对偶优化范文

对偶优化范文（精选9篇）

对偶优化 第1篇

关键词：对偶理论,影子价格,优化配置,安全裕度

建筑消防设施时保证建筑物内消防安全和人员疏散安全的重要设施, 是现代建筑的重要组成部分, 也是建筑主动防火的有效手段。建筑物失火后, 消防设施特别是自动消防设施的配置状况及其能否正常发挥作用将是决定火灾危害大小的关键性因素。

建筑物内消防设施的配置应当根据建筑物的结构、规模、火灾危险性和人员特征因素予以综合考虑, 适当兼顾经济和社会条件。对于一个建筑而言, 合理配置的目标就是在最小的消防安全投入下达到最大的安全度 (即发生火灾时的损失最小化) 。

1 对偶理论 (Duality Theory)

线性规划问题具有对偶性, 即任何一个求极大值的线性规划问题, 都有一个求极小值的线性规划问题与之对应, 反之亦然, 如果把其中一个叫做原问题, 则另一个就叫做它的对偶问题, 并称这互相联系得两个问题为一对对偶问题[1～2]。研究对偶问题之间的关系及其解的性质, 就构成了线性规划的对偶理论 (Duality Theory) 。它是线性规划理论中一个重要又有趣的部分, 也是本文所要讨论的主要内容。

根据对偶理论, 在解原问题的同时, 也可以得到对偶问题的解, 并且还可以提供影子价格等有价值的信息, 在现实生活中有着广泛的应用。由于笔者是一名消防从业者, 故本文通过某个单位的消防安全设施的配置计划来说明对偶理论的应用。

2 设施配置数额的合理确定

常规的消防安全设施包括:灭火器、室内消火栓、水喷淋、烟雾探测器、报警器等等。为了衡量安全, 在此引入一个概念——“安全裕度 (MS, margin of safety) ”, 其算术表达式如式 (1) 所示:

其中, ASET表示“可利用疏散时间”, 指的是从起火到火灾发展到临界条件的时间;

RSET表示“所需的疏散时间”, 包括火灾探测、报警时间, 疏散前准备时间以及人员疏散时间;M S值越大越安全;A S E T≥EST是安全疏散的临界条件。

在本文中, 用安全裕度作为目标函数, 通过安全设施的使用, 可以有效地延长ASET、缩短RSET, 从而延长MS;能够减少火灾发生时的过火面积, 从而扩大防火分区的设置面积。

同时应该考虑到另一种安全措施——消防保险[3], 其实保险和消防设施应该结合使用, 但本文主要是为了说明对偶理论的应用, 故引入一种极端情况, 即不配置任何安全设施, 仅仅通过购买消防保险来防范火灾风险。在这种情况下, 应该保证消防安全设施的投入成本不超过保险投入。先假设某单位仅配置了灭火器X1个和烟雾探测器X2个, 具体的信息如表1所示。

据此, 可以给出某单位对这两种消防安全设施配置数额的线性规划模型, 如式 (2) 所示:

通过单纯形法解得, 该线性规划问题的最优解为配置4个灭火器和9个烟雾探测器, 此时安全裕度为96分钟, 即:

3 对偶问题的提出

上述的消防安全设施配置数额的线性规划问题只涉及灭火器和烟雾探测器两种安全设施。从另外一个角度来看, 如果该单位决定不配置任何的消防安全设施, 而将这笔钱用于两个方面。一是用于扩大房屋面积, 一是用于增加投保数额。

(1) 扩大房屋面积对最优配置数额的影响。

如果多扩大1个单位的房屋面积 (即10m2) , 设施配置数额的线性规划问题转变为式 (3) :

通过比较可以发现, 线性规划问题式 (2) 与线性规划问题式 (3) 的差别只是式 (3) 的第一个约束条件的右边发生了变化, 因此用单纯形法解得:

可以看到, 安全裕度延长了0.1分钟。

(2) 增加投保数额的影响。

同样道理, 如果每单位面积 (10m2) 增加1单位保额 (10元) , 设施配置数额的线性规划问题转变为式 (4) :

解得:X1=3.9, X2=9.15, TS=96.6。

即:安全裕度延长了0.6分钟。

(3) 影子价格。

从上面的分析中可知, 只要多扩大1个单位房屋面积 (10m2) 就能使该单位在疏散中的安全裕度延长0.1分钟, 相当于房屋面积的“影子价格”;同理, 1个单位 (10元/10m2) 保额的“影子价格”是0.6分钟。

(4) 对偶问题。

用Y1和Y2分别表示扩大10m2房屋面积和增加10元/10m2保额的附加额 (影子价格) , 则有约束条件如式 (5) :

根据表1, 配置一个灭火器可以扩大30个单位的房屋面积 (10m2) 和增加5个单位成本的保费 (10元) , 那么将配置一个灭火器的资源用于扩建房屋和增加投保的附加额可表示为式 (6)

而配置一个灭火器可以延长的安全裕度时间是6分钟, 因此该单位不愿意放弃配置灭火器的条件如式 (7) 所示:

同样道理, 该单位不愿放弃配置烟雾探测器的条件如式 (8) 所示:

所以, 该单位把所有可支配的安全设施资源都用于扩建房屋和增加保额后, 获得的额外收入如式 (9) 所示:

当B值越小, 表明该单位越可能采取配置灭火器和烟雾探测器这两种安全组合, 因此, 有线性规划问题如式 (10) :

式 (10) 即线性规划问题式 (2) 的对偶线性规划。

4 对偶的应用:评估新设施

现在该单位考虑再增加两种消防安全设施:水喷淋和报警器, 这二者的具体信息如表2所示。

那么, 该单位是否应该增加这两种设施呢?本文建议可以用对偶理论的影子价格对新设施进行评估。在该单位只配置灭火器和烟雾探测器的情形下, 最优配置数额的线性规划问题的对偶规划如式 (11) 所示:

解得:Y1=0.1, Y2=0.6。

其意义是:在只配置灭火器和烟雾探测器的情形下, 房屋面积的影子价格是0.1分钟, 保额的影子价格是0.6分钟, 为了增加一个水喷淋, 失去的“机会成本”如式 (12) 所示:

即, 如果该单位用配置一个水喷淋的资源来配置灭火器和烟雾探测器, 可以延长2.2分钟的安全裕度时间, 而配置一个水喷淋仅可直接延长2分钟的安全裕度时间, 小于安装灭火器和烟雾探测器的安全度, 所以, 该单位不应该配置水喷淋。

另一方面, 为了增加一个报警器, 失去的“机会成本”如式 (13) 所示:

即, 如果用配置一个报警器的资源来配置灭火器和烟雾探测器, 可以延长6.7分钟的安全裕度时间, 而配置一个报警器却可直接延长7分钟的安全裕度时间, 大于安装灭火器和烟雾探测器的安全度, 所以, 该单位应该配置报警器。

5 结语

上例只是为了说明对偶理论的应用, 故在数字的取值上有意简化, 与实际情况或许有不符, 但通过计算分析至少表明了, 对偶理论的影子价格在某单位消防安全设施的最优配置计划上的作用。正确的运用影子价格, 可以合理地确定最优的配置数额, 还可以有效地评估增加新设施合理性与经济性。因此, 在制定消防安全设施的配置计划时要发挥对偶理论的作用。

参考文献

[1]邓梁成.运筹学的原理和方法[M].武汉:华中科技大学出版社, 2005.

[2]李荣钧, 邝英强.运筹学[M].广州:华南理工大学出版社, 2002.

对偶句是什么意思对偶句怎么写 第2篇

反对，两个句子之间的关系是相反或相对。比如满招损，谦受益。满对谦，损对益，自满和谦虚是互为反义的，损失和益处是互为反义的，招致和得到也是互为反义的。类似的例子还有横眉冷对千夫指，俯首甘为孺子牛。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。

串对也叫流水对，前后句是顺承而下紧密相关的，以事物发展顺序为依托。比如欲穷千里目，更上一层楼。是说为了达到看尽美景的目的，就要付出上一层楼的努力，符合逻辑关系。类似的例子还有即从巴峡穿巫峡，便下襄阳向洛阳。才饮长江水，又食武昌鱼。

对偶优化 第3篇

日前无功优化问题是指根据系统日前母线的负荷预测结果、日前有功发电计划和检修计划等,制定满足次日系统节点功率平衡约束、电网安全运行约束和无功调节设备动作限制等约束的无功电压控制调度计划,以实现次日系统有功总网损最小、电压波动最小和无功调整成本最小等目标[1,2,3,4,5,6,7,8,9]。

现有的日前无功优化在制定次日调度计划时大多未考虑次日电压质量及电压稳定问题,由此得到的调度结果无法应对风电并网等引起的大功率波动给电网安全稳定带来的冲击[10]。文献[1]针对各节点电压构造了隶属度函数并引入目标函数中,以提高次日电压合格率。但仅将节点电压限制在合格范围内无法保证系统的电压稳定性。文献[2]将雅可比矩阵最小奇异值作为衡量电压稳定性的指标,建立了多目标日前无功优化模型。但最小奇异值属于状态指标,线性性不好,无法计及发电机无功约束等非线性因素。因此,需开展更为准确有效的计及电压稳定问题的日前无功优化模型研究。

另一方面,由于日前无功优化问题本质上是一个大规模非线性动态混合整数规划问题,大量离散变量及时段间耦合约束的存在使其求解变得较为困难。目前日前 无功优化 的求解方 法主要有4种。 1联立求解法[3]:将离散设备的动作次数限制描述成可解析的数学表达式,将原问题作为一个整体进行求解,并在求解过程中实现离散变量的归整。但联立求解会导致问题规模 较大,因而不利于计算。 2现代智能算法[1,4]:将全天控制变量编码成一个个体,采用现代智能算法进行求解。但智能算法本质上的随机性和低效性限制了其实用化。3分解协调法[5,6,7]:将原问题分解为仅含连续变量和仅含离散变量的子问题,通过协调技术进行协调求解。该类算法的缺陷在于离散变量和连续变量的独立求解将导致解的搜索路径发生偏移,无法得到原问题的最优解。4启发式算法[8,9]:通过启发式规则确定离散设备的动作时刻,将原问题转换为单时段的优化问题进行求解。该类算法人为固定了离散设备的动作时刻,很难实现控制设备的合理调控。

基于上述现状,本文将全天有功网损、电压偏移量和系统总动态无功储备作为目标函数,并以分区动态无功储备大于某一下限值作为约束条件,建立日前无功优化模型。该模型可实现减小电网有功损耗、改善电压质量和提高电压稳定性的目的。考虑到大量离散变量及其时段间耦合约束的存在是求解日前无功优化问题的难点,且均与离散变量相关,因此,本文采用 分支定界—原对偶内 点法进行 求解。 分支定界—原对偶内点法结合了分支定界法[11]有效处理离散变量和原对偶内点法[12]高效求解非线性规划的优点,已成功应用于单时段无功优化[13,14]和机组组合[15,16]问题中。但与单时段无功优化问题不同,日前无功优化的离散性不仅在于各时段的离散变量,还在于其相邻时段调节挡位和全天动作次数约束,因此,在通过分支定界树使各离散变量逐步逼近离散值的同时,还需利用合理的分支剪支策略满足其时段间的耦合约束。另一方面,由于日前无功优化是一个大规模优化问题,若采用机组组合问题中直接将整个原问题进行松弛的处理方法,会导致每一个松弛子问题的规模较大。因此,本文将按时段进行分支,将原问题分解为一系列仅含连续变量的单时段无功优化子问题进行求解。

1日前无功优化模型

1.1目标函数

式中:NT为时段数;NB和NG分别为节点和无功源的个数;ω1,ω2,ω3为各优化目标的权重系数,其取值可根据实际优化需求进行调整;Ptloss为时段t的有功网损;Vti为时段t中节点i的电压;Vi,set为次日节点i的期望电压;Qtg,j和Qtg,j,eff分别为时段t无功源j的无功出力和最大有效无功出力;ft1,ft2,ft3分别为时段t的3个子目标函数的最优值,即单独考虑某一子目标最优时的目标值。

1.2约束条件

1)潮流方程约束

式中:gt(·)为潮流方程;xt为时段t内由控制变量和状态变量构成的向量;Qtg为发电机无功 出力向量;Kt为变压器变比向量;Qtc为并联电容电抗的无功补偿值向量;Vt为节点电压幅值向量;θt为节点电压相角向量。

2)运行约束

式中:Vi,max和Vi,min分别为节点i的电压上、下限。

3)分区动态无功储备约束

式中:NG,k为分区k中无功源的节点个数;Qtrs,k,min为时段t内分区k的动态无功储备下限值;Narea为电网分区个数。

4)控制变量上、下限约束

式中:t=1,2,…,NT;Qg,i,max和Qg,i,min分别为无功源i的无功出力上、下限;Kti,Ki,max,Ki,min分别为时段t内变压器i的变比及 其上、下限;Qtc,i, Qc,i,max,Qc,i,min分别为时段t内电容电抗i的补偿值及其上、下限;NK和NC分别为变压器可调变比和并联电容电抗的个数。

5)时段间耦合约束

相邻时段调节挡位约束为:

式中:t=1,2,…,NT;Sk,i,Δ为变压器i相邻时段最大调节挡 位;Qc,i,step为电容电 抗i的调节步 长; Ki,step为变压器i的调节步长;SQc,i,Δ为电容电抗i相邻时段最大调节挡位。

全天调节次数约束为:

式中:Sk,i,max为变压器i的全天最 大调节次 数; SQc,i,max为电容电抗i的全天最大调节次数;为异或符号,当时段间离散设备的取值相异时取1,相同时取0。

上述模型的特点为:1将次日有功网损、电压偏移和系统总动态无功储备作为优化目标,可有效减少次日有功网损、改善电压质量及提高系统的电压稳定性;2将分区动态无功储备同时作为目标函数和约束条件,在提高系统总动态无功储备的同时确保各分区动态无功储备的均衡,可有效避免电压崩溃的发生。

2分区动态无功储备的计算

本文以动态无功储备作为系统电压稳定性的量度,在建立上述数学模型前需计算各无功源的最大有效无功出力和分区所需最小无功储备的限值。

2.1无功源最大有效无功出力的计算

考虑到无功电压的局部平衡特性,在无功电压控制中对 电网进行 分区是一 种十分有 效的手段[17,18]。首先采用无功电压分区技术将电网分为若干个分区,并根据分区过程中得到的电气距离确定各分区的电气中心节点。然后在分区电气中心节点上投入一台虚拟调相机,逐步改变调相机的输出电压,求解潮流计算该调相机的无功电压输出,重复此步骤直至采集到足够多的点,得到该节点的VQ曲线。VQ曲线的最低点即为电压崩溃点,此时各无功源的输出即为其最大有效无功出力。该最大有效无功出力与电网的结构、负荷情况、有功调度情况、 无功源所处的位置及其发电容量等因素有关,可有效反映各无功源的无功支撑能力。在优化过程中, 通过调节变压器变比和投切电容电抗使该最大有效无功出力增加,并减少无功源当前的无功出力,以达到提高系统动态无功储备的目的。

2.2分区最小无功储备限值的计算

为了避免电压崩溃现象的发生,各分区应确保一定的动态无功储备。考虑到各分区正常运行状态下的动态无功储备应大于该分区在故障情况下无功源输出可能出现的最大变化量,本文选择分区中最严重的单一开断故障并对此时的关键节点VQ曲线进行计算,将分区中各无功源在VQ曲线鼻点和运行点的无功出力的差值的总和作为该分区的最小无功储备限值。其具体计算方法见文献[19]。

3基于分支定界—原对偶内点法的求解算法

采用分支定界—原对偶内点法求解日前无功优化问题的关键在于通过分支使离散变量逐步逼近离散值,在此过程中计及约束式(8)及式(9),得到仅含连续变量的单时段无功优化松弛子问题,采用原对偶内点法 进行求解,并对不满 足约束式 (10)及式(11)的子问题进行剪支。

3.1分支过程

在分支前应先对当前时段的离散变量进行分支排序。由于电容电抗的投切将直接改变系统无功大小,而变压器变比只改变系统潮流分布,因此,在分支次序上应优先考虑电容电抗。又由于离散变量归整后的变化量越大,越可能引起解位置的变化,因此,应在上述基础上优先分支偏离大的离散变量。

本文采用的分支方法为变元二分法 , 即对未取得离散值的离散变量引入界约束 , 形成2个新的松弛子问题 。 由于在求解过程中需计及约束式 ( 8 ) 及式 ( 9 ), 因此分支前应判断松弛子问题及其父问题是否属于同一时段 , 若是 , 则按图1所示的分支示意图引入界约束 。 图1中为离散变 量xi在区间上的连续解 ; Ii为xi的一个离散值 ,且

若否,则按下式构造界约束:

式中为分支变量在上一时段的取值 ; xi , step为调节步长 ; Si , Δ为相邻时段的最大调节挡位 。

3.2子问题的原对偶内点法求解

引入界约束后的松弛子问题中,变压器变比和电容电抗补偿值在其界约束内是作为连续变量进行求解的,因此,松弛子问题实际上是一个仅含连续变量的单时段无功优化问题,如下式所示:

式中:Ki,min′,Ki,max′,Qc,i,min′和Qc,i,max′分别为变压器变比i和电容电抗i补偿值经分支处理后的上、 下界。该子问题可直接采用原对偶内点法[12]求解。

3.3剪支过程

采用原对偶内点法求解出松弛子问题后,需对满足剪支准则的子问题进行剪支。日前无功优化问题中有以下剪支准则:1子问题不可行;2子问题已取得全天整数解;3子问题中离散变量不满足约束式(10)及式(11);4子问题目标值不小于上界值。

值得注意的是,由于本文按时段进行分支,在未完成全天所有时段的分支前,无法得到原问题的目标值,因此,在与上界值进行比较时,本文采用的做法是先将上界取为某一固定值,即利用00:00时刻与24:00时刻的周期性,将当天24:00时刻离散变量的值作为次日00:00时刻的初值,并将各离散变量固定为该初值,进行次日各时段的无功优化,得到一个全天整数可行解。由于该整数解中的各离散变量均无法调节,其质量势必劣于算法所得的优化解, 因此,可将该整数解作为原问题的上界,然后采用图2所示的方法进行剪支判断。图2中,黑色圆点为取得当前时段整数解的子问题,ZB(t)为其目标值;UB(t)为上界解中对应时段的目标值;红色圆点为待判断的子问题,T为其所处时段;Obj(T)为其目标值 。 将进行比较后,舍弃目标值和大的子问题。这样处理可逐时段删除一些目标值和较大的子问题,减少不必要的计算。此外,考虑到优化过程中离散设备在前期时段一般是有动作权限的,若此时其目标值未优于上界中对应时段的目标值,则继续分支计算得到最优解的概率较低,因此,可保证算法具有较好的整体优化效果。

4算法步骤

本文所提的基于分支定界—原对偶内点法的日前无功优化算法的计算步骤详列如下。

步骤1:计算各时段无功源最大有效无功出力和分区动态无功储备下限值,对式(1)至式(11)建立数学模型。

步骤2:将离散变量固定为初值,进行只含连续变量的次日各时段无功优化,得到原问题的上界。

步骤3:令当前时段T=1,松弛第1时段无功优化问题,应用原对偶内点法求解,将该松弛问题加入待分支队列BP中。

步骤4:依次对待分支队列BP中的子问题进行分支,采用原对偶内点法求解各松弛子问题,并将其加入下次分支队列XP中。

步骤5:若子问题中仅分支变量取得离散值,则记录该分支变量的动作次数;若子问题中当前时段的离散变量均取得离散值,则在记录动作次数的同时,令T=T+1。

步骤6:根据剪支准则1至4对下次待分支队列XP中的各子问题进行剪支处理。

步骤7:用剪支后的分支队列XP更新BP。

步骤8:判断待分支队列BP是否为空,若是,则从已得整数可行解中取出目标值最小的解作为最优解;否则转至步骤4。

5算例分析

为验证本文所提模型与算法的有效性,分别对IEEE 30和IEEE 118节点系统进行仿真分析。程序采用MATLAB R2010b软件编写,在Pentium R 3.0GHz的CPU、3GB内存的计算机上运行。

5.1IEEE30节点系统

系统中电容电抗器的调节范围如附录A表A1所示,变压器挡位的调节范围为1±4×0.012 5,并限制电容电抗器和变压器一次调节挡位数均不大于1,电容电抗器的全天动作次数不超过4,变压器全天动作次数不超过1。

该算例中未计及分区动态无功储备项,仅优化次日有功总网损,采用分支定界—原对偶内点法进行求解,并与文献[1]中的算法进行对比分析。优化结果如表1及表2所示。表1中,每个时段时长为1h。表2中,Bc10和Bc24分别为10号及24号节点上并联的电容电抗;T11,T12,T15,T36分别为第11, 12,15,36条支路上的变压器。

由表1及表2可以看出,连续优化的优化结果是最好的,但其中离散变量是连续调节的,与电网实际情况不符;给定上界中各离散变量的值均固定为00:00时刻的初值,仅调节连续变量,因而所得的结果较差;此外,本文所提算法和文献[1]中的优化算法均考虑了离散设备的离散特性及其动作限制约 束,所得的结果均满足电网的实际调度需求,但本文所提方法的优化结果更为稳定,优化效果也更好。 且本文所提算法通过逐时段剪支避免了大量不必要的计算,计算用时较短,为171.94s;而文献[1]中算法所耗费的计算用时为16 150.99s,远大于前者,效率较低。综上可知,本文所提方法是合理有效的。

5.2IEEE118节点系统

系统中电容电抗器调节范围如附录B表B1所示,其余数据同IEEE 30节点算例。

对IEEE 118节点系统按照式(1)至式(11)建立日前无功优化问题数学模型,其中ω1=0.550 3, ω2=0.000 2,ω3=0.449 5,并与仅考虑次日有功总网损的传统日前无功优化进行对比。两者均采用本文所提算法进行求解,优化结果见附录B表B2及表B3。由表可见,传统的日前无功优化虽然可减少次日电网的有功损耗,但会导致电压偏移量增加及部分分区的无功储备减少,而本文模型可在减小次日电网有功损耗的同时减小电压的偏移量,并增加各分区及全系统的动态无功储备量,从而达到改善电压质量、提高系统电压稳定性的目的。

6结语

针对现有的日前无功优化模型较少考虑次日电压稳定问题,且该算法无法准确处理离散变量及时段间耦合约束的现状,以动态无功储备作为系统电压稳定性的量度,提出了一种计及分区动态无功储备的日前无功优化模型。该模型可实现减小电网有功损耗、改善电压质量和提高电压稳定性 的目的。 此外,本文还提出了一种基于分支定界—原对偶内点法的日前无功优化问题求解算法。该算法是一种确定性解法,具有收敛性好,可靠性高、计算结果稳定的优点。但其计算时间会随离散变量个数的增加而增加,由于各子问题之间是解耦的,因此,可以考虑采用并行计算方法进一步提高求解效率。

附录见本 刊网络版 (http://www.aeps-info. com/aeps/ch/index.aspx)。

摘要：现有的日前无功优化模型较少考虑次日电压稳定问题,且算法无法准确处理离散变量及时段间耦合约束。针对此现状,提出了一种计及分区动态无功储备的日前无功优化模型,并采用分支定界—原对偶内点法对其进行求解。在求解过程中,利用分支定界树使离散变量逐步逼近离散值,通过合理的分支剪支策略满足离散变量的时段间耦合约束,将日前无功优化问题转换为一系列仅含连续变量的单时段无功优化问题进行求解。IEEE 30和IEEE 118节点系统的仿真结果表明了所提模型与方法的有效性。

含对偶的诗句 第4篇

——王绩《野望》

两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。

——杜甫《绝句》

晴川历历汉阳树，芳草萋萋鹦洲。

——崔颢《黄鹤楼》

穿花峡蝶深深见，点水蜻蜓款款飞。

——杜甫《曲江对酒》

画栋朝飞南浦云，珠帘暮卷西山雨。

——王勃《滕王阁》

明月松间照，清泉石上流。竹喧归浣女，莲动下渔舟。

——王维《山居秋暝》

绿树村边合，青山郭外斜。

——孟浩然《过故人庄》

毛泽东诗词最讲究对仗。

千里冰封，万里雪飘。

——《沁园春·雪》

才饮长沙水，又食武昌鱼。

——《水调歌头·游泳》

山下旌旗在望，山头鼓角相闻。

——《西江月·井冈山》

四海翻腾云水怒，五洲震荡风雷激。

巧用对偶成佳句 第5篇

精彩的语言是文章漂亮的霓裳, 能使文章富有强烈的感召力和吸引力。对偶修辞方法的巧妙运用, 可使语言精彩纷呈, 从而增强表达效果。因此, 我们在写作时, 要有意识地运用这种手法。

对偶是一种精巧优美的修辞方式, 它由两句话组成, 每句的字数相等, 句子的结构也相同, 并且两句中词的词性与声调高低相对, 用来表达相对或相近的意思。对偶按上下句在内容表达上的关系可分为三种:上下两句从两个角度、两个侧面, 说明相同的一个事物, 在意思上是有相近、相似、相补、相称关系的叫正对。例如我们常见的古诗“山高悦鸟性, 潭影空人心”, 两句诗交相辉映, 表达诗人常建为破山寺的宁静幽深所深深陶醉, 心灵经受涤荡这一主题, 所以是正对。反对即上下两句从矛盾对立的两方面着眼, 在意思上有相反或相对关系的对偶形式。如鲁迅的名句“横眉冷对千夫指, 俯首甘为孺子牛”。作为反对, 从对立的两个方面阐明了自己的立场。还有一种形式叫流水对。顾名思义就是上下两句着眼于相关联的事物, 在意思上具有承接、递进、因果、假设、条件等关系。例如:“欲穷千里目, 更上一层楼。”“即从巴峡穿巫峡, 便下襄阳向洛阳”等。

恰当运用对偶可以提高文章的表达技巧和审美情趣, 使形式整齐匀称, 节奏明快热烈, 表意凝炼集中, 还能使音韵自然优雅, 调子舒卷自如。正是由于这种众多特点, 对偶历来是我国诗文喜闻乐见的语言运用方式, 它一直占据着中国文学的庄严殿堂, 先秦散文, 汉代骈赋, 魏晋诗文, 唐诗宋词, 明清八股文及对联, 无不如此。至此对偶被广泛运用在古代的诗文之中。如“两个黄鹂鸣翠柳, 一行白鹭上青天。”“远看山有色, 近听水无声”等脍炙人口的名句。特别是我国独特的文学形式对联, 运用对偶手法最集中、最典型。例如, 明朝末年东林党领袖顾宪成写下了一副千古传诵的对联:“风声雨声读书声声声入耳, 国事家事天下事事事关心。”上联写认真读书, 下联写关心天下大事, 互相补充, 表义明了。再比如过年时节用的春联, 也都讲究对偶。“天增岁月人增寿, 春满乾坤福满门。”句子工整, 节奏感强, 恰当地表达了新年祝愿。

运输问题的对偶模型 第6篇

1 运输问题及模型

运输问题是指在某时期内将供应地的某类物资, 分别运到需要这些物资的地区, 在已知各地供应量和需要量及各地之间的单位运输费用时, 制定总运输费用最小的调运方案。例如, 有三个产粮区A1、A2、A3, 可供粮食为10、8、5, 将粮食运往B1、B2、B3、B4四个地区, 需求量分别为5、7、8、3。产粮地到需求地的单位运价如表1所示, 问如何安排才能使总的运输费用最少[1]?

这是一个典型的产销平衡运输问题, 已知每条运输路线的单位运价, 为获得总的运输费用, 需要确定每条运输路线的运输量, 因此可设xij (i=1, 2, 3;j=1, 2, 3, 4) 为i个产粮地运往第j个需求地的运输量, 如表2所示, 则该问题的目标函数为:min S=3x11+2x12+6x13+3x14+5x21+3x22+8x23+2x24+4x31+x32+2x33+9x34。

根据题意, 每个产地的产量都要运到各个需求地, 因此有如下等式成立:x11+x12+x13+x14=10;x21+x22+x23+x24=8;x31+x32+x33+x34=5。同时, 每个需求地的需求量均得到满足, 因此有如下等式成立:x11+x21+x31=5;x12+x22+x32=7;x13+x23+x33=8;x14+x24+x34=3。另外, 从第i个产粮地运往第j个需求地的运输量均为非负。综上, 得到该运输问题的数学模型 (1) :

一般而言, 对于产销平衡运输问题, 通常设xij (i=1, 2, …, m;j=1, 2, …, n) 为第i个产地到第j个销地的运量, 则数学模型为:

模型 (2) 可简写为:

2 原问题与对偶问题模型

2.1 常规模型

原问题数学模型可用矩阵形式 (4) 表达。

若原问题具有最优解, 其检验数必定小于等于零, 即σ≤0或C-CBB-1A≤0。令Y=CBB-1, 则有不等式C-YA≤0或YA≥C成立。由于松驰变量XS对应价格向量CS=0, 则有不等式σS=CS-CBB-1I≤0或CBB-1≥0 (即Y≥0) 成立。同时, 希望资源价格Y和数量b的乘积越小越好, 即min W=Yb, 则对偶问题数学模型为 (5, 本文称模型 (4) 和 (5) 为常规形式。

2.2 非常规模型

2.2.1 约束条件为等式

原问题模型为:

因, 原模型可转化为:

根据模型 (4) 和 (5) 可转化为对偶形式, 过程如下:

最终得到非常规线性规划问题的对偶模型 (7) :

2.2.2 决策变量取值无约束

令, 模型 (8) 可转化为模型 (9) 。

通过对常规和非常规对偶模型的推导, 可得出原问题与对偶问题模型的对应关系, 如表3所示。

3 运输问题模型的对偶形式

已知某运输问题模型 (10) , 试求其对偶问题模型[4]?

由于原问题约束条件个数为6, 因此可设对偶变量分别为u1、u2、u3、v1、v2和v3, 即Y= (u1, u2, u3, v1, v2, v3) , 同时, b= (a1, a2, a3, b1, b2, b3) T, 对偶问题目标函数为:

原问题模型中系数矩阵为:

因此, YA= (u1+v1, u1+v2, u1+v3, u2+v1, u2+v2, u2+v3, u3+v1, u3+v2, u3+v3) T=ui+vj, 简写为:YA=ui+vj (i=1, 2, 3;j=1, 2, 3) 。同时, YA≤C, 具体为:u1+v1≤c11, u1+v2≤c12, u1+v3≤c13, u2+v1≤c21, u2+v2≤c22, u2+v3≤c23, u3+v1≤c31, u3+v2≤c32和u3+v3≤c33, 可简写为:ui+vj≤cij。综上, 该运输问题模型的对偶形式为:

4 教学体会

了解“常规”和“非常规”线性规划问题与对偶问题的模型转化过程, 有助于理解模型之间决策变量与约束条件之间的对应关系, 为学习对偶性质 (定理) 及后续内容提供帮助, 例如, 在掌握运输问题对偶模型之后, 学习表上作业法中的检验方法—位势变量法时会倍感轻松。然而, 在教学过程中发现, 许多学生对表3的记忆和使用仍然存在着一定的困难。为此提出以下建议:首先, 选择两道典型习题, 应含以下信息:目标函数求max和min, 约束条件中不等式符号有“≥”、“≤”和“=”, 决策变量取值范围有“≥0”、“≤0”和“取值无约束”;然后, 参照表3将原问题模型转化成对偶形式, 再以对偶模型为原问题进行转化, 只需重复两遍就能牢牢记住转化过程, 切忌死记硬背。

参考文献

[1]吴振华.运筹学[M].北京:北京理工大学出版社, 2014.

[2]谢家平.管理运筹学[M].北京:中国人民大学出版社, 2010.

[3]常大勇.运筹学[M].北京:中国物资出版社, 2010.

例谈构造对偶式解题 第7篇

常见的对偶式有a + b与a - b, ab与a/b, sinx与cosx, tanx与cotx, 等.

即原式 =1/4.

( 2) 设x = sin10°sin50°sin70°, 构造x的对偶式y =cos10°cos50°cos70°, 得

xy = sin10° cos10° sin50° cos50° sin70° cos70° =1/8sin20°sin100°sin140° =1/8cos10°cos50°cos70° =1/8y.

又y≠0, 所以x =1/8.

例2 ( 1) 求cos2/5π + cos4/5π的值.

( 2) 求sin220° + cos250° + sin20°cos50°的值.

解: ( 1) 设 A = cos2/5π + cos4/5π, B = cos2/5π - cos4/5π, 得

例3 ( 普通高中课程标准实验教科书《数学·A版必修4》 ( 人民教育出版社2007年第2版) 第147页复习参考题B组第4题 ) 已知

解法1: 由cos (π/4+ x) =3/5, 5π/3<π/4+ x < 2π, 得sin (π/4+ x) = 4/5, 所以

( A) 190 ( B) 171 ( C) 90 ( D) 45

解: 由 f ( x) = | x - 1 | +| x - 2 | + … +| x - 19 | , 得

f ( x) = | x - 19 | + | x - 18 | + … + | x - 1 |

所以2f ( x) = ( | x - 1 | +| x - 19 | ) + ( | x - 2 | +| x - 18 | ) + … + ( | x - 19 | + | x - 1 | )

再由绝对值不等式, 可得

当且仅当x = 10时, 取到最小值, 且最小值是90. 选 ( C) .

例5若实数x, y满足x2- 3xy + y2= 2, 则x2+ y2的取值范围是________ .

解: 设 x = u + v, y = u - v, 得

例6求函数f ( x) = x +4/x ( 1≤x≤3) 的值域.

解: 构造函数f ( x) 的对偶函数g ( x) = x -4/x ( 1≤x≤3) , 得增函数g ( x) 的值域是[- 3, 5/3].

又f2 ( x) = g2 ( x) + 16, f ( x) > 0, 从而可得f ( x) 的值域是[4, 5].

平方相减后可求得原方程的解为x = 2.

例10 ( 2007福建高考卷第22 ( III) 题) 已知函数f ( x) =ex- kx, x∈R, 设函数F ( x) = f ( x) + f ( - x) , 求证:

证明: 由F ( x) = f ( x) + f ( - x) = ex+ e- x, 得

把它们相乘, 即得要证结论成立.

例 11 求的展开式中x的整数次幂项的系数之和.

由二项式定理展开后, 可得2m +1| I.

由均值不等式, 得

由均值不等式, 可得A + B≥6, 又B = 3, 所以A≥3, 即要证结论成立.

解答2009年高考山东卷理科第20题第 ( 2) 问、2009年高考广东卷理科压轴题第 ( 2) 问的左边和2008年高考福建卷理科压轴题最后一问、2007年高考重庆卷理科第21题第 ( 2) 问、1998年高考全国卷文、理科压轴题第 ( 2) 问、1985年高考上海理科卷第8题这七道高考题就是分别要证明 ( 本文中的n∈N*) :

下面用构造对偶式的方法给出不等式1 ~ 6的简洁证明 ( 因为2、4、6等价, 所以只证1、2、3、5) :

Tilings与谱对偶性质的证明 第8篇

设D Rn, 0<μL (D) <∞, L2 (D) 空间上的内积与范数定义分别为

若存在Λ⊂Rn, 使得指数函数系EΛ:={e2πi<λ, x>:λ∈Λ}构成L2 (D) 空间上的正交基, 则称D为谱集, 称 (D, Λ) 为谱对。如果存在Γ⊂Rn, 使得对于任意的λ1, λ2∈Γ, λ1≠λ2都有μL ( (λ1+D) ∩ (λ2+D) ) =0, 则称 (D, Γ) 为填充对;再若有覆盖Rn (至多除去Lebesgue测度为零的集合) , 则称 (D, Γ) 为Tiling对。

参考文献[1]中得出了Tilings与谱的一些特征性质, 阐明了两者之间的对偶关系。本文利用不等式逼近相应恒等式的方法, 证明了其中几个重要的基本定理。

定理1[1] 设Ω, D⊂Rn是具有有限非负Lebesgue测度的集合, 再设Λ⊂Rn为离散集, Γ⊂Rn为有限集且Λ+Γ是直和, 则下列对偶性质成立。

(1) 若 (Ω, Λ+Γ) 为谱对且 (D, Λ) 是填充对, 则$\mu {}_L(D)\mu {}_L(\text{Ω})\le \left|\text{Γ}\right|$;

(2) 若 (D, Λ+Γ) 为Tiling对且EΛ是L2 (Ω) 中的正交系, 则$\mu {}_L(D)\mu {}_L(\text{Ω})\ge (\left|\text{Γ}\right|){}^{-1}$

证明 令|Γ|=p;

(1) 若 (Ω, Λ+Γ) 为谱对, 则有

${\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle \sum _{\lambda \in \text{Λ}+\gamma {}_j}}$$\left|\widehat{\text{χ}}{}_{\text{Ω}}(t+\text{λ})\right|{}^2=(\mu {}_L(\text{Ω})){}^2$。

又因μL (Ω) =∫Rn$\left|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t)\right|{}^2\text{d}t\ge$

∫∪D+Λ+γj$\left|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t)\right|{}^2\text{d}t=$${\displaystyle {\int }_D}{\displaystyle \sum _{\lambda \in \text{Λ}+\gamma {}_J}}$$\left|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t+\lambda )\right|{}^2\text{d}t$;

故pμL (Ω) ≥${\displaystyle {\int }_D}{\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle \sum _{\lambda \in \text{Λ}+\gamma {}_j}}$$\left|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t+\lambda )\right|{}^2\text{d}t$从而pμL (Ω) ≥ (μL (Ω) ) 2μL (D) ;

得μL (Ω) μL (D) ≤p=|Γ|。

(2) 若 (D, Λ+Γ) 为Tiling对且EΛ是L2 (Ω) 中的正交系, 则μL (Ω) =∫Rn$|\widehat{\text{χ}}{}_{\text{Ω}}(t)|{}^2\text{d}t\ge$

∫${}_{{\displaystyle \cup D}+\Lambda +\gamma {}_j,1\le j\le p}|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t)|{}^2\text{d}t=$${\displaystyle {\int }_D}{\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle \sum _{\lambda \in \text{Λ}+\gamma {}_J}}$$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t+\lambda )|{}^2\text{d}t\le$

μL (D) p (μL (Ω) ) 2;故$\mu {}_L(\text{Ω})\mu {}_L(D)\ge \frac{1}{p}=(|\text{Γ}|){}^{-1}$。

其对偶命题如下:

定理1′[1] 设Ω, D⊂Rn是具有有限非负Lebesgue测度的集合, 再设Λ⊂Rn为离散集, Γ⊂Rn为有限集且Λ+Γ是直和, 则下列对偶性质成立。

(1) EΛ+Γ是L2 (Ω) 中的正交系且 (D, Λ) 为Tiling对, 则μL (D) μL (Ω) ≥|Γ|;

(2) 若 (D, Λ+Γ) 为填充对且 (Ω, Λ) 是谱对, 则μL (D) μL (Ω) ≤ (|Γ|) -1。

证明 令|Γ|=p, 则

(1) μL (Ω) =∫Rn$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t)|{}^2\text{d}t=$

∫∪D+Λ=γj$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t)|{}^2\text{d}t=$

${\displaystyle {\int }_D}{\displaystyle \sum _{\lambda \in \text{Λ}+\gamma {}_J}}$$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t+\lambda )|{}^2\text{d}t$。

故pμL (Ω) =${\displaystyle {\int }_D}{\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle \sum _{\lambda \in \text{Λ}+\gamma {}_j}}$$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t+\lambda )|{}^2\text{d}t$;又因EΛ+Γ是L2 (Ω) 中的正交系, 故

pμL (Ω) ≤ (μL (Ω) ) 2μL (D) , μL (Ω) μL (D) ≥

p=|Γ|。

(2) 因 (Ω, Λ) 是谱对, 故${\displaystyle \sum _{\lambda \in \text{Λ}}}$$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t+\lambda )|{}^2=(\mu {}_L(\text{Ω})){}^2$;又因若 (D, Λ+Γ) 为填充对, 则$\mu {}_L(\text{Ω})={\displaystyle {\int }_{R{}^n}|}\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t)$|2dt≥

∫∪D+Λ+γj, 1≤j≤p|$\widehat{\chi }$Ω (t) |2dt=

${\displaystyle {\int }_D}{\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle \sum _{\lambda \in \text{Λ}+\gamma {}_J}}$$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t+\lambda )|{}^2\text{d}t=$

pμL (D) (μL (Ω) ) 2。

故$\mu {}_L(\text{Ω})\mu {}_L(D)\le \frac{1}{p}=(\left|\text{Γ}\right|){}^{-1}$。

关于集合Λ+Γ与Λ之间关系, 有下面的定理成立。

定理2[1] 设Ω, D⊂Rn是具有有限非负Lebesgue测度的集合, 再设Λ⊂Rn为离散集, Γ⊂Rn为有限集且Λ+Γ是直和, 考虑下列条件 (1) 、 (2) 、 (3) 或 (1) ′、 (2) 、 (3) :

$(1)\mu {}_L(D)=\left|\text{Γ}\right|\mu {}_L(\text{Ω})$;

$(1{)}^{\prime }\mu {}_L(D)\mu {}_L(\text{Ω})=\left|\text{Γ}\right|$;

(2) (D, Λ) 为填充对;

(3) (D, Λ) 为覆盖对。

则下列对偶性质成立:

(Ⅰ) 在条件 (Ω, Λ+Γ) 为Tiling对下, 三个条件 (1) 、 (2) 、 (3) 中的任何两个隐含第三个条件;

(Ⅱ) 在条件 (Ω, Λ+Γ) 为谱对下, 三个条件 (1) ′、 (2) 、 (3) 中的任何两个隐含第三个条件。

证明 令$\left|\text{Γ}\right|=p$, 设$f(x)={\displaystyle \sum _{l\in \text{Λ}}\chi }{}_D(x-l)$其中χD (x) 为集合D⊂Rn特征函数。

{x∈Rn:$f(x)>1\}={\displaystyle \underset{(\lambda ,\mu )\in \text{Λ}\times \text{Λ},\lambda \ne \mu }{\cup }(}(D+\lambda ){\displaystyle \cap (}D+\mu ))$ (1)

(Ⅰ) :条件 (1) 、 (2) ⇒ (3) 。

由 (2) 知f (x) ≤1。

故μL (D) =∫RnχD (-x) dx=

${\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle \sum _{l\in \text{Λ}}}{\displaystyle {\int }_{{\displaystyle \cup \text{Ω}}+l+\gamma {}_j}}$χD (-x) dx=

${\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle {\int }_{\text{Ω}}}$f (x) dx≤${\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle {\int }_{\text{Ω}}}$dx=pμL (Ω) 。

由条件 (1) 知f (x) =1对几乎处处x∈Rn成立。得条件 (3) 成立。

条件 (1) 、 (3) ⇒ (2) 。

由条件 (3) 知对几乎处处x∈Rn, 有f (x) ≥1。

μL (D) =∫RnχD (-x) dx=

${\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle \sum _{l\in \text{Λ}}}{\displaystyle {\int }_{{\displaystyle \cup \text{Ω}}+l+\gamma {}_j}}$χD (-x) dx=

${\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle {\int }_{\text{Ω}}}$f (x) dx≥${\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle {\int }_{\text{Ω}}}$dx=

pμL (Ω) =μL (D) 。

故f (x) =1对几乎处处x∈Rn成立, 应用式 (1) 得μL ( (D+λ) ∩ (D+μ) ) =0, 得条件 (2) 成立。

条件 (2) 、 (3) ⇒ (1)

由条件 (2) 、 (3) 知f (x) =1对几乎处处x∈Rn成立, 故

μL (D) =∫RnχD (-x) dx=

${\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle \sum _{l\in \text{Λ}}}{\displaystyle {\int }_{{\displaystyle \cup \text{Ω}}+l+\gamma {}_j}}$χD (-x) dx=

${\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle {\int }_{\text{Ω}}}$f (x) dx=${\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle {\int }_{\text{Ω}}}$dx=pμL (Ω) 。

(Ⅱ) : (1) ′、 (2) ⇒ (3) 。

由条件 (Ω, Λ+Γ) 为谱对, 有${\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle \sum _{\lambda \in \text{Λ}+\gamma {}_j}}$$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t+\lambda )|{}^2=(\mu {}_L(\text{Ω})){}^2$成立。由条件 (2) 得:

μL (Ω) =∫Rn$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t)|{}^2\text{d}t\ge$

∫∪D+Λ+γj|$\widehat{\chi }$Ω (t) |2dt=${\displaystyle {\int }_D}{\displaystyle \sum _{\lambda \in \text{Λ}+\gamma {}_J}}$$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t+\lambda )|{}^2\text{d}t$由条件 (1) ′、 (2) 得:

pμL (Ω) ≥${\displaystyle {\int }_D}{\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle \sum _{\lambda \in \text{Λ}+\gamma {}_j}}$

$\begin{array}{l}|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t+\lambda )|{}^2\text{d}t=\\ \mu {}_L(D)(\mu {}_L(\text{Ω})){}^2=p\mu {}_L(\text{Ω})。\end{array}$

(1) ′、 (3) ⇒ (2) 。

μL (Ω) =∫Rn$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t)|{}^2\text{d}t=$

∫Rn$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t)|{}^2\chi {}_{{\displaystyle \cup \lambda }\in \text{Λ}(D+\lambda )}(t)\text{d}t\le$

∫Rn|$\widehat{\chi }$Ω (t) |2${\displaystyle \sum _{\lambda \in \text{Λ}}}$χD+λ (t) dt=

${\displaystyle {\int }_D}{\displaystyle \sum _{\lambda \in \text{Λ}}}$$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t+\lambda )|{}^2\text{d}t$。

故由条件 (1) ′可得

pμL (Ω) ≤${\displaystyle {\int }_D}{\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle \sum _{\lambda \in \text{Λ}+\gamma {}_j}}$$|\widehat{\text{χ}}{}_{\text{Ω}}(t+\lambda )|{}^2\text{d}t=$

μL (D) (μL (Ω) ) 2=pμL (Ω) 。

(2) 、 (3) ⇒ (1) ′。

由条件 (2) 、 (3) 知 (D, Λ) 为Tiling对, 又因 (Ω, Λ+Γ) 为谱对, 故

μL (Ω) =∫Rn$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t)|{}^2\text{d}t=$∫∪D+Λ+γj$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t)|{}^2\text{d}t=$

${\displaystyle {\int }_D}{\displaystyle \sum _{\lambda \in \text{Λ}+\gamma {}_J}}$$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t+\lambda )|{}^2\text{d}t;$

pμL (Ω) =${\displaystyle {\int }_D}{\displaystyle \sum _{j=1}^p}{\displaystyle \sum _{\lambda \in \text{Λ}+\gamma {}_j}}$$|\widehat{\chi }{}_{\text{Ω}}(t+\lambda )|{}^2\text{d}t=$

μL (D) (μL (Ω) ) 2;

μL (D) (μL (Ω) ) 2=p=|Γ|。

同理下列定理也成立。

定理2′[1] 设Ω, D⊂Rn是具有有限非负Lebesgue测度的集合, 再设Λ⊂Rn为离散集, Γ⊂Rn为有限集且Λ+Γ是直和, 考虑下列条件 (1) 、 (2) 、 (3) 或 (1) ′、 (2) 、 (3) 。

$(1)\mu {}_L(\text{Ω})=\left|\text{Γ}\right|\mu {}_L(D)$;

$(1{)}^{\prime }\mu {}_L(D)\mu {}_L(\text{Ω})=\left|\text{Γ}\right|{}^{-1}$;

(2) (D, Λ+Γ) 为填充对;

(3) (D, Λ+Γ) 为覆盖对。

则下列对偶性质成立:

(Ⅰ) 在条件 (Ω, Λ) 为Tiling对下, 三个条件 (1) 、 (2) 、 (3) 中的任何两个隐含第三个条件;

(Ⅱ) 在条件 (Ω, Λ) 为谱对下, 三个条件 (1) ′、 (2) 、 (3) 中的任何两个隐含第三个条件。

摘要：Tilings与谱分别在几何和分析中起着重要的作用, 有许多猜测涉及到它们之间的联系。二者之间没有直接的共轭关系, 在二者较强条件下, 已给出了Tilings与谱的一些特征性质;现利用不等式逼近相应恒等式的方法, 证明了其中几个重要的基本定理。

关键词：Tiling对,谱对,填充对

参考文献

永远的三角——对偶家庭文化浅谈 第9篇

一夫一妻制产生之初 (至今仍是) , 并非是为了维护夫妻双方在性上的独占权, 而是为了保护由某一母亲所生子女的地位与权益。将女人与男人社会角色划分开来的根本原因, 是女性的母亲角色。女人在漫长的哺乳与教育过程中对后代产生着巨大的影响。这种影响尽管深刻, 但却仅仅作用于人类的童年, 随后一点一滴地在人类的潜意识中生长。当人进行深度思考时, 这种女性情怀便会不经意地流露出来。在人类历史的早期, 由于更需要人们去实践、去行动, 女性情怀便作为“文化意识”被沉淀下来。这解释了, 为何绝大多数杰出男性当论及具体的女人时, 常冠以不可理喻和毫无逻辑, 而无论哪个古代文明, 象征文艺与智慧的却又统统都是女神。

一夫一妻制出现后, 在下层阶级受到了最广泛的拥护:因为娶妻是一件需要成本的投资, 其回报就是获得有着血统证明的后代。对偶家庭是婚姻市场中通过成本计算得出的最为经济、最易行的方法。

与一夫一妻制平行发展的是通奸 (偷情) 与卖淫事业。没有出阁的女儿是父母的财产———这是中国私有观念中最为根深蒂固和颠簸不破的。与已婚女子偷情, 当然也是一种对他人财产的侵犯, 但古时男女接触十分有限, 即便得手, 也绝非普通人之所能。扒灰、与小叔子偷情, 也算是肥水不流外人田。不过丈夫也难辞其咎———女子的性欲总是相对容易满足和压抑的, 若不是丈夫太“不能”, 妻子一般不会甘冒此大不韪去偷吃。一个“不能”的男人, 在老婆面前想是绝然抬不起头的, 于是睁一眼闭一眼, 把自己消受不了的拱手让他 (有时亦不乏“她”) 。另有极端, 是男子不具有生育能力, 策划老婆偷人来掩人耳目, 最终乐得个“不劳而获”。

宋代是娼妓业繁荣的时期。“子弟寻花新巷子, 玉河沿畔亦销魂”。妓女绝非是单纯出卖色相与躯体的咸肉, 其中佼佼者往往是面容姣好、体态风流、举止动人的“理想女性”。她们出售的, 是对偶家庭不可能长期提供、甚至完全不能够提供的感情生活。原本么, 男子之于女子, 唯有不能得到, 才是好的。古代又多是由父母包办的盲婚, 婚后是否能够产生感情就好像买乐透, 头奖也是有的, 只不过绝大多数男子最后得到的只是一张“谢谢参与”。

日本人为我们在这方面保存了完美的“活化石”——至今活跃在京都、奈良的艺妓。从其培养教育和成才制度可见, 取悦男性是一门古老而又复杂的学问。一个成功的妓女, 不仅得拥有出众的外表、非凡的天分 (有的甚至是“天赋异禀”) , 还要付出常人无法想象的辛苦劳动。对偶家庭缔结的是一项生育合同, 性不过是通往繁殖的必由之路, 而非一种令人愉悦的服务, 而情感的慰藉就更是婚姻的奢侈品了。再者说, 对偶家庭原是从经济观念中诞生, 与道德稳定相傍依的, 而男性自古就是以其所拥有的女性的数量与质量来成就事业心的———“女人靠征服男人来征服世界, 男人靠征服世界来征服女人”。很显然, 中国的士绅文化也助长了这种“如花美眷, 似水流年”的审美趣味, 爱情市场的需求在不断增加, 以不牺牲婚约缔结的对偶家庭为前提, 娼妓业以空前的速度繁荣发展起来。

这里有必要澄清一下, 纳妾制度与对偶家庭的存在并不两相矛盾:首先对于占中国绝大多数的中下层家庭来说, 纳妾是有钱人的特权, 与吃肉喝酒差不多, 是不必要又无法长期负担的支出, 并非常常发生。而对于中上层阶级来说, 纳妾的主要意义在于为繁衍后代投保———“不要把鸡蛋都放在同一只篮子里”。齐人之福只是一种诗意的理想。再者说, 纳妾制度的前提是对于正妻地位的绝对保护。这就成就了中国式纳妾———对偶家庭的一大特色:家庭中作为权力核心的女性常常会因骄矜失宠;地位等级较低的妾, 却可以专宠专房、恃宠而骄, 通过对生育权利的垄断扶摇直上, 取其地位而代之。但归根结底, 两性关系中, 女人总是消极的一方。“女人的爱, 就是被爱。”唯其得不到丈夫的爱, 更得抓住孩子, 至少孩子会仅仅因为被爱就去爱人。

反过来, 对偶家庭中女性的非婚性行为是为公众舆论绝不能容许的。婚姻缔结的是生育合同, 而女性是直接的生育载体, 不贞, 即意味着对合同另一方权利的侵害。同时, 社会对于非婚子女的态度也是极不友好的。另外, 中国绝大多数地区自然条件严苛, 女性的生理欲望并不强烈, 较少为爱痴狂的火热性格。西方的对偶家庭从一开始跟我们就不是一路。大概是气候条件好的地区太不把两性关系当一回事, 条件不好的又太坏了, 顾不上组织家庭, 而西方女子的性情又多是暴烈豪放的。英文“husband” (丈夫) , 原指束缚 (band) 荡妇 (hussy) 的人。由此可见, 东西方观念不同导致制度起源差异之大。直到由忍气吞声的犹太人创立的宗教一路发扬光大, 一夫一妻制才成为被广泛接受的社会观念。不过一种文明往往规诫的是它最容易犯下的罪行———据说犹太人最是贪婪好色。这点, 从《圣经·旧约》中对犹太诸王的描述中不难察觉到。为了替世人树立道德典范, 耶和华才会特意强调节制性欲。

在中国, 直至清末民初, 作为高级娼妓代表的长三妓女们大都还是自小受过专门训练的性工作者。旧中国的对偶家庭制度, 一方面拥有专业的服务人员提供感情、生理支持;另一方面, 又有纳妾传统为其繁衍后代提供平安保险, 故一路发展至今。新中国建立之初, 对性服务行业的从业人员进行的一次大规模的肃清, 以及取消了职业媒婆和包办婚姻, 大力倡导婚姻与恋爱自由, 纯粹是对西方“自由、平等、博爱”观念的个人发挥。人家倒是没有特别强调过婚姻自由 (亨利八世除外) , 大概由于对非天主教信徒来说, 离婚只是一件稀松平常的事情吧。50年代, 虽然军人成了大家眼中的天之骄子, 女孩们心目中理想的结婚对象, 但当时中国民众的主要精力和热情都投入到了轰轰烈烈的运动与生产当中, 生理的情欲与革命的热情搅和在一起, 难分彼此, 常常被忽略。这也许是自一夫一妻制出现以来, 非婚性行为最为少见的一个时期了。60年代, 随着运动的升温, 人性的本来面目终于显露出来。三年自然灾害物资匮乏, 许多地方饿孚遍地。暗娼们于是重操旧业, 良家妇女委身于人, 山盟海誓的转眼就会琵琶别抱———像电影《天云山传奇》里罗群与宋薇遭遇的那样。