第一篇：平面解析几何教学设计
高中平面解析几何有效教学策略分析オ
平面解析几何是高中数学的基础内容之一，它是一门锻炼学生解析能力、计算能力和作图能力的综合性学习内容，同时也是体现数形结合解题思想的思维锻炼性学科.本文通过图例结合的方式，联系实际教学，详细地阐述了高中平面解析几何的教学策略和教学方式.高中解析几何是高中数学学习中的重点和难点，由于它的题目思维锻炼量大，题型灵活，所以部分同学难以完全理解平面解析几何的解题方式，这也给老师的教学带来了较大的困难.想要做到有效的教学，就应该做到数图结合，总结归纳简洁明了的教学策略.这样才能促进教学进程的推进.
一、灵活利用平面几何中的定义进行解答
定义是数学的基础，根据长时间的教学经验，能够灵活利用定义并严谨遵循定义进行解题的学生，往往在碰见变化多样的难度较高的题型时，同样可以做出漂亮的答案.就以下面的平面解析几何中的最值问题为例.
已知直线a满足4x-3y+11=0，直线b满足x=-1，同时，一个动点P在曲线C：y2=4x上运动，求动点P到直线a、b距离之和的最小值.根据定义，我们可以迅速画出曲线图.从P点向直线b作垂线段PQ，连结PF，动点P到直线b的距离可以转化为线段PF，这样便可看出距离和的最小值为F到直线a的距离d=3.所以，定义法是平面解析几何中的金钥匙，因为在定义法中明确的标明了定直线与定点以及定点与顶点间距离不变的关系，想要用最简洁方便的方法解出这道题的答案，就应该熟练掌握定义，并巧妙地加以运用，迅速找到最值问题中的突破口.而突破口一旦找到，问题也就迎刃而解.
定义在数学中是最严谨的存在，一切问题的延伸都依靠着定义的支撑.而定义有时却是最绕口难懂，让学生们最容易忽略的存在.部分老师有时甚至会在课堂上说“要是定义不懂就算了，能解题就行”之类的话，这样不仅是给学生们一个错误的导向，更是大大降低了学生们的探知欲望.由此可见，定义的了解是多么重要，老师们在平时的教学中同样也需要加以重视.[HJ]
三、不忽略备课的过程
对于高中平面几何的教学，一般老师都拥有较多的参考书，上课讲解的题目一般也是直接从参考书上照搬下来，有些老师不进行备课，直接按照数学书上的步骤讲解，不给学生进行解题方法的拓展，甚至有时部分老师会直接让学生看着书理解.这样做不仅不能提高教学的效率，还会打击学生的学习热情.俗话都说“磨刀不误砍柴工”，想要帮助学生“砍去”平面解析几何这棵大树，就不应该荒废教学备课这个“磨刀”的过程.同时，也只有备好课，认真筛选上课时讲解的内容，才能在课堂上用最精简的时间，教出最好的效果，学生也能最大可能的吸收最多的知识.所以，想要在平面解析几何中达到最有效的教学，备课是不可缺少的部分.
高中平面几何不仅是以后大学几何学习中的基础，学习平面几何更是能够锻炼到学生们的空间能力和思维能力.平面几何带给学生们的有利影响是长久性的.想要学生学好平面几何，除了平时的练习，更离不开老师的有效教学.老师在引导学生的道路上任重而道远.
第二篇：《平面几何入门教学》读书心得
几何教学特别是初中的几何教学对于老师来说是一个难教的课题，对于学生来说也一直认为是一个难学的内容，读了杨裕前老师的《平面几何入门教学》，觉得非常有收获，此书确实是一本既有理论依据，又有实用价值的好书书。对于我们在一线的教师来书来说无疑是给出了清晰的理论依据和实战经验典范，给了我明确的指导方向，现就自己的阅读谈点滴体会：
一、激发学生的学习兴趣
心理学认为，动机是一切学习的原动力，任何成功的学习都伴有强烈的动机，受内在动机的驱使：而无动机的学习，多畏惧困难，敷衍了事，最后一事无成。平面几何的学习刚进入新天地，好奇心、求知欲十分旺盛，激发学生内在动机，必是学习平面几何关键。因此激发学生学习几何的动机，成为我们几何入门教学的引言，现从一下两个方面阐述：1.激发民族自尊心和自豪感。可以给学生介绍我国古代在几何学上的辉煌成就，如：《周骨算经》中写到的“勾三股四玄五”，祖冲之在圆周率的计算上达到了相当的精确的程度等，以激发学生的爱国主义热情，渲染教育民族自尊心和自豪感，使学生有充分的学习信心。2.联系实际从生活找根源。如学习圆的内容时可以从实际出发为什么要学习圆，生活中圆无处不在，特别是我们的交通工具离不开圆。还可以从学生感兴趣的动手“折纸”入手将长方形纸折成正方形、三角形、平行四边形、圆、梯形等基本图形，让学生把几何图形抽象
到实际的可以动手操作的可认识，有据可循的知识上来。
二、抓住几何的基本概念，揭示本质
几何教学从一开始就会出现几何概念，概念多、术语新，难掌握，易混淆，是几何的特点，因此概念教学的成败，极大地影响着几何能否入门，而在课堂上能否深刻揭示几何概念的本质特征，又是概念教学成败的关键，由于人们对客观事物的认识有一个从感性认识到理性认识的发展过程，学生学习一个新的几何学概念，一般有三个阶段，那就是：直观形象——图象抽象——本质抽象。例如一个比较简单的概念——射线，可举出手电筒射出的光线先给学生以射线的直观形象，然后教师画出并引导学生画出从A点出发，沿着某一个固定方向前进的路线，给学生以射线的图象抽象，再阐述它仅有一个端点，它没有长短，也没有粗细，它是直线上的一点一旁的部分，这样便上升为射线的本质抽象，从而给出射线的定义。
三、准确识图，数形转换
几何学是离不开图形的，因此图形的视觉效应是不可忽视的，在图形教学中，还应重视培养学生对较复杂图形的认识能力，随着学习几何内容的逐渐丰富，几何图形也就越来越复杂，复杂的几何图形是多式多样的，主要是图形的交错和变位，当然在几何入门阶段，图形还不能算是很复杂的，但有的学生已感到图形难辨认、分析难下手。因此从几何教学的开始就应该予以重视，如在讲“垂线”概念时，可以画出图形，如图AO⊥OD、BO⊥OC，图中有相等的角吗?为什么?这里有两个直角交错，为了便于学生认别，可以用彩色粉笔画图形的界线，
并标注出有关性质符号。对于交错图形，更重要的还应使学生理解交错图形如何分解成一些基本图形，怎样又从简单图形组合成较复杂的图形，这样逐步让学生懂得图形的分解和组合。
四、几何语言的训练和推理论证的培养
几何语言是我们于他人沟通的桥梁，是我们进行几何交流思想和进行智力活动的工具，而推理就是用正确的几何语言将其表达出来的一种智力活动。加强学生几何语言的训练，要努力提高学生的说理能力.课堂数学要形式多样，有讲有练，给学生较多的语言训练机会.如要求学生复述定义、定理的意义;教师给出图形，要求学生“看图说话”讲述意义;教师写出各论证，要求学生说出根据，理由等。语言训练中逐步要求学生做到语言精练，表述正确，对于学生模糊不清的口语，要一一加以纠正，毫不放松.语言训练要重视课本的作用.教学中可以引导学生看书，同时对于一些语言方式和习惯用语，如“连结××并延长交××于×点”、“延长××到×，使××等于××”等，可以要求学生熟记，以利于熟练地掌握和正确地使用几何语言。当然适当的反例教学也可以提高学生使用语言的精确性.如教学中经常让学生来辨析诸如下列一类的语句：“到一条线段两端距离相等的点是线段的中点”，“两条线段不平行就相交”;“过线段AB外一点作AB的垂线”;“过M、N两点作直线AB的平行线”等;推理论证的方法也是逐步渗透的，从简单开始，从口头表达开始，明确因果关系，熟悉如何推导。可通过实例介绍推证通法中的演绎法(三段论法)：举例：(1)放火的人是坏蛋 (大前提)
因为 丁一正在放火 (小前提)
所以 丁一是坏蛋 (结论)
(2)对顶角相等 (大前提)
∵∠1和∠2是对顶角 (小前提)
∴∠1=∠2 (结论)
以上推理过程由三段组成，所以称之三段论证(演绎法)。 通过介绍，使学生感到生活中处处有三段论证，从而减轻了“几何难”的心理压力。并从“∵”、“∴”的句式练习中，可以培养学生学习兴趣和积极性，提高推理论证的能力。同时向学生讲清楚，在证明一个命题时，它的过程往往是由一连串前后连贯的三段论法组成的。
以上是我的点滴体会，由于时间仓促只能从中领悟出这一点内容，相信随着时间的推移，以及看书的遍数的增加还会从中领悟出更深的精髓，希望各位能不吝提出批评。
俞良
第三篇：平面解析几何
《“平面解析几何”复习教学的目标与设计》的学习心得体会
本人学习了《“平面解析几何”复习教学的目标与设计》的视频，感触很深。授课老师能深入浅出的分析函数与导数高三复习的方法及注意点，并对相关知识的专题内容进行分析，并对体系进行很好整理。在培养学生函数意识、掌握函数的思维方法、学会运用函数思想解决问题方面提出见解。对函数与导数专题蕴含的核心观点、思想和方法进行剖析。通过学习，我认为在今后的数学教学中，要努力做好如下几方面的工作。
一、《解析几何》的教育价值
随着时代的发展，人们对数学和数学教育本质的认识在不断地发展、变化与更新，数学已经从单纯的工具演变提升为所有公民所必备的一种精神、一种文化、一种观念、一种思维方式，因此数学教育纯粹向学生传授知识和解题方法的单一化目标正在被包含“文理融合，德智兼顾，完善人格，提高素养”在内的多元化、立体化目标所取代.《解析几何》正是在这些方面显示出非凡的教育价值. 美国应用数学家M·克莱因在他的名著《西方文化中的数学》中指出：“数学是一种精神，一种理性的精神.正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，也正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活;试图回答人类自身存在提出的问题;努力去理解和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵.”
《普通高中数学课程标准(实验)》[1]在开头也明确指出：“数学是人类文化的重要组成部分”，“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析问题、解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用.”
提到数学的理性精神，不能不说说爱因斯坦震撼人心的论述：“为什么数学比其它一切科学更受到特殊的重视?一个理由是，它的命题是绝对可靠和无可争议的，而其它一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于被新发现的事物推翻的危险之中.”《解析几何》的所有命题就具有“连上帝”都认为“绝对可靠”与“无可争议”的理性特征. 世界文明全方位的进步越来越离不开数学理论、数学技术与数学思维.不仅自然科学与技术依靠着数学，就是社会人文科学也大量应用着数学的理念、方法与思维方式.正如日本著名学者、数学教育家米山国藏所说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业进入社会后，几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学，通常是出校门不到
一、两年就很快忘掉了.然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻于脑中的数学精神，数学的思维方法、研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们终生受益.”精辟深邃的见解在《解析几何》中得到淋漓尽致的体现. 文[2]说：“数学在人类文明史中一直是一种主要的文化力量.„人类历史上每一个重大事件的背后都有数学的身影：哥白尼的日心说，牛顿的万有引力定律，无线电波的发现，三权分立的政治结构，„等都与数学思想有密切的联系.” 十
六、七世纪，许多数学家在思考，能否找到一种可以解决所有数学问题的统一方法.虽然许多数学家没有获得成功，但在长期思索、探寻的过程中孕育着一项超越前人的，数学发展史，乃至科学发展史上划时代、里程碑式的伟大成果，这就是法国数学家笛卡儿创立的《解析几何》. 笛卡儿长期思考用代数方法来研究几何问题.1619年11月10日傍晚，他在朦胧中观察蜘蛛在墙角结网，那纵横交错的蛛丝网络引发了他的灵感，那不正是“用代数方法来研究几何问题”的绝佳工具吗?基于此种构想，平面直角坐标系以及解决几何图形问题的坐标法、解析法应运而生，“数”和“形”神奇地结合了起来，函数、方程实现了视觉化、形象化;曲线与几何图形实现了数量化.点、线和曲线的运动与数量变化融为一体，并达到完美的境界，“动”与“静”的辨证关系被刻画得惟妙惟肖.对此，恩格斯给予了极高的评价：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分立刻成为必要的了.”[3]
有了平面直角坐标系，在函数的研究中可充分发挥其图像的优势，在方程的研究中又可发挥对应图形的优势，真是数形结合，优势互补，如虎添翼、相得益彰.有了平面直角坐标系，可以将复数a+bi(a，b∈R)表示在平面内，构建出复平面，使复数的研究逐步提升能到一个前所未有的高度.有了平面直角坐标系，随着函数研究的逐步深入，发明了导数，于是推动现代化科学技术发展的微、积分诞生了.有了平面直角坐标系，人们又将平面向量表示成坐标(x，y)，那么平面向量的所有运算都可以实现坐标化，使有关问题的解决变得更加简捷流畅，这是向量研究的重大突破.平面直角坐标系又发展到空间直角坐标系，于是诞生了空间向量、空间解析几何.完全可以说，对大到宇宙天体中各种星球的运行，小到物质的分子原子的结构以及电子运动的研究，都可以归结为对函数及其图像、曲线及其方程的研究，都是以坐标系为重要工具，都与《解析几何》结下了不解之缘.下面的框图以浓缩的方式揭示的就是源于坐标系而发展成的“一棵参天大树”.
进入高中的学生，随着知识、技能、思想和阅历的逐渐丰富，思维水平的长足提升，审美意识的开始树立，辨证唯物主义世界观的逐步形成，将实现从幼稚蒙昧的少年“破茧化蛹成蝶”的巨变，在学生整个人生发展的这个非常关键的时期，《解析几何》的教学正是促进学生这种巨变的重要推动力. 数学思维是人的综合素质中最重要的组成部分，广阔性、深刻性、敏捷性、缜密性、创造性、批判性等数学思维的各种特性在《解析几何》中都有极为丰富的背景内容.从《解析几何》中提炼出的各种数学思想可在极大的程度上丰富学生的大脑.从《解析几何》中反映出的数学美是随处可见的，问题是要能去发现、揭示和欣赏，并用这种美激发兴趣，引发思维的创造.数学中充满辨证法，对立统一的法则、矛盾的普遍性与特殊性、偶然性与必然性、矛盾双方在一定条件可以互相转化、量变到质变等哲学基本原理，在《解析几何》中都可以找到大量生动鲜活的实例.教师高瞻远瞩、纵横捭阖，巧妙地将这些内容编织进课堂教学之中，学生在感到赏心悦目、情趣盎然的同时，更会觉得自己的“思维得以运用到最完善的程度”，这是思维与各种能力趋于成熟的标志.
二、《解析几何》的教学建议
对《解析几何》教育、教学价值的深刻理解，可使教师形成一种高屋建瓴的磅礴气势，能高瞻远瞩地洞悉整个教材的体系，以便将《解析几何》当作一部“长篇巨著”，然后再将它创编为一集集既相互独立，又有内在联系的“电视连续剧”，设计并实施科学性与艺术性双具的一节节教学精品，以取得最大限度的教育、教学效益.为此，提出《解析几何》教学的一些建议. 1 突出主线 副线交叉 和谐统一
《解析几何》的灵魂是“解析”，即用代数方法研究几何图形的坐标法，这是贯穿于《解析几何》教学的一条主线.但这条主线又与多条副线交叉组合，构成了和谐统一的有机系统. (1)认识并处理好函数及其图像与曲线及其方程的联系与区别.虽然这两者都是以坐标系为纽带，但函数y=f(x)与二元方程F(x，y)=0有着本质的区别.直线x=a与函数y=f(x)的图像最多只能有一个公共点，而直线x=a与方程F(x，y)=0的曲线的公共点却可以超过一个.在一定条件下，曲线方程可以转化为函数.如由方程x2+y2=R2可解得
，但这却不能称为函数，只有
与
才能称为函数.在这里，函数与方程、函数的图像与方程的曲线实现了沟通.在解决有关弦长、图形的面积、直线的斜率、离心率的问题中，常转化为对目标函数的求解与研究.可见函数与《解析几何》结下了不解之缘，函数堪称《解析几何》中的一号副线. (2)一般方程堪称《解析几何》中的二号副线.在研究曲线位置关系的问题中，常转化为对一元二次方程的讨论，判别式△的几种情况、根与系数的关系就成了解决《解析几何》中的“常客”. (3)不等式堪称《解析几何》中的三号副线.不等式的性质、不等式的求解、不等式的证明、均值不等式的应用与《解析几何》的综合问题常处于各级各类考试试卷的把关位置. (4)三角函数堪称《解析几何》中的四号副线.直线倾斜角、直线方程中x、y的系数中常含三角函数、圆的方程x2+y2=R2与椭圆方程
a>b>0)的参数形式 等
都与三角函数有着密切的亲缘关系. (5)平几知识的频繁介入.求动点的轨迹、解决有关图形的问题，常与平几图形联袂，“小小的” 平几知识常成为解决大问题的杠杆.直角三角形、等腰直角三角形、平行四边形、线段的中点常在《解析几何》问题中扮演着重要“角色”. (6)《解析几何》的问题常与平面向量的运算、平行、垂直、夹角等携手组成绚丽多姿的综合题. (7)《立体几何》与《解析几何》的综合.近年来发现一些与《立体几何》有关的轨迹问题，是“立体”与“解析”两大几何的联手，值得关注.在高中数学的选修部分，更进一步揭示了圆锥曲线与圆锥的渊源关系，是拓宽学生数学视野、丰富数学手段、发展思维的良机.
(8)数列知识的介入.虽然这类问题不是太多，但也应值得重视. 2 重研究对象，更重数学方法
从对象看，《解析几何》研究的无非是直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线，但在研究它们的各种性质与解决有关问题的过程更要重
视数学方法的构建与应用. 最重要的、处于核心位置的 数学方法当属坐标法，如右面的 框图所示. 以直角坐标系为工具，实现几何条件的代数化，得到曲线(动点的轨迹)的方程，又在直角坐标系中结合方程研究曲线的性质，深入理解这个方法的精髓，所有研究对象的性质将成为显然的几何事实，记忆、掌握与运用就变得十分自然、顺畅. 以坐标法为枢纽，还要辅以若干重要的支线，总结一些另外的典型方法也是十分必要的. (1)设直线l：y=kx+b与曲线 C：F(x，y)=0，常消去y，得到一个关于x的一元二次方程，那么研究直线l与曲线C的位置关系就转化为对这个方程的解的研究.当△>0时，直线l与曲线C有不同的两个交点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|=
.特别地，当k=1时，|AB|=
， =图形中出现了等腰直角三角形. 这就是著名的弦长公式，给长度、面积、最值，特别是求范围等问题的解决提供了方便. 但思维不可僵化，有时直线l的方程也可设为x=my+a，则可巧妙地避免对直线的斜率是否存在的繁琐讨论，当然这时的弦长公式就变为|AB|=
.
类似的结论固然须牢固掌握，但更重要的是要带领学生一起来追寻它们形成的“历史足迹”，重视与突出其推导过程. (2)增强应用圆锥曲线定义的意识.现以椭圆为例. 在坐标系xOy中，设定点F1(-c，0)、F2(c，0)，若动点M(x，y)满足|MF|+|MF|=2a(a>c>0) ①
经代数化，得 ②
则可化得椭圆的标准方程. 椭圆的标准方程又可变形为在将②式化为标准方程的过程中，有一个过度式
③
，
进而可化为 ④
结合图1，那么①②两式以不同的形式展示了椭圆的第一定义，④ 式展示的是椭圆的第二定义，③式即，展示的是椭圆
的另一定义，不妨称之为椭圆的第三定义.由④式还可得|MF2|=a-ex，其中
的就是椭圆的离心率.这样就将椭圆的三个定义与椭圆的准线、离心
率、椭圆的焦半径公式融为一体，组成一个完整的知识体系.不过，在③式中，由于x≠±a，所以必须增补点(a，0)与(-a，0)，才能得到一个完整的椭圆. (3)“将几何条件代数化”当然是求动点轨迹的最重要的基本方法，但此外还要总结另外一些典型的方法，如定义法、参数法、反代法.现仅以反代法为例，阐述其基本形式. 设已知曲线C：F(x，y)=0上的一动点P(x0，y0)，Q(x，y)是与P相关的动点，则求点Q的轨迹方程按以下步骤进行：
1o正代：由已知得F(x0，y0)=0 ①
o
求相关
条件方程组：由P与Q的相关条件得
3o求反代式：由上述方程组解得用x、y表示x0、y0的反代式
4o反代置换：将反代式代入①式，即得Q点的轨迹方程F(h1(x，y)，s1(x，y))=0. (4)曲线的切线越来越受到重视.圆的切线自不必说，其他曲线的切线，一方面可用上面(1)所说的△=0来解决，但更值得关注的是有关抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的切线的问题，常用导数方法来解决. (5)一个典型奇特的方法，即同构式的应用.限于篇幅，这里仅举一例. A、B是抛物线y=x2的上的两个动的动点，O是原点，若OA⊥OB，过O作OH⊥AB于H，求H点的轨迹方程.
2 设A(t1，)、B(t2，)，由OA⊥OB易得t1t2=-1 ①
.
②
③ 以OA为直径的圆的方程是化为
同理，由以OB为直径的圆的方程，得②③两式中，只是t的下标数字不同，其余的结构完全相同，两式一“碰撞”，下标消失，得
④
则t
1、t2是关于t的方程④的两根，所以t1t2=-(x2+y2)，结合①式，立即得x2+y2=1(x≠0). 这就是欲求的H点的轨迹方程. ②③两式叫做同构式，从初中到高中，无数问题的解答都可以仰仗同构式的奇特功能.这里展示的是同构式的最单纯的形式，当然还有许多变化，但再复杂的相关问题其基本原理与之是一致的.
3 体现学生的“四个主体”
“四个主体”指的是树立学生的主体精神，强化学生的主体意识，确立学生的主体地位，发挥学生的主体作用.弘扬学生的“四个主体”，但决不意味着削弱教师的主导作用，反而对教师的主导作用提出了更高层次的要求.仅举一个课例：《直线的倾斜角和斜率》. 在讲授选择倾斜角的什么三角函数值为直线的斜率时，学生会质疑，为什么不选正弦或余弦，而偏要选正切?教师不可用“这是规定”来搪塞，而要发动学生进行深入的讨论、争辩，教师以平等的身份参与其中，用诙谐幽默的语言进行点拨、启发、诱导和评析. 直线倾斜角的取值范围是，现在分别画出y=sinx、y=cosx、y=tanx在区间上的图像(如图
2、
3、4)，让它们来个“公开、公平、公正、透明的竞聘”，看到底哪个函数能“胜出”. y=sinx在区间上的值都是非负的，且对于不同的角，可能有相同的函数值，它失去了“当选”的资格;y=cosx在区间上的值域为-1，1]，且=0，而当倾斜角为时，直线垂直于x轴，此时说“直线的斜率为0”，不合情理，它也不具备“胜出”的条件;可是y=tan在与上分别是增函数，对应于直线斜率从负无穷逐渐增大到0;从0逐渐增大到正无穷，而当垂直于x轴，tan情合理地认定tan
时，直线
不存在，即直线的斜率不存在，直线就一点也不倾斜了，多么自为直线的斜率. 然与和谐!学生哈哈大笑，在笑声中领悟了多方面知识的实质，并达成了共识，合4 优化思维品质是教学的核心内容
数学是思维的科学，数学教学的根本任务就是优化学生的思维品质，所有知识、技能、思想的理解、接受、掌握与运用都有着思维活动的深刻与丰富的背景，所以在《解析几何》教学的始终都要将这个重要目标放在首位. 前文中的所有框图虽然不必向学生讲述，但只有当教师深刻理解后才能做到“底气足”、理直气壮.选择倾斜角的正切函数作为直线的斜率涉及覆盖了众多的知识与技能.体现的是思维广阔性. 关于椭圆的三个定义的讨论，将原本似乎彼此无关的内容纳入到一个体系之中，反映的是思维的深刻性. 在不同的问情境中迅速识别、判断与检索，如应用反代法、同构式，是思维敏捷性的体现. 在求动点轨迹方程时，需要去掉那些点，补上哪些点，以保证轨迹与方程的完备性与纯粹性，反映的是思维的缜密性. 直线方程设为x=my+a、由方程②③判断t
1、t2是关于t的方程④的两根，不拘一格、别出心裁，显示的是思维的创造性. 检验轨迹和方程是否保证完备性与纯粹性、抛物线等圆锥曲线的定义中的“定点”必须在“定直线外”、椭圆定义中的“定长”必须“大于|F1F1|”等，显示的都是思维的批判性.
5 用数学的人文精神关怀学生的人文发展
数学虽然是理科，但其中饱含的人文精神对于学生综合素养的提高起着举足轻重的作用.关键是要做到有机结合、潜移默化、润物无声. 前文谈到笛卡儿创立了《解析几何》，竟将时间精确到年、月、日与“傍晚”时刻，使这个故事更具震撼力与穿透力.教师还可“借题发挥”：笛卡儿的创造看似偶然， 但必然性包含在偶然性之中，偶然的创造发明是长期殚精竭虑、思索探寻的必然结果.请问笛卡儿是在多大岁数时作出了这项创造?学生会回应：23岁!那么“有志不在年高，无志空长百岁”的箴言则跃然纸上. 恩格斯说：“数学中充满辨证法.”又说：“数学：辨证的辅助工具和表现形式.”[4]，所以文[1]规定了高中数学教育的一项重要目标，那就是树立学生的“辩证唯物主义的世界观.”
“学生听不懂所讲解的辩证法”，这种担心是多余的，只要你理解透彻了，结合具体鲜活形象的事例，运用通俗浅显的语言，学生是能领会的.如直线l：y=kx+b，若k是变量，b是常量，则直线l就在平面内围绕点(0，1)作旋转运动;若b是变量，k是常量，则直线l就在平面内作斜率为定值的平行移动.这种“动中寓静，变中求定”的特征就是对立统一法则的生动体现. 再如“量变到质变”的基本原理，在《解析几何》中可找到无数生动的事例.点与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系、曲线与曲
线的位置关系，都能深入浅出地揭示这一原理.再如图5，设平面内的一 条定直线l以及l外的一个定点F，平面内的动点P、Q、R到直线l的距
离分别为PN、QN、RN，若，则P点的轨迹是椭圆;若1，
则Q点的轨迹是抛物线;若，则R点的轨迹是双曲线.量的不断
积累，超越一定的界值，就会发生质的变化，或说飞跃，浅显之中反映的是深刻的道理，且能引发诸多联想. 另外，数学美对于情操的熏陶、数学美对于创造思维的诱发、优良的意志品质在解决问题过程的巨大作用、对科学真理不懈的追求与舍命的坚持、为全球人类造福的献身精神，都可以巧妙地融入《解析几何》的教学之中.
行文至此，深深地感到，通过《解析几何》的教学，可实现师生的互惠双赢。
第四篇：成考数学复习大纲及往年成考真题详细解答平面解析几何
第三部分 平面解析几何
第十一章 平面向量
[复习考试要求]
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2.掌握向量的加、减运算，掌握数乘向量的运算，了解两个向量共线的条件。
3.了解平面向量的分解定理，掌握直线的向量参数方程。
4.掌握向量数量积运算，了解其几何意义和处理长度、角度及垂直问题的应用。掌握向
量垂直的条件。
5.掌握向量的直角坐标概念，掌握向量坐标运算。
6.掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式。
例1(1)[理0703] 已知平面向量
，则
( )
『答案解析』由于 ，则
(2)[理0411]设向量
( )
例2(1)[理0513]已知向量
，且
和 的夹角为
满足
，则
( )
。
(2)[理0108]己知向量 ，则
的值为( )
。
(3)[理0911] 向量
，则 与 的夹角为( )
所以
。
(4)[理0805] 若向量
，且∥，则 。
『答案解析』由
(5)[理1009] 若向量且 ，共线，则
，得 ，
( )
『答案解析』由
(6)[理0918] 向量
，得x=-1 互相垂直，且
则 。
因为向量互相垂直，所以 ，又
故则线段AB中点的坐标是( )
由线段中点坐标公式，有
(7)[理1007] 已知点A(-5，3)，B(3，1)，
则线段AB中点的坐标是(-1，2)。
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的斜率
2.会求直线方程，能灵活运用直线方程解决有关问题
3.掌握两条直线平行与垂直的条件以及点到直线的距离公式，会用它们解决有关问题，了解两条直线所成角的公式。
例1(1)[理0218]设a是直线
的倾斜角，则cosa的值是______。
则有
，
(2)[理0819]设a是直线y=-x+2的倾斜角，则a=______。
由k=tana=-1，得a=135°.
例2(1)[理0908]直线x+2y+3=0经过( )
由x+2y+3=0，得截距 ，
，斜率 纵
直线x+2y+3=0经过第
二、
三、四象限。
(2)[理0619]直线3x+4y-12=0与x轴、y轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，则ΔABC的周长为______。
由巳知得 ，此直线在两坐标轴的截距分别为4，3.即与x轴、y轴两交点A(4，0)，B(0，3)，得
则ΔABC的周长为4+3+5=12
，
例3(1) [理0914] 过点(1，2)且与直线2x+y-3=0平行的直线方程为( )
y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0
(2)[理0516]过点(2,1)且与直线y=x+1垂直的直线的方程为______。
y-1=-1(x-2),即x+y-3=0
例4[理0017]给定直线L 1：3x+2y+1=0，L2：2x-3y+5=0，L3：6x-2y+5=0则过直线L1 L2的交点，且与直线L3垂直的直线方程为______。
第十三章 圆锥曲线
[复习考试要求]
1.了解曲线和方程的关系，会求两条曲线的交点
2.掌握圆的标准方程和一般方程以及直线与圆的位置关系，能灵活运用它们解决有关问题。
3.理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，掌握它们的标准方程和性质，能灵活运用它们解决有关问题。
4.了解参数方程的概念，了解圆和椭圆的参数方程。
例1(1)[理0416]过点A(-1.1)和点B(1，3)，圆心在x轴上圆的方程是______。
设圆的方程为
解方程组
，
，得
所以圆的方程为(x-2) +y=10.
(2)圆x 2+y2-10y=0的圆心到直线3x+4y-5=0的距离等于( )
由方程x +y-10y=0用配方法得x+(y-5)2
2
2
2
22=25，
圆心坐标为(0,5)由题意，有
22
(3)[理1018] 过圆x +y=25上一点N(-3,4)作该圆的切线，则此切线方程为______。 『答案解析』由圆的切线方程公式，有-3x+4y=25，即3x-4y+25=0
例2(1)[理0714] 已知椭圆的长轴长为8，则它的一个焦点到短轴一个端点的距离为( )
『答案解析』由题意2a=8，则它的一个焦点到短轴一个端点的距离为4。
(2)[理0503]中心在原点，一个焦点为(0，4)且过点(3，0)的椭圆的方程是( )
由题意c=4,b=3，则
椭圆方程为
，则该椭圆
(3)[理0614]设椭圆的方程为的离心率为( )
(A) (B)
2
(C)
2
(D)
由题意a =16,b=12，
则
。故选(A)。
所以该椭圆的离心率为
(4)[理0813] 已知正方形ABCD，以A,C为焦点且过点B的椭圆的离心率为( )
(A) (B)
(C)
(D)
[答疑编号182030207] 『正确答案』(C)
例3(1)[理0314]焦点为(-5，0)，(5，0)且过点(3，0)的双曲线的标准方程为( )
(A) (B)
(C)
a=3,c=5，
。故选(c).
(2)[理0412]双曲线方程为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
因为a=3,b=4，所以渐近线方程为
，即
。
故选(C)。
的渐近线
例4(1)[理0803] 抛物线y 2=-4x的准线方程为( )
(A) x=-2 (B)x=-1 (C)x=2 (D) x=1 『答案解析』此抛物线关于x轴对称，且焦点在x轴的负半轴上，因为2p=4,p=2，所以其准线方程为x=1。选(D)。
(2)[理0613]二次函数一条抛物线，它的焦点坐标是( )
的图像是 『答案解析』由题设有x 2=16y，此抛物线关于y轴对称，且焦点在y轴的正半轴上，因为2p=16,p=8，所以其焦点坐标是(0，4)。选(D)。
(3)[理0712] 已知抛物线y 2=4x 上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为( )
『答案解析』2p=4，抛物线的准线方程为x=-1，由题意知点P的横坐标为4，其纵坐标为±4，则过点P和原点的直线的斜率为±1。故选(C)。
(4)[理9811]以抛物线y =-8x的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的方程为( )
2
(A)(x-2) 2+y2=16 (B)(x-2)2+y2=4
(C)(x+2) +y=16 (D)(x+2)+y=4
由抛物线标准方程可知2p=8,p=4，
所求圆的圆心为(-2，0)，半径为p=4
则圆的方程为(x+2) +y=4，
故选(C)。
例5(1)[理0112]圆
2
2
2
2
2
2
2
的圆心坐标和半径分别为( )
圆心坐标和半径分别为
。
故选(A)。
(2)[理0915] 圆与直线x-y=0相切，则r=( )
圆心为(1，-1)，
。故选(A)。
(3)[理0213]椭圆的准线方程为( )
a=16，b=9,c=a-b=16-9=7
2
2
2
2
2
准线方程为 ，故选(A)。
例6[理0624]巳知⊙O的圆心在坐标原点，⊙O与X轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B， 。
(Ⅰ)求⊙O的方程;
(Ⅱ)设P为⊙O上一点，且OP∥AB，求点P的坐标。
(Ⅰ)由己知：在RTΔAOB中， ，所以⊙O的半径原点，可得⊙O的方程为
x 2+y2=4。
(Ⅱ)因为A(2，0)，B(0，2)，所以AB的斜率为-1
且
圆心在坐标
可知过O平行于AB的直线方程为 y=-x
解方程组
得
所以点P的坐标为
，
。
例7[理0724] 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于3，并且经过点(-3,8).求：
(Ⅰ)双曲线的标准方程;
(Ⅱ)双曲线的焦点坐标和准线方程。
(Ⅰ)标准方程为
由已知
，
所以 ，
由 ，得a =1,b=8,c=3，因此所
22求双曲线的标准方程为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=1，c=3，可知双曲线的焦点坐标为(-3，0)，(3，0)，
准线方程为 例8[理0824] 已知一个圆的圆心在双曲线
的右焦点，并且此圆过原点。
(Ⅰ)求该圆的方程;
(Ⅱ)求直线
所以圆心坐标为(4,0).
因为圆过原点，所以圆的半径为4.
圆的方程为(x-4)+y=16
(Ⅱ)记直线a，
被该圆截得的弦长为
2
被该圆截得的弦长。
(Ⅰ)由计算可知双曲线的右焦点为(4,0)，
直线的倾斜角为 ，
，
例9[理1024] 已知椭圆的离心率为 ，且该椭圆与双曲线的标准方程和准线方程。
由已知可得椭圆焦点为
焦点相同，求椭圆
，
设椭圆的标准方程为
则 ，解得所以椭圆的标准方程为
椭圆的准线方程为 ，
例10[理0925] 已知抛物线坐标原点，F为抛物线的焦点。
，O为(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求抛物线上点P的坐标，使ΔOFP的面积为 。
(Ⅰ)由已知得 ，焦点
所以
(Ⅱ)记点P(x 0，y0)
则
得
，y 0=±4，x0=32
，
所以点P的坐标为(32,-4)或(32，4)。
第五篇：高中平面几何60大定理
1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)
2、射影定理(欧几里得定理)
3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分
4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点
5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点
8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL
9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，
11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上
12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半
14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点
15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)
16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有
n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnBC
17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD
18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上
19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC
20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，
21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。
23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BPPC×CQQA×ARRB=
124、梅涅劳斯定理的逆定理：(略)
27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)
34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。
36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).不用掌握
37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点
38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。
39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点
40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是
D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。
41、关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。
42、关于西摩松线的定理2(安宁定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。
43、卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。
44、奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三 边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线
45、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线
46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。(反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点)
47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。
48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆,费尔巴哈圆.49、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。
50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。
51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。
52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。
53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。
54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。
55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。
56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。
57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。
58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。
59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。