微积分的基本数学思想

微积分的基本数学思想（精选8篇）

微积分的基本数学思想 第1篇

数学思想, 是指现实世界空间形式和数量关系反映到人的意识中, 经过思维活动而产生的结果, 它是对数学事实与数学理论的本质认识。

“纵然是把数学知识忘记了, 但数学的精神、思想、方法也会深深地铭刻在头脑里, 长久地活跃于日常的业务中。”通俗地说:数学思想就是把所学的数学知识和公式都排空以后还存留在头脑中的东西。

数学思想是数学知识的精髓, 是知识转化为能力的桥梁。我们学习微积分时, 更要感悟其中所蕴含的重要的数学思想。

二微积分中的基本数学思想

“微积分是漫长的一系列数学思想演变的结果, 是经过许多数学家、思想家的艰苦努力才逐渐发展起来的关于连续性和无穷小量的学说。它是随着变量与函数概念的采用而逐步建立起来的, 是继欧几里德几何之后, 全部数学中的一个最大的创造。”微积分本身就是一种数学思想, 它是许多科学家的思想结晶, 蕴涵了辩证哲学思想。由于它的博大精深, 在初步学习微积分的时候, 学生们往往感到很迷茫。微积分中包含了哪些最基本的数学思想和方法, 依据它们各自的功能又如何把它们分类?这是一个很有意义、比较复杂而有待认真探讨的课题。

我认为微积分中最基本的数学思想应包含:有限与无限思想、以直代曲的思想和极限思想等。只有充分认识和领悟了这几种思想才能更好地理解微积分、更深刻地认识微积分, 以至于灵活运用微积分这个数学分析的工具。

1. 有限与无限思想

对有限与无限 (即:无穷) 的认识是我们学习“微积分”的基础。牛顿和莱布尼茨都认为微积分是代数的扩展, 它是“无穷”的代数, 或者是具有无穷多个项的代数。极限、无穷大量与无穷小量、导数、定积分、级数等都以无限思想为依托。有限与无限相比, 有限是具体的, 无限是抽象的, 人们首先完成了对有限的认识, 而对无限的认识是有过一些曲折的过程的:

如:无限项相加1-1+1-1+1-1+……应该是多少?

如果运用结合律把它改写成 (1-1) + (1-1) + (1-1) +……似乎应等于0?

若把它改写成1- (1-1) - (1-1) - (1-1) -……又似乎应等于1?

如果我们把它们的和设为S, 可以写出S=1- (1-1+11-1+1-1+……) =1-S, 于是又有

仔细研究, 人们发现无限与有限有本质的区别, 我们不能把有限范围内的规律和法则完全照搬到无限中去。将对无限的研究转化为有限, 并用有限去认识无限, 这是解决无限问题的必由之路;另外, 将有限的问题转化成无限, 用无限分割、无限求和的方法解决有限量问题也是微积分基本思想之一。

有限与无限的思想应包含两方面:

第一, 通过有限认识无限。在微积分中, 为了达到认识不确定的、无限的情形, 常常是从确定的、有限的情形出发。

例如:描述数列的极限是1, 我们是这样做的。对于任意小的ε>0, 总有当n>N时, 始终有, 所以。

对于给定的ε>0 (无限地变化过程中的一瞬间) , 正数ε是确定的、有限的。在这有限的一瞬间, 对于n>N的一切与1的距离都小于ε。又由于ε的任意性 (任意小) 其无限变化的一面, 把“数列无限趋向于1”刻画的淋漓尽致。描绘极限没有比这种数学语言和数学思想更加准确和美妙的了。

再看无穷项求和的案例。如:

我们先假设一个有限项的部分和, 令n→∞显然有Sn→1。因此我们有理由相信, 无限项的和是1。

用一个正方形可以对这个级数的和给出一个绝妙的几何解释。从一个边长为1的空正方形开始, 用颜料填涂一半, 然后再填涂剩余空白的一半, 不断进行下去, ……, 永远, ……, 永远。“最终”填满面积为“1”的这个正方形。

对于无限项和的级数, 我们正是通过有限项来认识的。现在我们可以理解1-1+1-1+1-1+……的奇怪现象了。因为它的部分和 (有限项) 数列Sn只在0与1之间摇摆, 没有确定趋向, 我们称这种级数发散。

第二, 有限转化为无限。另一方面, 我们又通过无限来表示有限, 从而实现有限与无限的相互转化。

通常作为导数概念的引例——变速直线运动的速度问题。设物体作变速直线运动, 其运动方程 (路程s与时间t之间的函数关系) 为:s=s (t) , 求物体在时刻t0的瞬时速度。

物体在时刻t0的瞬时速度是一个确定的、有限的数值 (未知的) 。我们是通过构造无限的过程来实现对这个未知的有限的数值的认知。一般教材上都有描述。这就是用无限来认识有限的案例。

通常作为定积分概念的引例——曲边梯形的面积问题, 也是如此。

显然该面积是一个有限的常数, 我们运用无限分割的方法, 把这个有限的量转化成了一种特定的无限项和的形式, 从近似到精确, 从有限到无限, 再运用极限的思想最后求得它的准确值。

有限与无限是对立统一的。在微积分中, 经常利用有限来认识无限, 也通过无限来确定有限。学习微积分首先要理解有限与无限的思想。

2. 以直代曲的思想

曲与直相互转化的方法是微积分学乃至全部高等数学的重要的、必不可少的方法。以直代曲的思想可以说是微积分方法的灵魂。

直与曲的区别是极为明显的:从几何特征来看, 曲就是曲, 直就是直, 非此即彼;无论在理论上还是在实际的计算上, 直比曲要简单得多。物体的运动是绝对的, 静止是相对的;作为几何图形中的曲是绝对的, 直则是相对的。在一定的条件下, 它们可以相互转化。人们意识中的水平直线 (水平线) , 实际上是绕地球表面的圆弧。甚至连太阳光线也因爱因斯坦的相对论变得弯曲起来。但是在一定条件下, 曲可以转化为直。如一条曲线, 取其中十分微小的一段无限放大了去看近似为直线。恩格斯说:“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾:在一定条件下直线和曲线应当是一回事”这句话高度概括了微积分的基本思想。全部微积分学就是建立在解决“直”与“曲”的矛盾, 实现这一矛盾相互转化的基础上。“直线和曲线在微积分中终于等同起来了。”正是利用这种矛盾转化, 解决了初等数学中无法解决的一些问题。因此, “以直代曲”是高等数学的重要的必不可少的思想方法。

在微积分中, 曲转化为直的条件是“无限细分”。直线与曲线的等同是在无限细分过程中实现的。例如, 在前面提到的求曲边梯形的面积问题, 其步骤是:

首先化整为零:把曲边梯形的底边任意分成n段, 然后以每一小段为底边, 用平行于y轴的直线把曲边梯形分割成n个小的曲边梯形。然后“以直代曲”:在每个小曲边梯形中把曲边看成直边, 于是就可以用这些小“直边矩形”的面积近似地代小曲边梯形的面积, 在分割的条件下实现了局部的“以直代曲”。第三步积零为整:把所有的小矩形面积加起来, 求出曲边梯形面积的近似值。最后在无限细分的过程中由量变到质变, 得到曲边梯形面积的准确值。微积分中的“直”与“曲”的等同和转化, 突破了初等数学“山穷水尽疑无路”的困境, 开辟了由“直”认识“曲”的广阔特征, 给数学带来了“柳暗花明又一村”。

此外, 用定积分求曲线的弧长、求几何体体积等计算公式都是以直代曲的结果。计算变力作功、液体中的压力、物体的转动惯量等非均匀分布的问题, 则是以直代曲思想的升华。

3. 极限思想

极限思想是高等数学的核心思想, 是微积分的基础。微积分中几乎所有的重要概念都是由极限来定义的, 从连续概念到导数概念, 从定积分到级数的收敛发散等, 极限思想方法可以说贯穿了微积分的全部内容。

数学史上曾导致第二次数学危机产生的“贝克莱悖论”可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题:就无穷小量在当时实际应用而言, 它必须既是0, 又不是0。但从形式逻辑而言, 这无疑是一个矛盾, 这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱。化解这个危机的关键就是极限。

极限首先是个观念, 它融合了无限的思想。极限是对没完没了“无限的过程”的观察, 揭示了过程中两个变量变化趋势的内在个关联。其中自变量的变化趋势分为两大类:一类是x→x0;一类是x→∞;由于极限是研究变量在变化过程中的情况, 因此x变化趋向于x0始终不能到达x0, 这样一来, 你可以体验到x→x0的过程, 和x→∞一样“没完没了”。无论哪一种情形, 我们都不会考虑x从何处出发, 也不会考虑x具体如何趋于x0或趋向无穷大, 是蛙跳般不停不息?或是醉汉般的左右摇摆?还是连续地步步逼近?

当自变量有一个特定的变化趋势时, 相应的函数值是否无限接近于一个确定的数A?如果是, 则称数A为函数的极限。

“无限接近”还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的最直观的一步。经过多少代人的千锤百炼, 给微积分铸就了自己的倚天屠龙剑。那就是极限语言 (即ε–δ语言) 。没有这套语言, 我们没有办法给出极限定义, 也无法严密证明任何一个极限问题。

我们通过一个例子来体验一下:。按定义:对任给ε>0, 只要取, 当时, 就有。此即。

我们用蛙跳般的趋近来展示一下它的变化过程:

若要使| (2x+1) -5|<0.1, 只须δ=0.05;

若要使| (2x+1) -5|<0.01, 只须δ=0.005;

……

也即, 不管你要求 (2x+1) 与5多么接近, 都能办得到 (即找到相应的δ) , 对于满足的所有x都能使得 (2x+1) 与5接近程度达到你前面所提出的要求。因此我们说:当x趋向2时, (2x+1) 极限是5。

学习极限概念, 首先要学会观察, 了解过程中的变量有无确定的变化趋势。学习体验相应的发展趋势, 建立了极限的思想再去理解微积分中一些概念就不会太难了。

摘要：微积分是一系列数学思想演变的结果, 我们学习微积分时要感悟其中所蕴含的重要数学思想。只有充分认识和领悟了这几种思想, 才能更好地理解微积分、更深刻地认识微积分, 更好地掌握微积分的方法。数学思想是数学知识的精髓, 是把知识转化为能力的桥梁。微积分中最基本的数学思想包含:有限与无限思想、以直代曲的思想和极限思想等。

关键词：数学思想,微积分,有限与无限思想,以直代曲思想,极限思想

参考文献

[1]蔡上鹤.数学思想和数学方法[J].中学数学, 1997 (9)

[2] (日) 米山国藏著.数学的精神、思想和方法 (毛正中、吴素华译) [M].成都:四川教育出版社, 1986

[3]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海:上海教育出版社, 2009.9:109、185、203

[4] (美) M.克莱因.古今数学思想[M].上海:上海科技出版社, 1979:26

对“微积分基本定理”的初探 第2篇

[关键词] 微分与积分 完善 创立 统一

一、定理建立的时代背景

多数高等数学教材中的微积分基本定理,其严格的表述与证明的依据是由法国数学家柯西(Cauchy Augustin —Louis 1789～1851)在他的著作《分析教程》中提出的。

17世纪初,很多数学家为微积分的创建做了大量的准备工作。例如,意大利数学家Luca valerio和工程师Simon Stevion在求水闸压力问题时,先把水闸分成很窄的水平长条,然后让这些长条饶其中位线旋转成水平状态,再求出长条所受的压力,把所有长条上的压力加到一起就认为是水闸的压力。这种加法和现代的积分方法已经比较接近了。

微分学的前期工作是切线问题和极限问题,1629年,费尔马就研究过周长为2B的长方形,当边长为2B时其面积最大。即周长为一定的长方形中正方形的面积最大。在牛顿和莱布尼兹研究微积分之前,微积分的前期准备工作已经很长远了,所以,定积分出现在不定积分之前。而微分学的起源比积分学的起源晚得多。

牛顿(Newton Lssac,1642～1727),英国大物理学家和数学家,牛顿在1665～1687间,对微积分的研究成果为:《正流数术》、《反流数术》、《流数简论》、《运用无限项方程的分析》、《流数发与无穷级数》、《自然哲学的数学原理》。

莱布尼兹(Leibniz Gottfried Wilhelm,1646—1716)德国的大数学家和哲学家,他于1675年给出积分号“∫”,它是求和“sum”字头“S”的拉长,同年引入微分号“d”,1676年,莱布尼兹得出公式(e为实数).

后来又得到高级微分公式“莱布尼兹法则 ”。

经过18世纪、19世纪众多数学家的精细研究,微积分不仅硕果累累,而且概念更为准确,理论更为严密。其中,18世纪的代表作为欧拉的《无限小分析引论》,《微分学》和《积分学》。这三本巨作可成为数学史上的里程碑。19世纪最影响的是柯西,柯西的代表作有《分析教程》,《无穷小分析教程概论》,《微分计算教程》,在他的著作中,对极限、无穷小、函数的连续性、级数收敛性、导数与微分、定积分、微积分基本定理和中值定理都有精辟的论述。德国数学家维尔斯特拉斯(Karl Weierstrass.1815—1897)是微积分严格化的又一功臣。他建立了一种不依赖于直观的纯粹的算数化的微积分。终于使微积分达到了严密的形式。维尔斯特拉斯也被誉为“现代分析之父”。

法国数学家达布(Darboux..Jean Gaston 1842～1917)在1875年有给出了推广意义下的微积分基本定理(即把定理(1)(2)中的“f(x)在[a、b]连续”改为“f(x)在[a、b]可积”).

二、表述定理的两种形式

三、定理的重要解析意义

微积分主要由微分学与积分学两部分组成,微分学的中心问题为切线问题,积分学的中心问题是求积问题. 微分学与积分学是同时发展的两个概念,直到17世纪后期,微积分的基本定理建立以后,才在微分学与积分学之间架起一座桥梁,而且在理论上标志着微积分完整理论的形成,从此,微积分才成为一门独立的学科。

定理(1)与(2)揭示了定积分与不定积分之间的联系,求原函数,从而为计算定积分提供了一个十分有效的方法,同时揭示了微分与积分之间的本质联系—微分与积分互为逆运算。

定理(1)表明对函数取积分后再取导数,或对表达式取积分后再取微分,则完全恢复原状态。有如先后进行两种的两种运算先后“抵消”,因此,可以认为微分(或导数)与积分是互逆运算。定理(2)则从另一角度对这种关系做了进一步的揭示。我们取分点:,由微分中值定理知:

导数、微分、不等积分与定积分是微积分学中最重要的概念,其中微分与不定积分都是由导数定义的,三者之间的联系是明显的,但定积分同这三个概念的联系却不能从定义中看出,正是微积分基本定理从理论上揭示了定积分与微分之间的互逆关系,使微积分的四个重要概念得到了完全沟通,从而使微分学与积分学形成一个有机整体。自此可以看出,将定理叫“微积分基本定理”是理所当然的了。

参考文献:

[1]朱学志.数学史数学方法论.1984.

[2]李文林.数学珍宝—历史文献精选.1984历史文献精选.

微积分的基本数学思想 第3篇

在高等数学的学习中, 微积分基本公式是必不可少的重要公式之一, 却因为其证明方法少且复杂使得很多人心中缺少对微积分基本公式的直观认识.

定理: 如果函数F ( x) 是连续函数f ( x) 在区间[a, b]上的一个原函数, 则

依靠这个公式, 我们可以把求导函数定积分的问题转化成求原函数增量的问题, 大大减少了使用定义计算导函数定积分的计算量, 给微积分提供了一个有效而简便的算法.

二、微积分基本公式的证明

1. 用微分和数形结合思想理解微积分基本公式

从宏观角度来看, F ( x) 在[a, b]上的增量就是 Δy =F ( b) - F ( a) .

但从微观的角度来看, 我们不妨在F ( x) 在[a, b]上分出n个小区间[x1, x2], [x2, x3], …, [xi, xi +1] ( i = 1, 2, 3, …, n) , 每个小区间的长度为 Δx, F ( x) 在每个小区间上的增量为 Δyi ( i = 1, 2, 3, …, n) , 那么F ( x) 在[a, b]上的增量就是F ( x) 在每个小区间上增量的总和

而通过微分的定义

2. 对以上思想进行数学证明

设F (x) 在[a, b]上可导

∴ 导函数f ( x) 在区间[a, b]上连续

在[a, b]中任意插入若干个分点

把[a, b] 分成n个小区间[x1, x2], [x3, x4], …, [xn, xn +1],

个个小区间的长度依次为 Δx1= x2- x1, Δx2= x3- x2, …, Δxn=xn+1-xn,

记

参考文献

[1]经济数学.微积分[M].北京:科学出版社, 2011.

[2]数学分析新讲[M].北京:北京大学出版社, 2011.

微积分的基本数学思想 第4篇

关键词：数学基本思想 初中数学 课堂教学

【分类号】G633.6

前言：素质教育的不断深化，推动了我国的教学改革，在《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中，对于数学思想提出了明确的要求，将原本的双基教育改成了基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的四基教育。因此，初中数学教师应该及时更新教学观念，将数学基本思想渗透到数学课堂教学实践中，对学生的数学思想进行培养。

1 数学基本思想应用现状

数学基本思想，是数学知识精髓的一种体现，也是数学学科的本质所在，而伴随着素质教育的深化，也可以将其看做是一种数学学习的方法或者指导思想。对于学生而言，如果掌握了数学基本思想，可以将自身掌握的数学知识以及数学能力有机结合起来，提升数学素养。因此，在数学课堂教学中，渗透数学基本思想，是初中数学教师需要重点关注的问题，对于提升教学质量有着巨大作用。

但是从目前来看，数学基本思想在初中数学课堂教学中的渗透，存在着一些问题和缺陷，需要教师的重视：一是受传统教学理念和教学模式的影响，在课堂教学中，偏重于基本知识和解题技巧的传授，重视学生的应试能力，对于解题思想不够重视，影响了数学基本思想在数学教学中的应用和渗透，也影响了学生对于数学知识精髓的把握；二是在教学方法上，以题海战术为主，通过题型归类和大量的练习，提升学生的解题能力，而忽视了对题目和相关知识的精炼。这样，不仅会影响学生对于数学学科的兴趣，在長期重复性的解题过程中，还会形成思维定势，不利于学生自身创造性思维的发展，对于后续的数学学习有着巨大的负面影响[1]。

2 数学基本思想在初中数学课堂教学中的应用

针对上述问题，在初中数学课堂教学中，数学基本思想的渗透应该从以下几个方面着手：

2.1教学过程的渗透

在数学课堂教学中，教师应该及时对教学理念进行更新，深入挖掘教材中的数学思想，并以此为基础，对教学内容进行规划设计，有意识地在教学过程中渗透数学基本思想。在教学方法方面，可以采用小组合作或者情境创设的方式，以学生为主体，培养学生的自主学习能力，使得学生能够通过独立思考和小组讨论的形式，对包含在数学知识中的数学基本思想进行概括。例如，在对《正数与负数》的相关内容进行教学时，对于负数的概念及运算，部分学生经常会出现混淆，导致计算结果的错误。对此，教师可以引入现实生活中温度的概念，以零上温度和零下温度的相关概念，引导学生对负数的概念和运算进行理解，加强其对于相关知识的把握能力，促进教学效果的提高。

2.2解题思想的指导

在数学基本思想中，解题思想是一个非常关键的组成部分，如果学生能够有效掌握解题思想，则其解题速度和数学素养能够得到巨大的提升。对于数学教师来讲，在数学课堂教学中，应该合理设置教学内容，对教材中提供的例题以及练习题进行充分利用，指导学生的解题思想，使得学生能够在掌握数学知识和解题方法的基础上，进一步体会其中所蕴含的解题思想，优化自身知识结构，提升相应的数学素养和创新意识。例如，在对一元一次方程的相关内容进行教学时，存在着同类合并的解题思想，教师在进行讲解时，可以利用相应的习题，引导学生理解合并同类型的相关思想[2]。具体来讲，可以通过举例的方式进行解题思想的讲解。假定学校开设相应的计算机课程，连续三年一共购入电脑140台，第二年购入的台数是第一年的两倍，第三年购入的数量又是第二年的两倍，求第一年学校购入的电脑数量。这是一个非常典型的一元一次方程问题，在解题过程中，设第一年购入的数量为x，根据已知条件，可以得出相应的关系式，即x+2x+4x=140。在对方程进行求解时，利用同类合并的思想，可以将其转变为7x=140，从而轻松得到答案。教师应该引导学生关注相应的解题思想，奠定良好的基础，为日后的数学学习做好准备，促进学生数学能力的提高。

2.3学习兴趣的激发

在学习过程中，兴趣永远都是最好的老师，因此，教师应该通过数学基本思想的渗透，改变传统的课堂教学模式，激发学生的学习兴趣，进而促进教学水平的提高。

（1）创设课堂氛围：在初中数学课堂教学中，教师应该关注学生的兴趣爱好以及情绪，通过与学生的平等对话和沟通交流，开展丰富多彩的数学教学活动，创设一个轻松愉快的课堂氛围，鼓励学生大胆提问，帮助学生缓解紧张情绪，充分发挥自身的主观能动性。

（2）创设问题情境：可以在数学教学中，增加一些现实生活中可以看到的例子，方便学生理解和把握。例如，在对方程式进行教学时，对于未知数x，一些学生会感到很奇怪，这时，教师可以利用相应的故事或者谜语，将x带入其中，使得学生认识到x就是方程式这个谜语的谜底，从而调动其对于学习的兴趣[3]。

3 结语

总而言之，在初中数学教学中，数学基本思想是教学的关键和精髓，把握数学基本思想，能够促进学生数学素养的提升，推动课堂教学效果的改进。对于初中数学教师而言，应该在教学过程中渗透数学基本思想，激发学生的学习兴趣，引导学生掌握解题思想，提升学生的数学素养，逐步推动初中数学教学的发展。

参考文献：

[1]孙雅琴.渗透数学基本思想的初中数学课堂教学实践研究——以“化归”思想为例[D].重庆师范大学，2012.

[2]陈锦兰.渗透数学基本思想的初中数学课堂教学实践[J].理科考试研究：数学版，2014，（4）：17.

数学思想方法在微积分教学中的运用 第5篇

高职数学应该重视数学思想的应用, 强化其在微积分教学中的运用效果, 采取渗透方式激发学生的参与性。在微积分教学过程中应该有意识地引导学生, 注重理论与实践相结合。将数学思想与教学内容进行结合引导学生开展教学活动。

多媒体技术的应用能够创新数学思想方法, 提升微积分教学效果。极限概念的学习是微积分当中最为基础的部分, 保证极限概念教学的有效性是微积分学习得到强化的关键。利用多媒体对极限概念进行展示, 体现无限逼真的效果, 这样能够使高职学生对极限概念有一个感性认识, 使学生能够积极参与到极限概念的学习中。设计可控式动画参数, 保证学生能够自由对参数进行设定, 明确无限与有限之间的关系。导数是曲线中某一点切线或者是运动事物在某一时刻产生的瞬时速度。因此, 在导数学习中应该注重对瞬时速度的了解。切线斜率充分说明了导数几何意义, 也是意义上的导数瞬时速度, 对于导数瞬时速度进行充分确认能够培养学生对微积分直觉能力。对高职微积分理论教学进行研究应该了解学生的实际情况, 对导数定义进行讲解的时候利用多媒体技术, 保证示意图的正确性, 同时设计动画对无线趋向进行展示说明。这样学生通过动画直观地感受到无限接近数学思想的实际情况, 明确导数的概念意义。教师在讲曲边梯形的面积时, 如果能形象地显示当分割越细时, 曲边梯形的面积的近似值越接近曲边梯形的真实面积S, 自然可用其极限值代替S。教师在微积分教学过程中应该及时引导学生对概念知识的了解, 使学生深刻体会到微积分知识的魅力, 灵活掌握微积分学习方法, 创新思维模式, 转化成为数学能力。

数形结合方法能够根据微积分学习, 利用直观形象体现数学的规范性特点, 这是数学思想与数学方式相互结合的充分体现。微积分是函数学习的重要内容, 对函数进行图像化发展能够更加直观地反映数学性质。在微积分学习过程中采取数形结合的方法, 是对数学教学特点的说明, 能够及时地引导学生对微积分知识的掌握, 也是对数形知识的整理。数形的内在转换能够培养学生微积分整体意识, 形成良好的思维习惯, 加深对微积分知识的理解能力, 优化整体知识结构, 应用能力的提升使学生充分掌握解决问题的能力。

构建模型是学习高等数学重要方法, 能够将抽象的数学概念, 利用实际问题进行说明。保证解决问题强化研究对象。在高职微积分教学过程中知识点的学习应该注重构建模型思想方法的应用。在实际问题中利用函数关系进行变量处理, 建立函数模型能够更好地解决函数问题。引导学生对微积分知识背景等进行了解, 明确其中的本质含义。学生建模能力的提升将会更加全面掌握微积分知识, 增强对数学的分析能力。

化归转换思想的方法是对研究对象利用现有条件进行转化总结, 实现两种思维相互转化的方法。在微积分教学过程中, 教师应该注重利用这种思想方法引导学生解决遇到的问题。这样才能够在微积分学习的过程中树立主动学习思维, 采取灵活多变的方式解决问题。在对曲线中某一切线进行计算的时候可以利用函数导数对切线点进行转化, 这样能够保证问题更好地解决。针对平面图形等, 可以采用定积分方式对问题进行解决。将抽象的数学问题转换成为实际问题, 利用特殊情况总结规律性问题, 这是化归转换思想方法的重要体现, 将会实现学生思维的创新。化归思想方法是微积分教学过程中应用最为广泛的方法, 不但能够使学生的思维目标得到确定, 同时还能够避免盲目性的学习, 在根本上提升学生的数学学习效率, 符合高职学生学习微积分的实际情况。

在高职数学教学中强化数学思想方法, 能够为学生建立系统的数学知识体系, 使学生形成完整的数学观念。微积分教学应该注重引入实际生活, 这样能够激发学生的学习兴趣。利用实际案例指导学生思维创新, 学生综合素质提升将会使分析能力进一步得到强化。

摘要：高职数学教学应该重视特色基础教学, 利用丰富的教学思想引导学生开展数学活动。在微积分教学过程中培养学生的思维能力, 降低学生学习微积分的难度。在掌握知识技巧的同时, 推动学生数学素质的进一步提升。

关键词：数学思想,微积分教学,思维能力

参考文献

[1]韦国燕.浅谈微积分教学中数学思想方法及应用[J].教育与职业, 2006 (29)

微积分的基本数学思想 第6篇

数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学, 哲学是研究客观世界的本质及规律的科学, 是自然科学和社会科学的概括和总结, 是理论化、系统化的世界观和方法论.

数学从量的角度分析问题, 哲学从质的角度分析问题. 质与量是表征事物基本规定性的哲学范畴, 量是质的等级、规模、范围、排列次序和结构的表现, 是事物可以由数和形来表示的规定性. 事物是质与量的统一体, 质的内容必须借助于一定的量来表现. 数学是研究量的科学, 通过量的分析, 揭示事物的性质特征. 哲学是人类思维的结晶和提炼, 浩瀚星云, 苍茫大地, 芸芸众生, 阴阳和谐, 无一不在其视野中, 无一不被其包罗收容.

数学和哲学具有共同的特点, 即高度的抽象性、广泛的应用性和逻辑的严密性.

数学与哲学联系紧密、交相辉映、齐驱并进. 数学中蕴含着哲学, 并以其成果推动着人类哲学思想的发展, 同时哲学作为世界观, 为数学发展提供指导作用, 哲学作为方法论, 为数学提供认识工具和探索工具.

哲学与数学的关系源远流长, 数学家B. Demollins说过: “没有数学, 我们就无法看穿哲学的深度; 没有哲学, 人们也无法看穿数学的深度; 而若没有两者, 人们就什么也看不透. ”迪卡尔说: “哲学与数学的统一: 美丽的梦. ”

二、哲学家与数学家

纵观数学和哲学的发展历史可以看到, 推动数学发展的巨匠往往是哲学家, 又有好多哲学家精通数学. 弗雷格说过: “一个好的数学家, 至少是半个哲学家; 一个好的哲学家, 至少是半个数学家. ”在他们眼里, 数学与哲学是同宗同源的.

西方第一位哲学家古希腊的泰勒斯是希腊几何学的鼻祖. 古希腊的毕达哥拉斯, 发现了勾股定理, 得出了“万物皆数”的著名哲学命题. 柏拉图对严密定义和逻辑证明的坚持, 促进了数学的科学化, 他相信数是一种独特的客观存在, 由此产生了数学上的“柏拉图主义”. 亚里士多德, 是逻辑学的创始人, 为几何学奠定了巩固的基础, 他的公理化思想促进了几何学的诞生和发展. 哲学家赫拉克利特提出的朴素的辩证法思想促进了数学的发展. 笛卡儿于17世纪上半叶划时代地在数学中引进了变量概念和运动的观点, 被誉为是“数学的转折点”, 导致了微积分的诞生, 进而推动了自然科学的发展. 莱布尼茨创建了微积分, 并发明了优越的微积分符号, 他在哲学上是客观唯心主义者, “单子论”是他的著名哲学观点. 哥白尼的日心说揭开了现代科学的序幕, 支撑他信念的是毕达哥拉斯的数学化哲学: 万物皆数, 天体是永恒神圣的, 必然按照最完美和最和谐的圆周做匀速运动. 希尔伯特直言不讳, 他关于无限的形式主义思想来自康德的哲学观念. 罗素从分析哲学的基本立场出发, 坚持逻辑即数学的青年时代, 数学即逻辑的壮年时代的观点.

牛顿和莱布尼茨建立了微积分, 找到了描述无限和运动的数学语言和方式. 牛顿的微积分概念本身就是一种哲学观念, 通过从几何切线、瞬时速度等直观问题的抽象提炼, 牛顿完全从哲学高度把握住了无限小的零和非零的辩证关系. 这是一种高屋建瓴的概括, 入木三分的洞察. 牛顿的思想是思辨哲学的高峰, 不仅是在数学上发展了一种学说, 形成一整套行之有效的算法, 如极限、导数、微分、积分计算等, 而且从哲学范畴上讲, 无限变动问题借助于强有力的分析数学思想得以在有限的范围内表述. 恩格斯把微积分的发明看成是人类精神的最高胜利, 至今还没有其他一门学科能像数学那样精确辩证地处理运动和静止这对哲学范畴. 进入20世纪, 围绕着数学基础研究所产生的三大流派更是把两者的关系推向了巅峰.

在我国历史上, 数学成果往往带有一种哲学思辨的色彩, 而哲学观点又借助于数学语言来表述. 如惠施提出的“至大无外, 谓之大一; 至小无内, 谓之小一”, 可以说是中国数学史上关于“无穷大”和“无穷小”这两个数学概念的最早表述, 然而这一命题, 却是为论证他“泛爱万物, 天地一体”的哲学观.“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”, 揭示了一个趋于无限的分数系列, 是中国数学史上最早的极限概念的萌芽, 但这一思想的提出, 也是哲学思辨的产物.《周易》的整个体系是“生于数, 积于数, 成于数, 变通于数”, 提出了一种运用数学手段去范围天地、曲成万物的观点, 鼓励人们去穷极数的变化规律, 这对于以后传统数学的发展, 也是有推动和促进作用的.《管子》可以称为古代数学与哲学相结合的范例, 在他的一整套法家理论中, 哲学和计算却是一个重要的部分和基本的原则.

哲学家芝诺于公元前5世纪提出了几个著名的悖论, 加上无理数的发现, 使人们对于数学能否成为一门科学产生了怀疑, 这就是第一次数学危机; 由于初期的微积分逻辑上的缺陷, 围绕微积分基础开始了大论战, 英国的唯心主义者大主教贝克莱的攻击最为激烈, 数学家、哲学家都纷纷介入, 引起了第二次数学危机; 哲学家罗素在集合论中发现的“罗素悖论”, 震动了整个数学界, 引起了数学界、哲学界激烈的争论, 为第三次数学危机. 这三次数学危机, 都和哲学家及其哲学思想相联系, 伴随着哲学家、数学家之间激烈的论战, 反映了尖锐的哲学思想斗争.

三、哲学思想与数学理论

哲学的观点决定了数学的思想, 哲学思想指导着数学理论的发展. 哲学以博大的胸怀容纳了数学的理论, 数学以广泛而深奥的知识丰富了哲学宝库.

对立统一规律是唯物辩证法的实质和核心, 是唯物辩证法的最基本的规律. 任何事物自身都包含既相互联系又相互排斥的两个方面, 两者共处于矛盾的统一体中. 运用对立统一规律, 人们可以从有限认识无限, 从部分认识整体, 从近似认识精确.

在微积分中, 有些概念既对立又统一, 比如常量与变量、有限与无限、微分与积分等, 可以说对立统一规律是贯穿于微积分的一条根本规律. 极限概念是微积分的重要的概念, 极限思想蕴含着丰富的辩证思想, 是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确以及否定与肯定的对立统一. 如数列极限, 其中正数ε一方面具有绝对的任意性, 这样才能有an无限趋近于a, 另一方面, 正数ε又具有相对固定性, 从而an- a < ε表明an无限趋近于a的渐近过程的不同阶段, ε的绝对任意性是通过无限多个相对固定性的ε表现出来的, ε的这个两重性质既对立又统一, 从而使数列极限的ε - N定义, 从近似转化到精确, 又能从精确转化到近似, 它是极限定义的精髓. 极限是数学中体现哲学观点和方法的极具代表性的概念, 它是人类从有限到无限认识上的一次飞跃, 使我们充分认识到有限到无限的过程, 近似与精确的关系.

微分和积分是矛盾的两个方面, 是对立的, 又是统一的, 矛盾的双方各以对立的一方为自己存在的条件, 牛顿—莱布尼兹公式, 又进一步揭示了积分与微分的内在联系, 由此可见, 这个基本公式是微分与积分对立统一关系的数学表达式, 其内容是十分深刻的, 被称为微积分的基本公式.

运动与静止之间的对立统一关系, 在微积分中通过连续与离散间相互转化得到了淋漓尽致的揭示. 数学是一门充满了对立统一规律的学科. 对立统一规律是指导我们进行数学研究和数学教学的重要思想武器.

在唯物辩证法中, 任何事物都是质和量的统一体. 量变和质变既有区别又有联系, 两者之间有着辩证关系. 量变是质变的准备, 量的变化达到一定的度, 就不可避免地引起质变, 只有质的变化才是事物根本性质的变化. 微积分中从一元函数到二元函数, 由于自变量的一个增加到二个, 这个量变引起了质变, 首先表现在自变量的变化方式上, 由原来的二种到现在的无穷多种更确切的说是不可数种, 使得二元函数许多性质与一元函数有本质的不同.

否定之否定规律揭示了事物自己发展自己的完整过程是经历两次否定、三个阶段, 即由肯定达到对自身的否定, 并再由否定进到新的肯定———否定之否定. 每一个数学理论的发展都符合否定之否定规律. 在理论最初形成时, 该理论得到肯定, 随着实践的需要和研究的深入, 该理论的不完善、不精确之处逐渐暴露出来并被否定, 进而数学家们开始研究如何使该理论更完善、更精确, 最终得出新的结论, 达到新的肯定. 任何事物的内部都包含着肯定因素和否定因素, 都是肯定方面和否定方面的对立统一. 任何事物的内在矛盾都可以归结为肯定和否定两个方面, 唯物辩证法从事物肯定和否定的对立关系中, 揭示了事物发展是辩证否定的过程. 微积分中无界、不连续、不一致连续等概念的定义都是通过对它的对立面有界、连续、一致连续的否定而得到的.

定积分的几何背景是曲边梯形的面积, 按照化整为零 (分割区间) , 以直代曲, 求近似值, 取极限的思想求出面积 (瑕积分、多重积分、曲线积分、曲面积分. 计算曲边梯形的面积, 首先将原来曲边梯形分割成若干个小曲边梯形, 在每个小曲边梯形中, 视曲边为直边, 以直边梯形面积之和作为大曲边梯形面积近似, 其次, 分割无限加细, 取极限, 这样小直边梯形面积转化为大曲梯形面积, 实现了“以曲代直”, 这种方法是由曲到直再由直到曲, 体现的哲学思想是由变到不变的否定之否定的辩证法思想, 这样“化整为零, 积零为整”的方法, 是微积分最基本的思想方法之一.

微积分有着丰富、典型、深刻的辩证法思想, 因此在微积分教学中, 以哲学思想来指导教学和学习, 可以使学生站在较高的角度认识数学、理解数学, 提高学生的观察能力、思维能力、推理能力和创新能力.

摘要：数学与哲学是密切联系、相辅相成的.数学理论中蕴含了丰富的哲学思想, 哲学思想又指导着数学理论的发展.研究哲学思想和数学理论的联系, 是认识数学的需要, 也是研究数学, 发展数学的需要.以微积分为例, 探讨微积分中丰富、典型、深刻的辩证法思想, 用哲学思想来指导教学和学习, 可以使学生站在较高的角度认识数学、理解数学, 提高学生的观察能力、思维能力、推理能力和创新能力.

关键词：哲学,思想,微积分,理论,联系

参考文献

[1]徐利治.数学方法论选讲[M].武汉:华中理工大学出版社, 2000.

[2]郑毓信, 刘晓力.康托的无穷的数学与哲学[M].南京:江苏教育出版社, 1989.

[3]刘云章.数学·教学·哲学断想[M].呼和浩特:内蒙古文化出版社, 2001.

[4]M克莱因.古今数学思想[M].上海:上海科学技术出版社, 1981.

[5]张奠宙, 过伯祥.数学方法论稿[M].上海:上海教育出版社, 1996.

微积分的基本数学思想 第7篇

关键词：多元函数积分,计算方法,数学思想,教学研究

多元函数积分是学生掌握的重点和难点, 其积分涉及到二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分、对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分等六种类型, 如果再加上极坐标下的二重积分、三重积分的先单后重法和先重后单法、柱面坐标下的三重积分和球面坐标下的三重积分, 其计算方法非常繁杂。学生常常对不同积分的计算方法容易忘记或搞混淆, 即使有些学生知道怎么计算, 也经常会问为什么这种积分这样计算那种积分又那样计算, 究其根本是学生不知道每一种积分计算方法背后的数学思想。实际上, 多元函数积分很多计算方法的数学思想都来源于日常生活, 如果教师在授课时可以将这些计算方法的数学思想讲清楚, 并将其与日常生活联系起来, 学生理解和掌握起来就非常容易, 这样不仅可以激发学生的学习兴趣和积极性, 而且可以启发学生思考, 从而达到满意的教学效果。下面, 笔者根据多年的教学实践, 做简单总结.

一、二重积分计算的数学思想

在讲述二重积分概念的时候, 为避免概念的抽象和空洞, 可以用曲顶柱体的体积问题和平面薄板的质量问题为例引出二重积分的定义。反过来, 二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积, 物理意义是平面薄板的质量。这样, 二重积分的很多性质, 可以用其几何意义和物理意义来解释, 而且可以以曲顶柱体体积的计算或平面薄板质量的计算背景来介绍其计算方法。下面以平面薄板质量的计算为背景来介绍二重积分计算的数学思想。

将f (x, y) 视为平面薄板D的“面密度” (当f (x, y) <0时, 不是真正的面密度只是形式上看成面密度) , 这样, 求即求平面薄板D的“质量”。

这里关键的思想就是“将平面薄板D看作由无数条平行于y轴的线段拼成”, 这个思想既容易理解也容易数学实现。

二、三重积分计算的数学思想

三重积分的物理意义是空间立体的质量。这样, 三重积分的很多性质, 可以用其物理意义来解释, 而且可以以空间立体质量的计算为背景来介绍三重积分的计算方法。下面介绍三重积分的“先单后重法”和“先重后单法”的数学思想。

将f (x, y, z) 视为空间立体Ω的“体密度” (当f (x, y, z) <0时, 不是真正的体密度只是形式上看成体密度) , 这样, 求即求空间立体Ω的“质量”。

其中Dxy上的二重积分按二重积分的方法计算。这里关键的思想就是“将空间立体Ω看成由无数条平行于z轴的线段拼成”。

其中Dz上的二重积分按二重积分的方法计算。这里关键的思想就是”将空间立体Ω看成由无数张平行于这里关键的思想就是“将空间立体Ω看成由无数张平行于x Oy面的薄片拼成”。

三、计算对弧长的曲线积分的数学思想

对弧长的曲线积分的物理意义是曲线型物体的质量, 因此其性质, 可以用其物理意义来解释, 而且可以以曲线型物体质量的计算为背景来介绍对弧长的曲线积分的计算方法。

将f (x, y) 视为平面曲线L的“线密度” (当f (x, y) <0时, 不是真正的线密度只是形式上看成线密度) , 这样, 求即求平面曲线L的“质量”。

这里关键的思想是“将曲线段的质量转化成直线段的质量”, 即“化曲为直”。

四、计算对坐标的曲线积分的数学思想

对坐标的曲线积分的物理意义是变力沿曲线做功, 因此对坐标的曲线积分的性质, 可以用其物理意义来解释, 而且可以以变力沿曲线做功的计算为背景来介绍对坐标的曲线积分的计算方法.

这里关键的思想是“把变力沿曲线做功转化成沿直线做功”, 仍是“化曲为直”。

五、计算对面积的曲面积分的数学思想

对面积的曲面积分的物理意义是曲面型物体的质量, 因此对面积的曲面积分的性质, 可以用其物理意义来解释, 而且可以以曲面型物体质量的计算为背景来介绍其计算方法。

其中Dxy上的二重积分按二重积分的方法计算。这里关键的思想是“将曲面型物体的质量转化成平面型物体的质量”, 即“化曲为平”。

六、计算对坐标的曲面积分的数学思想

对坐标的曲面积分的物理意义是流体通过有向曲面的流量, 因此其性质, 可以用其物理意义来解释, 而且可以以流体流量的计算为背景来介绍对坐标的曲面积分的计算方法。

根据流量的可加性, 可先分别求x轴、y轴和z轴方向的流量, 再求和。

这里关键的思想仍然是“流体流过曲面的流量转化成流过平面的流量”, 仍是“化曲为平”。

七、结束语

以上, 笔者总结了几种多元函数积分计算方法的数学思想。可以发现这些数学思想都来源于日常生活, 来源于我们的生活经验。一旦学生理解了这些思想, 他们会发现数学并不难, 也并不抽象, 数学的学习也变得轻松有趣起来, 很多同学由最初的害怕、恐惧数学, 变得越来越喜欢数学了。

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学下册 (第6版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京:高等教育出版社, 2010.

[3]李治飞.多元函数积分的简化计算[J].高等数学研究, 2011, 14 (2) :34-36.

[4]张杰, 侯为波.多元函数积分学的教学探讨[J].淮北煤炭师范学院学报, 2010, 31 (2) :74-77.

基本思想，小学数学教学的重要指向 第8篇

关键词：小学数学；基本思想；双基；四基

2011版的《义务教育数学课程标准》给出了“四基”的概念，即在传统基础知识与基本技能的基础上，增添了基本思想与基本活动经验两个重要表述。传统的双基在小学数学教学中起到了极为重要的作用，已经成为中国基础教育的一个特色，而对于新增加的基本思想与基本活动经验，近年来也有不少专家与一线教师做出了重要的探究。笔者以为，要想让新增加的基本思想与基本活动经验像传统的双基一样，在小学数学教育中起到重要的指导作用，就必须对这两个概念做出超越概念本身的理解，尤其是要结合教学实际，丰富其教育理解，生成符合一线教师所需要的实践经验。近年来，笔者对此进行了不断的探究，取得了一些认识。本文试以“基本思想”为例，谈谈笔者的理解与实践。

■一、基本思想的理论理解，重在基本与思想两个关键词

基本思想这一概念只有放到小学数学教学的具体情境中，才会有其小学数学教学的意义。对于小学数学教学而言，基本思想不应当是抽象的甚至是空洞的理论，而应当紧紧围绕“基本”与“思想”两个关键词，并结合小学数学教学的具体实践去理解并实施。

从小学数学教学的具体情境来看，“思想”应当有三个角度的理解：一是数学抽象；二是数学推理；三是数学建模。思想之所以能够成为思想，关键在于其能在整个数学学习的过程中发挥一以贯之的作用。众所周知的是，小学数学教学是以基本的数与形为基础的，用数学思想来统领数与形的教学，就意味着要从小学生的实际生活中寻找数与形的原型，并对其进行数学抽象，然后在数学推理的基础之上建立数学模型，从而让学生获得一个能够用数学去发现问题、分析问题并解决问题的思维基础或者说工具基础。

而从“基本”这一关键词来看，笔者是这样理解的：思想意味着在小学数学教学的过程中，要超越具体的知识教学，以达到让学生进入建立在知识建构基础之上的方法境界或思维境界。请注意，这里笔者所强调的是超越而不是忽视，是因为笔者意识到只有重视知识教学（其实呼应了“四基”当中的“双基”），学生的思想才有源头活水。也只有重视了这一教学思路，“基本”二字才能真正得到贯彻落实。

譬如在长方体体积（苏教版小学数学六年级上册）的教学中，要让学生得到“长方体的体积=长×宽×高，就必须给学生提供一个可供分析的具体形象。苏教版教材上是在提供了体积为1立方厘米的小正方体的基础上，向学生提供了一个由十二个小立方体组成的大长方体，然后让学生在1立方厘米的基础上去建构大长方体的体积认识，学生自然会在最基本的四则运算的基础上，借助于生活经验去得出12立方厘米的认知结果。这还不是唯一的教学过程，事实上教材还设计了变式的教学思路让学生自己去搭建不同形状的长方体，这是一个非常出色的教学设计，其看起来是丰富学生的学习形式，让学生通过亲身体验去获得丰富的长方体的体积认知，实际上却是在用变式的心理学要诀，让学生在形式不同、实质相同的重复认知当中获得非常清晰的长方体体积认识。事实也证明，绝大部分学生通过这样的学习过程，确实可以顺利地构建出长方体体积的公式。

从基本思想的角度来看，这个过程让学生在具体的体验基础之上进行数学抽象，即从一个个具体的长方体，到思维中构建出来的任意长方体；让学生从一个事例向若干个事例进行数学推理，以发现长方体体积的一般规律；让学生建立起数学模型就是任意长方体在思维中构建出来的形象，以及随之生成的长方体公式。经过这样的学习过程，学生在遇到长方体及其体积问题时，自然就会浮现出长方体的体积公式，从而也就形成一种数学直觉。笔者以为，这个数学直觉正是基本思想演绎的结果。

■二、基本思想的实践探究，重在其对教学实践的指导性

本思想之于教师而言，应当成为一种很自觉的教学意识，也就是说，只有当基本思想作为教师在教学设计之始就开始考虑的问题时，其才能够真正发挥其基本思想的作用。

譬如教“数“的概念，在小学数学中，数是一个既形象又抽象的概念，说其形象，是因为小学生在进入义务教育之前，就已经接触数的概念，甚至还有相当一部分学生初步接触了数的加减运算等。但如果仅仅满足于此，笔者以为还不是真正的”数“的教学。只有当教师在设计本课时，心中不仅有小学阶段数的学习与运算的概念，同时还有整数、分数、小数等概念，甚至还有代数、函数等概念，这个时候教师心中的关于数的形象才是丰满且立体的。有了这样的认识，教师在课堂上向学生传递数的概念的时候，就不会再是孤立的数及运算，还会有一种向学生注入思想的教学心理。以最简单的10以内的数的相加减教学为例，这是小学一年级的内容，属于”基本知识“，相应的运算则属于”基本技能“。如果仅仅从”双基“的角度出发，那本内容的教学将十分简单。但如果还注重”基本思想“（当然也包括基本活动经验），那本课的教学就会多出许多有意思的环节出来。比如说笔者在教学中就设计了这样的几个环节：一是让学生到生活中寻找10以内与数相关的生活原型。结果学生寻找出了一只手5个手指，两只手10个手指的例子；寻找出了家里有爸爸妈妈两个人，另加爷爷奶奶两个人的例子；还寻找出了家里三个房间，每个房间都有1张床的例子。在这样的实际例子中，都存在着数学抽象的基础，在数学抽象的过程中，教师要引导学生认识到，生活中数不仅仅是以1、2、3……的符号存在着，更应当理解为通过阿拉伯数字这样的符号，来描述生活中与数相关的对象，这样，数与数量这两个重要概念就会被学生所内化，学生所获得的也就不只是”双基“而是”四基“了。

当然，这里还有更多的教学细节需要注意。如学生在从若干个用“一”来描述的对象中抽象出数字1时，从若干个由“五”来描述的对象中抽象出数字5时，学生所获得的恰恰是一种“量的多少”与“数的多少”的一一对应的关系，在这种关系对应的过程中，学生所收获的就是对“数”与“量”的认识，就是用“数”来描述“量”的意识，就是一种缄默于心的关于数和量的认识以及由之衍生的数量计算，从而为后面的四则运算打下基础。事实上，当学生后来能够直觉性地反应出6大于5、7小于8时，这种认识已经超越了基于生活经验基础上的认识，这种认识已经具有了数与量的基因，已经真正属于数学认知的范畴，而非生活认知的范畴。

基本思想作为小学数学教师的对象，作为引导小学数学教师更新对自身所从事的数学教学的认识，作为产生指导性作用的有效载体，对其内涵与外延的理解需要进一步深入。笔者以为，这种深入过程，本质上也是作为“四基“之一的”基本思想“在数学教师的认识当中不断深化的过程。

■三、基本思想的学生理解，重在思想在学生思维中生根

数学思想作为一个教学范畴的概念时，其是不需要在学生思维当中存在的，也就是说学生不必建立数学思想的认识。但是，数学思想作为一种教学对象或者说教学要求，是必须面向学生的，只有学生建立起关于基本思想认识（以缄默知识的形态存在），才能说基本思想成为指引学生进一步进行有效数学学习的思想。

那么，如何让基本思想成为一种有效的学生角度的理解呢？笔者以为关键在于教师的引导。小学数学作为一种带有启蒙性质的抽象知识的教学，需要教师的有效引导，而引导的有效与否，又取决于教师的引导策略。笔者的实践表明，这个过程中还是要从基本思想的基本内容出发，着重做好三个方面：

一是引导学生学会抽象。这个上面已经多次强调，此处不赘述。

二是引导学生学会概括。概括是极为重要的思维能力，也是数学学习当中必需的能力。作为一种基础性能力，其形成关键在于学生能够处于异求同或者同求异的情境当中，只有当教师以变式的思想给学生提供形非神似的情境时，学生才会具有分析与归纳的动力，而只有有了这样的动力，概括才有可能发生，有了概括才有可能形成概括能力。从概念的角度来看，数学推理隶属概括，强调概括的意思是要让学生能够在数学推理的基础上生成对非数学事例的概括能力，这是能力延伸的一种表现。

三是引导学生重视建模。数学建模的特点在于能够将数学对象用模型来表述，事实上这不仅仅是数学问题解决所需要的一种能力，也是生活问题解决所需要的能力。对于小学生来说，真正需要解决的生活问题并不是很多，但从长远来看，从基本思想的本义来看，建模有其极端重要性。因此在数学问题得到解决之后，引导学生思考问题何以得到解决，是建模意识形成的重要途径。同样，这一过程一般来说是隐性的，让学生生成意识即可。

综上所述，小学数学教学中，从双基到四基，演变的不仅仅是概念，更是小学数学教师对数学教学的理解，是数学教学的静悄悄的革命。