矩阵的若尔当典范形理论是线性代数理论的重要内容之一。在这一理论中, 求矩阵到它的若尔当典范形矩阵所关联的相似变换的可逆矩阵是一个比较困难的问题。本文将从理论方面对这一问题进行讨论, 给出一种可行的解决方法。
1 变换矩阵的求法
1.1 利用子空间分解
这种方法是由子空间的基合成空间的基。当一个特征值对应的初等因子很多时, 用这种方法计算将会相当复杂。
1.2 直接解方程
利用方程求变换矩阵, 首先要把T-1AT=J化成AT=TJ, 然后以矩阵T的n2个元素作为位置量, 得到一个线性方程组, 再进行求解。这种方法在计算过程中会有不少自由未知量。所以, 这种方法只能用于n很小的情况。
1.3 利用初等变换
利用初等变换可以把求方阵的特征值, 若尔当典范形, 以及相关联的可逆矩阵一并完成。下面就具体讨论一下这种方法。
2 理论推导
引理1:多项式对角矩阵的初等因子就是它的对角线元的标准分解式中的各个不可约因式的方幂。
引理2:如果存在数字矩阵P, Q∈Mn (K) 使得对称矩阵A与B的特征有:
则矩阵A与B相似。
引理3:设矩阵 () nA∈M K, 多项式矩阵 () ([]) nPλ∈M Kλ可以展开成
其中010, , , () , 0mnC C LC∈M K C≠则存在多项式矩阵 () LQλ, 以及 () RQλ数字矩阵
使得
定理:设矩阵, () nA B∈M K, A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵λE-A与λE-B等价。
证明: (⇒) 设有可逆矩阵P∈GL (n, k) , 使得1B P AP-=, 则有
因此, A与B的特征矩阵等价。
(⇐) 设有可逆矩阵P (λ) , Q (λ) ∈Gl (n, K[λ]) 使得P (λ) (λE-A) Q (λ) =λE-B
也即
根据引理3做带余除法:
代入 (4) 整理后得
上面等式的左边的次数不超过1, 因此右边的第一个因子必须是数字矩阵。再比较两边的的系数, 可见:
上边经过移项并乘以P (λ) 后, 化成:
对P (λ) 做带余除法:
并考虑到:
(7) 式可化成:
由于上面等式的右边是0次的, 因此左边λ的系数必须等于0, 即:
从而00P Q=E
说明0Q是可逆矩阵, 另一方面, 把 (6) 代入 (5) 可得00 (λE-A) Q=Q (λE-B)
再利用引理2就能得到矩阵A与B相似。
3 方法归纳
由上述论述, 求变换矩阵0Q, 使得100Q AQ-为若尔当标准形的方法归纳如下:
(1) 利用初等变换将特征矩阵λE-A化成对角形D (λ) , 即存在11P (λ) , Q (λ) 使得11P (λ) (λE-A) Q (λ) =D (λ) , 并记录下变换矩阵1Q (λ) ;
(2) 根据对角矩阵D (λ) 写出相应的若尔当标准形J;
(3) 再利用初等变换将特征矩阵λE-J也化成对角形D (λ) , 即存在22P (λ) , Q (λ) 使得22P (λ) (λE-J) Q (λ) =D (λ) , 并记录下变换矩阵2Q (λ) ;
(5) 把1Q (λ) 12Q (λ) 展成矩阵多项式: (根据引理4)
以上给出了用多项式矩阵的初等变换的方法求相似变换矩阵0Q, 使100Q AQ-为若尔当典范形。它是一种初等的方法, 计算量很大。因此, 这种方法应该说是理论上 (不考虑数值计算的计算量和稳定性) 的方法。
摘要：矩阵的若尔当典范形理论是线性代数理论的重要内容之一。讨论了域F上矩阵A到它的若尔当典范形所关联的可逆矩阵Q0的一种初等计算方法。
关键词：若尔当典范形,可逆矩阵
参考文献
[1] 陈志杰.高等代数与解析[M].北京:高等教育出版社, 2001.
[2] 李炯生.线性代数[M].北京:中国科技技术出版社, 1987.
[3] 王德生.高等数学与解析几何习题解析[M].大连:辽宁师范大学出版社, 2001.