盒维数是描述分形集复杂程度的重要参数, 由于计算及经验估计相对简单, 在实际中被广泛采用。在文献[1]中, Falconer提出了剪切集的概念, 并研究了一维情况下剪切集的盒维数, 本文将这一方法对二维情形作了推广, 并由此给出了Cantor三分集和Sierpinski垫的盒维数的计算方法。
1知识准备
这里我们用到的是盒维数的等价定义:
定义1:设E是Rn上任意非空的有界子集, Er={x∈Rn:存在y∈E, 使|x-y|≤r}称为E的r-邻域, 则E的下、上盒维数分别定义为:
且如果下面极限存在, 则E的盒维数定义为:
其中voln是n维体积或维勒贝格测度。盒维数也称为闵可夫斯基维数。
所谓剪切集, 是指从初始集上剪切掉一系列集合而得到的分形, 一维情况下也就是剪切掉一系列区间。设A是R上的一
个有界闭区间, A1, A2…是A的满足的不交的开子
区间序列, (其中Ai是Ai的长度。) 设, 则E是一个勒贝格测度为零的剪切集。记ɑi=A, 并假设这些开区间以递减的长度排序, 故ɑ1≥ɑ2≥ɑ3…。
定理1:设是如上所述的剪切集, 那么
2主要结果及应用
高维的剪切集情况比较复杂, 这里我们主要讨论二维的情形。
设A是R2中的一个有界闭区域, A1, A2, …是包含在A中且全部面积与的面积相等的不交的开区域序列, 设, 则E是一个面积为零的剪切集。用V (r) 表示E的r-邻域Er的面积, 从定义1可以看出, 计算E的盒维数的关键就是找出V (r) 与r的关系。
假设ri是Ai的直径, 且设r1≥r2≥r3…。如果rk+1<2r
受A的形状与剪切掉的诸Ai的形状的影响, 这里无法给出V (r) 的具体表达式, 但我们可以按上述方法计算V (r) , 从而求出相应的剪切集的盒维数, 这里以Cantor三分集和Sierpinski垫为例。
例1:Cantor三分集的构造:将区间[0, 1]三等分, 去掉中间的开区间 (1/3, 2/3) , 剩下2个闭区间[0, 1/3]和[2/3, 1];再将剩下的这两个闭区间分别三等分, 并各去掉中间的开区间 (1/9, 2/9) 及 (79, 8/9) ;然后再把剩下的4个闭区间按相同方法处理。如此继续做下去, 最后剩下的永远也删不去的那些点构成的集合就称为Cantor集 (如图1所示) 。
Cantor集是R中一个典型的剪切集, 沿用前面的记号, 这里相应地,
例2:Sierpinski垫的构造:令S0表示平面上的单位正三角形面构成的集合;连接S0三边中点, 得到四个边长为的小正三角形, 去掉中间一个的内部, 剩余的部分所构成的集合记为S1;S1对的每个正三角形重复上述操作, 得到集合S2;把上述过程无限进行下去最终得到的集合即为Sierpinski垫 (如图2所示) 。
Sierpinski垫就是二维空间R2中的一个剪切集。沿用前面的记号, A=S0, A1, A2, …分别表示剪去的小正三角形内部, (按直径从小到大排列。) 用ɑ1, ɑ2…分别表示A1, A2, …的边长, b1, b2, …
分别表示A1, A2, …的面积, 则
用E表示Sierpinski垫, 用V (r) 表示E的r-邻域Er的面积, 如果2-k-1
用记号c≈d表示对某λ1, λ2≥0, λ1≤c/d≤λ2成立, 那么
摘要：本文介绍了R和R2中剪切集的盒维数的计算方法, 并由此求出Cantor三分集和Sierpinski垫的盒维数。
关键词：剪切集,盒维数,Cantor三分集,Sierpinski垫
参考文献
[1] 肯尼思.法尔科内著.曾文曲等译.分形几何中的技巧[M].沈阳:东北大学出版社, 2002.
[2] 肯尼思.法尔科内著.曾文曲等译.分形几何——数学基础及其应用[M].沈阳:东北大学出版社, 2003.