三角形角平分线教案

三角形角平分线教案（精选12篇）

三角形角平分线教案 第1篇

《三角形的高、中线与角平分线》教案

三维目标

1．了解三角形的高线、中线与角平分线，并能在具体的三角形中作出它们．

2．通过观察、操作、想象、交流等活动，发展空间观念，•推理能力和有条理地表达能力．

3．通过折纸、画图等活动，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能，•使学生的思维变得更灵活．

教学重点:三角形的高、中线与角平分线的定义．

教学难点:对直角三角形和钝角三角形的三条高的认识和理解．

导入课题

活动1．如图1所示：△ABC中，有一条红色线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段（AD、AE、AF、AG、…）中，有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？

设计意图：通过数学实验，先给学生感性认识，以此激发学生学习数学的热情．

师生行为：学生思考，回答，教师归纳．

生甲：在这些线段中，有一条线段垂直边BC．

生乙：我观察到，还有一条线段的端点是BC的中点．

生丙：还有一些线段平分∠BAC．

师：很好．同学们通过观察、思考，找到了具有特殊位置的线段：三角形的高线、中线和角平分线，这三条线段是三角形的主要线段．今天我们就来学习：三角形的高、中线和角平分线．

推进新课

活动2．学习三角形的高的概念．

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．

设计意图

概括、理解三角形的高，使学生准确把握三角形的高的概念．

师生行为

教师讲解，学生理解．

师：从刚才移动的过程中，知道AG⊥BC，这时，我们说AG是△ABC的高，•那么三角形的高是如何定义的呢？

如图2，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为G，所得的线段AG叫做△ABC的边BC上的高（altitude）．

注意：三角形的高是线段．

由定义可知：AG是△ABC的高．那么有∠AGC=90°，∠AGB=90°，∠AGC=∠AGB．

三角形的高是从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线作垂线，•那么你能画出△ABC的另两条边上的高吗？

活动3．在△ABC中，画边AC、AB上的高．

设计意图：通过画图、折纸，培养学生的动手能力．

师生行为：教师引领学生复习：过一点如何作一条直线的垂线？学生动手画图．

师：要想作△ABC的另两条边上的高，•我们应先知道：过一点如何作一条直线的垂线？

生甲：可以利用折纸的方法，对折直线所在的纸片，使直线重合，折痕过已知点．这条折痕就是过已知点垂直于已知直线的垂线．（甲同学一边叙述，一边演示）

生乙：也可以用三角尺来画，把三角尺的一条直线边与已知直线重合，移动三角尺，使它的另一条直角边经过已知点．画直线，这样即可画出过一点并与已知直线垂直的直线．

生丙：也可以利用量角器来画．

师：很好．同学们回忆了画垂线的几种方法，接下来大家来动手画一画．

活动4．1．四个同学为一个合作小组；

2．每个小组利用教师为其准备的各类三角形，作出它们的高．

比一比，看哪一个小组做得最快，发现的结论多．

设计意图：通过让学生操作、观察、推理、交流等活动，来培养学生的动手、动脑能力，发展其空间观察．

师生行为：学生操作、讨论，教师巡视、指导，使学生理解； 1．锐角三角形的三条高都在三角形内；

2．直角三角形的一条高在三角形内（即斜边上的高），•而另两条高恰是它的两条直角

边；

3．钝角三角形的一条高在三角形内，而另两条高在三角形外．（这是难点，•需多加说明）

总之：任何三角形都有三条高，且三条高所在的直线相交于一点．我们把这一点叫垂心．

活动5．学习三角形的中线的概念．

在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线．

设计意图：让学生理解三角形的中线的概念．

师生行为：老师可以让学生在看书的基础上自己掌握三角形的中线的概念．

如图3，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC•的边BC上的中线．

注：三角形的中线是线段．

由定义知：如果AD是△ABC的中线，那么有BD=DC= 活动6．1．以四个同学为一合作小组．

2．在教师为其准备的各类三角形上画出它们的中线，你会发现什么？

设计意图：

通过本活动，进一步培养学生的动手、动脑能力，发展其空间观察．

师生行为：

学生动手操作、讨论、教师巡视指导，画中线时，可以让学生折纸，也可以让他们用刻度尺．

归纳：一个三角形的中线共有三条，它们存在于三角形的内部，并且三条中线相交于一点，我们把这一点叫做重心．

活动7．1．以四个同学为一合作小组．

2．在一张薄纸上画一个三角形，然后画出它的一个内角的平分线．

想一相：

1．什么是三角形的角平分线？

2．三角形的角平分线与一个角的平分线有何区别？

设计意图：通过其活动，一来让学生理解三角形的角平分线的定义，二来使学生能进一步准确画出一角的平分线．

1BC． 2

师生行为：学生动手做，讨论，归纳，教师指导．

生甲：我画了一个三角形，然后用量角器测出一个内角的度数，再画一条射线，使它平分这个角．这样，这条射线就是这个三角形的一个内角的平分线．

生乙：甲组同学讨论的问题，应该画一条线段，使它平分这个内角，因为刚才观察移动过程中形成的都是线段，所以三角形的内角的平分线应该是线段．

生丙：通过折纸的方法也可以得到这个三角形的平分线．

师：很好．同学们利用了各种方法作出了这个三角形的内角的平分线，那么什么是三角形的角平分线呢？

在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线（bisector of angle）．

注意：1．三角形的角平分线是一条线段而不是射线，•它与一个角的平分线不同． 2．一个内角的平分线与它的对边是相交的，•这个角的顶点与交点之间的线段才是这个内角的平分线，即三角形的角平分线．

如图4，AD是△ABC的角平分线．

那么有∠BAD=∠DAC=

1∠BAC． 2 活动8．1．让学生分别画出锐角三角形、钝角三角形、•直角三角形的三条角平分线． 2．讨论在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系．

设计意图：培养学生的动手能力、归纳能力．

师生行为：学生动手操作，教师指导．

指明：1．任一个三角形都有三条角平分线，且它们都在三角形的内部； 2．任一个三角形的三条角平分线相交于一点，我们把这点叫三角形的内心．

课堂小结

本节学习了以下重要内容：

1．三角形中三条重要线段：三角形的高、中线和角平分线的概念． 2．学会画三角形的高、中线和角平分线．

布置作业:习题7．1 3、4．

活动与探究

在计算机上用《几何画板》软件画一个任意三角形，再画出它的三条中线，你发现了什么规律？然后随意改变所画三角形的形状，看看这个规律是否改变，三角形的三条高有这个

规律吗？三条角平分线呢？

[过程]让学生在计算机上绘图．一来掌握信息技术的应用，二来巩固理解课堂上所学的内容，并再次验证规律．

[结果]三条中线交于一点．任何三角形都有此规律．

任何三角形的三条高所在的直线相交于一点，其角平分线也相交于一点．

备课资料

一、参考例题

【例1】如图5，∠ACE=∠BCE，BD=DC，指出图中三角形的特殊线段．

解：CE是△ABC的角平分线；AD是△ABC的中线；ED是△BEC的中线；CF是△ADC的角平分线．

【例2】如图6，用式子把下列条件表示出来．

（1）AD是△ABC的高；（2）BE是△ABC的角平分线；（3）CF是△ABC的中线．

解：（1）AD是△ABC的高，可以表示为AD⊥BC或∠ADB=90°或∠ADC=90°或∠ADB=∠ADC；

（2）BE是△ABC的角平分线，则可表示为∠ABE=∠EBC或∠ABE=ABC；

（3）CF是△ABC的中线，可表示为AF=BF或AF=

二、参考练习

1．三角形的三条高相交于一点，这个交点的位置在（）A．三角形内 B．三角形外

C．三角形的边上 D．要根据三角形的形状才能确定

2．如图7，画△ABC一边上的高，下列画法正确的是（）

11∠ABC或∠EBC=∠2211AB，BF=AB． 22

3．三角形的三条中线都在（）A．三角形内 B．三角形外

C．三角形的边上 D 答案：1．D 2．C 3

．根据三角形的形状而确定 ．A

三角形角平分线教案 第2篇

1、理解三角形的内外角平分线定理；

2、会证明三角形的内外角平分线定理；

3、通过对定理的证明，学习几何证明方法和作辅助线的方法；

4、培养逻辑思维能力。

教学重点：

1、几何证明中的证法分析；

2、添加辅助线的方法。

教学难点：

如何添加有用的辅助线。

教学关键：

抓住相似三角形的判定和性质进行教学。

教学方法：

“四段式”教学法，即读、议、讲、练。

一、阅读课本，注意问题

1、复习旧知识，回答下列问题

①在等腰三角形中，怎样从等边得出等角？又怎样从等角得出等边？请画图说明。

②辅助线的作法中，除了过两个点连接一条线段外，最常见的就是过某个已知点作某条已知直线的平行线。平行线有哪些性质？

③怎样判断两个三角形是相似的？相似三角形最基本的性质是什么？

④几何证明中怎样构造有用的相似三角形？

2、阅读课本，弄清楚教材的内容，并注意教材上是怎样讲的。

提示：课本上在这一节讲了三角形的内外角平分线定理，每个定理各讲了一种证明方法。为了叙述定理的需要，课本上还讲了线段的内分点和外分点两个概念。最后用一个例题来说明怎样运用三角形的内外角平分线定理。阅读时要注意课本上有关问题的叙述、分析以及作辅助线的方法。通过适当的联想和猜测，找出一些课本上尚未出现的新的证明方法。

a

b

c

d

3、注意下列问题：

⑴如图，等腰中，顶角的平分线交底边于，那么，图中出现的相等线段是，，即，。通过比较得到。

a

b

c

d

⑵如果上面问题中的换成任意三角形，即右图的，平分，交于，那么，是不是还成立？请同学们用刻度尺量一量线段的长度，计算，然后再比较（小的误差忽略不计）。

⑶三角形的内角平分线定理说的是什么意思？课本上是怎样写已知、求证的？

⑷课本上是怎样进行分析、证明的？都用了哪些学过的知识？证明的根据是什么？

⑸课本上证明的过程中是怎样作辅助线的？这样作辅助线的目的是什么？

⑹过三点能不能作出有用的辅助线？如果能，辅助线应该怎样作？各能作出几条？

⑺就作出的辅助线，怎样寻找证明的思路和方法？分析的过程中用到了哪些知识？

⑻你能不能类似地叙述三角形的外角平分线定理？

⑼回答练习中的第一题。

⑽总结证明方法和作辅助线的方法。

⑾注意内分点和外分点两个概念及其应用。

4、阅读指导丛书《平面几何》第二册。

⑴注意辅助线中平行线的作法，通过对图、、的观察分析，找出解决问题的证明方法。

⑵丛书利用正弦定理中的面积公式来证明三角形的内角平分线定理，既把有关的知识联系起来、拓展了解题思路，又为我们提供了一种比较简单的解决问题的方法，值得我们借鉴。要注意三角形面积的几种不同的计算方法。

二、互相讨论，解答疑点

1、上面提出的问题，希望大家独立思考、独立完成。根据已有的思路和线索，参照课本上的方法进行分析。

2、思考中实在是有困难的同学，可以和周围的同学互相讨论，发表看法；也可以请老师帮助、提示或指点。

3、把同学之间讨论的.结果，整理成一个完整的证明过程，写出每一步证明的根据。最后，适当地总结一些解题的经验和方法。

三、讲评纠正，整理内容

1、把学生讨论的结果归纳出来，加以补充说明，纠正错误后进行适当的分类总结，点明证题法中的要点。

①证明比例式的依据是平行截割定理的推论，因此，我们作的辅助线都是平行线。

a

b

c

d

②从上述几种证明方法可以看出，证明的关键在于通过作辅助线把某些线段“移动”到适当的位置，以便根据平行截割定理的推论得出所要的结论。

③辅助平行线的作法，只能是过、、三点分别作不过三点的边（线段）的平行线，和另一条边（线段）的延长线相交，构成一个等腰三角形，达到“移动”的目的。

2、整理教学内容

⑴线段的内分点和外分点

（。┒ㄒ澹

①在线段上，把线段分成两条线段的点叫做这条线段的内分点。

②在线段的延长线上的点叫做这条线段的外分点。

（）举例

点在线段上，把线段分成了和两条线段，所以，点是线段的内分点，线段和叫

a

b

c

d

做点内分线段所得的两条线段。

点在线段的延长线上，和、两个端点构成了、两条线段，所以，点是线段的外分点，线段和叫做点外分线段所得的两条线段。

（＃┨跫

①内分点的条件：a）在已知线段上；

b）把已知线段分成另外两条线段。

②外分点a）在已知线段的延长线上；

b）和已知线段的两端点构成另外的两条线段。

（ぃ┨厥馇榭

a）线段的中点是不是线段的内分点？内分点是不是线段的中点？

b）线段的黄金分割点是不是线段的内分点？内分点是不是线段的黄金分割点？

求角平分线的多种解法 第3篇

例1 已知△ABC的三个顶点坐标A (2, 3) , B (-2, -1) C (5, 0) , 求∠B的平分线所在的直线方程.

解法一 利用直线l1到直线l2的角的公式undefined

∠B的平分线所在直线BD到直线AB的角等于直线BC到BD的角.

设∠B的平分线BD所在直线的斜率为k.

直线AB的斜率undefined,

直线BC的斜率undefined

由题意得undefined, 即undefined,

解得k=-2或undefined

由图可知, ∠B的平分线所在直线的倾角为锐角, k=-2, 不合题意, 舍去.

即∠B的平分线所在直线BD的斜率为undefined, 且过点B (-2, -1) , 其直线方程的点斜式是undefined, 即x-2y=0.

解法二 利用点M (x0, y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式undefined的平分线BD上的点到角两边的距离处处相等.

首先由A, B, C三点坐标得∠B的两条边所在的直线方程:

直线AB的方程是x-y+1=0, 直线BC的方程是x-7y-5=0.

然后设D (x, y) 为∠B的平分线上任一点, 由点D到直线AB的距离等于点D到直线BC的距离, 有

undefined

化简, 得2x+y+5=0①, x-2y=0②.

由图可知, ∠B的平分线所在直线的倾角为锐角, ①不合题意要求舍.

即∠B的平分线所在直线BD的方程是x-2y=0.

解法三 利用角的两条边关于角平分线对称这一知识, 直线BC与直线BA关于∠B的平分线BD是对称的.

直线AB的方程是x-y+1=0.

设点C (5, 0) 关于直线BD的对称点为C′ (m, n) , 直线BD的斜率是k.

∵C′在直线AB上, ∴m-n+1=0. ①

undefined

直线BD过点B, 其直线的点斜式方程为

y+1=k (m+1) .

又 CC′的中点undefined在直线BD上,

则undefined

由①②③, 解得k=-2或undefined

∠B的平分线所在直线的倾角为锐角, k=-2不合题意, 舍去.

即∠B的平分线所在直线BD的方程是x-2y=0.

解法四 利用三角形内心公式, 即已知三角形三个顶点分别是A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) , 三条边的边长分别是a=|BC|, b=|AC|, c=|AB|, 则三角形内心M的坐标为undefined

由A, B, C三点坐标, 得undefined

再由三角形内心公式, 得内心M的坐标为 (2, 1) .

则∠B的平分线所在直线过点B和点M, 其两点式方程为undefined, 即x-2y=0.

解法五 利用两个非零向量的夹角公式, 即已知两个非零向量a (a1, a2) , b (b1, b2) ,

则cossundefined

undefined是直线AB的一个方向向量.

undefined是直线BC的一个方向向量.

设∠B平分线所在直线的一个方向向量为v (v1, v2) ,

则v与v1的夹角等于v与v2的夹角.

∴cos〈v, v1〉=cos〈v, v2〉,

即undefined

整理, 得v1=2v2, 从而∠B平分线所在直线的斜率undefined

即∠B的平分线所在直线BD的斜率为undefined, 且过点B (-2, -1) , 其直线方程的点斜式是undefined, 即x-2y=0.

解法六 利用向量加法的平行四边形法则, 即以同一起点O的两个非零向量a, b为邻边做平行四边形OACB, 其中undefined则以O为起点的对角线

是直线AB的一个方向向量的单位向量.

undefined是直线BC的一个方向向量的单位向量.

设∠B平分线所在直线的一个方向向量为v (v1, v2) .

由于|e1|=|e2|, 由e1, e2为相邻两边构成的平行四边形为菱形, 对角线平分向量e1, e2的夹角, 则对角线v=e1+e2为∠B平分线所在直线的一个方向向量.

undefined

即∠B的平分线所在直线BD的斜率为undefined, 且过点B (-2, -1) , 其直线方程的点斜式是undefined, 即x-2y=0.

在求角平分线的这六种方法中, 前三种适用于角平分线存在斜率的情况下, 而后两种方法对于各种题型都适用.然而对于三角形中求特殊角的角平分线的直线方程, 我们还可以运用一些简单的方法, 结合图形求出直线方程.

例2 已知△ABC的三个顶点坐标A (2, 3) , B (1, 2) , C (4, 1) , 求∠A的平分线所在的直线方程.

解 由题意, 得直线AB的斜率undefined, 其倾角为45°, 直线AC的斜率undefined, 其倾角为135°, 所以∠A=90°, 其角平分线此时与x轴垂直, 从而不存在斜率, 且过点A (2, 3) , 则所在直线方程为x=2.

例3 已知△ABC的三个顶点坐标A (2, 3) , B (5, 3) , C (2, 7) , 求∠A的平分线所在的直线方程.

解 由题意, 得直线AB的斜率undefined, 则AB//x轴, 直线AC不存在斜率, 即AC⊥x轴.从而∠A=90°, 其角平分线所在直线的倾角为45°, 斜率k=tan45°=1, 且过点A (2, 3) , 其直线方程为y=x+1.

三角形角平分线应用例析 第4篇

一、“以角平分线为轴翻折”构造全等三角形

此情形下可构造两种基本图形，如图1、图2所示.

△ABC中，AD是角平分线.如图1，以AD为轴翻折，使点C落在AB上（即在AB上截取AE=AC），得△ACD≌△AED．如图2，以AD为轴翻折，使点B落在AC的延长线上（即延长AC到E，使 AE=AB），得△ABD≌△AED．

例1如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AB+BD=AC.求∠B ∶∠C的值．

解法1：如图4，在AC上截取AE=AB，连接DE．

则△ABD≌△AED（SAS）.

∴∠B=∠AED，BD=ED．

又∵AB+BD=AC，

∴CE=BD=ED.

∴∠C=∠EDC.

∴∠B=∠AED=2∠C.

∴∠B∶∠C=2∶1．

解法2：延长AB到E，使AE=AC ，连接DE．请读者一试．

二、“角平分线+垂线”构造全等三角形或等腰三角形

1. 根据角平分线的性质，自角平分线上任一点向角的两边作垂线，得两个全等的直角三角形.

2. 自角的一边上的一点作角平分线的垂线并延长，与另一边相交，则截得一个等腰三角形．

例2如图5，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=CD，BD平分∠ABC．

求证：∠A+∠C=180°．

证明：过点D作DE⊥AB，交BA延长线于点E；作DF⊥BC，交BC于点F ．如图6.

∵BD平分∠ABC，

∴DE=DF ．

又∵AD=CD，

∴Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）.

∴∠C=∠EAD．

∵∠EAD+∠BAD=180°，

∴∠C+∠BAD=180°．结论得证.

评注：本题也可通过“以角平分线为轴翻折”的思路解：沿BD翻折△BDC得△BDC′，则△ADC′是等腰三角形，∠C=∠C′=∠EAD.

例3如图7，等腰Rt△ABC中，∠A=90°.∠B的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E．求证：BD=2CE .

证明：如图8，延长CE交BA的延长线于点F.

∵BE是∠B的平分线，BE⊥CF，

∴∠BCF=∠F.

∴△FBC是等腰三角形．

∴CE=FE．

∴CF=2CE．

∵AB=AC，∠ABD=∠ACF（因在△BAD与△CED中已有两角相等），∠BAD=∠CAF=90°，

∴Rt△BAD≌Rt△CAF．

∴BD=CF=2CE．

评注：上面证法是构造出2CE，也可构造出1/2BD来证：自D作DF∥BC交AB于F.易知△AFD是等腰三角形，AF=AD，故FB=DC.易知△BDF是等腰三角形，FD=FB=DC.作FG⊥BD于G，则DG=1/2BD.由∠CDE=∠BDA=90°-∠ABD，∠DFG=∠BFG=90°-∠ABD，易证△DFG≌△CDE（AAS）.

三、“角平分线+平行线”构造等腰三角形

1. 自角平分线上任一点作角的一边的平行线与另一边相交，得等腰三角形.

2. 自角的一边上任一点作角平分线的平行线与另一边的延长线相交，得等腰三角形．

例4如图9，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点F.过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E．若BD+EC=9，则线段DE的长为（）.

A. 9B. 8C. 7D. 6

解：∵DE∥BC，

∴∠DFB=∠FBC ．

∵∠FBC=∠FBD，

∴∠DFB=∠FBD.

∴DF=DB．

同理可证EF=EC ．

∵DF+EF=DE，

∴BD+EC=DE，则DE=9. 故应选A.

例5如图10，△ABC中，AD是∠BAC的平分线.E是BC中点.EF∥AD，交AB于M，交CA的延长线于F.求证：BM = CF．

证明：作BN∥FC交FE的延长线于N．如图11.

∵E是BC中点，

∴△BEN≌△CEF（ASA）.

∴CF=BN.

易知△AFM为等腰三角形，从而△BMN也为等腰三角形（∠BNM=∠MFA=∠FMA=∠BMN），BM=BN.

∴BM = CF．

三角形的角平分线 第5篇

a

b

c

d

e

（）已知：中，是的一个外角，平分，交的延长线于。

求证：。

（＃┘虻シ治觯海类同内角平分线定理的分析方法）

（ぃ┲しㄌ嵋；（类同内角平分线定理的分析方法）

四、小结全节，练习巩固

1、小结

三角形角平分线教案 第6篇

三角形的高、中线和角平分线课后反思

本节课是认识三角形的第二节课，在设计时就觉得时间比较紧张，所以只要求学生认识，会画。但是三角形的三条线段都让学生演示，经历画的过程，时间上就紧张了，导致本节课的当堂训练当堂验收没有足够的时间完成。如果只研究高线的画法，再配以习题的扩展，加以巩固可能学生接受的会更好，掌握的也应该更扎实一些，然后第二课时在研究中线，角平分线。学生接受的就应该更容易了。从本节课习题的反馈来看，孩子们接近一半达到优秀，掌握的还行，但是中下的十几名同学还是跟不上了，掌握不好，所以我觉本节课的最总目的达成度还是有待提高，对于后进生的关注还是不够。在以后的教学中要提高备学生的力度，还要加强对后进生的关注及训练巩固。

三角形角平分线教案 第7篇

各位评委、老师:大家好!

今天我说课的内容是人教版义务教育课程标准实验教科书七年级下册第七章第二节的《三角形的高、中线、角平分线》一课。

下面，我从教材分析和教学过程设计两方面对本节课的教学进行说明。

一、教材分析

这节课是在学生已经在感官上认识了三角形的高、会画角平分线的基础上进行教学的。学习了这一课，对于学生增长几何知识，运用几何知识解决生活中的有关问题，起着十分重要的作用。它也是学习三角形的角、边以及三角形全等、相似等后继知识的延续。依据本课概念较多，动手频率较高的特点，我制定教学目标如下:

(教学目标)让学生了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念;掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法;培养学生动手操作及解决问题的能力;鼓励学生主动参与，感受成功的乐趣，体验几何知识在现实生活中的真实性，激发学生热爱生活、勇于探索的思想感情。

(教学重点)其中简单的操作运用及它们的几何语言表述是本节学习的重点。

(教学难点)难点是三角形的高、中线、角平分线概念及钝角三角形高的画法。

(教具准备)为了本课的学习师生准备任意形状的三角形纸，教师制作幻灯片。;

(教法和学法分析)

本节课借鉴了美国教育家杜威的“在做中学”的理论和叶圣陶先生所倡导的“解放学生的手，解放学生的大脑，解放学生的时间”的思想，我确定如下教法和学法:

1、教学方法的设计

当效的数学学习不能单纯地依赖模仿与记忆，相反动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要万式。根据本节教材内容和编排特我采用了探究式教学方法，整个探究学习的过程充满了师生之间，生生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。

2、活动的开展。

组织学生动手操作，鼓励学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。

3、现代教育技术的应用。

我利用课件辅助教学，以丰富学生的感性认识，增强直观效果，提高课堂效率。(二、教学过程设计)

(创设情景，导人新课。)

上课开始，幻灯演示从三角形的某一顶点向对边引垂线，教师介绍这就是三角形的高:

设计意图:让学生回忆小学时作三角形高的情景，利用课件直观演示，形成感性认识，自然引入新课。有助于后继问题的解决。也易于学生接受。

(动手操作，体验新知。)

组织学生板演不同类型的三角形，合作画高，概括概念并用几何语言描述。

设计意图:创造活动机会，在操作中培养学生的动手操作能力，观察概括能力和探究意识。

接下来学习三角形的中线，请同学们用刚才学习三角形高的方法自主探索三角形中线的有关知识，教师巡视引导。

这样设计是因为叶圣陶先生说:教是为了不教，我们不仅教给学生的是知识，更重要的是教给学生学习的方法。这样，即发挥了学生的主人翁作用，又培养了学生勇干探索的良好的学习品质。

在此之后，请同学们拿出准备好的三角形学具，进行三角形角平分线的教学。折出每个角的平分线，观察g括三角形的角平分线的概念，思考讨论、指名汇报、幻灯展示。依据已有的学习经验，引导学生板书关于角平分线的几何语言。能用文字、字母清楚地表达解决问题的过程，并解释结果的合理性。

设计意图:把课堂还给学生，做到在教师的组织下，开展探究活动，让学生感受到数学知识的形成过程。最后讨论:三角形的角平分线与角的平分线有什么异同?高与垂线呢?教师参与讨论，引导汇报，动手验证。加强新旧知识的联系与区别。(反馈练习，温习新知。)

反馈练习:起到及时巩固新知的目的。重点引导学生自由发表自己的见解。

(拓展练习，用运新知。)

了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间，激发学习的积极性,.建立学好数学的自信心。;

在此我设计了5道练习题，指名不同层次的学生尝试回答，使各类学生都有机会得到锻炼。

(知识小结，教学评价)

知识小结引导学生从以下两个方面自由发表自己的收获。

其意图就是教育学生学会与人合作，与人交流。初步形成评价与反思的意识。谈到教学评价，我从以下两个方面说起:

1、通过课堂中学生展示自己对所学内容的理解，交流对某--问题的看法，动手操作表演，各种问题尝试解答等活动，使教师从学生思维活动、有关内容的理解和掌握，以及学生参与活动的程序等多层面地了解学生。

2、注重对学生学习过程的评价。

在整个教学过程中，通过对学生参与数学活动的程度、自信心、合作交流的意识以及独立思考的习惯，发问题的能力进行评价，并对学生中出现的独特的想法或结论给予鼓励性评价。

(作业布置)

通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，对今后教学教学方法进行适当调整，并对有困难的学生给予适时的指导。

(板书设计)

这是我这节课的板书设计。板书由学生完成，在完成板书的过程中，学生能画出几条就画出几条，并观察它们的特点，教师适当引导即可，(设计说明)1、指导思想

结合教材的编写意图，在本节课设计时，我遵循以下原则:情境引入激发兴趣，学习过程体现自主，知识:建构循序渐进，思想方法有机渗透。2、关于教材处理

本教案设计时，我对教材作了如下改变:①将画角的平分线改为折角的平分线，这样准确性高。②三角形的所有的高线、中线、角平分线他们所在的直线都相交于一点是我补充的内容，根据情况点到即可，这样处理仍然是为了体现学生的自主探索，作到因材施教，使学生学习变“被动”为“主动”探究起来有深度。

我今天的说课到此结束，请各位评委、老师提出宝贵意见!

圆中角平分线的一个结论及应用 第8篇

弧CB=弧CD, CB=CD。这些结论显然很容易推理出来, 现在我们探究线段AB、AD、AC之间是否有确定的数量关系?要探究这三条线段的数量关系, 一般考虑将它们集中在一个三角形中。如图 (2) , 延长AD至E, 使得DE=BA, 连接CE。由圆的性质得∠ABC+∠ADC=180°, 可推出∠ABC=∠EDC, 则有△ABC≌△EDC, 因此AC=EC, 故△ACE是等腰三角形。这三条线段的关系可通过作底边上的高, 再利用三角函数来表示。过点C作CH⊥AE于H, 则AD+AB=AD+ED=AE=2AH=2ACcos∠CAH, 即。利用这个思想和方法, 将能很方便地解决一类问题, 下面举例说明。

例1如图 (3) , 点A、B、C、D是⊙O上的点, 且AC平分∠BAD, ∠BAD=120°, 求证:AB+AD=AC

证明:连接CB、CD, 延长AD至E, 使得DE=BA, 连接CE,

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形

∴∠ABC+∠ADC=180°

∵∠EDC+∠ADC=180°

∴∠ABC=∠EDC

∵AC平分∠BAD, ∠BAD=120°,

∴弧CB=弧CD

∴CB=CD

∴△ABC≌△EDC (SAS

∴AC=EC

∵∠CAD=60°

∴△ACE是等边三角形∴AC=AE=AD+ED=AD

∴AC=AE=AD+ED=AD+AB

∴AB+AD=AC

此题是上述结论的一个直接应用, 只不过在解题的过程中要根据具体情况具体分析, 直接通过等边三角形去转换更简单。

例2如图 (4) , ⊙Q经过原点O和点P (3, 3) , 与x轴、y轴分别交于点A、B, 求OA+OB的值。

分析:如图 (5) , 连接OP, 由P (3, 3) , 可推出OP平分∠AOB, ∠AOB=90°, 而cos=cos45°, 故OA+OB=2OPcos=6

∴△ACE是等边三角形

∴AC=AE=AD+ED=AD+AB

∴AB+AD=AC

根据具体情况具体分析, 直接通过等边三角形去转换更简单。

例2如图 (4) , ⊙Q经过原点O和点P (3, 3) , 与x轴、y轴分别交于点A、B, 求OA+OB的值。

分析:如图 (5) , 连接OP, 由P (3, 3) , 可推出OP平分∠AOB, ∠AOB=90°, 而, 故

证明:连接PB、PA, 在OA的延长线上截取AC=BO, 连接PC, 过P作PH⊥x轴于H, 则∠OHP=90°,

∵P (3, 3)

∴PH=OH=3

∴∠POH=∠OPH=45°

∴∠POB=∠POA=45°

∴弧PB=弧PA

∴PB=PA

∵四边形APBO是⊙Q的内接四边形

∴∠PBO+∠PAO=180°

∵∠PAC+∠PAO=180°

∴∠PBO=∠PAC

∴△PBO≌△PAC (SAS)

∴PO=PC

∴∠PCO=∠POH=45°

∴∠OPC=90°22

∴O C2=P O2+P C2=P O2+P O2=2 P O2=2 (P H2+HO2) =2× (32+32) =36

∴OC=6

∵OC=OA+CA=OA+OB

∴OA+OB=6

个点的坐标可以构造一个角平分线, 然后再通过一个等腰直角三角形转换, 这样能很便利地解决问题。

例3如图 (6) , 已知在平面直角坐标系中, ⊙O交坐标轴于A、B、C、D四点, 点P是弧AB上的一动点 (点P不与点A重合) , 试判断当点P运动时, (PD2-PB2) ÷ (PA×PC) 的值是否改变?若不变, 求其值;若变化, 求其变化范围。

分析:PD2-PB2= (PD+PB) (PD-PB) , 由条件可知, 点C是弧DB的中点, 则PC平分∠DPB, 且∠DPB=90°, 由前面归纳的结论可得PD+PB=PC, 故只须探究PD-PB与PA的关系, 如图 (7) , 在DP上截取DE=BP, 连接AE、AD、AB, 可证△ADE≌△ABP (SAS) , 得AE=AP, ∠DAE=∠BAP, 可得∠EAP=∠DAB=90°, 则

(PD2-PB2) ÷ (PA×PC) 的值是定值, 且是2。

此题是一个综合题, 初看有一点复杂, 其实其中隐含着前面归纳的一个数量关系。如果能够看出这一点, 利用这个突破口, 那么难度能降低很多。再通过寻找另外三条线段的数量关系, 此问题就可以顺利解决。

证明三角形角平分线定理的六法 第9篇

定理：在ΔABC中，∠A的平分线AD交BC边于点D，则： 。

证明：

一、构造平行线法

如图，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，

∴ ∵ AD平分∠A ∴ ∠BAD=∠CAD

∵AD∥CE ∴ ∠E=∠BAD ∠ACE=∠CAD ∴ ∠E=∠ACE

∴AC=AE ∴

二、构造相似三角形法

如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，

过点C作CF⊥AD于F，则BE∥CF，∴ΔBDE∽ΔCDF

∴ ∵ ∠BAD=∠CAD，∠AEB=∠AFC=90°

∴ΔAEB∽ΔAFC ∴ ∴

三、面积法

如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，

∵ ∠BAD=∠CAD ∴ DE=DF ∴

∴ 又∵ΔABD和ΔACD同高

∴ ∴

四、构造圆法

如图，作ΔABC的外接圆，延长AD交圆于点E，

连接BE、CE，∵ ∠BAD=∠CAD ∴ BE=CE

∴∠EBD=∠BAE ∠AEB=∠BED ∴ ΔAEB∽ΔBED

∴ 同理ΔAEC∽ΔCED ∴

∴ ∴

五、应用正弦定理

如图，∵ ∠BAD=∠CAD ∴ sin ∠BAD=sin∠CAD

∵∠BDA+∠CDA=180° ∴ sin∠BDA=sin（180°-∠CDA）=sin∠CDA

在ΔABD中， （1）；在ΔACD中， （2）

（1）÷（2） ∴

六、解析法

如图，以点A为坐标原点，AD为x轴建立平面直角坐标系，设AB=m，AC=n，∠BAD=∠CAD=

则点B的坐标为（mcos ，msin ），点C的坐标为（ncos ，-nsin ）

设直线BC为： y=kx+b 则

解之得： b= -

∴ 直线BC为： y= x-- ∴ 点D的坐标为（ ，0）

三角形角平分线教案 第10篇

（一）掌握的知识与技能：

1、经历折纸、画图等操作过程认识三角形的高、中线、角平分线，结合图形，会用几何语言表述。

2、会用工具准确地画出三角形的高、中线与角平分线。

（二）经历的教学思考：

经历折纸、画图、观察、思考、交流等活动，发展空间观念和表达能力

（三）培养的情感态度和价值观：

通过数学活动，让学生体验和理解三角形中的特殊线段，结合图形认识三角形的高、中线、角平分线所揭示的数量关系，学会发现问题，解决问题。

教学重难点是：重点：

（1）了解三角形的高、中线、角平分线的概念，会用工具准确画出三角形高、中线、角平分线。

（2）了解三角形的三条高，三条中线与三条角平分线分别交于一点。

2、难点：

（1）三角形平分线与角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别。

（2）钝角三角形高的画法。

（3）不同的三角形三条高的位置关系。

本节课中，我首先以白雪公主给七个小矮人分煎饼引入课题，激发学生的学习兴趣。学生们都要帮助白雪公主所以带着任务自学完成导学案。自学完成后由小组合作讨论，教师适时点拨。在发现学生们自学中的问题后，我在实物投影中展示了学生的问题所在，由学生走上前来指出错误的地方并且改正，体现了生生互动，也激发了学生的积极性。在整个教学环节中，不断强调重点和难点，让学生在实物投影下作出三角形的高线，互相改正，加深了学生的印象。本节课我用图形展示了钝角三角形的高相交在三角形的外部，加深了印象

三角形角平分线教案 第11篇

设计

一、教学目标：

（一）掌握的知识与技能：、经历折纸、画图等操作过程认识三角形的高、中线、角平分线，结合图形，会用几何语言表述。

2、会用工具准确地画出三角形的高、中线与角平分线。

（二）经历的教学思考：

经历折纸、画图、观察、思考、交流等活动，发展空间观念和表达能力

（三）培养的情感态度和价值观：

通过数学活动，让学生体验和理解三角形中的特殊线段，结合图形认识三角形的高、中线、角平分线所揭示的数量关系，学会发现问题，解决问题。

二、教学重难点：、重点：（1）了解三角形的高、中线、角平分线的概念，会用工具准确画出三角形高、中线、角平分线。

（2）了解三角形的三条高，三条中线与三条角平分线分别交于一点。

2、难点：（1）三角形平分线与角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别。

（2）钝角三角形高的画法。

（3）不同的三角形三条高的位置关系。

三、教学方法：自主探究，合作交流

四、教学工具：三角形纸片，三角板，直尺

五、教学过程：、各组组长检查预习作业完成情况。

2、师生问好。

3、情境导入：【大屏幕显示】白雪公主有一块三角形的煎饼，她打算把煎饼分成面积相等的七块给小矮人，想了很久也不知道怎么分，你能帮助她吗？

4、展示本学习目标【大屏幕显示】、学生自学本P6-66内容后，完成导学案。（小组共同完成，组长组织）教师巡视全班。（导学案附后）

6、通过题目检查学生自学情况。【大屏幕显示】（学生抢答）

7、将学生在自学过程中的疑难问题适当加以点拨。

8、学生完成堂练习，完成后交给组长评分。（堂练习附后）

9、共同完成拓展练习。

0、共同完成前设疑的问题。现在你能帮助白雪公主了吗？

1、堂小结：由学生总结，互相补充。

2、布置下作业。

【导学案和堂练习题附后】

三角形的高、中线和角平分线导学案

前准备：请你完成下列作图：

、经过点A画直线l的垂线

2、画∠AB的角平分线

3、作出线段AB的中点

动手实践，探究新知：

三角形的高线

、三角形高线定义：

2、请你画出下面三角形的高

思考：（1）三角形的高线有

条；

（2）锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?

；

（3）直角三角形的三条高线相交

；

（4）钝角三角形的三条高线也相交于一点吗？

请你拿出前准备好的三角形，通过自己折纸画出三角形的角平分线和中线，回答下面问题

、三角形角平分线定义：

2、三角形有几条角平分线？

3、你发现三角形的三条角平分线是否交于一点？

三角形的中线、三角形的中线定义：

2、三角形有几条中线？

3、你发现三角形的三条中线是否交于一点？

三角形高、中线、角平分线堂练习

应用新知，体验成功

、填空：∵AD是△AB的高

∴

=

=

°

2、填空：∵F是△AB的中线

∴

=

=

3、填空：∵AE是△AB的角平分线

∴

=

=

4、如图：D，BE是∆AB的角平分线，它们相交于点I，则

①∠AD=∠

=

∠AB，∠AB=

∠ABE

②BI是∆ 的角平分线，I是∆ 的角平分线。

③你能画出∆AB的第三条角平分线吗？

、如图，在∆AB中，∠BA是钝角，请在∆AB中分别画出:

∠BA的平分线；

A边上的中线；

A边上的高；

AB边上的高。

6、已知：如图，在△AB中，∠AB＝90°，D是高，则图中互补的角有

对，分别为

7、请你找出图中以AD为高的三角形

它们分别是

8、三角形某条边上的高（）

A在三角形的内部B在三角形的外部

在三角形的一边上

D以上三种情况都有可能

9、如图，如果D是B的中点，B=6,AE⊥B于E,AE=4

则BD＝D＝

，S△ABD=，S△AD= ,S△ABD

S△AD

0、三角形的一条，能把三角形分成两个面积相等的三角形。

A．角平分线

B．中线

．高

三角形角平分线教案 第12篇

湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 张昌林

在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．

命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°

+

证明：如图１：

∠A．

∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①

∠1＋∠2＋∠D=180°②

①－②得：

∠1＋∠2＋∠A＝∠D③

由②得：

∠1＋∠2=180°－∠D④

把③代入④得：

∴180°－∠D＋∠A＝∠D

∠D=90°+∠A．

点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90

°－∠A．

证明：如图２：

∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠

2=180°－（∠DBE+∠DCF）

=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）

=180°－（∠A+180°）

=180°－ ∠A－90°

=90°－

∠A；

点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明

.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠

E=

A．

证明：如图3：

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①

∠1+∠E=∠4② ∠

①×代入②得：

∠E=

明

.∠A． 点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证

命题4 如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：

∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EF

CE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF

∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH

∵EG=EH

∴AE是△ABC的外角平分线．

点评 利用角平分线的性质和判定能够证明．

应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．

例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．

①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？ 解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－

∠A=90°－

×60°=60°

②根据命题2的结论∠P=90°－

∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．

点评 此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．

例２ 如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于

∠BC

与∠CD的平分线交与点，以此类推，„，若∠A=96

°，则∠点，= 度．

解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A． 可以直接得：∠=×96°=3°．

点评 此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．

例３（2011湖北鄂州市中考第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．

解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠

BAC)=(180°－2∠BPC)=50°．

点评 对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．

例４(2003年山东省“KLT快乐灵通杯”初中数学竞赛试题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．

解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB

－∠ACB=90

°－×90°=45°