例题在数学教学中是非常重要的, 它能使抽象的理论知识变得具体和容易理解, 通过例题的讲解, 可以让学生理解所讲的知识, 掌握解题的技巧, 锻炼学生的思维能力与应用能力。本文以计算方法这门课程中插值多项式这一章的讲解为例, 阐述了例题在课堂教学中的应用。
1 例题的提出时间要及时、合理
下面以讲代数插值多项式这一节为例, 来谈一下对于例题在讲课过程的应用及作用。在讲代数插值多项式时, 有三部分的内容:插值多项式的定义;插值多项式的存在唯一性;插值多项式的求法。
定义1:
设函数y=f (x) 在区间[a, b]上有定义, 且f (x) 已知在点a≤x0
则称nP (x) 为函数y=f (x) 的n次插值多项式, 称x0, x 1, L, xn为插值条件, 称 (1) 为插值条件。
接下来应该讲插值多项式nP (x) 的存在唯一性及插值多项式nP (x) 的求法。
其实在介绍完插值多项式的定义后, 可直接给出一个插值多项式的例子, 这样既有助于学生理解插值多项式的定义, 又可引导学生考虑求插值多项式的方法, 同时过程中也渗透了插值多项式存在唯一性的证明。例如, 在讲完定义1后, 我们给出下面的例题。
例1:已知函数y=ln x, 且已知Ln11=2.3979,
求y=ln x的二次插值多项式。
解:设所求的二次插值多项式为
由插值多项式的定义, 2P (x) 满足插值条件:
即
如果由 (2) 求出a0, a1, a2, 则插值多项式2P (x) 就求出来了。问题是能不能由方程组 (2) 解出a0, a1, a2, 即方程组 (2) 有没有解?如果有解, 这组解是不是唯一的?
由非齐次线形方程组解的理论知, 如果系数行列式不等于零, 则方程组存在唯一的解。
而方程组 (2) 的系数行列式为:
D为范德蒙行列式, 因此:
D= (12-11) (13-12) (13-11) ≠0。
所以由 (2) , 利用克莱姆法则, 可求出唯一的一组解a0, a1, a2。即存在唯一的插值多项式2P (x) 。
由此例题的讲解过程, 可以看出, 首先大家能够深刻理解插值多项式的定义, 掌握插值节点和插值条件的定义;同时提出了求解插值多项式的方法:先写出插值多项式的形式, 然后由插值条件列方程组, 解方程组可确定出插值多项式。在求解插值多项式的系数a0, a1, a2的时候, 涉及到了插值多项式的存在唯一性的问题, 即由方程组能否解出唯一的一组解a0, a1, a2。这对于后面两个问题 (插值多项式的存在唯一性和插值多项式的求法) 的讨论作了很好的铺垫和启发。
2 例题的选取应该难易合适, 并应与所讲解的问题密切相关
如果例题是为理论理解或算法理解而设置的, 则例题应选取简单一些的;如果例题的选取是为了启发学生的进一步深刻思考的, 则例题应选取稍微有点难度的。并且注意选取的例子应避免计算复杂。
例如, 在讲完牛顿插值多项式的算法后, 为了让学生掌握牛顿多项式的构造方法, 举例如下。
例2:已知x=1, 2, 3, 4对应的函数值为f (x) =1, 2, 6, 12, 求函数y=f (x) 的三次牛顿插值多项式。
解:由牛顿插值多项式的公式, 得:
计算N3 (x) 需首先构造差商表计算f[x0, x1], f[x0, x1, x2], f[x0, x1, x2, x3], 构造差商表如下 (见表1) 。
所以, 所求的牛顿插值多项式为
此例题的特点是题目计较简单, 但是紧扣所讲解的内容, 即牛顿插值多项式的求法。这样利于学生掌握牛顿插值多项式的计算, 并且此例子给出的数据的计算简单, 这样不会使时间浪费到计算中, 而便于学生对算法的理解和掌握。
而在学生们充分掌握Lagerange插值多项式的算法之后, 可以举出稍微有难度的例题, 以拓宽学生的思路, 锻炼学生的思维能力。
例3:已知函数y=f (x) 在x0=0, x1=1, x2=2处的函数值分别为1, 2, 3, 且已知f′ (0) =-1。求函数y=f (x) 的三次插值多项式H3 (x) , 使其满足插值条件H (x i) =f (x i) , i=0, 1, 2且H′ (0) =f′ (0) 。
本例题提出的插值问题与讲的Lag-range插值问题不同之处在于, 它不仅要求在插值节点处满足函数值插值, 而且要求满足导数值插值。此时插值多项式H3 (x) 的构造与Lagrange插值多项式的构造方法非常类似, 即构造插值基函数, 而插值基函数的构造方法与构造Lagrange插值基函数的思路一致。
例3:可以拓宽学生的思路, 让学生在掌握了Lagrange插值多项式的基础上, 思考利用类似的思路去构造别的类型的插值多项式, 例3的问题, 实际上是Hermite插值问题。这个例题, 因为有一定难度, 所以在学生充分掌握了Lagrange插值多项式的算法之后提出此例题, 比较合理。
3 例题的讲解过程要善于启发学生, 锻炼学生的思考能力
在讲解例题, 要善于启发学生, 让他们跟自己刚刚学过的知识相联系, 一步一步地引导学生自己思考解决问题。
例如, 在讲解例1时, 学生肯定自己能够将二次多项式2P (x) 的形式假设出来, 即设P2 (x) =a0+a1 x+a2 x2。下面就让学生思考从什么地方入手求出a0, a1, a2来?
这时学生便会思考找条件, 由于前面刚介绍了插值多项式的定义, 因此, 学生会想到利用插值条件来求a0, a1, a2。这样便得到了方程组 (2) 。接着, 让学生思考由方程组 (2) 能否求出a0, a1, a2?即方程组 (2) 时候有解?
学生此时会联系高等数学中学到的线性非齐次方程组的解的理论, 想到若方程组 (2) 的系数行列式不等于零, 则方程组有唯一的解。这样证明了二次插值多项式2P (x) 是存在的并且是唯一的。
解出了a0, a1, a2, 插值多项式2P (x) 便求出来了。
这时, 可以给学生提出思考题:证明满足插值条件 (1) 的n次插值多项式是存在唯一的。这个问题是插值多项式这节课的第二个内容, 而这个内容, 在例1的启发下, 学生自己就可以证明出来, 这样可以充分锻炼学生的思维能力。
由上面的过程我们可以看出, 在例题的讲解过程中, 一定要充分发挥学生的积极性, 充分锻炼学生的想象力和思维能力。
4 结语
总之, 例题是数学这门课程讲解过程中非常关键的一环, 恰当例题的选取、适时例题的插入及适当的例题讲解方法对学生理解知识、掌握知识、融会贯通知识有着非常重要的作用。特别是启发式的讲解方法可以锻炼学生的思维能力与创新能力。
摘要：讲授例题是数学教学中一个重要的组成部分, 讲解例题的过程是理论和方法应用的过程。通过例题的讲解, 可以让学生掌握解题的技巧, 锻炼学生分析问题、解决问题的能力。本文从何时提出例题, 如何选取例题以及如何讲解例题这三个方面的来讨论例题的讲课中的应用。并提出可以利用启发式方法来讲解例题, 锻炼学生的思维能力和创新能力。
关键词：例题讲解,数学教学,启发式教学
参考文献
[1] 易大义, 沈云宝, 李有法.计算方法 (第二版) [M].杭州:浙江大学出版社, 2007.
[2] 罗明东.当代教育新探索[M].昆明:云南科技出版社, 2001.