排列组合练习题范文第1篇
1 分类、分步思维方法
解决排列组合问题的基本依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合.这就要求我们在解决该类问题时,选择合适的角度和恰当的切入点,把原问题分解为几个小问题各个突破,用分类讨论的思想方法解决。
例1:今有2个红球,3个黄球,4个白球同色球不加以区分,将这9个球排成一列有几种不同的排法?
分析:第一步从9个不同的位置中选2个放上两个相同的红球,共有C2种放法,第二步从余下的7个不同位置中39个,放上3个相同的黄球,共有C73种放法,第三步,在剩余4个位置放上4个相同的白球,共有C44种放法。由分步计数原理得:
例2:将5个新生分配到3个班中,每班至少一人,有几种不同的分法?
2 转化与化归思维方法
有些排列组合问题,乍看感觉无从下手,通过分析条件和结论的联系,可适当转换思维角度,找到等价转化的途径,于是可化难为易,给人一种“耳目一新”的感觉。
例:连结平行六面体的8个顶点的所有直线中,一共可组成多少对异面直线?
分析:本题正面求解或反面考虑虽然可行,但容易重复或遗漏.结合立体几何知识可知,三棱锥的每组相对棱相互异面,每一个三棱锥的6条棱共可组成三对异面直线,因而可将问题转化为以平行六面体的8个顶点为顶点,共可组成三棱锥的个数的计算问题。
解:从平行六面体的8个顶点中任取4个,有C84种取法,其中4点共面的有12种(6个表面平行四边形,6个对角面平行四边形).将不共面的4点构成一个三棱锥,共有58个三棱锥,因每一个三棱锥的6条棱共可组成三对异面直线,故共有174对异面直线。
利用转化与化归的思想,可使复杂或不易解决的排列组合问题化为熟悉或容易解决的问题,关键是找到解决问题的突破口,将问题进行等价转化。
3 归纳思维方法
归纳是由特殊概括成一般的一种思维方法。在排列组合中,应用归纳思想始终贯穿于本章内容的始末。排列数公式、组合数公式、二项式定理及二项式定理的性质2等推导得出都用了归纳思想。虽然在具体的推导过程中用的是不完全归纳法,但这些结论均可用数学归纳法来加以证明。
例:证明:平面上有n条直线,两两相交,共有C2个交点?
证:n当n=2,3,4时结论成立。
假设当n=K-1时,结论成立。即K条直线有个c2k-1交点
那么当n=K时,第K条直线与前K-1条直线中的每一条直线都有一个交点,共K-1个交点,加上前面的c2k-1个交点,则共有
4 逆向思维方法
有些问题从正面去探求,较为复杂,若调换解题角度,逆向思维,问题便简单易解。
例:大街上有编号为1,2,3,4…,10的十盏灯,若关掉其中三盏灯,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,那么不同的关灯方式有多少种?
通过分析本题若从正面去探求,较为复杂,若调换解题角度,变为在7个亮灯中间6个空隙插入3个关掉的灯,易得关灯方式为:C36=20种
5 构建模型思维方法
数学模型就是将某种事物的特征的数量关系借助某种数学语言而建立的一种数学结构。它将某一种对象或某种过程,用数学概念、公式或逻辑关系在数量上加以描述。解决排列组合应用问题中也经常用到数学建模思。问题模型化,常常可以使问题更加系统,容易解决。
例1:(1)5个不同的白球、3个不同的黑球,排成一排,有多少种排列方法?
(2)5个相同的白球、3个不同的黑球,排成一排,有多少种排列方法?
(3)5个相同的白球、3个相同的黑球,排成一排,有多少种排列方法?
不难发现他们的结果各不相同,本质区别在于白球、黑球是否可辨别(即视为相同还是不同)。
例2:某城市新建的一条道路上有12只路灯,为节约用电而不影响照明,可以熄灭其中三盏灯,但是两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两盏灯,熄灯方法共有多少种?
直接考虑比较困难,但我们稍加变化,即能转化成我们熟悉的排列问题,即:9个相同的A和3个相同的B排成一列,要求B不排在两端,也不相邻,此时只需将B插入到9个A中即运用插空法可解决。
以上两例,都反映出构建模型、转化问题背景常常能变陌生为熟悉,大大增强我们解题的信心,也能够使我们所学习的知识更加系统有序。
6 分析与综合思维方法
无论是学习数学基础知识,还是进行数学解题,分析和综合的应用都是非常普遍的。对排列组合而言,条件复杂多样,分析综合尤为重要,无论采用什么方法解题,首先要分析题目。
例:6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛,其中甲不能站在第一道也不能站在第二道,乙必须站在第五或第六道,则不同排法种数共有多少种?
首先通过分析知道,由于甲、乙站道有条件要求,故需把甲、乙考虑为特殊元素,首先安排这两个特殊元素,(1)先安排乙,不同站道方式为C21,(2)甲不同站道方式为C31,然后排其它4个,可得不同站道方式为
总之,现代的数学教育观,数学学习的目的,已经开始从掌握“数学知识和技能”向着掌握“解决问题的一般方法”即“数学式地思维”的方向转变,思想方法是数学学习和研究的“核心”和“灵魂”,它并不是抽象的东西,而是以数学知识和数学问题为载体的具体的实实在在的内容,同时又能指导解决许许多多类似的数学问题,因此是有本质的、概括的、指导的意义。在教学中,教师在教学中应十分重视数学思想方法的挖掘和渗透,并且切实让学生领悟和掌握这些数学思想、方法,并能用于其它学科和解决实际问题,让学生在学习后能终身受益。
摘要：排列组合是中学数学的重要内容之一,应用广泛,涉及知识面广,由于条件复杂多样,其解题方法较为独特灵活,是培养学生数学思想方法和发展学生思维能力的好素材。
关键词：排列组合,数学思维,培养,解决问题
参考文献
[1] 万国太.解排列组合应用题中的思维障碍浅析[J].数学教学研究,2001(6).
[2] 付秋根.排列组合的教学与数学思想的渗透[J].井冈山医专学报,2008(1).
[3] 莫小平.在排列与组合问题教学中应注意的几个问题[J].科技信息,2009(26).