对于一般的学生来说, 谈到利用定积分求立体体积, 他们首先想到的是求旋转体的体积, 并且旋转体还是很特殊的 (X型平面图形绕x轴旋转或Y型平面图形绕y轴旋转) 。因为求这些旋转体的体积, 我们有现成的公式。但是, 对于其它一些立体的体积, 学生就无从下手。最主要的原因是因为对于其它一些立体的体积, 这些公式不太好用。其实, 利用定积分求立体体积, 有一种最基本、最有效的方法:由截面面积求立体体积。该方法不仅对上述旋转体适用, 对其它更一般的立体体积也适用。
1 由截面面积求立体体积的计算公式
设有一立体, 它夹在垂直于x轴的两个平面x=a, x=b之间 (包括只与平面交于一点的情况) , 其中a
过微段[x, x+dx]两端作垂直于x轴的平面, 截得立体一微片, 对应体积微元dV=A (x) dx。因此立体体积:V=∫b adxx A) ( (1)
2 应用
例1[1]:经过一椭圆柱体的底面的短轴、与底面交成角α的一平面, 可截得圆柱体一块楔形块 (如图2) , 求此楔形块的体积Vㄢ
解:据图, 椭圆方程为
过任意x[-2, 2]处作垂直于x轴的平面, 与楔形块截交面为图示直角三角形, 其面积为, 应用公式 (1)
例2[3]:直角坐标系下二重积分的计算。
(1) 积分区域为X型曲边梯形。
二重积分的积分区域D, 是由x=a, x=b (a
其特点为:在xOy上与y轴同向平行线从y=ϕ1 (x) 穿入D, 从y=ϕ2 (x) 穿出。
据二重积分的几何意义, , (表示以D为底, 以曲面z=f (x, y) 为顶、母线平行于z轴的z向柱体的体积V。
根据由截面面积求立体体积的计算公式, 我们知道:要求柱体的体积V, 关键是要求用任意垂直于x轴的平面去截它, 所得的截交面Σ的面积A (x) 。
从图3中我们看出:截交面Σ在x处平面上是一个曲边梯形, 它的底边为线段ϕ1 (x) ≤y≤ϕ2 (x) , 曲边是 (注意现在的x被暂时固定) , 由定积分知识, 可得
代入公式 (1) , 得
(2) 积分区域为Y型曲边梯形。
二重积分, (的积分区域D是由y=c, y=d (c
其特点为在xOy上与y轴同向平行线y=ψ1 (x) 从穿入D, 从y=ψ2 (x) 穿出。与X型曲边梯形类似, 用任意垂直于y轴的平面去截它, 所得的截交面Σ的面积A (y) 。
由定积分知识, 可得:
代入公式 (1) , 得:
3 推广
我们前面所求的立体, 它们的截面取法是通过垂直于x轴或y轴的平面去截该立体所得。但并不是所有的立体的截面都通过该方法得到。有时, 我们要根据不同的立体, 选取不同的方法得到截面。
我们知道对于旋转体, 特别是X型平面图形绕x轴旋转, 或Y型平面图形绕y轴旋转, 求它们的体积, 我们有现成的公式:。这些公式的得到也是根据公式 (1) , 它们所得的截面是通过垂直于旋转轴的平面去截得到的, 而且截面都是圆。
但是, 如果旋转体是X型平面图形绕y轴旋转, 或Y型平面图形绕x轴旋转, 这时它们的体积该如何求呢?如果我们还是用垂直于旋转轴的平面去截的化, 我们发现, 这些截面都是圆环, 而这些圆环的面积求起来相当困难。这时我们要用其它的一些方法选取截面。
摘要：本文根据由截面面积求立体体积的方法求一些不常见的立体的体积, 并得到一些好的结论。
关键词：定积分,立体体积,截面面积
参考文献
[1] 张国昌.高等数学 (第一册) [M].苏州大学出版社, 2003:190～191.
[3] 卢崇高.高等数学 (第二册) [M].苏州大学出版社, 2003:128～129.
[4] 同济大学数学教研室.高等数学 (上册) [M].高等教育出版社, 2001:351.