多元函数最值问题

2024-07-09

多元函数最值问题(精选12篇)

多元函数最值问题 第1篇

由向量的数量积公式:a·b=|a|·|b|·cosθ (其中θ为非零向量a与b的夹角) , 我们容易得到结论:-|a·||b|≤a·b≤|a||b|

当a与b共线且方向相同时, a·b取得最大值|a·||b|;当a与b共线且方向相反时, a·b取得最小值 -|a·||b|

应用它求多元函数的最值, 解题过程简捷, 解题方法新颖.

二、多元函数的条件极值为一元函数 的极值

解决这一问题的思路是利用一元函数 (fx) 极值存在的必要条件:令f ('x) =0, 解这个方程求出全部驻点x=x0 , 然后利用充分条件判断驻点是否为极值点:如果f'' (x0 ) <0, 则x=x0 是函数 (fx) 的极大值点.如果f' (x0 ) >0, 则x=x0 是函数 (fx) 的极小值点.

三、利用极值存在的充分条件, 求多 元函数的最值

解决这一问题的方法是利用二元函数极值存在的充分条件.设M (x0, y0) 是函数z=f (x, y) 的驻点, 记

则 (1) 若Δ<0, A>0则M (x0 , y0 ) 是z= (fx, y) 的极小值点.

(2) 若Δ<0, A<0, 则M (x0 , y0 ) 是z= (fx, y) 的极大值点.

例2在xOy平面求一点, 使它到三条直线x=0, y=0及x+2y-16=0的距离平方和最小.

解设所求点为M (x, y) , 则到直线x=0的距离为|x|到直线y=0的距离为|y|, 到直线x+2y-16=0的距离为|x+2y-16|/51/2 .

依题意M点到三条直线的距离平方和为

故是唯一的极小值点, 这极小值点就是最小值点, 故所求点为M (8/5, 16/5) .

四、用初等数学的方法求多元函数最 值问题

1.减元法.

根据化归思想的理论可尝试将多元函数问题转化为我们熟悉的一元函数来处理, 可通过换元, 不等式放缩技巧, 题中条件等式等途径实现.

2.配方法.

当所给出的多元函数表达式的结构具有二次关系时可考虑配方法来解决.

3.数形结合法.

当我们所要求的多元函数的结构式与我们学过的一些公式 (如两点间距离公式、斜率公式、点到直线的距离公式、定比分点坐标公式等) 结构类似时可考虑用数形结合的思想方法.

4.判别式法.

如果通过代换及题中关系式可得到一个关于某个变量的一元二次方程, 则利用二次方程有解判别式非负可以将问题解决.

二次函数的最值问题 第2篇

初三:年级 数学:学科 出核人:杨守德 审核人:高阳 时间:12月26日 1.若二次函数y=x-3x+c图象的顶点在x轴上,则c=()24411A. B.- C. D.-

9999222.抛物线y=ax+bx+c的对称轴的位置()

A.与a、b、c有关 B.只与a、b有关 C.只与a有关 D.只与b有关 3.关于二次函数y=x+4x-7的最大(小)值,下列叙述正确的是()A.当x=2时,函数有最大值 B.当x=2时,函数有最小值 C.当x=-2时,函数有最大值 D.当x=-2时,函数有最小值 4.二次函数的图象如图所示,则下列判断错误的是()

A.a>0 B.c<0 C.函数有最小值 D.y随x的增大而减小

5.若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x-4x-1有相同的顶点,并且在对称左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,则所求二次函数的关系式为()A.y=-x+2x-4 B.y=ax-ax+a-3 C.y=-2x-4x-5 D.y=ax-2ax+a-3(a<0)6.抛物线y=-222222125x+3x-的顶点坐标是()22A.(2,3)B.(3,2)C.(-2,3)D.(-3,2)

7.某商品进货单价为90元,按100元一个出售,能售出500个,如果这种商品涨价1元,其销售额就减少10个,为了获得最大利润,其单价应定为()A.130元 B.120元 C.110元 D.100元 8.将抛物线y=x+2x+1向左平移2个单位,再向上平移2个单位得到的抛物线的最小值是()A.-3 B.1 C.2 D.3 9.根据二次函数y=(x-1)(x+2)的图象可知,当x的取值范围是 时,y≤0 10.二次函数y=2x+x-n的最小值是2,那么n=

11.抛物线y=2x-4x+1的开口向,最低点的坐标为

12.抛物线y=ax+bx+c在点(3,1)处达到最高点,抛物线与y轴交点的纵坐标为-8,则它的解析式为

13.把二次函数y=2x-4x+5化成y=a(x-h)+k的形式是,其图象开口方向,顶点坐标是,当x= 时,函数y有最 值,当x 时,y随x的增大而减小。22222214.已知二次函数y=x-6x+m的最小值为1,那么m的值是

15.已知一个二次函数的顶点为(1,2),且有最大值,请写出满足条件的一个二次函数的关系式

16.心理学家发现学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x(单位:分)之间满足函数关系:y=-0.1x+2.6x+43(0≤x≤30),y值越大,表示接受能力越强,当x= 时,y有最大值是

17.已知二次函数y有最大值4,且图象与x轴两交点间的距离是8,对称轴为x=3,求此二次函数的表达式。

18.某产品每件的成本是120元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系式y=-x+200,为获得最大利润,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日的销售利润是多少?

19.在一场足球比赛中,一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门,当球飞行的水平距离是6米时,球到达最高点,此时球高3米,已知球门高2.44米,问能否射中球门?

20.如图,在体育测试时,一位初三同学掷铅球,已知铅球所经过的路线是二次函数的一部分,如果这个同学出手点A的坐标为(0,2),铅球路线最高处B的坐标为(6,5)(1)求这条二次函数的解析式;

(2)该生能把铅球掷多远?(精确到0.01米,15≈3.873)

21.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场判定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件

多元函数的极值与最值 第3篇

关键词: 驻点    极值    最值

我们在学习多元函数的微积分学时知道,讨论多元函数的微分及其应用时以二元函数为主,因二元以上的函数的微分理论可以由二元函数的微分理论直接类推.一元函数到二元函数则不同,有些知识可以由一元函数的理论直接类推得到,但有些知识从一元函数类推到多元函数会产生新的问题.因而如果用一元函数的一些结论解决多元函数的问题,就会出现错误认识.本文就关于求多元函数的极值与最值问题容易出现的错误认识做了探讨.

判断一元函数极值点的一般方法是:首先找出函数的驻点和一阶导数不存在的点.其次由极值存在的第一充分条件来判断,若某点左右两侧的导数符号相反,该点一定是极值点.最后再具体判断出是极小值点还是极大值点,从而求出函数的极值.

求可导的一元函数在闭区间[a,b]上的最值的一般方法是:首先找出函数在区间内的一切驻点(即导数为零的点),然后求出这些驻点和區间端点处的函数值,再进行比较,最大者即为函数的最大值,最小者即为函数的最小值.

关于一元函数的极大值与极小值和最大值与最小值,我们有这样的命题.

命题一:若函数y=f(x)在区间I(有限或无穷,开或闭)上连续,若y=f(x)在I内两点x,x(x

命题二:若函数y=f(x)在区间I(有限或无穷,开或闭)上可微,又在I内有唯一驻点x且为极值点,则x就是y=f(x)在区间I上的最值点.

这两个命题的几何意义非常明显,且很容易证明.因此,在学习多元函数的极值和最值的过程中,如果也按一元函数的理论理解上述两个命题,就很容易产生以下错误认识.

(1)若函数z=f(x,y)在闭区域D内可微且有多于两个极大值(或极小值)点,那么在D内,函数在闭区域D内至少存在一个极小值(极大值)点.

(2)若函数z=f(x,y)在有界闭区域D内可微且有唯一的驻点(x,y)(f(x,y)=f(x,y)=0)且是函数的极大值点(或极小值点),则该点必是函数的最大值点(或最小值点).

以上结论对多元函数都不成立.

对于错误认识(1),我们有这样的例子.

例1:讨论函数z=f(x,y)=(1+e)cosx-ye的极值.

解:函数的定义区域是整个平面.

求驻点,解方程组

f(x,y)=-(1+e)sinx=0f(x,y)=e(cosx-1-y)=0

得无数个驻点(kπ,(-1)-1)    k∈Z,

由f(x,y)=-(1+e)cosx,f(x,y)=-esinx,f(x,y)=e(cosx-2-y)

可知在点(2kπ,0)处:

在点((2k-1)π,-2)处:

f((2k-1)π,-2)-f((2k-1)π,-2)·f((2k-1)π,-2)=e(1+e)>0,函数无极值.

故可知此函数在全平面上有无穷多个极大值,但没有极小值.考察此函数的曲面形态,我们会发现,函数在全平面上的无数个极大点对应曲面上无数个小“山包”,任意两“山包”之间有沟,这些沟都有“斜坡”向下,不能形成“盆地”,故函数没有极小值.

对于错误认识(2),我们讨论下例.

例2:设z=f(x,y)=8x+y-xy-8x,D:|x|≤,|y|≤.

解:求驻点,解方程组

f(x,y)=16x-y-24x=0f(x,y)=y-x=0

得两个驻点(0,0)和,2.但,2不在D内,故在D内仅有唯一驻点(0,0).

f(x,y)=16-48x    f(x,y)=-1     f(x,y)=

在(0,0)点处,由f(0,0)-f(0,0)·f(0,0)=-3<0,f(0,0)=16>0,可以判定(0,0)为f(x,y)在D内的唯一极小值点.但可以求出f(x,y)在边界点,处取得最小值,f,=π-π<0,因此f(0,0)=0并非最小值.

由例2可知z=g(u,v)在全平面上仅有一个驻点(0,0)且在该点处由

g(0,0)=16,g(0,0)=-1,g(0,0)=,

g(0,0)-g(0,0)·g(0,0)<0,g(0,0)=16>0,

可以判定(0,0)为z=g(u,v)在全平面内的唯一极小值点,g(0,0)=0是极小值.但它并不是最小值,如z=g(tan1,tan1)=8-1-8=-<0.显然函数的最小值不存在,因为全平面是开区域,若有最小值,则一定是内点,是域内的极值点,但前面已证明域内极小值点不是最小值点.观察这样函数的曲面模型,我们可以看到显然在极小值点处可以形成“盆地”,但在它周围的高地以外有“斜坡”伸延到更低的地方,若区域有界,则最低点就在边界上.

由以上讨论可以看出,多元函数的极值和最值问题要比一元函数的情况复杂得多.即便在有界闭区域的边界上有限个点的函数值都大于区域内点的函数值,也不能做出区域内必有极小值点的判断,更不能得出最小值一定在区域内的结论.对极大值也是如此.所以对一般多元函数求最值的方法是首先找出函数在区域内的驻点和边界上的最值点,然后比较它们的函数值确定函数的最值点.在解决具体的实际问题中,如果根据问题的性质,我们确实可以肯定函数是在区域内部取得最值时,才能利用域内有唯一驻点且是极值点而得出此点即为最值点的结论.

参考文献:

[1]高等数学.同济大学数学教研室.高等教研出版社,1982.

多元函数的最值 第4篇

一.等量代换后, 使用重要不等式法:

注:一般对于分母较复杂的, 无约束条件的多元函数求最值, 常常对分母进行等量代换, 即简化分母, 然后用重要不等式。

二、降元方法:

多元函数求最值最常见方法是利用降元思想, 将n元降为n-1元, 以此类推, 最终降为一元问题, 而降维的手段常有消元减元, 捆绑减元和利用不等式减元等。

本题利用配方三元降为二元, 利用不等式将二元降为一元, 再用重要不等式顺利求解

三、换元法

对含等量关系的一些特殊状况, 代入消去往往较难实施时, 常发掘等量关系的参数形式, 进行三角换元, 以达到降元的目的。我们常遇到的是圆和椭圆的参数方程, 有些换元与三角公式的特质相关。

本题换元因素比较隐含, 这需要扎实的数学功底和洞察能力, 过程中又用到sin (2a+g) £1, 从而化为一元问题。

四、局部调整, 再用重要不等式求解

五、构造不等式求解

六、引进参数, 利用不等式求最值

求S的最小值 (2011年常州四市模拟题)

分析:此类问题是近年高考模拟题的常见题型, 学生很害怕, 常束手无策, 此类问题最常见办法是利用max³任何一个函数, min£任何一个函数, 构成不等式求解。

多元函数最值解题需要知识面较宽, 解题方法灵活多变, 解题时要从实际出发, 作出探索, 只有综合掌握以上方法并灵活运用重要不等式, 我们就能化难为易, 顺利找到解题途径。

参考文献

[1]《中国女子数学奥林匹克集锦》

二次函数最值问题的研究 第5篇

(内江师范学院 内江 641100)

摘要:最值问题是中学数学的重要内容之一,中学数学最值问题遍及代数、三角函数、立体几何及解析几何各部分之一,最值问题为载体,利用数形结合的思想,考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想考查二次函数的最值问题,利用二次函数的图像和性质进行研究最值问题,遍及初高中数学代数和几何部分的几乎所有,利用数与形进行分类和分轴以及参数问题讨论出最值问题的变化,同时利用数学等优秀的数学思想,将观察、类比、实验、归纳、一般化、抽象化等方法解决生活中遇到的最值问题。

关键字:数学 最值 数形结合 图像

1、前言

数学是一种古老而又年轻得文化,人类从蛮荒时代的结绳计数,到如今用电子计算机指挥宇宙航行,无时无刻不在受到数形结合和空中二次函数的思想的恩惠和影响,进入21世纪,我国数学课程中有关数学学习的理念时刻在发生变化,数学教学的主要目的和任务早已经不是简单的知识和方法的传授,而是通过数学学习在传授知识分方法的同时培养学生的数学能力,咋促进学生数学学习的过程中,加强数与行的结合,能化简为繁,对于帮助学生开阔思路,突破思维定势有积极地作用,能加深学生对知识的理解和掌握,学习二次函数的知识不仅是高中教材的内容,而且更是解决生活的实际问题有很大的帮助,但是二次函数包括的知识点不仅多,难度比较大之外,更重要的是具有可行性的量化和质变的本质区别,二次函数的最值问题作为研究二次函数的图像和性质,以及二次函数的区间最值问题都是需要学生去总结和探讨的。

作为初中和高中教材中的主要函数知识点的部分,学习二次函数起到一个承上启下的作用,同时二次函数也是中考和高考命题的重点,如何让初高中学生对二次函数了解的更加深刻和透彻,本文利用和数形结合的思想对初高中二次函数做了更深入的研究和讨论,主要运用数形结合的思想和分类讨论的思想以及根据二次函数的性质,从不同的角度进行分析二次函数的最值问题,利用二次函数的图像解决:定轴动区间、动轴动区间、动轴定区间的最值问题,以及根据开口方向、对称轴、所给区间确定;所给区间确定、对称轴位置变化;所给区间变化、对称轴位置确定;区间、对称轴位置都不确定,巧用二次函数的图像来进行讨论二次函数所遇到的最值问题,利用图像讨论含参数的问题,以及巧用二次函数图像讨论二次函数与一次函数交汇问题和运用数形结合求解问题误区的探讨这几个方面论述.2、国内外研究现状:

查阅相关文献,众多数学教育者和数学专家从不同角度和侧面探讨了二次函数的最值问题,同时结合教学、解题、以及函数的应用,王丰霞在文献[1]中浅谈了构造数形结合在二次函数中的培养创新思维,张冰、杨光在文献[2-3]中浅析二次函数最值问题的研究的概念以及培养学生数形结合的兴趣,孙雪梅、王雨来、朴林玉等文献[4-6]分析了二次函数的最值问题,周建涛、姚爱梅在文献[7]中二次函数在闭区间的最值问题的研究,陈晨在文献[8]闭区间上的二次函数的最值,张连友在文献[8]二次函数在最值求法例谈,陈林文在文献[9]巧解最值问题,黄小琴在文献[10]二次函数最值求法探索,张武在文献[11]中“数形结合”解题误区的认识与思考给出了自己独特的见解和分析,通过观看以上等教育工作者的研究和对二次函数最值问题的研究,让我受益匪浅,从他们的研究中看到了对二次函数最值问题的深入剖析。

2、国内外研究现状评价

在所查阅到的国内外参考文献中,教育者们对在二次函数中最值问题的研究,只是针对了二次函数的某一些问题或是某一些最值问题探究的比较清楚,其中关于二次函数的深层次或是大学知识的解决办法未能够涉及到里面去,相对高思想高研究高知识层面的探讨问题研究的不是很充分,其次对于二次函数利用思想方法和数形结合的思想方法的分析缺乏深入的研究和探讨,数形结合的思想在初高中二次函数中是比较重要的一个内容,对数形结合的思想在高中二次函数中的综合运用进行深入研究,使之形成完整的体系,对今后利用二次函数的图像和数形结合的思想去进行二次函数的教学、解题、以及二次函数最值问题的分析在初高考的应用具有重要的意义。

3、提出问题:

二次函数最值问题是结合初高考的代数和几何进行考试的内容,同时也是大部分学生遇到的问题最多的地方,所以探讨二次函数的最值问题的具有可行性的,同时也是对函数部分的知识进行深入的剖析,在具体探讨二次函数的最值问题的时候加入一些数学思想和数学方法以及高等数学的解题方法,根据定义域的问题和对称轴的问题进行深入分析和探讨是有必要的数学研究,4、结束语:

通过对国内外数学中二次函数的了解和研究以及专家和教育学者的文献的分析,二次函数是初高中数学的重点和难点,贯穿高中知识的始终,同时二次函数与其他知识的综合也是高考的重点和难点,是解决很多复杂的数学问题的一把利刃,利用二次函数的图像和性质进行研究最值问题,求解函数的最值是高考的重点以及难点,必须从根本上解决高中生面对最值问题所遇到的困难,很多文献都是有解法的缺乏思想,有教学的缺乏实践支撑,本文就是让学生将解题的技巧与求解函数的最值结合起来,让学生不再害怕最值问题,不再高考的大部分涉及函数最值的题目中失分。凡题有法而可解,高中生在做题的时候往往照抄书本模式,禁锢于思维定势,用解法解题便成了盲区,对于解法,教材中只提到了二次函数配方法求最值,利用函数的单调性、奇偶性求最值,这些方法可以应对一些简单的题目,如果题目加大难度,学生就束手无策,文章对函数最值问题的解法进行研究,目的就是为了扩大学生之视野,扩张学生之思维,以解学生学习最值问题的重点和难点。参考文献:

【1】 王丰霞,构造数形结合思想在二次函数中培养创新思维[J],胜利油田专科学校学报,2001,(04)

【2】 张冰、杨光,浅析二次函数最值问题的研究的概念以及培养学生数形结合的兴趣,山西财经职业技术学院,2011,(7)

【3】 孙雪梅、王雨来、朴林玉,二次函数的最值问题[J],2010,(11):45-46 【4】 周建涛、姚爱梅,二次函数在闭区间的最值问题的研究[J],数学教学学报,2005,(12):24-25 【5】 陈晨,闭区间上的二次函数的最值[J],中学数学杂志,2004(12)【6】 张连友,二次函数在最值求法例谈[J],黑河教育,2008(4)【7】 陈林文,巧解最值问题[J],时代教育,2007(7)

浅谈三角函数最值问题 第6篇

一、利用 化为只含有一

个角的三角函数式

1.利用辅助角公式

例1,求函数f(x)=sinx+ cosx的最值。

解:f(x)=2( sinx+ cosx)=2sin(x+ )

∴ f(x)max=2,f(x)min=-2。

2.对高次的先“降幂”再化简,如“齐二次”。

降幂公式:

例2,求函数f(x)= sin2x+ sinxcosx+1的最值。

解:f(x)= · + sin2x+1=

当sin(2x- )=1时,f(x)max= 。

当sin(2x- )=-1时,f(x)min= 。

二、利用给定区间二次函数的性质——形如y=at2+bt+c二次函数的最值

关键:换元、配方,注意新变量的取值范围。

例3,求函数y=cos2x+cosx-2的最值。

解:y=(cosx+ )- 。

令t=cosx,t∈[-1,1],则:y=(t+ )2- 。

当t=- 即cosx=- 时,ymin=- 。

当t=1即cosx=1时,ymax=0。

三、求由sinx cosx,sinxcosx组成的三角函数的最值

关系:(sinx cosx)2=1 2sinxcosx ——换元。

例4,求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

解:令t=sinx+cosx= sin(x+ ),t∈[ , ],

则sinxcosx= ,y= +t= (t+1)2-1。

∴当t= 时,ymax= 。

四、利用三角函数的有界性

1.利用|sinx|≤1或|cosx|≤1——形如y= (y=

函数最值

关键:用y表示cosx或sinx(反解法)。

例5,求y= 的最值。

解:ycosx+2y=3cosx+1,(y-3)cosx=1-2y。

∵y≠3(提问:为什么?)

∴cosx= 。

∵|cosx|≤1,则 ≤1。

∴-2≤y≤ ,即ymin=-2,ymax= 。

2.利用

例6,求函数 的最值。

解:原函数可变形为 ,即:

(其中 )

∵|sin(x- )|≤1,即 ≤1。平方整理得: ≤y≤0,故 , 。五、利用数形结合: 在单位圆上;斜率 。

例7,求函数 的最值。

解:原函数可变形为 。

二元函数最值问题解法探讨 第7篇

一、转化为一元函数求解

点评:对于求二元函数的最值的问 题,可以先将 二元函数转化为一元函数,如果是基本初等函数,可直接利用函数的图像和性质解决;如果不是基本初等函数,而是一个比较复杂的函数,可以根据函数的性质,借助导数研究函数的单调性,从而确定函数的最值.

二、利用三角换元求解

【例2】若x2+y2=1,求3x+2y的最值.

点评:三角换元实际上是消元的过 程,是二元函 数转化为一元函数的另一种手段,它是利用x2+y2=1和cos2θ+sin2θ=1在结构上的相似,从而联想起换元的,换元后,再利用正、余弦函数的有界性求最值.

三、利用向量不等式求解

【例3】若x2+y2=1,求3x+2y的最大值.

点评:向量法的难点是在向量的构 造上,解题时要仔细审题,结合向量的内积和不等式构造出向量,答案即可求出.

四、利用基本不等式求解

【例4】若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则求x+y,xy的最大值.

五、利用线性规划求解

【例5】已知x,y满足条件,求4x-3y的最大值和最小值.

解:不等式组表示的区域如图1所示.可观察出4x-3y在A点取到最 大值,在B点取到最小值.

因此,4x-3y的最大值和最小值分别为14,-18.

点评:线性规划问题的特征是比较 明显的,比如约束条件(不等式组)和目标函数(线性函数、比值型函数和距离型函数)等都是此类题目的特征.所以,学生在解题中,遇到约束条件、目标函数这些特征信息时,可以直入正题,使用线性规划的方法求解.当然,线性规划也有几种不同的类型,解题时一定要分清类型、对号入座.

六、利用数形结合求解

令x-y=0平移可知,x-y在A点处取得最小值,在B点处取得最大值.

设b=x-y,因为点A的坐标为(0,3),∴bmin=-3.

点评:在二元函数问题中,求解f(x,y)=x-y的最值很像线性规划最值问题的类型,由此可能想到令函数x-y=0平移找最值,但与线性规划不同的是,它没有不等式组,没有可行域.实际并非如此,此题是用曲线代替了可行域,对曲线方程化简可知,其函数图像是半圆,半圆上的点即为可行域,按照线性规划的方法便可求出最值.此题是线性规划的延伸,也是线性规划题型的能力提升,由于需要识别函数和画出函数图像,并利用函数图像解题,笔者把该方法归纳为数形结合.

二元函数涉及的内容多,运用的解 题方法多,既是高中数学重要数学思想的体现,又是高考重点考查的内容之一.上述六种方法已基本概括了二元函数的最值问题的解法,请学生务必掌握.遇到此类题型时,只要认真审题、分清类型、对题入座,解题时便可游刃有 余、胸有成竹.

摘要:二元函数的最值问题历来是高考的热点和难点.以例解的形式研究一类二元函数最值问题的解法,给出若干思路及方法,可为解一般的二元函数最值问题奠定基础,服务于解题数学研究.

三角函数最值问题总结 第8篇

三角函数是中学数学的重要内容, 同时也是以后的数学学习所必须的内容。由于三角和代数、几何知识的密切联系, 它又是研究其他相关知识的重要工具。在复数的三角形式、参数方程、几何计算以及某些代数问题中都有着十分广泛的应用。

三角函数主要体现了等价的数学思想, 三角函数问题无论是三角函数的求值题、求最值题、综合题、探索题还是应用题, 均以考查三角变换为核心, 所以熟练掌握并能灵活应用有关三角函数的公式, 掌握变换技巧与方法对高中生来说是很必要的。三角函数的最值问题是历年来高考的必考内容, 同时也是难点, 如果找不到这类问题求解的“技巧”, 遇到这种问题时往往无从下手, 本文从基本的方法入手, 介绍三角函数的最值问题的求解。

二、三角函数的最值问题

这种题型大致可以分为三类:化为正弦函数或余弦函数, 然后利用三角函数的有界性进行求解;换元法求函数的最值;利用基本不等式求函数的最值;利用一元二次函数的根的判别法求函数的最值。

(一) 利用函数的有界性, 求三角函数的最值

注:以上介绍的是关于cosx的这类题型的计算, 当然, 关于的题目, 类似的可如法刨制。

(二) 换元法求函数最值

注:这类题型相对较简单, 没有什么难度, 同学们只要知道了这个解题的方法, 再次遇到这种题时就可很容易的求出函数的最值。

(三) 利用基本不等式求函数的最值

基本思想:这里所说的基本不等式用得最多的就是均值不等式, 当然, 其他常用的不等式也在我们的选择范围之内, 在利用基本不等式求最值时, 需要考虑到以下三个条件:1.各项都是正值;2.各项之和 (或之积) 为定值;3.等号能够成立。

不等式的运用不好掌握, 到底该选哪个不等式, 要具体题目具体分析, 选对不等式, 也不一定能够做出题目, 往往还要结合拆项、添项、凑系数等技巧才能完整的解决所求问题, 因此, 在求函数最值问题上, 同学们一定要练习自己的发散思维, 力争做到灵活运用不等式, 而不是死记硬背。

(四) 利用一元二次函数根的判别法求函数最值

基本思想:其主要思想就是把所求函数的最值问题经过等价变形, 化为一元二次函数的形式, 然后再利用一元二次函数的判别式进行计算。

注:此方法运用时应注意分类讨论, 原函数化为一元二次函数的形式后, 并不一定为一元二次函数, 一定要分二次项系数为零和不为零进行讨论。

三、结语

以上四种题型是求函数最值最常用的方法, 其中第一种方法较为简单;第三种方法稍有点难度, 只要适当的选取不等式就可以解决问题;第二种和第四种方法都用到了分类讨论的思想, 做起来稍微有点复杂, 但难度不大, 只要学生用心, 题目都可以做对, 当然, 函数最值问题还有很多的其他办法, 不管哪种办法, 学生都要深化为自己的东西, 才能灵活的解决此类问题。

参考文献

[1]吕浦.几种三角函数的最值问题[J].中学生数学, 2004 (9) .

[2]段刚山.探求一类三角函数的最值问题[J].数学通报, 2008 (6) .

关于函数最值问题解法的探讨 第9篇

1 代数求解法

1.1 配方法

当函数是二次函数, 或者经过变形后可以转化为二次函数时, 就可以利用这种方法进行求解。当涉及到具体问题, 在使用配方法时必须注意题目中的隐含条件及问题的转化、换元。经转化后问题一般就成了求函数y=f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 在闭区间[x1, x2]或区间 (-∞, x1]、 (x2, +∞]上的最值, 此时就可以用二次函数的单调性来确定最值。

1.2 判别式法

以实系数二次方程有实根的条件∆≥0作为判别式, 根据∆=0这一极端情况来求函数最值的方法就是判别式法。利用判别式法求解函数的最值时, 在通过∆≥0求出y的取值范围a≤y≤b或y≥b且y≤a (a

1.3 换元法

在换元法中解决某些函数最值问题的时候, 可采用换元的方法将其简化, 从而求出最值。

例1:求函数的最值。

当t=时, 即x=时, , 无最小值。

1.4 不等式法

利用不等式来求函数的最值时, 需要根据条件和目标之间的联系对目标函数进行适当的变形, 以使目标达成一致, 为解决问题提供便利。

例2:求函数y=x-x4 (0

2 三角函数求解法

利用三角函数的性质来求最值的方法叫做三角函数求解法。

例3:求|a2+2ab-b2|的最大值, 已知a2+b2≤1, a、b∈R。

解:设a=γcosθ, b=γsinθ, |γ|≤1, 由此可得:

3 解析求解法

根据函数的特征, 把代数问题转化为几何问题的方法就是解析法。

例4:求的最大值和最小值, 已知。

解:已知 (x1, y) 是椭圆及其内部的动点, 且y=kx, 可以得到直线的斜率k的最值。

通过对图1的观察可知, 斜率k的最值在过原点与椭圆相切的切线上。

通过消y得到 (x-4) 2+4 (kx-2) 2=4

由此可得 (1+4k2) x2- (8+16k) x+28=0

4 微积分求解法

在微积分求解法中, 求闭合区间[a, b]上的可导函数f (x) 在该区间内的最大值和最小值时, 可分成两步: (1) 求f (x) 在 (a, b) 区间内的驻点; (2) 计算f (x) 在驻点和端点处的函数值, 并进行比较, 最大的就是最大值, 最小的则为最小值。

例5:求函数y=2x4-4x2+2的最值。

解:y′=8x3-8x, 令8 x3-8x=0, 求得驻点x1=0 x2=1 x3=-1。这些驻点的函数值为。比较这些函数值, 得到ymin=0;ymax=2。

5 结语

有关函数最值问题解法很多, 这里只列举了几种常用的方法。为了将函数问题更好的应用于现实生活中, 做到学以致用, 其关键在于将书本中的知识灵活的转化为用于解决实际问题的能力, 同时还需要建立清晰的解题思想, 目前, 函数的最值解法已经被广泛应用于生产、生活和科研中。

摘要:函数最值问题在数学中比较常见, 其解法相对灵活, 且综合性较强, 对数学各方面技能及解题方法的选择要求比较高。本文主要就函数最值问题的基本求解方法与技巧加以讨论。

关键词:函数,最大值,最小值,解法

参考文献

[1]霍梦园, 王韵.函数最值的几何解法[J].高师理科学刊, 2011, 31 (5) :33~36.

[2]张月华.求函数最值常用的方法[J].牡丹江教育学院学报, 20 11, (3) :12 7~21 8.

多元变量最值问题解法探析 第10篇

一、均值定理法

当题目是已知和 (积) 为定值求积 (和) 的最值时, 往往可以用均值定理来求解, 高中阶段主要是借助于二元的均值定理即基本不等式来解决。如果遇到多元的时候, 则用多元均值定理、柯西不等式或者消元后用基本不等式。

例1已知a, b, c∈ (0, +∞) , 3a-2b+c=0, 则的最大值为________。

解:a, b, c∈ (0, +∞) , 由已知条件等式得, 所以。

例2设正实数x, y, z满足x2-3xy+4y2-z=0, 则当取得最大值时, 的最大值为_________。

解:由x2- 3xy + 4y2- z = 0, 可得z = x2- 3xy + 4y2,

当且仅当, 即x = 2y时等号成立。

【评析】 此题消元后化为学生熟悉的二次函数的最值问题, 将均值不等式的应用与二次函数的最值问题有机结合起来, 一气呵成, 浑然一体。

二、减元消元法

多元变量的最值问题, 消元是最朴素的方法。当题目中出现两个及其以上的变量时, 可利用已知条件消去一些未知数, 使未知数的个数减少, 直到能够解决为止。

例3 若实数a, b满足ab - 4a - b + 1 = 0 (a > 0) , 则 (a +1) (b + 2) 的最小值为_______。

解:因为ab-4a-b+1=0, 所以。

令t = a - 1, 则上式可化为。

【评析】 此题通过消元法, 将二元变量问题转化为一元变量问题来解决。当然, 多元变量问题也可以通过消元转化为二元问题或者是一元问题。

例4已知对任意实数x, 二次函数f (x) =ax2+bx+c≥0恒成立, 且a<b, 则的最小值为_________。

解: f (x) = ax2+ bx + c ≥ 0 恒成立, 所以a > 0, 且b2-4ac ≤ 0, 所以。

三、整体换元法

解决多变量最值问题的过程中, 整体换元可将变量个数减少或将不易求最值的式子划为便于用一些基本不等式来解答的形式, 从而使问题得到解答。

例5 设x, y为实数, 若4x2+ y2+ xy = 1, 则2x + y的最大值为__________。

解:4x2+ y2+ xy = 1, 所以 (2x + y) 2- 3xy = 1。

所以2x + y的最大值为。

【评析】 根据条件形式, 将目标2x + y看成是一个整体, 是解决本例的关键所在。

例6已知x, y为正数, 则的最大值为________。

【评析】 将所求表达式的两个分母分别看成是两个整体, 先用换元法, 将条件中的x, y用所设的变量表示, 后用基本不等式求解。

四、三角代换法

例7已知a, b, c是正实数, 且abc+a+c=b, 设, 求p的最大值。

又, 所以β=α+γ, 所以γ=β-α。

所以p的最大值为10/3。

【评析】 此题先进行三角代换, 将p转化为二次函数利用三角函数的有界性求最值。

例8若实数a, b∈R, a2+2b2=6, 则的最大值是_________。

所以t的最大值为1。

【评析】 此题利用三角代换将问题转化为利用三角函数有界性来解决。当然, 此题也可以将条件等式看成是椭圆的标准方程, 因此目标是求点 (a, b) 与点 (3, 0) 连线斜率的最大值问题。

五、线性规划法

例9在△ABC中, 已知三边a, b, c满足则b/a的取值范围是_______。

解:因为a, b, c是三角形三边, 则将所有的

不等式两边都同除以a得:

由条件不等式组作出可行域, 即可得到其中x的范围为, 即所求b/a的范围为。

【评析】 此题条件形式是a, b, c的不等关系, 因此可以联想到线性规划知识通过数形结合来求解。

六、分离参数法

例10 已知点A (x, y) 为函数y =1/x图象上在第一象限内运动, 若x3+ y3≥ a (x + y) 2恒成立, 则实数a的范围是____。

解:由条件可得:xy = 1, x > 0, y > 0, 所以x3+ y3≥ a (x +y) 2恒成立等价于恒成立。

因为在[2, +∞) 上单调递增,

因此, 。

【评析】此题关键在于参变分离后, 将式子中的x+y看成整体t, 然后可用函数的单调性求最值。

例11已知a, b, c为直角三角形的三边, 其中c是斜边, 若恒成立, 则实数t的取值范围是___________。

因为b2= c2- a2,

所以, 所求实数t的取值范围是t ≥ 1。

【评析】 此题体现了处理恒成立问题时首选参变分离法, 多个变量可用消元法减少变量的个数, 然后用基本不等式求得最值。

七、主元法

例12 不等式a2+ 8b2≥ γb (a + b) 对任意的实数a, b∈R恒成立, 则实数 γ的取值范围是________。

解法1:将变量a看成主元, 其他变量看成是常数, 则原命题可转化为不等式a2- γab + (8 - γ) b2≥0 对于任意的实数a都恒成立。 所以 Δ = (-γ b) 2- 4 (8 - γ) b2≤ 0 恒成立, 即[γ2- 4 (8 - γ) ]b2≤ 0 对任意的实数b恒成立, 所以 γ2- 4 (8 -γ) ≤ 0, 解得:-8 ≤ γ ≤ 4。

解法2:若b = 0, 则 γ∈R, 当b≠0 时, 不等式两边同除以b2得:。

令t=a/b, 得t2-γt+8-γ≥0;

由Δ≤0可得:-8≤γ≤4。

综上, 所求实数 γ 的取值范围是[-8, 4]。

【评析】 此例用参变分离较麻烦, 用主元思想将所给问题转化为一元二次不等式的恒成立问题, 使得整个问题的求解十分简洁。

二次函数最值问题及其解决方法 第11篇

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】 求二次函数f(x)=x2-2x-3在以下区间上的最值.

(1)x∈[-2,0];(2)x∈[0,3];(3)x∈[2,4].

分析: f(x)=(x-1)2-4.

①若对称轴在给定区间的右侧或左侧,此时函数在该区间上是单调函数,最大值和最小值分别在区间端点处取得,比如本题的(1)(3)小题;

②若对称轴穿过区间,此时函数在该区间上先减后增,最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可,或比较哪个端点距离对称轴较远(端点离对称轴越远,函数值越大)即可,比如本题的(2)小题;

③函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】 求二次函数f(x)=x2-2x-3在区间[t,t+2]上的值域.

分析:随着区间位置的改变,对称轴和区间的相对位置对函数值域的影响便一目了然了.

①当对称轴位于区间的左侧,即t≥1时,函数f(x)在区间[t,t+2]上为增函数,此时f(x)的取值范围是f(t)≤f(x)≤f(t+2);

②当对称轴位于左半区间,即t≤1≤t+1时,函数f(x)在区间[t,t+2]上是先减后增,右端点t+2距离对称轴较远,此时f(x)的取值范围是f(1)≤f(x)≤f(t+2);

③当对称轴位于右半区间,即t+1≤1≤t+2时,函数f(x)在区间[t,t+2]上也是先减后增,此时是左端点t距离对称轴较远,所以f(x)的取值范围是f(1)≤f(x)≤f(t);

④当对称轴位于区间的右侧,即t+2≤1时,函数f(x)在区间[t,t+2]上为减函数,此时f(x)的取值范围是f(t+2)≤f(x)≤f(t).

部分学生可能只讨论了三种情况,将②③合并,这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】 求函数f(x)=x2-2mx+2在区间[-1,1]上的值域.

分析:对称轴x=m可改变,对称轴与区间[-1,1]的相对位置也是变化的,仿照例2可以求出函数的值域.

①当对称轴位于区间的左侧,即m≤-1时,有f(-1)≤f(x)≤f(1);

②当对称轴位于左半区间,即-1≤m≤0时,有f(m)≤f(x)≤f(1);

③当对称轴位于右半区间,即0≤m≤1时,有f(m)≤f(x)≤f(-1);

④当对称轴位于区间的右侧,即m≥1时,有f(1)≤f(x)≤f(-1).

4.轴变区间变问题

【例4】 求函数f(x)=x2-2mx+2在区间[a,b]上的值域.

分析:还是同前面的例子相同的讨论.

①当对称轴位于区间的左侧,即当m

②当对称轴位于左半区间,即a≤m≤

学生在初中阶段接触最多的,而且觉得比较难以理解的函数便是二次函数.为了使学生更好地理解函数的单调性的作用,笔者补充了一节关于求二次函数最值问题的探究性的课.这节课一方面起到了扩充知识的作用,提高学生对知识的应用能力;另一方面培养学生的探究意识和数形结合的思想方法.

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】 求二次函数f(x)=x2-2x-3在以下区间上的最值.

(1)x∈[-2,0];(2)x∈[0,3];(3)x∈[2,4].

分析: f(x)=(x-1)2-4.

①若对称轴在给定区间的右侧或左侧,此时函数在该区间上是单调函数,最大值和最小值分别在区间端点处取得,比如本题的(1)(3)小题;

②若对称轴穿过区间,此时函数在该区间上先减后增,最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可,或比较哪个端点距离对称轴较远(端点离对称轴越远,函数值越大)即可,比如本题的(2)小题;

③函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】 求二次函数f(x)=x2-2x-3在区间[t,t+2]上的值域.

分析:随着区间位置的改变,对称轴和区间的相对位置对函数值域的影响便一目了然了.

①当对称轴位于区间的左侧,即t≥1时,函数f(x)在区间[t,t+2]上为增函数,此时f(x)的取值范围是f(t)≤f(x)≤f(t+2);

②当对称轴位于左半区间,即t≤1≤t+1时,函数f(x)在区间[t,t+2]上是先减后增,右端点t+2距离对称轴较远,此时f(x)的取值范围是f(1)≤f(x)≤f(t+2);

③当对称轴位于右半区间,即t+1≤1≤t+2时,函数f(x)在区间[t,t+2]上也是先减后增,此时是左端点t距离对称轴较远,所以f(x)的取值范围是f(1)≤f(x)≤f(t);

④当对称轴位于区间的右侧,即t+2≤1时,函数f(x)在区间[t,t+2]上为减函数,此时f(x)的取值范围是f(t+2)≤f(x)≤f(t).

部分学生可能只讨论了三种情况,将②③合并,这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】 求函数f(x)=x2-2mx+2在区间[-1,1]上的值域.

分析:对称轴x=m可改变,对称轴与区间[-1,1]的相对位置也是变化的,仿照例2可以求出函数的值域.

①当对称轴位于区间的左侧,即m≤-1时,有f(-1)≤f(x)≤f(1);

②当对称轴位于左半区间,即-1≤m≤0时,有f(m)≤f(x)≤f(1);

③当对称轴位于右半区间,即0≤m≤1时,有f(m)≤f(x)≤f(-1);

④当对称轴位于区间的右侧,即m≥1时,有f(1)≤f(x)≤f(-1).

4.轴变区间变问题

【例4】 求函数f(x)=x2-2mx+2在区间[a,b]上的值域.

分析:还是同前面的例子相同的讨论.

①当对称轴位于区间的左侧,即当m

②当对称轴位于左半区间,即a≤m≤

学生在初中阶段接触最多的,而且觉得比较难以理解的函数便是二次函数.为了使学生更好地理解函数的单调性的作用,笔者补充了一节关于求二次函数最值问题的探究性的课.这节课一方面起到了扩充知识的作用,提高学生对知识的应用能力;另一方面培养学生的探究意识和数形结合的思想方法.

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】 求二次函数f(x)=x2-2x-3在以下区间上的最值.

(1)x∈[-2,0];(2)x∈[0,3];(3)x∈[2,4].

分析: f(x)=(x-1)2-4.

①若对称轴在给定区间的右侧或左侧,此时函数在该区间上是单调函数,最大值和最小值分别在区间端点处取得,比如本题的(1)(3)小题;

②若对称轴穿过区间,此时函数在该区间上先减后增,最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可,或比较哪个端点距离对称轴较远(端点离对称轴越远,函数值越大)即可,比如本题的(2)小题;

③函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】 求二次函数f(x)=x2-2x-3在区间[t,t+2]上的值域.

分析:随着区间位置的改变,对称轴和区间的相对位置对函数值域的影响便一目了然了.

①当对称轴位于区间的左侧,即t≥1时,函数f(x)在区间[t,t+2]上为增函数,此时f(x)的取值范围是f(t)≤f(x)≤f(t+2);

②当对称轴位于左半区间,即t≤1≤t+1时,函数f(x)在区间[t,t+2]上是先减后增,右端点t+2距离对称轴较远,此时f(x)的取值范围是f(1)≤f(x)≤f(t+2);

③当对称轴位于右半区间,即t+1≤1≤t+2时,函数f(x)在区间[t,t+2]上也是先减后增,此时是左端点t距离对称轴较远,所以f(x)的取值范围是f(1)≤f(x)≤f(t);

④当对称轴位于区间的右侧,即t+2≤1时,函数f(x)在区间[t,t+2]上为减函数,此时f(x)的取值范围是f(t+2)≤f(x)≤f(t).

部分学生可能只讨论了三种情况,将②③合并,这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】 求函数f(x)=x2-2mx+2在区间[-1,1]上的值域.

分析:对称轴x=m可改变,对称轴与区间[-1,1]的相对位置也是变化的,仿照例2可以求出函数的值域.

①当对称轴位于区间的左侧,即m≤-1时,有f(-1)≤f(x)≤f(1);

②当对称轴位于左半区间,即-1≤m≤0时,有f(m)≤f(x)≤f(1);

③当对称轴位于右半区间,即0≤m≤1时,有f(m)≤f(x)≤f(-1);

④当对称轴位于区间的右侧,即m≥1时,有f(1)≤f(x)≤f(-1).

4.轴变区间变问题

【例4】 求函数f(x)=x2-2mx+2在区间[a,b]上的值域.

分析:还是同前面的例子相同的讨论.

①当对称轴位于区间的左侧,即当m

函数最值在参数问题中的应用 第12篇

一、恒成立问题

例1关于x的不等式x2-mx-1<0, 在[1, 2]上恒成立, 求m的取值范围.

分析一这类问题常见解法是依据二次函数f (x) =x2-mx-1, 在区间[1, 2]上的单调性, 对m与区间[1, 2]的关系进行分类:

从上例可见, 解数学问题时, 常规的思考方法是由条件到结论的定向思考, 但是有些问题按照这样的思维方式来寻找解题途径比较困难, 甚至无从着手, 在这种情况下, 经常要求我们改变思维方向, 换一个角度思考, 以找到一条绕过障碍的新的途径.有的问题表面看起来不属于上述恒成立的问题, 通过变形可以化归为上述问题, 如例2、例3.

分析一解不等式组得它的解集为A= (2, 3) .

设2x2-9x+a<0的解集为B, AB, 即对A中任何一实数, 不等式恒成立, 即a<-2x2+9x.

分析二∵A= (2, 3) , 又AB, 所以问题可转化:

例3不论实数b取何值, 直线y=kx+b与双曲线x2-2y2=1总有公共点, 求实数b的取值范围.

分析曲线的公共点为方程组的解, 命题最终化归为二次方程的判别式“Δ≥0”对k∈R恒成立.

若f (x) 在定义域内取不到最值, 只是有上 (下) 限, (如f (x) n) , 则有些问题要将结论中的“>或<”换为“≥或≤”.

二、存在性问题

有关“存在”的参数讨论问题也是参数讨论问题的重要题型, 其中有许多与函数最值有关, 这类问题的理解比“恒成立”要困难一些, 如例4、例5.

分析A≠Φ, 不等式f (x) ≤g (x) 有解, 这是“存在”性问题.

分析这是关于“存在”性问题, 注意问题中x是变量, b是参数.

若f (x) 在定义域内取不到最值, 只是有上 (下) 限 (如f (x) n) , 则有些问题要将结论中的“>或<”换为“≥或≤”.

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