二项式定理教案范文

二项式定理教案范文第1篇

学习目标:

1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法;

2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题;

3、通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法解决实际问题的能力，激发学生对数学学习的热情。

教学重点:正弦定理的证明及基本运用。

教学难点:正弦定理的探索和证明及灵活应用。

一、预习案: “我学习，我主动，我参与，我收获!”

1、预习教材P45---48

2、基础知识梳理：

(1)正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的_______________的比相等，即在ABC中,___________=__________=____________=2R. ，(其中2R 为外接圆直径)

(2)由正弦定理

abc2R可以得到哪些变形公式? sinAsinBsinC

(3)三角形常用面积公式：

对于任意ABC，若a，b，c为三角形的三边，且A,B,C为三

边的对角，则三角形的面积为：

①SABC_____ha(ha表示a边上的高).②SABC1211absinCacsinB____________. 2

23、预习自测：

(1)有关正弦定理的叙述：

①正弦定理只适用于锐角三角形;

②正弦定理不适用于直角三角形;

③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值;

④在ABC中，sinA:sinB:sinC

其中正确的个数是()

A、1B、2C、3D、

4(2)在ABC中，一定成立的等式是( ).

A. a sin A = b sin BB. a cos A = b cos B

C. a sin B = b sin AD. a cos B = b cos A

(3)在ABC中,sinAsinC,则ABC是()

A、直角三角形 B、等腰三角形C、锐角三角形 D、钝角三角形

(4) 在ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知

A:B:C=1:2:3,则a：b：c=_____________________. a:b:c。

我的疑惑:__________________________________________

二、探究案: “我探究，我分析，我思考，我提高!”

探究

一、叙述并证明正弦定理。

探究

二、在

ABC中，已知B30,AB面积SABC试求BC。

探究

三、已知ABC中，bsinBcsinC,且sin2Asin2Bsin2C,试判断ABC的形状。

合作探究后谈谈你的解题思路。

规律方法总结：_________________________________________

训练案：“我实践，我练习，我开窍，我聪慧!”

1、在

ABC中，ABAC1,且B,A,C成等差数列，求ABC的面积。

2、在ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，且

试判断ABC的形状。

cosAcosabBcoscC，

我的收获

-----反思静悟体验成功

二项式定理教案范文第2篇

众所周知, 描述实数集连续性有六大定理:确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和柯西收敛准则, 且它们彼此互相等价, 在很多教材[1～3]中都有给出证明。有限覆盖定理的着眼点是闭区间的整体, 而其它几个定理的着眼点是一点的局部。因为它们形式上的这种区别, 所以在证明问题中也有不同的功用, 而且证明方法和难易程度也不尽相同。一般地, 但凡证明的结论涉及到闭区间的问题, 可以考虑使用有限覆盖定理, 凡是证明的结论涉及到一点的问题, 可以考虑使用其他几个等价定理。但是应用反证法时整体 (即闭区间) 与局部 (即一点) 又可以相互转化。在本文的最后一节, 我们将以致密性定理的证明为例来介绍这两个定理的应用区别。

由于实数完备性定理的应用向来是学生学习的一大难点。本文选取六大定理中的区间套定理和有限覆盖定理为例, 对定理的条件作深入分析:因为定理中“闭区间”换为“开区间”结论可能不成立, 那么考虑添加怎样的条件后, 可保证对“开区间”结论仍成立?我们得到较好的结果, 并以定理给出。

1 区间套定理的注记

区间套定理是实数完备性系列定理之一, 《数学分析》中许多定理的证明用到区间套定理, 如:聚点定理、有限覆盖定理、柯西收敛准则、连续函数的介值定理及根的存在性定理等的证明。它的主要特点是把整体性质收缩到某一点的任意邻域, 这样“化整为零”, 又利于极限方法的运用。

定理1.1若是一个闭区间套, 即:

则在实数系中存在唯一的一点使得。

注记1.1定理中要求区间套中各区间都为闭区间, 定理的结论才成立。对满足定理中条件 (1) 和 (2) 的开区间套, 定理结论不一定成立。见例 (1) 。但可减弱为下面定理1.2的条件。

例 (1) 满足定理2.1中区间套的条件1) 和2) , 但不存在属于所有开区间的公共点。

定理1.2若是一个严格开区间套, 即满足且, 则在实数系中存在唯一的一点, 使得证明

考虑闭区间套, 则有定理2.1知:

在实数系中存在唯一的一点, 使得

事实上。下面只要证明:

假设存在某个, 使得, 则有严格开区间套得:, 这与矛盾。故对任意的。

同理可证:对任意的。

2 有限覆盖定理的注记

有限覆盖定理是实数完备性定理中唯一一个反应整体性质的定理, 也是一个重要定理。它揭示了闭区间的一个本质性质:紧致性, 它在极限理论中特别是连续性问题中起着重要作用。

定义2.1设S为数轴上的点集, H为开区间的集合。若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内, 则称S为H的一个开覆盖, 或称H覆盖S。若H中开区间的个数是无限 (有限) 的, 则称H为S的一个无限开覆盖 (有限开覆盖) 。

定理2.1设H为[a, b]闭区间的一个无限开覆盖, 则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a, b]。

注记2.1定理中要求对“闭区间”的无限开覆盖才有有限开覆盖。对“开区间”的无限开覆盖不一定有有限开覆盖。见例 (2) 但条件减弱为下面定理2.2中的条件时, 结论仍成立。

例 (2) 开区间 (0, 1) 可由覆盖, 但不存在H中有限个开区间覆盖 (0, 1) 。

定理2.2设H是开区间 (0, 1) 的一个无限开覆盖, 对于任意小的 (可以与H有关的) , 使得都至多含于H的有限个开区间内, 则从中可选出有限个开区间来覆盖 (a, b) 。

证法一:反证法。假设定理结论不成立, 即不能用H的有限个开区间来覆盖 (a, b) 。将 (a, b) 等分为两个子区间, 则其中至少有一个不能用H的有限个开区间来覆盖, 记这个子区间为, 则。

再将等分为两个子区间, 则其中至少有一个不能用H的有限个开区间来覆盖, 记这个子区间为。

由于存在某个都至多含于H的有限个开区间内, 故经过有限次 (不妨设H次) 上述对分后, 一定可以得到闭区间, 不能用H的有限个开区间来覆盖。

再一直对分下去, 可以得到闭区间套, 所有不能用H的有限个开区间来覆盖。由闭区间套定理知:存在唯一的点:

。由于H是开区间 (a, b) 的一个无限开覆盖, 故存在开区间于是当n充分大时, 有, 这表明可以用H的一个开区间来覆盖, 与挑选时不能用H的有限个开区间来覆盖相矛盾。从而证得必存在H的有限个开区间来覆盖 (a, b) 。

证法二:用定理2.1.由题设可以被H覆盖, 由定理2.1知:存在H的有限开覆盖来覆盖, 又对于任意小的 (可以与H有关的) , 使得都至多含于H的有限个开区间内, 故都至多含于H的有限个开区间内, 从而可以从H中选出有限个开区间来覆盖 (a, b) 。

3 用区间套定理和有限覆盖定理证明致密性定理

本节我们以致密性定理的证明为例介绍区间套定理和有限覆盖定理的证明方法。

用区间套定理证明问题时, 关键是构造一个满足一定条件的区间套, 再由区间套定理套出一个“公共点”, 这个点一般就是满足要求的点。

当我们想把闭区间上每一点的局部性质扩充到整个闭区间上为整体性质时, 就可以考虑用有限覆盖定理。

例 (3) 利用有限覆盖定理证明:闭区间上连续函数的有界性。 (略)

定理3.1 (致密性定理) 有界数列一定有收敛的子列。

证法一 (用区间套定理) 设数列有界, 即存在M>0, 使-M

将区间[-M, M]等分为两个子区间, 则其中之一必含有无限多项, 记此子区间为, 。再将等分为两个子区间, 则其中之一必含有无限多项, 记此子区间为。依次下去可得闭区间套, 且每个无限多项。

摘要：本文对描述实数连续性的两个定理:区间套定理和有限覆盖定理的条件进行分析, 给出定理中条件“闭区间”换为“开区间”后, 怎样修改条件可使结论仍然成立。并以致密性定理的证明为例来介绍区间套定理和有限覆盖定理的应用区别。

关键词：实数连续性,区间套定理,有限覆盖定理,致密性定理

参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析 (上册) (第三版) [M].高等教育出版社, 2001.

[2] 欧阳光中, 朱学炎, 秦曾复.数学分析[M].上海:上海科学技术出版社, 1982.

二项式定理教案范文第3篇

300多年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=没有非零整数解”。费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最著名的定理—费马大定理。

费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数论，提出了许多定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为费马最后定理。

费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=z只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。

二项式定理教案范文第4篇

(营山中学四川营山 637700)

费马大定理：一个正整数的三次以上的幂不能分为两正整数的同次幂之和。即不定方程znxnyn当n≥3时无正整数解。

证明：当n=2时，有z2x2y2

∴x2z2y2(zy)(zy)(1)

令 (zy)2m2 则 zy2m2代入(1)得

x2z2y22m2(2y2m2)22m2(ym2)22m2l2

22∴x2mlyl2m2zlm

当n=3时，有z3x3y3

∴x3z3y3(zy)(z2zyy2)(2)

令 (zy)32m3 则 zy32m3代入(2)得

3x3z3y332m[ (y32m3)2(y32m3)yy2]

32m3(3y2332m3y34m6)33m3(y232m3y33m6)

若方程z3x3y3有正整数解，则(y232m3y33m6)为某正整数的三次幂，即

(y232m3y33m6)l3

∴ y(y32m3)l333m6(l3m2)(l23m2l32m4)

则必有 y(l3m)和y3m(l3ml3m)，而y,m,l都取正整数时，这两等式是不可能同时成立的。所以(y3my3m)l不成立。即x不可能取得正整数。所以，当n=3时，方程zxy无正整数解。

当n>3时，同理可证方程zxy无正整数解。

定理得证。

二项式定理教案范文第5篇

(营山中学四川营山 637700)

费马大定理：一个正整数的三次以上的幂不能分为两正整数的同次幂之和。即不定方程znxnyn当n≥3时无正整数解。

证明：当n=2时，有z2x2y2

∴x2z2y2(zy)(zy)(1)

令 (zy)2m2 则 zy2m2代入(1)得

x2z2y22m2(2y2m2)22m2(ym2)22m2l2

22∴x2mlyl2m2zlm

当n=3时，有z3x3y3

∴x3z3y3(zy)(z2zyy2)(2)

令 (zy)32m3 则 zy32m3代入(2)得

3x3z3y332m[ (y32m3)2(y32m3)yy2]

32m3(3y2332m3y34m6)33m3(y232m3y33m6)

若方程z3x3y3有正整数解，则(y232m3y33m6)为某正整数的三次幂，即

(y232m3y33m6)l3

∴ y(y32m3)l333m6(l3m2)(l23m2l32m4)

则必有 y(l3m)和y3m(l3ml3m)，而y,m,l都取正整数时，这两等式是不可能同时成立的。所以(y3my3m)l不成立。即x不可能取得正整数。所以，当n=3时，方程zxy无正整数解。

当n>3时，同理可证方程zxy无正整数解。

定理得证。

二项式定理教案范文第6篇

总所周知，x+y=z有无穷多组整数解，称为一个三元组;x^2+y^2=z^2也有无穷多组整数解，这个结论在毕达哥拉斯时代就被他的学生证明，称为毕达哥拉斯三元组，我们中国人称他们为勾股数。但x^3+y^3=z^3却始终没找到整数解，最接近的是：6^3+8^3=9^-1，还是差了1。于是迄今为止最伟大的业余数学家费马提出了猜想：总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。也就是：

x^n+y^n=z^n，当n大于2时没有整数解。

这是一个描述起来非常简单的猜想，但358年来困扰了包括欧拉和柯西在内的一代代大数学家，他们得到了一些进展，比如当n等于3和4时猜想成立，但x、y、z和n的取值范围是无限的，要证明整个猜想谈何容易!更气人的是费马在一本书的页边处写下这个猜想后还加了一个评注：我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。这不是一种赤裸裸的挑战嘛。

1984年事情有了转机，一个叫弗莱的德国数学家提出，如果费马猜想不成立，那个就可以找到三个整数使方程成立，表示为：

A^N+B^N=C^N，接着他通过复杂的变换，这个等式转换成了一个椭圆方程：

y^2=x^3+(A^N-B^N)*x^2-A^N*B^N

而这个椭圆曲线太过古怪，他断定由于这个由假设费马猜想不成立引出的椭圆方程是如此古怪，所以它不可能模形式化。后来一个叫里贝特的数学家严格证明了这个椭圆方程确实不能模形式化。

现在必须要说明啥叫椭圆方程的模形式化了，而说明这个问题以前还得介绍啥叫椭圆方程和模形式。

椭圆方程是形如y^2=x^3+a*x^2+b*x+c方程(a，b，c是任何整数)，对这种方程的一个重要研究领域就是研究每一类椭圆方程的整数解个数，但当x和y的取值是无限时研究起来就很困难。于是科学家就发明了在时钟算术中研究每类椭圆方程的整数解。何为时钟算术呢，就是把正常数轴延伸到正负无穷的两端接起来，这个圈有几格就算几格时钟算术，比如我们的手表就是在实践12格时钟算术。它有如下性质：

3+11=2

3*4=0

5+6=11

等等。这样求椭圆方程的整数解就方便了。如果一个椭圆方程在1格时钟算术中有1个解，2格时钟算术中有4个解，3格时钟算术中有4个解，4格时钟算术中有8个解，5格时钟算术中有4个解，6格时钟算术中有16个解等等，我们就可以记录为：

E1=1

E2=4

E3=4

E4=8

E5=4

E6=16

.

.

.

这成为这个椭圆方程的 E-序列。每个椭圆方程的E-序列就像它的DNA一样浓缩这它的特征信息。

模形式是在由两根实轴和两根虚周组成的四维复空间里的超对称结构，而每一个模形式都可以拆成各种基本要素的组合组成的，比如一个模形式是由1个1号要素，3个2号要素，2个3号要素组成，那么这个模形式的M-序列就可以写成：

M-序列：

M1=1

M2=3

M3=2

.

.

.

正如E-序列包含了椭圆方程的特征信息一样，模形式的M-序列也包含了各个模形式的特征信息，是模形式的DNA。

1955年在东京举行的一个学术会议上日本青年数学家谷山丰和志村五郎提出了一个猜想：一个椭圆方程的E-序列一定和一个模形式的M-序列完全对应。这就叫椭圆方程的模形式化。这是一个惊天的猜想，在它被证明以前就得到了广泛应用，几百篇论文是这样开头的：如果谷山-志村猜想成立。

现在的问题清楚了，如果谷山-志村猜想成立，那个每一个椭圆方程都可以模形式化，而由假设费马猜想不成立引出的椭圆方程却被证明不可以模形式化，这样就引出了矛盾。于是谷山-志村猜想成立和费马猜想不成立这两个假设不可能同时成立。所以只要证明了谷山-志村猜想，那费马猜想不成立的假设就被推翻，于是费马猜想也被证明了。

于是真正的英雄出场了。安德鲁怀尔斯在知道假设费马猜想不成立引出的椭圆方程被证明不能模形式化后受到震撼，也备受鼓舞，于是重拾童年时的梦想于1986年开始了7年的秘密研究，目标就是证明谷山-志村猜想，也即等价证明费马猜想。他先用一年时间思考用什么方法来证明，最后选定数学归纳法。他用群论的方法顺利证明每个椭圆方程的E-序列第一项都和某个模形式M-序列的第一项相等，第二步是个假设每个椭圆方程的E-序列第n项都和某个模形式M-序列的第n项相等，第三步是艰辛的，要证明如果第二步假设成立就每个椭圆方程的E-序列第n+1项都和某个模形式M-序列的第n+1项相等。开始他采用了经过自己加强的伊娃沙娃理论来证明第三步，但到了第5年他感到伊娃沙娃理论没法得到他想要的结论。怀尔斯暂时结束半隐居状态，回到学术圈，想看看别的数学家有没有新的可利用的理论，他确实在老师的无意谈论中找到了科利瓦金-弗莱切方法，这个方法正对怀尔斯的需要，他在强化这个方法后取得了突破进展，到1993年1月他第一次向一个他认为可靠的同事透露他的研究，并请他审阅自己的手稿。他们采用了一种狡黠的方式开展这项工作，由怀尔斯开了一门研究生课程“椭圆曲线的计算”，专门讲他的手稿。这个叫凯兹的同事也坐在研究生们中间，很快枯燥艰深的演算把不明就里的研究生们都吓跑了，凯兹成了唯一的听众，正好开展审阅手稿工作。1993年5月末，怀尔斯借助一个19世纪的数学构造完成了最后一簇椭圆方程的证明。93年6月23日怀尔斯在剑桥举行的学术会议上公布了证明。会后200多页的证明手稿被分成6部分由6名审稿人审稿。审稿采用审稿人在世界各地审稿，针对存在的问题用电子邮件向怀尔斯提问，开始进展顺利，审稿人的问题被怀尔斯半天到3天就给以解答。但9月份还是那个凯兹同事提的一个问题彻底难住了怀尔斯，这个问题是“在半稳定情况下，塞尔默群的精确上界的计算还不完全”。在将近一年的弥补这个漏洞的挣扎

中，数学界很焦急，也很骚动，大家要求怀尔斯公开手稿，大家来帮他，可怀尔斯拒绝了，最后有些数学家开始恶搞怀尔斯了，编他的愚人节笑话。第二年9月19日的清晨，怀尔斯又坐在书桌前检查科利瓦金-弗莱切方法，这次他不是相信这个方法还能完成证明，而只是想看看它为啥行不通。突然灵光闪现，他突然发现科利瓦金-弗莱切方法本身行不通但却可以使他抛弃的伊娃沙娃方法生效!有些事情就是这样的，长期的努力本来就接近突破，但过份的执着和焦虑阻碍你的心智，所以没法实现飞跃，但当你认为没办法了准备放弃，放松心态冷静下来时反而灵感突发取得突破。当年阿难尊者被邀请在第一次佛经结集时口颂佛经，可他当时还没有证阿罗汉果，没有资格参加结集，所以他抓紧时间努力修行，争取马上证果，可越是紧越没法达成心愿。到了结集这一天，尊者一看天都亮了，自己还没证阿罗汉果，就想没指望了，于是连日修行的疲惫身心放松下来，准备睡一下觉，当他往下躺，头还没碰到枕头的空中夙世的因缘成熟，尊者一下子证得阿罗汉果!他得以参加结集，说了他的万古名言“如是我闻”。

接下来事情就顺利了，200页的手稿被双剑合璧地缩减成了130页，最后发表在《数学年刊》1995年5月刊上。因为这个成果怀尔斯获得了沃尔夫奖和菲尔兹特别奖(超龄，破格)。正义战胜了邪恶，王子公主从此过上了幸福的生活。

注：本帖子取材于《费马大定理》 上海译文出版社

上世纪后半页，理论数学家们陷入了十分尴尬的境地，一方面他们已经很久没做出突破性工作，一方面借助计算机的机器证明开始兴起，著名的四色猜想就是机器证明的。数学家们不喜欢使用蛮力的穷举法机器证明，也诟病机器证明的程序没法完全保证没有bug，以及没法验证，但心里也是颇为酸楚的。这个时候救星出现了，他叫安德鲁怀尔斯，是普林斯顿大学的教授，美籍英裔，剑桥大学出身，椭圆曲线顶级专家。他躲在阁楼成一统，7年孤独磨一剑，又经过一年的审稿炼狱，最终证明了费马大定理!那么何为费马大定理呢?

总所周知，x+y=z有无穷多组整数解，称为一个三元组;x^2+y^2=z^2也有无穷多组整数解，这个结论在毕达哥拉斯时代就被他的学生证明，称为毕达哥拉斯三元组，我们中国人称他们为勾股数。但x^3+y^3=z^3却始终没找到整数解，最接近的是：6^3+8^3=9^3-1，还是差了

1。于是迄今为止最伟大的业余数学家费马提出了猜想：总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。也就是：

x^n+y^n=z^n，当n大于2时没有整数解。

这是一个描述起来非常简单的猜想，但358年来困扰了包括欧拉和柯西在内的一代代大数学家，他们得到了一些进展，比如当n等于3和4时猜想成立，但x、y、z和n的取值范围是无限的，要证明整个猜想谈何容易!更气人的是费马在一本书的页边处写下这个猜想后还加了一个评注：我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。这不是一种赤裸裸的挑战嘛。

1984年事情有了转机，一个叫弗莱的德国数学家提出，如果费马猜想不成立，那个就可以找到三个整数使方程成立，表示为：

A^N+B^N=C^N，接着他通过复杂的变换，这个等式转换成了一个椭圆方程：

y^2=x^3+(A^N-B^N)*x^2-A^N*B^N

而这个椭圆曲线太过古怪，他断定由于这个由假设费马猜想不成立引出的椭圆方程是如此古怪，所以它不可能模形式化。后来一个叫里贝特的数学家严格证明了这个椭圆方程确实不能模形式化。

现在必须要说明啥叫椭圆方程的模形式化了，而说明这个问题以前还得介绍啥叫椭圆方程和模形式。

椭圆方程是形如y^2=x^3+a*x^2+b*x+c方程(a，b，c是任何整数)，对这种方程的一个重要研究领域就是研究每一类椭圆方程的整数解个数，但当x和y的取值是无限时研究起来就

很困难。于是科学家就发明了在时钟算术中研究每类椭圆方程的整数解。何为时钟算术呢，就是把正常数轴延伸到正负无穷的两端接起来，这个圈有几格就算几格时钟算术，比如我们的手表就是在实践12格时钟算术。它有如下性质：

3+11=2

3*4=0

5+6=11

等等。这样求椭圆方程的整数解就方便了。如果一个椭圆方程在1格时钟算术中有1个解，2格时钟算术中有4个解，3格时钟算术中有4个解，4格时钟算术中有8个解，5格时钟算术中有4个解，6格时钟算术中有16个解等等，我们就可以记录为：

E1=1

E2=4

E3=4

E4=8

E5=4

E6=16

.

.

.

这成为这个椭圆方程的 E-序列。每个椭圆方程的E-序列就像它的DNA一样浓缩这它的特征信息。

模形式是在由两根实轴和两根虚轴组成的四维复空间里的超对称结构，而每一个模形式都可以拆成各种基本要素的组合组成的，比如一个模形式是由1个1号要素，3个2号要素，2个3号要素组成，那么这个模形式的M-序列就可以写成：

M-序列：

M1=1

M2=3

M3=2

.

.

.

正如E-序列包含了椭圆方程的特征信息一样，模形式的M-序列也包含了各个模形式的特征信息，是模形式的DNA。

1955年在东京举行的一个学术会议上日本青年数学家谷山丰和志村五郎提出了一个猜想：一个椭圆方程的E-序列一定和一个模形式的M-序列完全对应。这就叫椭圆方程的模形式化。这是一个惊天的猜想，在它被证明以前就得到了广泛应用，几百篇论文是这样开头的：如果谷山-志村猜想成立。

现在的问题清楚了，如果谷山-志村猜想成立，那个每一个椭圆方程都可以模形式化，而由假设费马猜想不成立引出的椭圆方程却被证明不可以模形式化，这样就引出了矛盾。于是谷山-志村猜想成立和费马猜想不成立这两个假设不可能同时成立。所以只要证明了谷山-志村猜想，那费马猜想不成立的假设就被推翻，于是费马猜想也被证明了。

于是真正的英雄出场了。安德鲁怀尔斯在知道假设费马猜想不成立引出的椭圆方程被证明不能模形式化后受到震撼，也备受鼓舞，于是重拾童年时的梦想于1986年开始了7年的秘密研究，目标就是证明谷山-志村猜想，也即等价证明费马猜想。他先用一年时间思考用什么方法来证明，最后选定数学归纳法。他用群论的方法顺利证明每个椭圆方程的E-序列第

一项都和某个模形式M-序列的第一项相等，第二步是个假设每个椭圆方程的E-序列第n项都和某个模形式M-序列的第n项相等，第三步是艰辛的，要证明如果第二步假设成立就每个椭圆方程的E-序列第n+1项都和某个模形式M-序列的第n+1项相等。开始他采用了经过自己加强的伊娃沙娃理论来证明第三步，但到了第5年他感到伊娃沙娃理论没法得到他想要的结论。怀尔斯暂时结束半隐居状态，回到学术圈，想看看别的数学家有没有新的可利用的理论，他确实在老师的无意谈论中找到了科利瓦金-弗莱切方法，这个方法正对怀尔斯的需要，他在强化这个方法后取得了突破进展，到1993年1月他第一次向一个他认为可靠的同事透露他的研究，并请他审阅自己的手稿。他们采用了一种狡黠的方式开展这项工作，由怀尔斯开了一门研究生课程“椭圆曲线的计算”，专门讲他的手稿。这个叫凯兹的同事也坐在研究生们中间，很快枯燥艰深的演算把不明就里的研究生们都吓跑了，凯兹成了唯一的听众，正好开展审阅手稿工作。1993年5月末，怀尔斯借助一个19世纪的数学构造完成了最后一簇椭圆方程的证明。93年6月23日怀尔斯在剑桥举行的学术会议上公布了证明。会后200多页的证明手稿被分成6部分由6名审稿人审稿。审稿采用审稿人在世界各地审稿，针对存在的问题用电子邮件向怀尔斯提问，开始进展顺利，审稿人的问题被怀尔斯半天到3天就给以解答。但9月份还是那个凯兹同事提的一个问题彻底难住了怀尔斯，这个问题是“在半稳定情况下，塞尔默群的精确上界的计算还不完全”。在将近一年的弥补这个漏洞的挣扎中，数学界很焦急，也很骚动，大家要求怀尔斯公开手稿，大家来帮他，可怀尔斯拒绝了，最后有些数学家开始恶搞怀尔斯了，编他的愚人节笑话。第二年9月19日的清晨，怀尔斯又坐在书桌前检查科利瓦金-弗莱切方法，这次他不是相信这个方法还能完成证明，而只是想看看它为啥行不通。突然灵光闪现，他突然发现科利瓦金-弗莱切方法本身行不通但却可以使他抛弃的伊娃沙娃方法生效!有些事情就是这样的，长期的努力本来就接近突破，但过份的执着和焦虑阻碍你的心智，所以没法实现飞跃，但当你认为没办法了准备放弃，放松心态冷静下来时反而灵感突发取得突破。当年阿难尊者被邀请在第一次佛经结集时口颂佛经，可他当时还没有证阿罗汉果，没有资格参加结集，所以他抓紧时间努力修行，争取马上证果，可越是紧越没法达成心愿。到了结集这一天，尊者一看天都亮了，自己还没证阿罗汉果，就想没指望了，于是连日修行的疲惫身心放松下来，准备睡一下觉，当他往下躺，头还没碰到枕头的空中夙世的因缘成熟，尊者一下子证得阿罗汉果!他得以参加结集，说了他的万古名言“如是我闻”。

接下来事情就顺利了，200页的手稿被双剑合璧地缩减成了130页，最后发表在《数学年刊》1995年5月刊上。因为这个成果怀尔斯获得了沃尔夫奖和菲尔兹特别奖(超龄，破格)。正义战胜了邪恶，王子公主从此过上了幸福的生活。

注：本帖子取材于《费马大定理》 上海译文出版社

baryon定理的证明如下：

引理：大于3的素数加1或者减1就一定可以被6整除。

证明：素数加1或者减1就变成偶数，可以被2整除。素数不能被3整除，可表示为3n±1，那么它加1或者减1就一定能被3整除。这样大于3的素数加1或者减1后同时有了因子2和3，所以一定可以被6整除。

定理：大于7的连续三个素数不可能呈公差为2的等差数列。

证明：设p、q和r为大于7的连续三个素数，根据引理他们可以分别表示为6l±1，6m±1和6n±1，其中n≥m≥l，且都≥1。p和q的差(6m±1)-(6l±1)可以表示为6(m-l)±2或者6(m-l)。同理q和r的差可以表示为6(n-m)±2或者6(n-m)。6(m-l)和6(n-m)是6的倍数(不含0)，所以不可能等于2。如果要形成公差为2的等差数列需要6(m-l)±2和6(n-m)±2同时为2。如果l≠m则，6(m-l)±2最小的取值是4，只有当l=m时，6(m-l)±2为2。同理6(n-m)±2也只有当n=m时可以等于2。这样如果要6(m-l)和6(n-m)同时等于2必须l=m=n。假设存在一个大于