作为解二阶线性偏微分方程的主要工具, 分离变量法的重要性就不言而喻了, 所以, “分离变量法”一章是《数学物理方程》的教学重点和难点。本文重点指出该章在教学中出现的问题并给出相应的解决办法。
解:01.分离变量:设U (x, t) =X (x) T (t) (不恒为零) 记为 (*) 式, 将 (*) 代人 (1.1) 得:
从而有:
由上式可得:
将 (*) 代人 (1.2) 得:
20.解特征值问题 (1.5) (1.6) :
(1) λ<0时, 解常微分方程 (1.5) 得:
代人 (1.6) 可以确定A=B=0, 即此时为零解, 舍去。
(2) λ=0时, 解常微分方程 (1.5) 得:
代入 (1.6) 可以得:X (x) =B0。
(3) λ>0时, 解常微分方程 (1.5) 得:
代人 (1.6) 可得A=0, 为得到非零解, 由 (1.6) 式的第二个表达式知:
即:
从而有:
综上三种情况有:
0.求通解。将代人 (2.4) 得:
3U (x, t) λn
从而有一组特解:Un (x, t) =Tn (t) Xn (x) (n=, 0, 1, 2Λ) 。应用叠加原理知:
其中Cn=C'nBn, Dn=D'nBn。
4o.确定Cn, Dn。将 (1.7) 代人 (1.3) 得:
利用特征函数系{cos (nπL) }∞n=0的正交性及 (1.8) 可得:
即有:
同理可得:
代入 (2.7) 即得ProblemI的解。
注:在4o步中求解C0时, 学生常常会套用Fourier级数求系数的公式, 从而得到这样的结论:
显然当n=0时, 上面的表达式无意义。
产生错的原因是:
(1) 对Fourier级数展开的内容了解不清;
(2) 没有真正把握正交函数系的性质。
针对此问题, 可采取下列办法:
(1) 在讲分离变量法之前, 复习Fourier展开的内容, 重点突出正交函数系的性质和用法。如果课时允许可介绍一些谱展开的内容, 即可拓宽学生的视野也可加深他们对正交函数系的印象;
(2) 在讲分离变量法时, 多讲几个含n=0的实例, 让学生们充分掌握和灵活运用正交函数系的性质, 而不是死套Fourier展开公式;
(3) 在应用特征函数法求解时, 上面类似的错误也常常出现, 在教学中值得我们注意。
摘要：本文用分离变量法求解一类方程, 给出清晰的求解过程。重点指出学生在应用特征函数正交性时常出现的错误, 对该问题给出相应的解决办法。
关键词：分离变量法,特征函数,Fourier级数
参考文献
[1] 梁昆森.数学物理方法[M].人民教育出版社.
[2] 南京工学院数学教研组.数学物理方程与特殊函数[Z].
[3] 杨应辰, 徐明聪.数学物理方程与特殊函数[M].国防工业出版社.
[4] 袁德荣.数学物理方法[M].湖北科学出版社.