《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》把数学思想、方法作为基础知识的重要组成部分, 在大纲中明确提出来, 这是对学生实施创新教育、培训创新思维的重要保证。因此, 如何在数学课堂教学中渗透数学思想是我们每一位数学教育工作者应该积极思考的问题。
一、化难为易——数形结合思想
“数无形, 少直观, 形无数, 难入微”, 利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易, 化繁为简。把代数中的数量和几何中的图形有机的结合起来, 对几何问题用代数方法解答, 对代数问题用几何方法解答, 这种方法在解题中经常用到。近年来, 由于初中数学试题中增加了对学生数学综合能力的考查, 以致这种思想的运用几乎在初中数学的各章节中都是体现最多的思想方法之一。例如, 在一元二次方程中利用这种思想可通过画线形图轻而易举的找出行程问题中的已知量和未知量的关系, 进而列出方程;函数及其图象的学习几乎把这种思想贯穿始终;统计初步中绘制频率分布直方图就是这种思想的体现;解直角三角形中的应用题和圆中运用垂径定理求半径、弦长、弦心距及正多边形与圆的有关计算都可构造成直角三角形的模型, 比如著名的赵州桥问题就是这类题的典型。再比如二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的实际应用中常会出现当函数值y≥m时对应的x的取值范围问题, 如果用二次不等式解答固然可行, 但初中教材中不涉及二次不等式, 于是我们可以令y=m, 得二次方程ax2+bx+c=m, 再观察二次函数图象, 利用抛物线位于直线y=m上下班方的部分决定x的取值是在二次方程的两根之间还是两根之外。这都是数形结合的典型例子, 数形结合的思想可以很大程度上提高学生的解题能力和解决实际问题的能力。
二、化整为零——分类讨论思想
分类讨论, 就是当问题所给的对象不能进行统一研究时, 就需要对研究对象按某个标准进行分类, 然后对每一类分别研究得出每一类的结论, 最后综合各类结果得到整个问题的解答。初中阶段分类讨论思想的原因可归纳以下几个方面:由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论;由于问题的题设和结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论;由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论;由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论。例如:已知半径为a的两圆外切, 半径为2a且和这两圆都相切的圆共有多少个。此题很容易漏解, 原因是缺乏分类思想, 因此在解题时要考虑各种可能的情况。和这两个圆同时相切的圆可分为以下三类:同时外切 (有两个) ;同时内切 (有1个) ;以及一个内切一个外切 (有两个) 。故共有满足条件的圆5个。
如:解方程|4x-4|-|2x+2|=14
解当x≥1时, 原方程化为 (4x-4) - (2x+2) =14, x=10
当-1≤x≤1时, 原方程化为4-4x-2x-2=14, x=-2, 应舍去.
当x≤-1时, 原方程化为4-4x+2x+2=14, x=-4
∴x=10或-4
绝对值概念是一个需要分类讨论的概念, 要讲清这一概念应从绝对值的几何意义说起, 也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。近几年中考数学的最后一道压轴题往往会涉及动点问题, 随着动点的位置变化求解的方法也会不同, 因此对点的位置的讨论是解题的必经之路, 分类讨论的重要性可见一斑。
三、举一反三——化归类比的思想
在数学方法中所论及的“化归”方法是指数学家在解决问题的过程中, 不是对问题进行直接攻击, 而是把待解决的问题进行变形, 转化, 直到归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去, 最终求得原问题解答的一种手段和方法。张奠宙、过伯祥著的《数学方法论稿》中指出:“所谓化归方法, 是将一个问题A进行变形, 使其归结为另一个已能解决的问题B, 既然B已可解决, 那么A也就能解决了”。
数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性, 有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类未知的对象上去的一种合情推理。它能够帮助我们解决一些看似复杂困难的问题, 有助于我们课堂教学的顺利进行。比如, 在学习三角形的外接圆和内切圆时, 大多数学生会把外心和内心的概念及性质混淆。针对这一问题, 采用类比思想, 可以把三角形的外心和内心的概念和性质概括为:外心是三角形三边中垂线的交点, 它随三角形的形状不同, 位置也不同:它在锐角三角形的内部, 在直角三角形斜边的中点处, 在钝角三角形的外部;它是三角形外接圆的圆心;具有到三角形三个顶点的距离相等的性质。内心是三角形内切圆的圆心;它是三角形三个内角平分线的交点;它一定在三角形的内部, 不随三角形形状的改变而变化位置;它到三角形三边的距离相等。
四、化繁为简——渗透符号表述思想
什么是数学符号?所谓数学符号是指经过数学界约定的规范化的一定形式的数字符号。而数学符号化思想主要有下面的几层含义:1、人们有意识地、普遍地运用符号去概括、表述、研究数学;2、符号能够简洁、准确地反映数学概念的本质, 有利于数学的发现和发展, 且方便于记忆;3、数学符号已经过人工筛选与改造, 形成一种约定的、规范的、形式化的系统。其实, 初中数学的符号是极多的, 而且各种符号都有其特定的涵义和意义。如果老师有意识的教会学生运用简洁符号表述深奥复杂的数学道理, 往往能收到事半功倍的效果。比如, 在讲解平面直角坐标系这一节时, 点在直角平面内的六种位置的符号规律可以总结为:“同正在一、负正二, 同负在三、正负四, 前0为纵、后0为横”。这里的“正”、“负”指某一点的横纵坐标的符号, 一二三四指四个象限, 纵横分指y轴和x轴。在讲解二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象极其性质时, 对称轴在y轴的左侧a、b的符号相同, 对称轴在y轴右侧a、b为异号总结为“左同右异”。在画一次函数y=kx+b (k≠0, b≠0) 和二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象时, 可首先画出正比例函数y=kx (k≠0) 和二次函数y=ax2 (a≠0) 的图象, 然后再画出几个给定系数的一次函数和二次函数的图象, 再引导学生通过观察、比较总结出了“上加下减, 左加右减”的函数图象的平移规律。这些繁琐的规律和结论通过符号口诀可以让学生很快的记忆并掌握。