1 引言
我们知道泰勒级数和麦克劳林级数不能够直接用来对如ex, tanx类的函数求近似值, 然而, 有限项泰勒级数或麦克劳林级数, 也就是去掉截断误差后剩下的有限项构成的级数是一个多项式函数, 可以用来逼近已知的函数.这种多项式叫做泰勒多项式或麦克劳林多项式.
2 泰勒多项式
2.1 阶的泰勒多项式
我们强调函数f (x) 在a点的值可以被过点 (a, f (a) ) (图1) 的切线近似地逼近.这条线叫做函数的线性近似线, 并且我们发现p1 (x) =f (a) +f′ (a) (x-a) , p1 (x) 是由两项组成的, 即泰勒级数f (x) 关于a展开的0阶和1阶。称此为一阶泰勒多项式。如图1所示, 可以认为p1 (x) 是函数f (x) 在x=a附近的近似逼近函数。
例1在函数f (x) =lnx中求在a=1处的一阶泰勒多项式, 并用它来求ln 0.9, ln1.5的近似值。
解因为f (x) =lnx, ;则f (1) =0, f′ (1) =1.因此p1 (x) =0+1⋅ (x-1) =x-1于是, x趋近于1时lnx≈x-1并且ln 0.9≈0.9-1=-0.1, ln 1.5≈1.5-1=0.5, ln 0.9和ln 1.5正确的四位的值分别为-0.1054和0.4055。正如所料, ln 0.9的近似值比ln 1.5的近似值更确切。因为0.9比1.5更接近于1。如图 (2) 所示
2.2 n阶导数的泰勒多项式
当x趋近于a时, p1x线性近似的精度最高, 但近似精度随着x逐渐远离a。利用高阶泰勒多项式近似会取得更好的效果。, 上式是关于f (x) 勒级数的前三项组成的, 对于f (x) , p2 (x) 将会比线性近似的p1 (x) 有一个更好的效果。以a为基数的n阶泰勒多项式是
例2对f (x) =lnx以a=1为基数的函数p2 (x) , 并用它来求ln 0.9, ln1.5的近似值.
正如所料, 这个公式比线性近似p1 (x) 的近似度更高.图3展示出了函数
f (x) =lnx以及它的近似值p2 (x) .
3 泰勒多项式误差的探讨
麦克劳林多项式当a=0时, n阶的泰勒多项式就化简成为n阶麦克劳林多项式, 麦克劳林多项式应用于戈x=0附近的近似。
例3求ex和cosx的n阶麦克劳林多项式.用n=4求e0.2和cos (0.2) 的近似值。
为了让大家更好地从图中理解麦克劳林公式是如何求cosx的近似值的, 我们给出了一个图, 图中包括p1 (x) 、p5 (x) 、p8 (x) 和cosx。如下图4
在例3中, 我们用4阶麦克劳林公式求cos (0.2) 近似值的过程如下:
, 这个例子向我们展示了在求近似值的两种误差.第一种是所选方法的误差, 我们用4阶的多项式而不是精确的级数部分和来计算cosx.第二种误差是计算的误差, 这是由近似带来的误差, 正如我们把无限循环小数0.9800666⋯用0.9800667来代替一样。
我们可以用更高阶的麦克劳林多项式来减小误差, 但是用更高阶的多项式意味着更多的计算, 这也增加了计算出错的可能性.如果想得到一个更好的数值分析值, 就必须在这两种错误中找到一个平衡点, 而这不仅仅是一门科学更是一种艺术, 然而关于方法误差我们还是可以探讨一些确切的东西的, 我们下面就证明这些东西。
方法中的误差带余项的泰勒公式是:, 误差就是余项Rn (x) , 即是x与a之间的实数.这个误差公式是由约瑟夫·路易斯·拉格朗日给出的, 因此经常称为泰勒多项式的拉格朗日误差公式。当a=0时, 泰勒公式就是麦克劳林公式。
我们的问题就是要求c点, 我们只知道c是x与a之间的数, 对大多数的问题来说, 我们必须根据c的边界来确定泰勒余项的范围.下面的例子论述了这个观点。
例4近似计算e0.8, 误差值要小于0.001。
解对于f (x) =ex, 麦克劳林公式的余项为因此, 而0
, 很容易检验当n≥6时, 成立, 所以当我们用6阶的麦克劳林公式时就能得到我们想要的精度。
, 经过计算器计算得到2.2254948。0.001
我们能够确保误差小于0.001吗?当然可以.我们的近似与精确答案会不一样吗?也许会, 但我们可以很自信地写上2.2255, 误差一定小于0.001。
求|Rn (x) |界的方法Rn (x) 的精确值几乎是永远得不到的, 因为我们不知道c, 只知道它在一定的区间内.因此, 我们的任务就是c在区间内|Rn (x) |的最大可能值.而这通常是很困难的, 因此我们只找一个|Rn (x) |比较好的上界, 这需要用到不等式的一些性质, 我们主要的方法就是用三角不等式|a±b|≤|a|+|b|以及当分子变大、分母变小时, 分数值变大这一规律。
例5如果c在区间[2, 4]内, 对于的最大值, 给一个合适的上界。
例6用2阶的泰勒公式近似计算cos620, 然后给出近似误差的一个上界。
解由于620接近600, 因此, 我们用泰勒公式在求近似值。
由于误差很小, 我们可以很确定地写上cos620=0.4694654, 误差小于0.0000071。
计算误差到目前为止的所有例子中, 我们都假设了误差小到可以忽略的程度, 因为我们的计算只是涉及计算次数很少的问题, 但是有必要说明的是, 当用计算机做上千甚至上百万次计算时, 误差可能会积累而导致一个扭曲的答案。
有两类重要的计算误差的来源即使采用计算器也无法避免, 考虑下列计算:a+b1+b2+b3+⋯+bm其中, a远大于式中任何的bi (i=1, ⋯, m) , 例如, a=10000000而bi=0.4, i=1, ⋯, m.如果我们依次把b1、b2等加到a中, 我们每一步都近似等于10000000, 然而, 当bi的和加到25时, 我们应该认为bi的和影响了总和.在把很多小的数加到一个或两个大的数之前, 先计算所有小的数的和是明智的.
另一类更可能的计算误差的来源是在两个相近的数相减时, 丢掉了有效数字, 例如, 用0.823445减去0.823421, 每个数都有六位有效数字, 而它们的差得0.000024, 只有两位有效数字, 我们通过一个求导数的例子来说明丢掉有效数字而造成的麻烦。
例7对于函数f (x) =x4, 求f′ (2) 。
解:, 理论上说, 当n增大时, 结果应该越接近真实的值32.但是当我们用8位小数的计算器计算时, 当n变得太大时, 我们注意一下发生了什么.
即使用16位或32位的计算器也会发生同样的问题, 如果不顾及计算中的有效数字, 当n足够大时, 在上式中的微商将会变为0.数值分析时一定要熟知这种类型的计算误差.
摘要：本文从泰勒级数展开式谈起, 用数值和图形探讨多项式函数如何近似逼近一般函数, 并针对近似误差的种类和误差估值大小做了有益的探讨.
关键词：泰勒多项式,麦克劳林多项式,近似,误差
参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 1987.
[2] 复旦大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 1978.
[3] 同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2002.
[4] 西南财经大学经济数学系.微积分教程[M].成都:西南财经大学出版社, 2005.