分数应用题是六年级数学教材中教学的一个重点,也是学生学习的一个难点。因为这类题比较抽象,学生往往因分析失误而错解。在一次六年级检测试卷中,经过初步统计,分数应用题的分值约占了30%左右,可见分数应用题在六年级数学中的地位和比重,然而正是这些抽象的分数应用题造成了孩子们对分数应用题的望而生畏,怎么思考也弄不明白。因此本文从解决分数应用题的实战出发,向同行们探讨一下解决分数应用题的“武林秘籍”。
那从实战的考题开始我们的旅程吧:
【典型题目】某种商品8月的价格比7月涨了30%,9月的价格比8月又降了20%。9月的价格和7月比是涨了还是降了?变化幅度是多少? 【昌黎县2015年1月6年级期末试卷应用题最后一题】
见到此题,是不是觉得解决起来有点难呢? 好,我们就一起先来探究一下分数应用题的解法技巧吧。
1解决分数应用题也有“武林秘籍”
画线段图与写数量关系是解决分数应用题的两个有效手段,可以说它们正是我们要寻觅“武林秘籍”。可以这么说画线段图是分数应用题的基本分析途径,线段图的正确分析往往决定着数量关系的正确与否。当然两个有效手段可以单独使用,也可图文并茂地一起使用,这可是准确、快速解决分数应用题的法宝。
例1:六年级有女生90名,男生是女生人数的1/3,男生多少人?
要点:画图时要先画出单位“1”的量。结合画图和关键句“男生是女生人数的1/3”,可以看出这道题是把女生人数90人看做单位“1”,把女生人数平均分成分率1/3的分母份,即3份,所以先把表示女生人数的线段图平均分成3份,男生人数占其中的分子份,即1份,所以男生人数画的要和女生中的1份长度同样多,也就是女生人数的1/3是男生人数,根据一个数成分数的意义用乘法计算, 所以数量关系为女生人数×1/3=男生人数。
例2:弟弟体重24千克,哥哥比弟弟重1/4,哥哥体重多少千克?
画图:关键句“哥哥比弟弟重1/4”,显然“比弟弟重1/4”是把弟弟的体重看做了单位“1”,也就是标准量的意思,所以画图要先用线段图画出弟弟的体重,平均分成1/4的分母份,即4份。那分子1的含义是什么呢? 分子1的意思是把弟弟的体重看做单位“1”,平均分成4份,哥哥的体重比弟弟多1份,那哥哥当然应该画5份了。
结合画线段图的分析:哥哥比弟弟重1/4,也就是哥哥的体重等于在弟弟体重的基础上再加上弟弟体重的1/4,才等于哥哥体重,所以数量关系1为:弟弟重量+弟弟重量的1/4=哥哥重量,所以列式为24+24×1/4;
又因为哥哥比弟弟重1/4,也可理解为把弟弟的体重看作单位“1”,也就是1份,哥哥比弟弟重1/4份,那么哥哥就是(1+1/4)份,而1份,也就是单位“1”对应的数量是24kg,求哥哥的体重千克数,就是求弟弟体重的(1+1/4)倍是多少,根据一个数乘分数的意义 ,用乘法计 算 ,所以数量 关系2是 : 弟弟体重 ×(1+1/4)=哥哥体重 ,列式为 :24×(1+1/4)
这里的细节是:
分析出正确的数量关系固然重要, 灵活运用也是固不可少的。如根据数量关系:弟弟体重×(1+1/4)=哥哥体重,如果已知了弟弟体重求哥哥,那当然用乘法直接计算即可。如果已知了哥哥体重求弟弟体重呢? 对了,用除法啊,根据分数除法的意义,已知两个因数的积是哥哥体重,和其中的一个因数(1+1/4),求另一个因数,也就是弟弟体重,用除法计算;或者呢,设单位“1”的数量(弟弟体重)为x千克,根据数量关系列方程解答即可。
通过以上画图及数量分析我们总结出以下规律:
1.已知单位“1”的数量 ,求它的几分之几 (百分之几 )用乘法计算;
2.如果单位“1”未知 ,却需要先求出单位“1”是多少 ,那这一步一定是除法或方程;
3. 还有一种类型就是求甲数是乙数的几分之几 ( 百分之几),基本方法就是:甲数÷乙数。此类较复杂的就是求甲比乙多(或少 )几分之几 (或百分之几 )的问题 ,意思是甲比乙多 (或少 )的占单位“1”的几分之几(或百分之几)基本方法是:甲数和乙数的差(永远是大数减小数)÷单位“1”,单位“1”的判断当然是比谁谁是单位“1”了,简单一句话就是差值÷单位“1”, 求商即可。
2解决分数应用题的“一般步骤”
我们还是一起回到开头引用的那道题:
某种商品8月的价格比7月涨了30%,9月的价格比8月又降了20%。9月的价格和7月比是涨了还是降了? 变化幅度是多少?
教学步骤可以如下设计:
2.1明确问题 ,求什么
问题“9月的价格和7月比是涨了还是降了? 变化幅度是多少? ”,要认识到:(1)共求两个问题;(2)第一个问题是价格是涨了还是降了,应该进行价格的比较再得出结论;第二个问题是变化幅度, 因为紧接第一个问题, 所以根据“9月的价格和7月比”,我们就知道既然“和7月比”,当然要把“7月价格”看作单位“1”了,据此分析,“变化幅度”意思是涨了的钱数(或是降了的钱数)占单位“1”(7月份价格)的百分数。
2.2找准数量 ,怎么求
关键句,两个。在学生的实际教学中,可以画图分析,也可通过关键句直接分析题目的数量关系。上面题目中的关键句,一是“8月的价格比7月涨了30%”,二是“9月的价格比8月又降了20%”。
第一句理解:是8月价格和7月价格比较,涨了30%,7月价格是单位“1”,那么说明8月价格是7月价格的(1+30%)倍,数量为8月价格=7月价格×(1+30%)。
第二句理解:是9月的价格和8月相比较,8月价格是单位“1”,9月价格降了8月份的20%, 也就是9月的价格是8月价格的(1-20%),数量关系为:9月的价格=8月价格×(1-20%)
根据两个关键句的理解和分析, 我们知道要求9月的价格就必须先根据数量关系2求出8月价格, 而要求8月价格就必须根据数量关系1知道7月价格,但遗憾,7月价格没有,未知。这时我们就应该想到对于未知数量, 我们可以把它看作一个整体,用单位“1”来表示。
2.3正确列式 ,认真做
(1) 设7月价格为1 ( 这里的1是把7月价格看作一个整体,看作1份,看作1个标准量,用单位“1”来表示)
8月价格 :1×(1+30%)=1.3
9月价格 :1.3×(1-20%)=1.04
∵1.04﹥1∴9月价格比7月份涨了。
(2)(1.04-1)÷1=0.04÷1=0.04=4%
注: 也就是求9月比7月涨的价格份数占7月价格的百分之几。
答:变化幅度为涨了4%
2.4仔细验算 ,深反思
这一步,要告诉学生,做一个负责任的孩子,做完后问问自己做的对吗,合理吗?有没有更便捷的方法……使我们的学生养成一个学会反思的习惯。
到了这里,你是不是对分数应用题的教学困惑有了“柳暗花明又一村”的感觉? 愿我感悟的拙见能为您的教学抛砖引玉,能为毕业班的孩子不再对解分数应用题而发愁而感到欣慰……