数学物理方程范文

数学物理方程范文（精选12篇）

数学物理方程 第1篇

《数学物理方法》是理工科学生的基础课程之一, 也是科研中常用的基本方法。数学物理方法课程的内容繁多, 公式推导繁杂, 尽管教材中的例题通常具有明确的物理意义, 但是从眼花缭乱的数学表达式中看出其中所表达的物理图像, 不仅学生会觉得困惑、枯燥, 教师也难免觉得棘手。探索数学物理方法数值化教学的新方法, 是数学物理方法课程教学中的一项重要工作, 也是数学物理方法教学改革中的重要内容。利用MATLAB数值求解数学物理方程, 将传统教学手段与计算机仿真教学相结合, 改变只用公式符号教学的模式[1], 令学生对复杂、抽象、烦琐的数学物理问题具有更深刻的理解。本论文旨在进行数学物理方程仿真求解实践训练, 着力培养大学生应用数学物理思想解决实际问题的能力。本着“重理论、强实践、突创新”的教育理念, 结合科技前沿, 以光子晶体的电磁场理论作为实践内容, 利用MATLAB对复杂的电磁场本征值问题进行计算机仿真求解, 将结果三维可视化, 以此来展现复杂电磁场问题的物理图像, 对培养大学生创新能力具有重要意义。

二、光子晶体电磁理论基础

在利用分离变量法求解数学物理方程时, 最后都归结到求解本征值问题。在用本征函数系展开法解数学物理方程时, 也要对所用的本征函数系有较好的理解[2]。所以, 各种本征函数系在数学物理方程课程的学习中有非常重要的地位。周期结构对电磁波的调控是物理学领域的基础问题。光子晶体是由介电常数周期排列形成的一种合成材料, 是非均匀介质中少数可以严格遵循电磁理论的新型人工材料。在一定的晶格常数和介电常数条件下, 布拉格散射使在光子晶体中传播的电磁波受到调制形成类似于电子的能带结构[3]。利用计算机仿真求解光子晶体中的复杂本征值问题, 可以帮助学生熟悉并更好地掌握本征函数系的性质和求解方法。

1.理想二维光子晶体的结构。假设介电常数为εa, 半径为r的介质柱平行于z轴, 背景介质的介电常数为εb, 在 (x, y) 平面内的晶格常数为a, θ为相邻基矢a1和a2之间的锐角, 当θ=90°和60°时, 分别为正方形晶格和正三角形晶格。 (x, y) 平面的傅里叶变换空间为倒易空间 (如图1所示) , 对应于由波矢k定义的频谱。

2. 理想二维光子晶体的本征值问题。

平面波的指数形式表示为

联立无源Maxwell方程组, 分别得到电场和磁场的传播方程

ε (r) 是光子晶体介质分布的周期函数, 本征值方程 (3) 和 (4) 式与电子材料中的周期性势场问题的Schr觟dinger方程类似, 称为光子晶体的支配方程[5]。本征场H (r) 和E (r) 分别对应于理想二维光子晶体中横磁 (TM) 模式和横电 (TE) 模式的空间形态, 通过求解本征值 (ω/c) 2, 可以得到频率ω与波矢k之间的色散关系, 即光子晶体的能带结构。

3. 光子晶体中的平面波展开。

根据Bloch理论, 将光子晶体本征场用平面波展开为

G为倒格矢, 将 (5) 和 (6) 式分别代入本征值方程 (3) 和 (4) 式, 利用平面波基{G, exp[i (k+G) gr], …}的正交性[6], 得到如下关于电磁场展开系数的本征值方程

矩阵k% (G) 是k (r) =1/ε (r) =k% (G) ei G·r的傅立叶展开系数

u表示一个周期单元, Au为周期单元横截面的面积。c表示一个散射单元横截面上的积分边界。 (9) 式右边包含了G≠0和G=0的项

其中J1 (GR) 为第一类贝塞尔函数, fr为填充比。

三、仿真求解电磁场本征值问题

我们通过计算机仿真求解TM模式电磁场本征值方程 (7) 式, 获得二维菱形晶格光子晶体的本征频率ωk与波矢k之间的色散关系, 绘制出能带曲线。

1. 光子晶体的数学建模。

对于θ=70°的二维菱形晶格光子晶体, 背景介质的介电常数为εb=12, 空气柱的半径r=0.4a。仿真步骤和MATLAB程序如下:

(1) 定义光子晶体的结构参数。

(2) 定义倒易空间中对称点的坐标。

(3) 产生一个20×20的矩阵, 确定平面波的波数NPW, 定义倒格矢G。

(4) 确定κ (r) =1/ε (r) 的傅里叶展开系数。

2. 仿真计算光子晶体TM模式能带曲线。

(1) 定义倒易空间波矢路径。

用Keach代表波矢路径上的取值密度, Ktype为对称点的数目, 第一布里渊区内沿波矢路径Γ→T→N→M→Γ的仿真程序为:

(2) 求解本征值方程。

(3) 绘制二维能带曲线。

修饰过后的二维菱形晶格光子晶体TM偏振模式能带曲线如图2所示。

四、本征值函数的三维可视化仿真

绘制三维等频面, 关键是建立波矢平面 (kx, ky) 内二维点阵的坐标, 再求解出每个点对应特征值, 仿真步骤和MATLAB程序为:

1. 定义波矢 (kx, ky) 平面内点阵的坐标Keach=36;

2. 求解本征值方程。

3. 绘制前四个能带的三维能带曲面。

图3为二维菱形晶格光子晶体的前四个能带的TM偏振模式三维能带曲面。

五、结论

本论文通过计算机仿真求解二维菱形晶格光子晶体的电磁场本征值问题, 绘制出能带曲线和三维能带曲面。将传统教学手段与计算机仿真教学相结合, 对复杂的数学物理方法问题进行三维可视化求解, 着力培养大学生的创新思维和解决实际问题的能力。

参考文献

[1]杨华军.数学物理方法与仿真[M].第2版.北京:电子工业出版社, 2011:359-377.

[2]彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化[M].北京:清华大学出版社, 2004:62-63.

[3]E.Yablonovitch.Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics.Physical Review Letters, 1987, 58 (20) :2059-2062.

[4]温熙森.光子/声子晶体理论与技术[M].北京:科学出版社, 2006:115-116.

[5]John D.Joannopoulos, etc.Photonic Crystals Molding the Flow of Light.Second Edition.Princeton University Press, 2008:8-10.

数学物理方程 第2篇

教 学 简 报

2011年第8期(总第498期)中国科学技术大学教务处 6月1日

“数学物理方程”课程组第二次教学研讨会召开

5月20日下午，我院“数学物理方程”课程组召开了本学期第二次课程组教学研讨会。

本次会议，围绕着部分学生与老师对本课程教学内容以及教学要求等提出的建议展开激烈讨论。课程组教师都注意到，“数学物理方程”课程既作为非数学学生数学课程的结束课程，又作为量子力学等现代物理课程的基础课程，教学中不仅需要综合利用前期所学的数学知识，特别是微积分学以及线性代数的有关知识，同时还涉及力学、热学等多门物理学科的知识，因此对学生前期学习程度有着较高的要求，对授课教师的知识面也提出了较高要求。

研讨会上，有教师提出可以邀请物理等学科的教师参与到本课程组的建设中来，邀请有关物理学科的专家就“数学物理方程”在物理中的应用作些科普性的报告，增强学生以及数学老师对于本课程应用背景的了解，同时鼓励组内成员参加微积分以及线性代数等前期数学课程的教学，以对数学公共课程有一个宏观掌控，对本课程的教学会大有帮助。

研讨会还就学期末有关事宜作出安排，就考试内容作出统一部署，同时安排有关教员准备试卷初稿，以供大家讨论。最后，课程组向大家通报今年暑期即将在内蒙古大学召开的“全国数学物理方法年会”情况，鼓励课程组教师积极参加该会议，与国内同行专家交流学习，开阔视野，从而进一步提高自己的授课水平。

数学物理方程 第3篇

【摘 要】热力学作为物理化学课程的组成部分之一，在该课程中具有举足轻重的作用。热力学部分涉及公式较多，推导过程也较为抽象繁琐，记忆起来相对困难。本文针对热力学基本方程及其衍生公式，阐述其记忆技巧。

物理化学课程作为工科院校中材料、应化、环境、制药与化工等专业的一门必修专业课程，在本科教学中具有举足轻重的作用。热力学作为这门课程的重要组成部分之一，具有推导过程繁琐、公式多、抽象等特点，学生学习记忆起来有一定实际困难。要学好热力学部分，不仅要求学生对相关理论具有透彻的理解，而且更需要学生掌握记忆技巧。本文针对热力学基本方程及其衍生公式，闡述其记忆技巧。

【关键词】物理化学；热力学基本方程；记忆技巧

1.热力学基本方程记忆技巧

物理化学课程热力学部分主要涉及五个状态函数：U（热力学能）、H（焓）、S（熵）、A（亥姆霍兹函数）、G（吉布斯函数）。这五个状态函数具有一个共性即不能通过实验直接测定。而可通过实验直接测定的函数有p（压力）、T（温度）、V（体积）等。热力学基本方程即是描述实验可测变量与不可测变量之间的函数式。推导出的四个热力学基本方程为：dU = TdS – pdV；dH = TdS + Vdp；dA = – SdT – pdV；dG = – SdT + Vdp。根据这四个热力学基本方程还可以衍生出一阶偏导数关系式、麦克斯韦关系式及循环公式等。因此，对于学生而言，记住这四个热力学基本方程至关主要。显然，强制地生硬记忆是很容易事倍功半的，那么如何对这几个公式快速记忆呢？观察四个热力学基本方程，可以总结得到三个特征，首先，T和S为一对组合，p和V是一对组合。其次，T作为常量，S则为变量，S作为常量，T则为变量，p和V亦是如此，且S和p为常量时，前面须加负号。第三，第一和第二个、第三和第四个热力学方程的前半部分相同，第一和第三个、第二和第四个热力学方程的后半部分相同。根据以上特征，记忆热力学方程则变得较为简单快速。

2.U，H，A，G的一阶偏导数关系式记忆技巧

4.结束语

数学物理方程 第4篇

Batchelor教授是剑桥大学1959年创办的应用数学与理论物理系的创办人和系主任,闻名世界的国际理论物理大师霍金教授就是Batchelor的这个系于1966年培养出来的.虽然Batchelor是当代国际流体力学大师,但是在他所发表的流体力学划时代名著《流体力学导论》上,他所使用的学衔却是Professor of Applied Mathematics,而不是Professor of Fluid Mechanics.

应用数学教授Batchelor对应用数学所下的定义如下:

(1)初看起来应用数学的含意可以表述为:你所遇到的物理问题中的未知变量可以用一个微分方程来描述,然后你就要采用某一种数学技巧来求解,这就是应用数学的意义.

(2)然而上面的表述包含有一个很大的缺点,那就是在上述的表述中它没有提到物理思想,而这正是问题的根本.于是,Batchelor就给出了他自己的应用数学的定义:要把物理思想注入于数学之中,才能解决问题.这构成了应用数学的灵魂.

以下讲一讲作者自己学习Batchelor这个思想的体会:由于一般物理问题所遇到的微分方程求解难度非常大,其难度远远超过了现有的数学技巧所能解决的范围,所以应用数学家就只能根据他所面对的某一个特定问题自身的物理特点来化解数学难点,简化方程从而得到这个特定问题的解.这就是把物理思想注入于数学之中来解决问题的真实含义.

有3种办法把物理思想注入于数学之中来化解数学难点:

(1)引进特定的物理模型来化解数学难点;

(2)引进各种近似来化解数学难点;

(3)引进各种变换来化解数学难点.

下面从黏性流体力学的例子讲起.把牛顿力学第二定律应用于不可压缩黏性流体这样的连续介质就会得到著名的Navier-Stokes方程(法国学者Navier(1822),剑桥学者Stokes (1845))为

式(1)是一个非线性的时空四维的二阶的偏微分方程.到现在还没有一种数学方法能够求到这一方程的普遍的严格解.流体力学家就只能按照某一个特定的物理问题自身的特点来开辟求各种特定问题近似解的道路.首先是把此方程无量纲化,从而得到一个无量纲的Navier-Stokes方程和一个无量纲的动力相似参数——雷诺数Re.

低雷诺数流,Re<1,Stokes近似,黏性流-线性化的Stokes方程为

Stokes小球解的物理模型——化时空四维问题为轴对称的两维问题

无界空间

静止背景

球形物体

定常的运动速度

球极坐标系,原点放在球心,极轴与定常速度重合,边界条件的确定.得到严格的运动小球引起的Stokes扰动流场的解析解

进而得到了小球的Stokes沉降公式,两千年来自亚里士多德之后第一次定量地解决了物体在重力作用下的做低雷诺数沉降问题.

高雷诺数下的无黏性近似,Re>1,Euler方程为

达朗贝尔之谜,Prandtl的边界层近似

边界是半无界的平板——化空间三维为空间两维,背景流场是与平板平形的定常均匀流——化解掉时间一维,背景压力场也是定常均匀的——化解掉压力梯度项,Prandtl的边界层近似——在平板边界上有一个很薄的黏性边界层,在其中有一个很强的垂直速度梯度,因而使垂直方向的黏应力不可忽略,不管雷诺数是如何之大——由此则应在边界层中建立一个新的边界层方程,在其中黏性应力项被部分地(铅垂方向)恢复,结果得到边界层方程如下:

Prandtl的边界层方程

这里取直角坐标系,原点放在平板前缘,y=0的平面与平板重合.

Blausius关于两维自变量的相似变换——化偏微分方程为常微分方程

流函数与两维速度场——因不可压缩与两维条件,两个未知速度分量u与v可由一个流函数来表示

流函数中关于未知函数f的Blausius的非线性三阶常微分方程为

数值求解f的非线性三阶常微分方程后所得到的边界层中速度u的分布图如图3所示.

湍流——流体力学中的世纪难题

(1)是超临界的高雷诺数流动,非比一般的高度非线性问题;

(2)虽是高雷诺数流动但弱黏性却处处不可忽略——非微扰问题;

(3)三维流动——不可降维的难点;

(4)流场的不规则性,随机性——额外增加的新难点.

为克服此新难点,引入概率论的方法求统计矩,先求一阶矩平均流场,雷诺对湍流速度场的分解

湍流平均速度场的雷诺方程,新难点的产生:方程不闭合

不闭合的未知变量为雷诺应力

Prandtl的混合长理论——类比物理学中的分子运动论以闭合雷诺方程中的未知变量雷诺应力

平面均匀(沿流向均匀)的平面流的物理模型以化解仍然存在于雷诺方程中的非线性难点——混合长随高度而线性增加的物理假定——平均风场的对数分布律

Keller和Friedmann的湍流速度场空间两点二阶相关矩——三维难点大暴露——G.I.Taylor的均匀各向同性理论的提出以化解三维难点——Karman-Howarth方程的建立——湍能耗散律

均匀各向同性理论的局限性——Kolmogorov的局地均匀各向同性理论——结构函数

均匀各向同性理论的另一局限性,方程仍不闭合——Kolmogorov的湍流的物理模型——相似参数湍能耗散率——量纲分析法,结构函数的2/3定律为Dll(r)=Cε2/3r2/3.一维湍谱的-5/3定律为E1(κ)=C1ε2/3κ-5/3.

Kolmogorov的湍流理论的伟大成就和问题——湍流的间歇性对Kolmogorov的湍流的物理模型提出的挑战——新的探索

G.I.Taylor对无黏性的三维涡量场实奇点的猜想(1937)——Frisch的推广到湍流间歇性问题(具黏性的三维涡量场复奇点的猜想)(1980)

涡度定义ω=▽×u

湍流场中涡度的自维持

G.I.Taylor对无黏性的三维涡量场实奇点的猜想

涡度拟能的计算公式

速度场的富氏变换的计算公式

G.I.Taylor手算——算至时间t的4次方(1937)

van Dyke计算机计算——算至时间t的8次方(1975)

Frisch等人引入物理学中相变理论里的奇点分析技术+计算机——算至时间t的44次方(1980)

Frisch等人的初步成功——进一步论证失败于计算机的功能不够,虽然他们是美国最大计算机的最大用户

关于湍流间歇性的探索至今仍在继续之中——未来成功的关键仍然在于一个适当的物理思想+一个强大的计算机

应该承认到目前为止Navier-Stokes方程的普遍的严格解仍没有找到,覆盖在这一方程下面的全部自然现象,就仍然是个谜.而Navier-Stokes方程所能解释的自然现象又仅仅是自然界大海洋中小小的一个水滴.这是一个伟大的谜.对它而言,我们人类是太渺小了.

方程数学小报资料 第5篇

个人站在岔道口，分别通向A国和B国，这两个国家的人非常奇怪，A国的人总是说实话，B国的人总是说谎话。路口站着一个A国人和一个B国人：甲和乙，但是不知道他们真正的身份，现在那个人要去B国，但不知道应该走哪条路，需要问这两个人。只许问一句。他是怎么判断该走那条路的?

答案：

如果甲是A国人，说的是真话，问甲：“如果我问乙哪条路是安全之路，他会指哪条路?”他指出的乙说的路就是错误的，另一条路就是正确的。

答案2：如果甲是B国人，说的是假话同样的问题问甲，因为乙说真话，甲会和乙的答案相反，那么另一条路就是正确的。

数学的本质在於它的自由。---康扥尔(Cantor)

在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。康扥尔(Cantor)

没有任何问题可以向无穷那样深深的触动人的情感，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其他的概念能向无穷那样需要加以阐明。——希尔伯特(Hilbert)

数学是无穷的科学。--赫尔曼外尔

问题是数学的心脏。--P.R.Halmos

只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡。--Hilbert

数学中的一些美丽定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。---高斯

哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。……又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。---柏拉图

方程让孩子们爱上数学 第6篇

关键词：数学；方程；数量关系；正向思维

方程是指含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”或者“根”。求使等式成立的未知数的值的过程叫做“解方程”。苏教版五年级下册学习了简易方程，是在学生学习了用字母表示数，并会用含有字母的式子表示数量关系的基础上引入的。学习了方程这个有利工具，让学生更多地利用正向思维去思考和解决问题，避免逆向思维的繁琐，便于学生用相对简单的方法解决已有问题，同时能够解决稍难的数学问题。

最先接触方程时，对于孩子们来讲，是个难点，有些孩子依旧喜欢用代数思想解决问题，不习惯利用方程解题，这说明孩子们并没有意识到方程的作用，没有体会到方程的优点。实际上，合理利用方程解决问题，可以大大简化思考过程。例如，一个数的3倍比2多4，求这个数。学生会想到列式：（4+2）÷3=2，很容易解决此问题，对于初学方程的学生来讲，如果此类问题要求其列方程解决，似乎有点强人所难。明明可以用已有知识解决的问题，为什么一定要用方程呢？确实，在此类问题上，方程的优势并不凸显。我们再来看一道题目，一个数的3倍减2等于这个数与4的和，求这个数。学生会在大脑里建立等量关系式：一个数×3-2=一个数+4，那么求这个数，用之前学习的知识解决，似乎遇到些困难，此时如果想到方程思想，只需要将这个数设为x，根据等量关系，列出方程，运用等式的性质解方程，此题便迎刃而解。

利用方程解题的另一大优点是化抽象为具体，在四年级介绍分数时，引入了单位“1”的思想，但并不是每位孩子都能理解单位“1”的思想。在学习了方程后，解决此类问题便可以做到游刃有余。例如，某人从甲地前往乙地，已经走了总路程的25%，剩余4200米，求甲乙两地相距多少米？根据已知条件，我们得到未知量是甲乙两地间的总路程，已知条件是走了一段路程后，剩余的路程。学生可以通过已知条件建立数量关系式：总路程-已经走的路程=剩余的路程。设未知量甲乙两地相距x米，则已经走的路程为25%x米，根据上述相等关系列出方程，只需一步解方程，此题便可以轻松求解。

同样，在学习了方程后，一些以前看似复杂的题目，现在也可以根据数量关系式，列方程求解。例如，在小学奥数中，有一类经典问题——鸡兔同笼问题，说有若干只鸡和兔，共有88个头，244只脚，求鸡和兔的只数。在学习方程之前，我们可以利用假设法，假设所有的头都是鸡的，那么有176（88×2=176）只脚，但实际有244只脚，得知多出的68只脚是兔子的，每一只被当做鸡的兔子会多两只脚，则兔子有34只，鸡有54只。如果用方程来解决鸡兔同笼问题，根据题目条件可以得到两个数量关系：鸡的只数+兔的只数=88，鸡的脚+兔的脚=244。利用第一个数量关系得到未知量之间的关系，设鸡有x只，则兔有88-x只。利用第二个数量关系，列出方程：2x+4×（88-x）=244，解得兔子有34只，鸡有54只。通过两种方法对比我们可以看出，利用方程解决问题，避免了假设法的繁琐，直接根据题目中的两个数量关系列方程便可求解。

在课堂上，我经常强调：丰富的数学知识可以使我们的解题变简单。方程的学习，可以很好地诠释这句话。这么说，并不代表越早学习方程越好，算数解法好比是走路，方程解法好比是开车。对于同样的路程，开车更省力，但是走路可以锻炼身体，转化到数学学习中，锻炼身体好比是训练孩子们的思维。在低学龄段的数学教学中，重点放在数量关系的学习中，要求孩子们会根据数量关系解决问题，这一过程可以很好锻炼思维的灵活性，同时也为高年级学生利用方程解决问题打下扎实的基础。在用方程解决问题的教学中，有些孩子会出现困难，并非不会解方程，而是在于不会列方程。例如，在相遇问题中，如果不知道“速度和×时间=总路程”这个公式，那么列方程就会无从下手。方程是我们学习的一个有益工具，工具在生活中的作用就是帮助我们解决问题。如果这个工具用起来并不顺手，也可以选择先不用；同理，如果孩子热衷于算术解，可以先随他的喜好，在解题中遇见拦路虎时，想起方程这个工具，一旦题目得到解决，相信此时此刻，学生爱上的不仅仅是方程这个工具，而是数学这门学科。我们可以说方程方法在解决一些问题时确实优于算术方法，并不代表算术方法是低端的，方程方法是高端的。通过学习，我们知道要想列出方程，离不开好的逻辑思维，而好的逻辑思维又离不开算术方法的锻炼。每种方法都有自己的局限，但是意识到方法的便利性，可以让学生爱上学习！

参考文献：

梁志林.浅谈如何让孩子爱上数学课[J].新课程学习：下，2014（1）.

浅谈物理计算题的三种方程 第7篇

一、规律方程

计算题一般都有特定的物理情境, 要求学生能选择对象与过程, 利用物理重要规律, 通过列定理或定律方程, 把所求量与已知量联系起来。

【例1】如图1所示, 光滑水平轨道上有三个木块A、B、C, 质量分别为mA=mc=2 m, mB=m, A、B用细绳连接, 中间有一压缩的弹簧 (弹簧与滑块不拴接) 。开始时A、B以共同速度v0运动, C静止。某时刻细绳突然断开, A、B被弹开, 然后B又与C发生碰撞并粘在一起, 最终三滑块速度恰好相同。求B与C碰撞前B的速度。

解析:设滑块A和B分开后, B的速度为vB, 然后B匀速运动, 并以此速度去碰C, 并粘在一起, 最终三滑块速度为v。

对滑块A和B组成的系统, 在碰撞过程, 动量守恒, 因此列动量守恒方程, 有

对滑块B和C组成的系统, 在碰撞过程, 动量也守恒, 因此也可列动量守恒方程, 有

二、辅助方程

当列物理规律方程后, 若未知量个数比方程数多, 这时还得根据物理量之间的联系列关系方程, 即辅助方程, 如滑动摩擦力公式f=μN, 弹簧弹力公式F=kx, 安培力公式F=BILsinθ等。

【例2】如图2所示, 在一粗糙水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2, 中间用一原长为L、劲度系数为k的轻弹簧连接起来, 木块与地面间的滑动摩擦因数为μ。现用一水平力向右拉木块2, 求:当两木块一起匀速运动时弹簧的伸长量x。

解析:对木块1, 它在水平方向受弹簧拉力F和滑动摩擦力f的作用而做匀速运动, 列平衡方程, 有F=f,

列辅助方程, 有F=kx

三、限制方程

为了考查学生的分析综合能力, 有时计算题中有几个物体相互作用, 这样物体之间在时间和空间上可能有一定的联系, 相互作用力之间也有些限制, 因此列完规律方程和辅助方程后, 若是未知量个数比方程数多, 这时要注意分析题目情景, 甚至寻找隐含条件, 从而列出时空联系方程和限制方程。

【例3】冰壶比赛是在水平冰面上进行的体育项目, 比赛场地如图3所示。比赛时, 运动员从起滑架处推着冰壶出发, 在投掷线AB处放手让冰壶以一定的速度滑出, 使冰壶的停止位置尽量靠近圆心O。为使冰壶滑行得更远, 运动员可以用毛刷擦冰壶运行前方的冰面, 使冰壶与冰面间的动摩擦因数减小。设冰壶与冰面间的动摩擦因数为μ1=0.008, 用毛刷擦冰面后动摩擦因数减少至μ2=0.004.在某次比赛中, 运动员使冰壶C在投掷线中点处以2m/s的速度沿虚线滑出。为使冰壶C能够沿虚线恰好到达圆心O点, 运动员用毛刷擦冰面的长度应为多少? (g取10m/s2)

解析:设冰壶在未被毛刷擦过的冰面上滑行的距离为s1, 所受摩擦力的大小为f1, 在被毛刷擦过的冰面上滑行的距离为s2, 所受摩擦力的大小为f2。从投掷冰壶到冰壶停下的全过程, 总位移为s, 则对全过程列动能定理方程, 有

列辅助方程, 有f1=μ1mg

空间限制方程, 有s1+s2=s

【例4】如图4所示, 在宽度分别为l1和l2的两个毗邻的条形区域, 分别有匀强磁场和匀强电场, 磁场方向垂直于纸面向里, 电场方向与电、磁场分界线平行向右。一带正电荷的粒子以速率v从磁场区域上边界的P点斜射入磁场, 然后以垂直于电、磁场分界线的方向进入电场, 最后从电场边界上的Q点射出。已知PQ垂直于电场方向, 粒子轨迹与电、磁场分界线的交点到PQ的距离为d。不计重力, 求电场强度与磁感应强度大小之比及粒子在磁场与电场中运动时间之比。

解析:粒子在磁场中做匀速圆周运动, 如图4所示。设粒子的质量和所带正电荷分别为m和q, 因为洛仑兹力是粒子做圆周运动的向心力,

由于粒子在分界线处的速度与分界线垂直, 圆心O应在分界线上, OP长度即为粒子运动的圆弧半径R, 列空间关系方程, 有

设P′为虚线与分界线的交点, ∠POP′=α, 则粒子在磁场中的运动时间为

“魅力数学”——方程 第8篇

方程———表示数量之间相等关系的“天平”, 是解决实际问题的有效工具. 就如同以下这题:

我们班有48名学生, 其中女生人数比男生人数的三分之二还少2人, 问:我们班有男、女生各多少人?

这题的关键句是“比男生人数的三分之二还少2人”, 通过这句话我们可以设男生人数为x, 则有女生人, 列出方程.解决这题必须依据生活实际, 本题中男生人数、女生人数、总人数必须都是正整数, 不能是零或者分数. 这其实也是一个做题的小窍门. 通过这题, 我们可以看出列方程只需找到等量关系, 接下来就很简单.

可能大多数人把方程的解和解方程搞混了, 但它们是两个不同的概念, 一个是求得的结果, 一个是求解的过程. 你们看数学的这两个词只是字调换了顺序就能改变整个意思, 所以要学好数学, 求得高分, 决不能忽略任何一个细节.

部分人可能认为方程是弱者用的方法, 可他们却不知道他们所学的很多知识都来源于方程, 方程不用逆向思维, 是解题最简单的方法. 所以说方程是我心目中的数学功臣, 它帮我们解决了一个又一个难以解决的问题, 方程在我们生活中无处不在, 它就如同黑夜中的一盏路灯指引你找到最终的答案.

浅谈初中数学方程教学 第9篇

一、渗透方程思维

方程完全不同于以前所学数学解决问题方式,在以往,学生解决问题是由已知到未知,根据已有线索求得未知答案,而方程则不同,它是由未知到已知。如小明买了一个梨子和一个桃子,一共花了五块钱,其中桃子三块钱,求一个梨子的价格。传统解决方式是用总的价格减去桃子的价格,从而得到答案。而方程则是先假设梨子价格已知,为X元,再用桃子价格加上桃子价格等于总价格,最后求得答案。这其中包含了两种截然不同的数学思维。方程思维培养是初中方程教学的中心,教师在方程教学中尤其是解题过程中要尽量展现方程思维,时刻渗透方程思想,培养学生方程思维,以此提高学生学习质量。

二、合理制定学习目标

根据调查,学生在学习前熟知学习目标,学习效率要比未明确学习目标高出百分之二十,由此可见,在教学前明确学习目标,能让学生有目的、有方向地进行学习,有效提高学习效率。因此,我们在进行方程教学时,首先应明确教学目标,教学目标设计要强调两个原则:第一是层次性,每个班级都有学困生与优秀生,而这两个群体的学习能力与发展需要必定不一致,这就要求教师根据学生实际合理制定不同层次的学习目标,满足不同层次学生发展需要;第二是方向性,方向即发展方向、学习重点,初中方程学习重在方程思维培养,因此教师在制定学习目标时应强调学生方程思维培养。例如,在学习《消元—解二元一次方程组》一课时,教师可设定如下学习目标:1.掌握一种消元法的基本应用,会解简单二元一次方程组;2.掌握教材中两种消元法,能熟练运用消元法解二元一次方程组;3.了解整体消元法、常数消元法等多种一般消元法,能通过消元方式不同了解其具体消元思想。科学合理的教学目标设定不仅要求教师吃透教材、吃透教学大纲,更要求教师对学生学习能力及学习情感有一个整体把握,实现教学有效性。

三、由旧入新

初中方程学习主要包括《一元一次方程》、《二元一次方程组》及《一元二次方程》三个部分,随着年级的递增而学习难度增大,但这三个章节、章节内的课时却是环环相扣的,教师可以通过运用学生已经掌握的旧知识内容或体系,引申出新的知识内容,降低学习难度。例如,在《消元—解二元一次方程组》一课时学习中,我们在上学期已学过解一元一次方程,教师可将一元一次方程的解法引申到解二元一次方程组中,我们先用解一元一次方程的方式将二元一次方程组移项,把两个等式的一边化为一致,成为A=B,A=C的形式,这时引入消元的概念,无论是加减消元还是带入消元都适用。新知是建立在旧知的基础上发展而来的,教师在方程教学中可以采用以新代旧的教学方式,不仅降低学习难度,将繁杂的消元解题变为“简单地加减法”,更有助于学生方程思维的培养,活学活用,提高学生数学应用能力。

四、改进陈旧的教法

传统方程教学以灌输式教学为主,辅以题海战术,达到会解题、能拿高分的目的,这种教法弊端明显,学习情感体验不佳,极大地扼杀了学生学习兴趣,学生学习动力不足。但我们不能一昧地否定,它能在这片广袤的土地上开花结果,影响一代又一代人,必然有着它独特的优点。我们要去其糟粕取其精华,根据教学实际,结合他人优秀教学经验或教法,加以创新,运用到自身教学当中,提高教学质量,推动初中数学新课改发展。

五、适当的评价与交流

教学质量的提高离不开师生的充分交流。一方面,通过与学生的交流或反馈,教师能从学生角度发现教学方式中存在的弊端,在教学中有哪些知识内容未讲解到位、学生未掌握到位,便于教师优化教学方式、查漏补缺;另一方面,通过教师给予学生恰当评价,学生能发现自己的优点,正视自身在学习过程中的不足,并依据教师指导进行合理调整,提高学习质量。

六、结语

初中数学是连接高中数学的重要桥梁,是数学思维形成的重要阶段,具有承上启下的作用。本文从实际出发,提出了五点关于提高初中方程教学质量的建议。方程贯穿学生整个中学数学学习,既是初中数学教学重点,也是教学难点,教师要从学生出发,在教学过程中将学生思维、知识内容与课堂三者紧密联系起来,提高数学课堂教学质量,推动初中数学教学发展。

摘要：方程是初中数学学习的重要组成部分,初中方程学习是方程思维的学习,是对问题的另一种思考方式,其核心是将问题转变为符号化语言。本文从实际出发,结合新课标教学要求,系统阐述如何提高初中数学方程教学质量,提高学生方程思维能力,让学生学会运用方程思想解决实际问题,以此发展学生数学思维,促进学生数学综合素质进一步发展。

关键词：初中数学,方程教学,方法研究

参考文献

[1]徐访华.浅谈如何在初中数学教学中做好方程教学[J].当代教育实践与教学研究:电子刊,2015(12)

[2]李新辉.浅论初中数学方程的多种教学方法[J].新课程导学:八年级中旬,2016(2):18-18

如何通过列方程巧妙解决数学问题 第10篇

一、列一元一次方程解数学应用题

对于数学应用题的解答采用列方程的方法会达到事半功倍的效果, 它会帮助学生梳理数学问题中的各个数量关系, 让学生对于知识进行深入理解和探究. 常用的解一元一次方程的应用题通常有行程问题、工程问题、调配问题、分配问题、 配套问题以及增长率问题等方面的问题. 教师在教学中可以把这些数学问题给学生归类,使学生能够清楚地了解他们之间的数量关系,从而轻松地设出一个未知数,找到等量关系,顺利地解答问题. 例如:某厂一车间有64人,二车间有56人. 现因工作需要,要求第一车间人数是第二车间人数的一半. 问需从第一车间调多少人到第二车间? 这就是一道典型的劳动力调配问题,为了解决这类问题,教师就可以引导学生通过列一元一次方程的方式来解决这类问题. 在解题时教师首先要带领学生搞清楚人数的变化,使学生能够理清题目中的数量关系,从而解决问题.

二、列二元一次方程解数学应用题

需要列二元一次方程来解决的应用题比一元一次方程的应用题要复杂,学生需要设置两个未知数,并且理清这两个未知数之间的关系. 学生在解题时要从整体上考虑, 列出符合要求的代数式. 二元一次方程一般涉及两个未知数x和y,根据题意以及题目中的数量关系,学生可以列出两个数量关系,构成一个方程组. 例如:一个两位数的十位数字与个位数字和是7,把这个两位数加上后,结果恰好成为数字对调后组成的两位数,则这个两位数是几? 根据题目的要求,学生设出两个未知数,根据他们的数量关系,学生可以列出x + y = 7; 10x + y = 10y + x. 通过学生对于题目的分析, 学生可以充分地理解题意,进而总结出题目中的数量关系,总结出这两组关系式. 通过学生对于题目的阅读,学生可以找到两个相等的关系,从而列出代数式,帮助学生顺利地解决问题.

三、二元一次方程与一元一次方程的区别

二元一次方程与一元一次方程最大的区别就是他们的未知数的数量是不同的, 二元一次方程中包含了两个未知数,而一元一次方程中只有一个未知数,解答起来要更容易、 简便. 学生通过对于题目的阅读可以轻松地梳理出一个数量关系的方程式就可以列出一个一元一次方程,而一个未知数无法解决问题时, 学生则应该考虑到采用列方程组的形式, 列出两个未知数.

例如教师设置问题:某加工厂用稻谷加工大米出米率为70%,现在加工大米100公斤 ,设要这种稻谷多少公斤 ? 通过学生对于问题的阅读,学生会发现这是一元一次方程中经常会出现的增长率方面的问题. 学生可以设需要这种稻谷x公斤,通过题目中给出的关系,学生可以列出方程:70%x = 100. 简单的一元一次方程就可以解决问题. 但是面对题目中出现了复杂的数量关系的应用题时,学生则要考虑二元一次方程. 通过对于题目中的数量关系的分析和判断来寻找有效的数量关系. 例如:某班学生参加义务劳动,男生全部挑土,女生全部抬土,这样安排恰需筐68个,扁担40根 ,问这个班 男生、女生各有多少人? 通过对于题目的分析,学生可以设班级男生为x人,女生为y人,用方程组可以列出方程组2x +y /2 = 68;x +y /2= 40. 题目中有两个数量关系 , 学生根据题目的要求可以列出两组方程,构成一个方程组.

在选择是用一元一次方程还是二元一次方程时,学生首先需要认真阅读题目,了解题意,通过题目中的数量关系学生在确定解题几个未知数,进而确定所使用的方程.

四、二元一次方程与一元一次方程的联系

二元一次方程与一元一次方程并不是完全独立的,学生要想顺利地解答二元一次方程就必须要掌握一元一次方程的解法. 学生通过对于一元一次方程的学习, 可以掌握方程的解法,进而把这样的解决问题的方法引用到解二元一次方程中,让学生能够顺利地解决问题,提高学生的解题能力. 一元一次方程的解法是学习二元一次方程的前提. 学生要想学好二元一次方程就必须要把一元一次方程的解法学好,为二元一次方程的学习打下一个坚实的基础,促进学生综合素质的提高和进步.

总之,在教学中教师要关注教学方法的指导,让学生通过思考和探究能够掌握解题策略,学会分析问题,促进学生的可持续发展. 通过教师有效的指导, 学生会更加明确一元一次方程和二元一次方程的区别和联系,在解决应用题过程中快速地分析题目中的数量关系, 设置出有效的方程组,促进学生学习能力的提高和数学解题能力的提高.

摘要：为了提高学生解决数学应用题的能力,让学生能够轻松地解决各类应用题,教师要引导学生掌握解应用题的方法.教学中教师要让学生明确什么样的题用二元一次方程组解方便,什么时候用一元一次方程解即可,以及两者间的区别与联系,促进学生掌握应用题的解法,实现学生学习能力的提高.

高中数学方程求解教学思路研究 第11篇

【关键词】高中数学 方程求解 教学思路 深入研究

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）30-0099-01

数学能够很好的提升人们在逻辑方面的思维能力，同时将数学知识及时应用到社会生活中，能够更好的改善学生生活能力。方程求解在数学教学中具有非常显著的作用，并且随着社会的发展以及数学领域的发展，在一定程度上推动了数学教学的进步与成熟，数学方程教学思路在现在的社会中应用非常广泛，根据数学方程解题思路在数学教学中的作用进行详细研究。

一、方程求解思路在数学中的发展与应用

在进行数学的教育与发展期间，其中包含很多的方程或是公式等，例如常见的线性方程或是指数方程等，虽然方程是数学学习中重要的内容，但是简单的方程不是解决所以数学问题的方法。所以根据这样的数学发展，需要根据问题中提出的实际需要，结合各种条件探索未知方程式。

很多数学问题并不是根据一个简单的方程式或是不变的数值就能得出答案，需要很多的未知数，是一种复杂的函数形式。在遇到这种问题期间，其实并没有想象中那么复杂，因为数学方程式之间具有很多的相同之处，利用已知的方程式能够引出另一种解题公式。

将题目中的已知条件进行掌握，根据其中数值之间的联系分解出更多的解题方程式。数学解题的方式并不是一成不变的，其中有很多因素是随着条件的变化而变化的，但是在我们研究的方程解题思路中还存在很多的疑惑需要解决。通过解决的问题我们能够得出，方程解题思路主要是根据其中的一个或是多个未知数，寻找出其中的固定量，根据列出的未知数或是方程，求取其中的解进行全面的总结。

方程解题思路在数学中的应用主要指的是遇到一些比较复杂的问题中对复杂的现象进行详细的分析，从中掌握数学知识中存在的规律，探索出数学知识的抽象关系，利用这些探索的数学知识来解决现实中遇到的一些问题。

二、方程求解教学思路在数学教学中的特点

很多关系是瞬息万变的，其中包含方程式也是如此，在一个特定的空间或是时间中，因为具体的探索对象不固定，会出现很多的变化，所以这样的基础上会形成一种规律，清晰的掌握这些规律，从中探索出其中存在的一些原理，遭到解决问题的关键，这样的变化形式往往是一种数学模拟教学的状态[1]。

针对数学教学来讲，首先是利用具体的教学目的对其中的问题进行清晰的分析，根据方程式的形式理清方程求解思路，并且解答出其中存在的疑惑，解出方程中的答案，在根据答案进行探索与分析。

因为数学教学自身是一种在思维以及方式上的创新，主要针对问题进行分析与解决，是一个逻辑性的过程，其中的教学内容大部分来自实际的生活经验以及探索方法，利用准确的解题切入点逐渐深入。

在探索数学方程求解思路教学的过程中可以根据方程的形式进行问题的解决，因为解决的问题基本上是不固定的，所以解题的方式等比较繁琐，利用不同的方程的形式能够将其中的思路进行分分析，解决问题。

三、方程求解思路在数学教学中的具体应用

在碰到一些实际问题期间，首先需要明确对象，确定正确的数学方程教学形式。利用数学方程求解思路教学的目标以及方式进行解题思路的假想与简化，在根据其中的固定规律，探索出解题方式。

1.在生活中经常会遇到不同的方程数学解题教学形式，其中包含对经济变化的探析或是市场变化的增长、减少等问题，正常的情况下我们需要利用实际的发生情况建立方程的求解思路，从其中探索出经济或是市场变量，及时进行经济策略的制定[2]。例如：在市场上推行一种新的产品，t期间的市场销售量为，但是因为商品的质量以及生产方面都比较优秀，所以基本上生产出的成品都能够作为一个宣传品。所以t时期的产品生产销量能够达到，与基本上是正比例分配，并且在产品生产与销售期间，需要详细了解到市场经济下对这种产品的具体容量，用字母N来表示，根据相关的资料显示这种商品中的在没有大部分进行销售期间已经与销量成正比，所以计算方程式为：，在公式中的使用常数为k >0，那么计算的变量与积分等方式为：，在这样的计算方式下，销售量的逐渐增加会引起销售速度的不断加快，市场的容量会随着商品销售的变化逐渐变化。

2.对于这种方程求解思路教学的形式在很多科目中都应用的非常普遍，其中最明显的就是物理中的动力学模型。根据方程求解思路的期愿来讲，动力学是其中主要的因素之一，动力学在物理或是数学中应用非常广泛，并且是社会上一种比较常见的原理形态。动力学存在的基本定律为，这公式也是动力学原理中研究动力学计算的基本公式之一。在学习物理期间我们都知道，当事物的重力与物体在不断下滑之间形成的速度之间基本上是成正比例的，但是在其中会存在很多的影响因素，其中空气就是最大的阻力。按照常微分方程式的形式计算物体中存在的一些抗力因素，只需要根据公式的变化进行推理就可，方便了物力方面的研究与探索。在学习进行学习期间，不同的科目之间存在一定的联系，这种解题思路与方式在数学中的应用也非常广泛。

四、结束语

數学教学对于学生来讲具有非常重要的作用，并且对于学生的生活能力以及逻辑思维等都具有影响，利用这种方式促进数学教学质量的提升，帮助学生在进行数学学习期间提升数学学习能力。

参考文献：

[1]刘桂玲.数形结合思想方法在高中数学教学中的应用分析[J].中国校外教育，2015，13：106.

小学数学方程的解法实践与思考 第12篇

新课程标准编写的教材在解方程教学的编排与以前旧教材相比有很大的不同. 旧教材是让学生熟记四则运算各部分之间的关系, 利用四则运算各部分之间的关系来解方程.而新教材则是通过探索、理解等式的基本性质, 再利用等式的基本性质来解方程. 为了让学生适应这种变化, 在教学实践中出现了一系列问题, 笔者对这些问题进行了思考, 找出了一些解决问题的办法, 帮助学生以“不变应万变”. 现提出来, 恳请各位同仁批评指正.

新课程中为了让解方程的教学更直观, 学生更容易理解, 小学阶段要求学生能使用天平平衡的原理 (即等式的基本性质) 来解方程, 减少了学生背诵常用的数量关系, 使方程的教学变简单了.

小学阶段解简单方程时, 只需要在方程的左右两边同时加上或减去、乘上或除以一个适当的数, 进行一次变化, 就能求出未知数x的值了.

例1 15 + x = 75.

解15+x-15=75-15 (等号两边同时减去15) , x=60.

二、实践中对方程的解法的一些思考与总结

虽然等式的性质学生能够很好地掌握, 但实际运用中, 学生却不能利用已有的知识经验, 通过迁移推理和相关的旧知识, 快速寻找出稍复杂方程的解法, 从而更谈不上能熟练的解一些较复杂的方程. 老师教起来吃力, 学生学起来也很“痛苦”, 那怎样才能 “以不变应万变”呢? 笔者在平时教学过程中总结了一套方法, 能够让学生轻松掌握解方程的解法, 在实践过程中效果显著.

笔者把这种方法总结成24 个字如下:能算先算, 特例特解;先间后直, 符号相反;数字相同, 两边同时.

笔者认为掌握了这24 个字, 就可以真正意义上掌握等式的性质, 几乎可以熟练地解所有复杂的方程, 学生理解起来简单, 学起来轻松;老师教起来也能有的放矢, 真正意义上才能做到“以不变应万变”. 怎么理解这24 个字呢? 笔者对这24 个字的理解是: 任何方程, 不论复杂与否, 都可以轻松解决. 解方程首先看常数项有没有能直接计算的, 能算的就要先计算, 这就是“能算先算”;方程的一般形式是X+A=B, 我们常常先要解决A, 但很多情况会出现A -X=B的形式, 这时候我们要先解决X, 把它变成一般形式, 这就是“特例特解”;复杂一点的方程如:AX+B=C, 笔者认为根据常数和未知数连接的位置关系, 可以分为“间接相连”和“直接相连”两种, 计算时先解决“间接相连”的常数再解决“直接相连”的常数, 这就是“先间后直”. 完成这些步骤后就能轻松利用等式的性质解方程了, 但笔者在实践中发现, 学生虽然能够熟练掌握等式的性质, 但根据小学生的心理和生理特点, 怎样才能利用形象的语言帮助学生牢固掌握等式性质就显得尤为重要. 小学阶段解简单方程时, 只需要在方程的左右两边同时加上或减去、乘上或除以一个适当的数, 方程依然成立. 可是学生需要花更多时间去摸索, 理解直到熟练运用;尽管如此, 学生解决实际问题总会出现各种各样的问题, 老师也一筹莫展, 原因就在于很多学生无法通过观察, 直观地判断自己的做法正确与否. 笔者认为解决这个问题重点是让学生能通过观察, 直观判断做法正确与否. 笔者就通过将等式的性质进行 “改造”, 化抽象为形象来解决这一问题, 这就是“符号相反, 数字相同, 两边同时”, 需要解决哪个常数就看它和未知数连接运算符号, 解题时利用相反符合 (+, -相反, ×, ÷相反) 合理利用等式的性质, 这就是“符号相反”;其次就是等式性质的深刻理解就是“数字相同, 两边同时”, 这样学生每做一步都能够直观判断, 及时纠正.

笔者从实践中发现学生理解和运用这24 个字解方程, 既快速又准确. 下面通过案例来分析.

如:求方程3· (5 - 4x) = 9 的解时, 学生根据“先间后直”判断3 和未知数位置关系最间接, 先解决它. 接着得到的方程不是一般形式, 利用“特例特解”转化后就能轻松解决了.

例2 3· (5 - 4x) = 9.

解3· (5 - 4x) ÷ 3 = 9 ÷ 3 (先间后直, 符号相反, 数字相同, 两边同时, 消除3) .

5 - 4x = 3

5 - 4x + 4x = 3 + 4x (特例特解, 先解决4x, 符号相反, 数字相同, 两边同时, 转化成一般形式) .

4x + 3 = 5.

4x + 3 - 3 = 5 - 3 (先间后直, 符号相反, 数字相同, 两边同时, 消除3) .

4x = 2.

4x ÷ 4 = 2 ÷ 4 (符号相反, 数字相同, 两边同时, 消除4)

检验:把x=1/2代入原方程, , 所以x=1/2是方程的解.

从上面的例子观察到小学阶段在方程教学中, 使用天平平衡的原理 (即等式的基本性质) 在等号两边同时减去或加上、乘以或除以同一个量, 通过一次或多次变式进行转化, 就可以轻松求出未知数X的值了, 减少了学生的负担重点在于如何帮助学生快速形象地判断, 合理准确地利用等式的性质快速解题.

三、解方程的实际意义

笔者认为在小学数学旧的教学大纲中, 解简易方程可以根据是加减乘除法各部分间的关系来解决: 加数+ 加数=和、加数= 和- 加数、被减数- 减数= 差、被减数= 差+ 减数、减数= 被减数- 差、因数 × 因数= 积、因数= 积 ÷ 因数、被除数 ÷ 除数= 商、被除数= 除数 × 商、除数= 被除数 ÷ 商, 针对学有余力的学生, 可以利用关系式快速解题, 只有这样才能“因材施教”.