法的常见类型及重复实施分部积分法时的“表格运算法”，用解方程组求不定积分.解决了一些仅仅用教材中的方法不能解决或难于解决的不定积分的计算问题.每一种方法都配有相关的例题进行说明和评点每种方法的不同点.

参考文献：

[1]刘艳梅.不定积分的方法与技巧探讨[J].吕梁高等专科学校学报，2008（2）.

[2]陈茜.分部积分法的特例分析[J].韶关学院学报，2008（3）.

[3]王晗宁.浅谈不定积分的解法[J].南京晓庄学院数学与信息技术学院，2010（2）.

[4]邓小宇.浅谈一元函数不定积分的计算方法与技巧[J].贵州财经学院，2011.

[5]伍丽嫦.不定积分方法归类[J].广东清远职业技术学院，2007.