三角函数是高中数学的重要组成部分, 是历年高考考查的重点和难点, 其中三角函数的求值问题是三角变换中的一个重要内容, 主要有三种类型, 即非特殊角的三角函数式求值、未知角的三角函数式求值、解三角形求值, 解决这类问题, 需要熟练掌握三角函数的公式及其变形, 同时还需要运用一定的方法和技巧, 才能迅速、准确的化简求值。爱因斯坦曾说过:“解决一个问题好比是在草堆中寻针, 别人往往寻找到一根针时即停止不再费力去做了, 但我却会遍寻草堆中的所有藏针, 不达到目的绝不罢手”。2013年高考重庆卷理科的第9题就恰恰是一个值得我们去探究的题目, 下面通过这道题目的几种解法, 来体会非特殊角的三角函数式的求值策略。
点评:先切割化弦和通分, 将40°拆为30°+10°, 利用两角和的正弦、余弦公式展开, 合并同类项, 最后分式上下进行约分, 问题得以解决。
点评:切割化弦、通分后, 将80°拆为120°-40°, 变角后再应用两角差的正弦公式展开进行化简。
点评:先切割化弦和通分后, 观察非特殊角80°、40°和特殊角60°的关系, 将80°拆为60°+20°、40°拆为60°-20°, 从而减少了式子中角变量的个数, 再用三角公式变换。
点评:此法通过构造三角形, 从“数”与“形”两方面对三角函数式求值问题进行研究, 将复杂的问题简单化、抽象的问题具体化, 充分体现了数形结合数学思想的精妙之处。
点评:恰当地构造互余对偶式解题, 不仅能培养学生的创新思维, 还能激发学生学习数学的兴趣, 同时还让人萌生一种“春雨断桥人不渡, 小舟撑出柳阴来”的美妙感觉。
点评:此法为综合法, 技巧性较强, 先进行角的变换, 然后利用两角差的正弦公式展开, 合并同类项后, 最后进行弦化切割。
非特殊角的三角函数式求值的方法很多, 熟练掌握三角函数公式是解题的基础, 再用一些常用的数学思想, 辅助以适当的解题技巧, 加上一定的综合分析、解决问题的能力, 便能迎刃而解。由此可见, 一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法, 这样有助于拓展学生的思维, 激发学生学习数学的兴趣。教师在平常的教学中采用一题多解, 可以集思广益, 引导学生探究、合作与交流, 让学生分享成功的经验与喜悦, 从而提高课堂效率, 使学生更好地掌握四基。
摘要：一题多解是利用不同的数学知识, 运用不同的方法, 从不同的角度, 利用不同思路研究同一数学问题。下面通过对2013年高考重庆卷理科第9题的解法探究, 来体会非特殊角的三角函数式的求值策略。
关键词：非特殊角,三角函数式,解法