勾股定理是直角三角形一条非常重要的性质, 也是几何解题中最重要的定理之一。它揭示了三角形三条边之间的数量关系, 主要用于解决直角三角形中的计算问题, 是解直角三角形的主要根据之一, 同时在实际生活中具有广泛的用途。中国古代数学中几乎所有与勾股定理有关的问题均源于《九章算术》中的勾股章, 后续勾股定理的及其应用与之有着千丝万缕的联系。在刘徽注的《九章算术》勾股章中, 将勾股定理描述成“勾股各自乘, 并而开方除之, 即弦”。并以拼补的方式对其进行了证明。
1 勾股定理在生活中的应用
我们以一个寻找“外星人”的有趣试探来引出勾股定理在生活中的应用, 早在1820年, 德国著名数学家高斯曾提出, 可在西伯利亚的森林里砍伐出一片直角三角形的空地, 然后在这片空地里种上麦子, 在三角形的每个边上种上一片正方形的松树 (如图1所示) , 如果外星人看到这个巨大的数学图形, 便会知道这个星球上有智慧的生命。我国数学家华罗庚也曾提出, 若要沟通两个不同星球之间的信息交流, 最好在太空飞船中带去这样的图形。
利用勾股定理寻找“外星人”是一个很有趣的尝试, 同样我们巧妙地利用勾股定理解决生活中的许多实际问题, 并提高我们解决问题的动手能力。在实际生活问题中勾股定理的灵活应用是获取数学思维认识的有效途径, 并能拓展学生的知识技能, 我们以一个有趣的实例来说明勾股定理在生活中的应用。
例1:帮一帮建筑工人。
建筑工人在建房时, 要确保房基的四个角都是直角, 我们用怎么样的方法帮他们解决这个问题呢?如图2所示, 我们该如何确定∠是B直角。
思路:只需测量得到边AB、BC与AC的长度即可, 如果三边满足AC2=AB2+BC2的关系, 则可确定∠B是直角;否则∠B不为直角。
2 勾股定理在几何解题中的运用
解决数学问题的灵魂便是数学思想, 数学思想的理解有利于学生灵活地运用数学知识解决实际问题, 特别在几何问题中, 勾股定理的灵活运用显得异常重要。
2.1 勾股定理在旋转变换中的运用
在平面内将一图形绕某一点按一定的角度和方向进行旋转得到一个全等图形的过程, 我们称之为图形的旋转变化。将图形经过变换, 可使勾股定理得到有效的利用, 大大简化了问题的求解难度, 现以一例来说明勾股定理在旋转变换中的运用。
例2:如图3, 已知△ABC为等边三角形, D为三角形内一点, 且∠BDC=150°, DB=2, DC=1, 则DA的长度为多少?
思路:仅有的已知条件很难发挥作用, 这时就需要我们创造便于求解问题的条件。为了构造条件, 我们将△ADB绕点A逆时针旋转60°, 其位置如图中所示的△AEC, 则有等边三角形△ADE, DA的求解转移到求解DE的长度。
已知∠ACD=180°- (∠DAC+∠CDA) , ∠ABD=180°- (∠BAD+∠ADB) , 且∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD (△ABD≌△ACE) , 经简化计算有∠ACD+∠ACE=∠BDC-∠BAC, 且∠DCE=∠ACD+∠ACE=∠BDC-∠BAC, 即∠D C E=∠B D C-∠B A C=1 5 0°-6 0°=90°, 则△DCE为直角三角形, 斜边即为我们所求的DE, 根据勾股定理有:
。
2.2 勾股定理在斜三角形中的运用
在解题过程中, 我们经常遇到一类需求解斜三角形边长的问题, 难道此时勾股定理就无用武之地吗?事实并非如此, 不妨以一实例进行分析说明, 经转化后运用勾股定理进行求解, 达到事半功倍的效果, 如例3。
例3:如图4所示, 在△A B C中, ∠A C B=1 3 5°, A C=, B C=2, 需求解A B的长度。
思路:此时需适当地构造一直角三角形, 过点B作BD⊥AD交AC的延长线于点D, 此时△BAD与△BCD均为直角三角形, 那么知道了BD与CD的长度就可在直角三角形△BAD中求出AB的长度。
因为∠A C B=1 3 5°, 则∠B C D=4 5°, 即△B C D为等腰直角三角形, 由B C 2=CD2+BD2 (CD=BD) 得到CD=BD=。则在直角三角形△B A D中, 利用勾股定理有AB2=BD2+ (AC+CD) 2, 最后求解AB的长度为
2.3 勾股定理在图形展开中的运用。
利用图形展开这一技巧, 借助于勾股定理, 立体图形中许多求解困难的问题可转化到平面图形中进行处理, 往往取得很好的效果, 现举例说明。
例4:如图5所示, 三棱锥P-ABC的三个侧面均为等腰三角形, 其顶角为30°, 且已知侧棱PA=PB=PC=2cm, 则从点A出发, 依次经过三个侧面回到原点, 请问最短路程为多少?
思路:如果该问题不展开到平面图形中进行求解, 则在立体图形中非常困难。于是我们将三棱锥P-ABC展开为平面图形, 且平面图形中的AA1即为所求的最短路程, 如图5所示。将三棱锥P-ABC沿PA展开, 得到平面多边形P A B C A1, 且∠A P A1=9 0°。即△P A A1为等腰直角三角形, 利用勾股定理有:AA12=PA2+PA12, 则得到最短路程为:
。
3 勾股定理的推广
在直角三角形中, 勾股定理揭示了其三边之间的数量关系, 那么人们不禁要问, 在锐角或钝角三角形中, 三边之间又存在怎样的数量关系呢?本文在作辅助线的情形下利用勾股定理证明了斜三角形中各边之间的数量关系。
引理1在锐角三角形中, 任何一边的平方小于其它两边平方的和。
证明:在锐角三角形ABC中, 为证明引理1的成立, 需证明A B 2+B C 2>A C 2, A C 2+B C 2>A B 2, A B 2+A C 2>B C 2均成立。
如图6所示, 过A点作AD⊥BC, 垂足为D, 因为∠B与∠C均为锐角, 则垂足D在BC边上。
在△ACD与△ABD中, 由勾股定理可知A C 2=A D 2+C D 2且A B 2=A D 2+B D 2
故AC2-C D2=AB2-B D2=A B2- (BC-CD) 2
即AC 2+BC 2=AB 2+2BC·CD
又因为2BC·CD>0, 记得到AC2+BC2>AB2
同理可证得, AB2+BC2>AC2, AB2+AC 2>BC 2
引理2在钝角三角形中, 最大边的平方大于其它两边平方的和。
证明:在钝角三角形ABC中, 如图7所示, 假设∠C为钝角, 则引理2的证明只需证得A B 2>A C 2+B C 2即可。
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D, 在△A B D与△A C D中, 由勾股定理可知:A B 2=B D 2+A D 2与A C 2=C D 2+A D 2
故A B 2= (B C+C D) 2+A C 2-C D 2=B C 2+A C 2+2 B C·C D
又因为2BC·CD>0, 即得到AB2>BC2+AC2
故在钝角三角形中, 最大边的平方大于其它两边平方的和。
本文在介绍勾股定理历史背景的基础上, 引出勾股定理在生活中与几何解题中的应用, 并对其基本定理进行了推广。这样能够激发学生的学习热情和兴趣, 拓宽学生的视野和知识面, 培养学生对知识的认知能力。而且学生在掌握勾股定理的同时, 又能够学习数学史, 传承中国古代数学的精髓, 进而吸收数学的精华, 领略其中的奥妙。
摘要：勾股定理的证明及应用有着悠久的历史, 是几何学中一个非常重要的定理。本文对勾股定理在几何解题中的运用进行了分类讨论和举例分析, 并对其进行了推广, 旨在学生掌握勾股定理的同时, 领略数学的精髓。
关键词：勾股定理,几何,三角形
参考文献
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