动力学模型范文

2024-05-04

动力学模型范文（精选12篇）

动力学模型第1篇

通过类比的思维方法, 把表面不同而物理过程相似的问题归并到同一类比模型中, 可以起到举一反三、触类旁通的作用, 本文就是要把动力学中常见的类比模型介绍给广大的师生.

一、互成角度的二力作用下的水平加速模型

例1 如图1-1所示, 质量为m的球固定在弯折硬杆ABC上, 硬杆A端固定在平板车上, 车在水平方向做变速运动, 杆对球的弹力为F, 下列说法正确的是 ( )

(A) F一定沿杆向上

(B) 加速度增加时, F的竖直分力增加

(D) 加速度增加时, F与水平方向的夹角减小

解析:由牛顿第二定律知, G、F两力的合力总沿水平方向, 当加速度水平向右时, F斜向右上方;当加速度水平向左时, F斜向左上方, F不一定沿杆向上, 选项 (A) 错误.

如图1-2所示, 在竖直方向:FY=mg, 由于重力不变, 所以F的竖直分力FY不变.在水平方向:FX=ma, 加速度a增大时, F的水平分力FX增大, 所以F与水平方向夹角减小.选项 (B) 错误, 应选 (C) 、 (D) .

本模型的特点:物体在重力和弹力作用下, 做水平方向的变速运动, 合外力沿水平方向;加速度增大时, 弹力的竖直分力保持不变, 而水平分力变大, 合力与水平方向的夹角减小.

类比题:如图2-1所示, 光滑球恰好放在半径为R的圆弧槽中, 左边的接触点为A, 半径OA与水平线成α角, 两者一起向右做加速运动过程中圆弧槽对球的作用力为F, 下列说法正确的是 ( )

(A) 向右的加速度增加时, F的水平分力FX增加

(B) 向右的加速度增加时, F的竖直分力FY增加

(D) 加速度a>gcotα时, 球从槽中滚出

解析:本题可以与例1形成完美的类比.如图2-2所示, 在竖直方向:FY=mg, 由于重力不变, F的竖直分力FY不变.在水平方向由牛顿第二定律知FX=ma, 加速度增大时, F的水平分力FX增大, 选项 (A) 、 (C) 正确.

当加速度由零开始增大时, 槽对球支持力的作用点由槽的最低点逐渐向左移动, 移动到A点时, 球恰好没有滚出, 此时 $a = \frac{F_{X}}{m} = \frac{m g c o t α}{m} = g \cot α .$

所以, 当a>gcotα时, 球从槽中滚出, 选项 (D) 正确, 应选 (A) 、 (C) 、 (D) .

二、互成角度的三力作用下的水平加速模型

例2 如图3-1所示, 质量为2 kg的物体用轻线系于倾角为30°的光滑斜面上, 斜面体置于水平地面上.求: (1) 当斜面体以加速度a=2 m/s2向右加速时, 绳的拉力为多少? (2) 当斜面体以加速度a=20 m/s2向右加速时, 绳的拉力为多少? (g=10 m/s2)

解析: (1) 当物体与斜面接触恰无作用时, 物体只受两力, 两力的合力水平向右, 如图3-2所示.

$\begin{array}{l} 有 F = m g \cot 30 ° = m a, \\ a = g \cot 30 ° = 10 \sqrt{3} m / s^{2} > 2 m / s^{2} . \end{array}$

所以, 当加速度a=2 m/s2时, 物体与斜面间存在作用力, 如图3-1所示.

水平方向:Tcos30°-Nsin30°=ma ①

竖直方向:Tsin30°+Ncos30°-mg=0 ②

由①②式得T=13.5 N

(2) 当加速度a=20 m/s2时, 物体与斜面分离, 只受重力和拉力, 如图3-2所示. $Τ = \sqrt{(m g)^{2} + (m a)^{2}} = 44.7 Ν .$

本模型的特点:物体在互成角度的三个力作用下做水平方向的变速运动, 合外力沿水平方向;当加速度达到某一定值时, 物理过程出现临界状态, 物体的受力出现转折性变化, 其中一个力消失, 变成了如1中所述的二力作用下的水平加速模型.

类比题:如图4-1所示, 车内用两根轻线系住一个质量为m=1 kg的小球, 两绳与水平方向的夹角分别为30°、60°.求: (1) 当车以加速度a=10 m/s2向右加速时, 两线的拉力分别为多少? (2) 当车以加速度a=20 m/s2向右加速时, 两线的拉力分别为多少? (g=10 m/s2)

解析:本题可以与例2形成完美的类比.本题中加速度也存在着一个临界值, 当加速度达到这个临界值后, OB线松弛, 拉力T2消失, 0A线与水平方向的夹角将减小, 球由受三个力变为受两个力.

(1) 首先确定加速度的临界值, OB线伸直且恰无张力时, 物体受力如图4-2所示. $F = m g \cot 30 ° = m a, a = g \cot 30 ° = 10 \sqrt{3} m / s^{2} > 10 m / s^{2}$ , 所以当a=10 m/s2时, 两线均存在拉力.水平方向:

T1cos30°-T2cos60°=ma ①

竖直方向:

T1sin30°+T2sin60°-mg=0 ②

由①②式得T1=13.7 N, T2=3.66 N

(2) 加速度a=20 m/s2时, OB线松驰, $Τ_{2} = 0, Τ_{1} = \sqrt{(m g)^{2} + (m a)^{2}} = 22.4 Ν$

三、竖直方向的升降机模型

例3 质量为m的人站在升降机内, 升降机的支持力为F, 当升降机以加速度a在竖直方向做匀变速直线运动时, 下列说法正确的是 ( )

(A) 若a向上, 物体处于失重状态, F减少了ma

(B) 若a向上, 物体处于超重状态, F增加了ma

(D) 若a向下, 物体处于失重状态, F减少了ma

解析:人受两个力, 如图5所示.当人与升降机静止时, F=mg;当a向上时, 由牛顿第二定律:F1-mg=ma, F1=mg+ma, F的增加为ΔF=F1-F=ma;当a向下时, 有mg-F2=ma, F2=mg-ma, F的减少为ΔF=F-F2=ma, 所以, 应选 (B) 、 (D) .

本模型的特点:物体 (或系统) 有竖直向上的加速度a时, 物体处于超重状态, 对水平支持物的压力增加, 增加量为ma;物体 (或系统) 有竖直向下的加速度a时, 物体处于失重状态, 对水平支持物的压力减少, 减少量为ma.

类比题:如图6所示, 质量为m的物块, 从质量为M、倾角为θ的光滑斜面顶端由静止开始下滑, 物块下滑过程中, 斜面静止.关于该过程下列说法正确的是 ( )

(A) 两者组成的系统处于平衡状态, 地面的支持力大小为F= (M+m) g.

(B) 两者组成的系统处于超重状态, 地面支持力大小为F= (M+m) g+mgsinθ

(D) 两者组成的系统处于失重状态, 地面的支持力大小为F= (M+m) g-mgsin2θ

解析:本题可以与例3形成完美的类比, 不过本题的研究对象为物块和斜面组成的系统.系统竖直方向受向下的重力Mg和mg, 及地面向上的支持力F, 如图6所示.因斜面静止, 物块加速下滑, 所以选项 (A) 错误.系统中物块的加速度为a=gsinθ, a的竖直分量为

aY=gsin2θ ①

方向向下, 所以系统处于失重状态.对于系统, 在竖直方向使用牛顿第二定律

(M+m) g-F=maY ②

由①②得F= (M+m) g-mgsin2θ.所以, 本题正确答案为 (D) .

四、力按质量关系分配的模型

例4 如图7所示, 水平地面上有质量分别为M、m的两个物块, 在水平力F作用下做加速运动, 两个物块与地面间的动摩擦因数相同, 用F′表示M和m间的作用力, 下列说法正确的是 ( )

(A) 若接触面光滑, 则F′=F

(B) 若接触面光滑, 则 $F^{'} = F \frac{m}{Μ + m}$

(D) 若接触面粗糙, 则 $F^{'} = F \frac{m}{Μ + m}$

解:若接触面光滑, 对M和m: $a = \frac{F}{Μ + m}$ ;对m: $F^{'} = m a = F \frac{m}{Μ + m} .$

若接触面粗糙, 对M和m: $a = \frac{F - μ (Μ + m) g}{Μ + m}$ ;对m:F′-μmg=ma, 把a代入, 得 $F^{'} = μ m g + m a = F \frac{m}{Μ + m}$ .所以选项 (B) 、 (D) 正确.

本模型的特点:几个物体组成的系统在一个与运动方向同向的动力作用下运动, 系统内两部分之间的作用力, 只与两部分的质量关系有关;与接触面光滑还是粗糙无关 (各物体与接触面间的动摩擦因数须相同) ;与系统在水平地面上还是斜面上运动无关.

类比题:如图8所示, 倾角为θ的斜面上, 质量分别为M、m的两个物块在平行于斜面的力F作用下沿斜面向上做加速运动, 两个物块与斜面间的动摩擦因数相同, 用F′表示M和m间的作用力, 下列说法正确的是 ( )

(A) 若斜面光滑, 则F′=F

(B) 若斜面光滑, 则 $F^{'} = F \frac{m}{Μ + m}$

(D) 若斜面粗糙, 则 $F^{'} = F \frac{m}{Μ + m}$

解:若斜面是光滑的;对M和m: $a = \frac{F - (Μ + m) g s i n θ}{Μ + m}$ ;对m:F′-mgsinθ=ma, 由以上两式得 $F^{'} = F \frac{m}{Μ + m}$

若斜面是粗糙的, 对M和m :

$a = \frac{F - (Μ + m) g s i n θ - μ (Μ + m) g c o s θ}{Μ + m}$ ;对m:F′-mgsinθ-μmgcosθ=ma, 由以上两式, 得 $F^{'} = F \frac{m}{Μ + m}$ .所以选项 (B) 、 (D) 正确.

HIV传播的人群生态动力学模型第2篇

研究了HIV传播的动力学模型,描述了流行性传染病区域的.人群传播规律,特别是利用摄动理论对艾滋病的传播动力学非线性方程作了定量、定性的讨论.

作者：莫嘉琪 MO Jia-Qi 作者单位：安徽师范大学,芜湖,241000;上海高校计算科学E-研究院,SJTU研究所,上海,40 刊名：生态学报 ISTIC PKU英文刊名：ACTA ECOLOGICA SINICA 年，卷(期)： 26(1) 分类号：Q141 关键词：HIV传播艾滋病非线性摄动

莲藕片热风干燥特性及动力学模型第3篇

关键词：莲藕；热风；干燥特性；动力学模型

中图分类号： TS255.36文献标志码： A文章编号：1002-1302（2015）01-0247-04

收稿日期：2014-03-21

基金项目：江苏省农业科技自主创新资金[编号：CX（13）3082]。

作者简介：江宁（1983—），男，江苏南京人，硕士，助研，从事农产品精深加工研究。Tel：（025）84391570；E-mail：jn19831109@163.com。

通信作者：刘春泉，硕士，研究员，从事农产品精深加工及产业化开发研究。Tel：（025）84390188；E-mail：liuchunquan2009@163.com。莲藕（Nelumbo nucifera Gaertn），别称荷藕、莲菜等，为睡莲科莲属多年生大型宿根水生草本植物[1]，原产中国和印度，历史悠久，种质资源丰富，以肥嫩根状茎供食用，是我国极重要的水生蔬菜。莲藕含有淀粉、膳食纤维、氨基酸、维生素等多种营养成分，营养丰富，同时又含有少量生物碱、黄酮类、鞣质等功能性成分，具有清热凉血、生津止渴、健脾开胃等药用价值，广受消费者喜爱[2-3]。莲藕采收后，易氧化褐变、失水干缩以及腐烂变质，不耐贮运，干制可有效延长其贮藏期限，且便于运输。

我国每年有大量的脱水藕片出口日本、韩国、新加坡、菲律宾、美国等国家，而脱水藕片所采用的干燥技术即为热风干燥。热风干燥技术操作简便、成本低廉，国内外的研究报道也较多，段振华等建立了罗非鱼片热风干燥水分比与干燥时间关系的数学模型[4]；诸爱士等分析了瓠瓜的热风干燥特性，并在此基础上建立其干燥动力学模型[5]；刘坤等研究了红枣的热风干燥特性，并建立了薄层干燥数学模型[6]；Kaleta等对苹果的热风干燥特性进行了研究，并建立了相应的干燥模型[7]；Doymaz建立了猕猴桃热风干燥数学模型，并研究其有效扩散系数[8]；Kaleemullah等研究了红辣椒的薄层热风干燥模型，并计算了有效扩散系数[9]。

本试验研究了热风干燥对莲藕片干燥特性的影响，并建立了莲藕片热风干燥动力学模型，用以描述莲藕片热风干燥过程中的水分变化，以期为莲藕热风干燥工艺的研究和生产控制提供理论依据。

1材料与方法

1.1试验材料

“美人红”莲藕：于2012年5月由江苏省扬州市宝应县天禾食品有限公司特供。莲藕肉质肥嫩，色泽洁白，无明显机械伤。

1.2仪器与设备

DHG-9073B5-Ⅲ型电热恒温鼓风干燥箱（上海新苗医疗器械制造有限公司）；FA2104电子分析天平（北京赛多利斯科学仪器公司）。

1.3试验方法

1.3.1原料预处理将莲藕洗净、去皮后，用不锈钢刀切分成5～6 mm厚的薄片，立即浸于0.2%柠檬酸和1%氯化钠组成的护色剂中护色，0.5 h后取出，于沸水中烫漂3 min，流动水冷却至常温后，置于2%的麦芽糊精溶液中浸渍1 h，取出沥干，置于-18 ℃左右的冰箱中，冻藏备用。

1.3.2热风干燥打开鼓风干燥箱，将试验温度分别调至50、60、70 ℃，待温度稳定10 min后，将解冻后的莲藕片50、100、200 g均匀铺成薄层，放入干燥箱内。干燥开始一段时间内莲藕片水分变化较大，在0～1 h，每隔10 min测定1次水分含量；1～2 h，每隔20 min测定1次水分含量；2 h之后水分变化量较小，每隔30 min测定1次水分含量。换算为干基含水率，直到干基含水率≤13%为止。

1.4薄层干燥数学模型

果蔬干燥常用的薄层干燥数学模型如表1所示。

表1应用于干燥曲线的薄层干燥数学模型

模型名称方程表达式线型表达式指数模型MR=exp（-kt）ln（MR）=-kt单项扩散模型MR=Aexp（-kt）ln（MR）=lnA-ktPage 方程MR=exp（-ktN）ln[-ln（MR）]=lnk+Nlnt注：水分比MR=（Mt-Me）/（M0-Me）；t表示干燥时间，min；Mt表示t时刻物料含水率（干基），%；Me表示平衡含水率（干基），%；M0表示初始含水率（干基），%；A、k、N表示待定系数。

由于平衡含湿量Me资料很少，并且相对于Mt和M0较小，因此把上述的水分比MR简化为MR=Mt/M0。

1.5试验指标计算

1.5.1水分含量采用GB 5009.3—2010食品中水分的测定方法[10]，各时期水分含量通过定时取样、迅速称重后烘干，并计算湿基和干基含水率。湿基含水率（%）=（mt-ms）/mt×100%；干基含水率（%）=（mt-ms）/ms×100%。式中：mt表示物料t时刻对应的质量，g；ms表示绝干物料质量，g。

1.5.2干燥速率干燥速率（g/min）=Δm/Δt，式中：Δm表示失水质量，g；Δt表示相邻2次测量的时间间隔，min。

1.5.3有效扩散系数扩散系数反映物料在一定干燥条件下的脱水能力，因为降速干燥过程受内部扩散的控制，所以物料的内部水分扩散系数是果蔬干燥过程数学模型中的主要参数。Fick扩散方程经常用来描述生物产品降速阶段的干燥特性。本试验采用下式计算莲藕片的有效扩散系数。

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ln（MR）=ln8π2-π2Defft4L2；

斜率=-π2Deff4L2。

式中：Deff是有效扩散系数，m2/s；L为物料层厚度的一半，m。

1.6统计分析

采用SPSS 20.0分析软件对表1中各干燥方程的参数进行线性回归分析，显著性水平为P≤0.05。

2结果与分析

2.1莲藕片薄层热风干燥特性分析

2.1.1装载量对莲藕片热风干燥特性的影响由图1可知，在热风温度恒定在60 ℃的条件下，随着装载量的降低，干燥时间缩短。在装载量为50 g时，干燥180 min，莲藕片水分含量就已经降到13%（干基）以下；而装载量为200 g时，水分含量降到13%以下，需要干燥300 min以上。这可能是由于装载量越低，单位质量水分所吸收的热能越高，汽化所需时间缩短，达到目标含水率所需的时间也随之缩短。

由图2可以看出，热风温度设定为60 ℃，在装载量为200 g时，莲藕片的热风干燥过程分为加速、恒速、降速3个阶段，基本符合传统的干燥速率曲线变化规律，但加速阶段与恒速阶段均较短，干燥的大部分时间在恒速阶段；装载量为50 g和100 g时，莲藕片的热风干燥过程只分为加速和降速2个阶段。装载量越高，相同干基含水率所对应的干燥速率越大。

2.1.2干燥温度对莲藕片热风干燥特性的影响由图3可知，在装载量为100 g时，热风温度越高，干燥相同时间物料的含水率就越低。当热风温度为70 ℃时，干基含水率降至13%以下需150 min，而当热风温度为50 ℃时，则需300 min以上。这是由于热风温度越高，传热动力越大，蒸发速率快，要达到一定含水率所需的时间就越短。

由图4可以看出，当装载量为100 g时，在热风温度50、60、70 ℃的条件下，莲藕片的干燥过程在升速阶段后均不经恒速阶段直接进入降速阶段。热风温度越高，相同干基含水率所对应干燥速率越大。这与张建军等对不同热风温度下辣椒的干燥特性进行研究后所得结论[11]一致。

2.2莲藕片热风干燥动力学

2.2.1莲藕片热风干燥模型的选择根据干燥特性试验数据，分别绘制不同装载量和热风温度下的-ln（MR）-t曲线和ln[-ln（MR）]-lnt曲线，如图5至图8所示。从图5和图7中明显可以看出，-ln（MR）与t呈非线性，从图6和图8中可以看出，ln[-ln（MR）]与lnt呈线性，由此可见莲藕片的热风干燥动力学模型满足Page方程，可以选择 Page 模型作为莲藕片热风干燥的动力学模型。

2.2.2莲藕片热风干燥方程拟合采用SPSS 20.0分析软件对不同装载量和热风温度下对应的ln[-ln（MR）]与lnt值进行一元线性回归分析，得出干燥常数lnk和N值，相关系数R均在0.95以上，表明方程与实际操作参数拟合度良好。令：

lnk=a+bX1+cX2；

N=d+eX1+fX2。

式中：X1表示装载量，g；X2表示热风温度，℃；a、b、c、d、e、f表示待定系数。

利用SPSS 20.0软件对试验数据进行多元线性回归拟合，求得方程各待定系数，即可得出lnk和N的回归方程为：

lnk=-3.969-0.0041 8X1+0.019 3X2；

N=0.764-0.000 126X1+0.002 55X2。

2个方程的P值分别为0.001和0.000，均小于0.05，故可认为干燥lnk和N与变量装载量及热风温度的线性关系成立。因此，莲藕片热风干燥方程为MR=exp（-ktN），式中，k=exp（-3.969-0.0041 8X1+0.019 3X2），N=0.764-0000 126X1+0.0025 5X2。

2.2.3莲藕片热风干燥模型方程验证为进一步验证莲藕片热风干燥动力学模型的准确性，选取试验中的1组数据进行验证。试验条件为：热风温度70 ℃，装载量200 g。将该组试验值与模型的预测值进行比较，结果见图9。从图9可以看出，Page方程预测曲线与实际值拟合良好，表明Page方程能较准确地描述莲藕片热风干燥过程。

2.3莲藕片热风干燥条件下的有效扩散系数

在不同的热风干燥条件下所得的-ln（MR）-t的关系图中，采用Excel软件对干燥曲线添加线性趋势线，从趋势线方程中即可读出其斜率。由下式：

斜率=π2Deff4L2

即可求出不同干燥条件下莲藕片的有效扩散系数Deff值（表2）。

表2热风干燥条件下莲藕片有效扩散系数值的比较

装载量

（g）热风温度

（℃）扩散系数Deff

（×10-7 m2/s）50501.90550602.34150703.516100501.297100601.915100702.766200500.831200601.287200701.712

由公式计算得出莲藕片分别在装载量50、100、200 g，热风温度50、60、70 ℃的条件下的有效扩散系数Deff值，如表2所示。莲藕片热风干燥条件下的扩散系数大约在0.831×10-7 ～3.516×10-7 m2/s的范围内。由表2可以看出，随着装载量的降低和热风温度的升高，有效扩散系数增大。这可能是由于装载量越低，鼓风干燥箱体中水分含量越低，单位水分含量吸取的热能升高，从而增加了传质推动力，扩散速率加快[9]；而温度升高，物料内部水分子运动加剧，扩散速率随之加快[12]。由干燥速率曲线图可以看出，莲藕片的热风干燥过程几乎不存在恒速干燥阶段，而在降速干燥阶段，莲藕片表面的水分汽化速率高于内部的水分扩散速率，故干燥速率下降，这说明内部水分扩散为干燥速率的主要控制因素[13]。果蔬的有效扩散系数大小不仅与果蔬本身的组织结构、品种、形状有关，也与干燥方式及其操作条件联系紧密。孟岳成等计算得到了不同热风温度、风速及物料厚度条件下熟化红薯的有效扩散系数，研究表明：随热风温度、风速和红薯厚度的增大，有效扩散系数增大，其范围在5.18×10-10 ～ 2.11×10-9 m2/s之间[14]；Simal等发现热风干燥猕猴桃时，随着温度的升高，物料的有效扩散系数增大，热风温度由30 ℃增加到90 ℃时，猕猴桃的有效扩散系数值由3.0×10-10 m2/s增加到17.2×10-10 m2/s[15]；Doymaz等得出玉米粒在55～75 ℃热风范围内有效扩散系数值为9.488×10-11～2.716×10-10 m2/s[16]；胡庆国在不同的热风温度和风速条件下，得到毛豆的有效扩散系数在0.703×10-9～1.299×10-9 m2/s范围内[17]。本试验中莲藕片的有效扩散系数明显大于上述各例，这可能是由于莲藕片经冷藏、解冻后内部多孔，结构疏松，有利于水分扩散。

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3结论

（1）莲藕片热风干燥过程在升速阶段后不经恒速阶段直接进入降速阶段。

（2）莲藕片热风干燥过程符合Page模型，模型方程为MR=exp（-ktN），其中，k=exp（-3.969-0.004 18X1+0019 3X2），N=0.764-0.000 126X1+0.002 55X2；R值均大于0.95，P值均小于0.05，说明拟合显著。经验证，模型的预测值与试验值拟合良好。

（3）莲藕片热风干燥条件下的有效扩散系数随装载量的降低和热风温度的升高而增大，范围在0.831×10-7 ～3.516×10-7 m2/s之间。

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旅行社效益的动力学模型第4篇

西安是我国的旅游强市,遍布于西安的旅行社多达400多家,由于现阶段金融危机的冲击,使得旅游业略显萧条。考虑到旅游业最主要是旅行社与游客之间的关系,因此,本文依据Lotka-Volterra模型,建立起他们之间的动力学模型。通过定性的分析,得到一些有益的结论,并为当前环境中的旅游业提出建议。

假设x(t)为商家综合收益函数,它包含旅社、交通、住宿、食品、景点各部门的综合收益。x(t)有上界M,下界O(>0);y(t)为游客综合评价函数,y(t)∈[0,1]。

那么,描述该链综合效果发展变化的模型如下:

其中,α,M,β,n,γ,δ,m均为常数(n<1,m<M)。对模型(1)的实际意义解释如下:

第一个方程中,综合效益的增减主要取决于游客的评价底线n,y=n说明评价为不好也不坏,y>n说明评价好,y<n说明评价坏,而增减系数为β。,项来自Logistic模型,即:x是自增长的,有上限M,且x越靠近M,增长越平缓,增长系数为α。

第二个方程中,游客评价的增减与商家的最低收益值m有关,x>m时,商家收益增长,游客给予好评;x<m时,商家收益减少,同时游客给予的评价在下降,增减系数为γ。γy(1-y)项同样来自Logistic模型,即:y是自增长的,有上限1,且越接近1,y的增长越平缓,增长系数为δ。

2 模型定性分析

定义1、定常状态或定态(不动点,休止点或者均衡)[1]

A1(0,0),A2(0,1),A3(M,0),A4(M,1),A5(m,n)。

接下来需要考虑奇点(定态)的稳定性与奇点的种类。[2]

2.1 奇点A1的种类与稳定性

若:(1)点(0,0)的邻域内,X,Y有连续一阶偏导数;(2)X=o(γ),Y=o(γ),。那么,如果o是对应线性系统的焦点结点或鞍点,则其也是原非线性系统的同类型奇点。(证明见[2],109-110)

定理2 A1(0,0)为系统(1)的稳定的正规(临界)结点。

有:p=αβn+γδm>0,q=αβγδmn>0,p2-4q=(αβn-γδm)2叟0。所以,A1(0,0)为系统(1)的稳定正规(临界)结点。当αβn=γδm时,为临界结点;当αβn<γδm时,轨线切x軃轴进入奇点;当αβn>γδm时,轨线切y軃轴进入奇点。

2.2 奇点A2的种类与稳定性

这时,原系统中的A2(0,1)变为系统(2)中的奇点A2(0,0)。

定理3 A2(0,1)为系统(1)中的不稳定的正规(临界)结点。

所以,当αβ(1-n)=γmδ时,A2(0,1)为系统(1)的稳定的临界结点;当αβ(1-n)>γmδ时,轨线切x軃轴离开奇点A2,当αβ(1-n)<γmδ时,轨线切y軃轴离开奇点A2,A2为系统(1)的不稳定的正规结点。

2.3 奇点A3的种类与稳定性

这时,系统(1)奇点A3变为系统(3)的奇点A3′(0,0)。

定理4 A3(M,0)为系统(1)的不稳定正结点。

证明:(略)同定理3。

当Mαβn>γδ(M-m)时,轨线切x軃轴离开奇点;

当Mαβn<γδ(M-m)时,轨线切y軃轴离开奇点。

2.4 奇点A4的种类与稳定性

这时,系统(1)的奇点变为系统(4)的奇点A4′(0,0)。

定理5 A4(M,1)是系统(1)的稳定结点。

证明:同定理2,略。

当αβM(1-n)<γδ(M-m)时,轨线切轴离开奇点;

当αβM(1-n)<γδ(M-m)时,轨线切轴离开奇点。

2.5 奇点A5的种类与稳定性

则(1)中A5(m,n)变为(5)中A5′(0,0)。

定理5 A5为系统(1)的鞍点。

3 结论

通过上面的分析,在相平上区域Ω中,Ω={(x,y)|x∈[0,M],y∈[0,1]}。

画出下图:

上图将Ω分为两个区域Ω1(灰色)与Ω2(其余)。Ω1为发展区域,Ω2为崩溃区域。

如果商家能够降低自身的收益底线,或者游客降低自身的评价分界线,那么,发展区域Ω1会扩大,同时崩溃区域Ω2会缩减(图2)。当m,n→0时,会出现全域发展的大好局面(图3)。

摘要：本文通过考虑与旅行与游客之间的关系,分析了它们之间的动力学行为,并依据Lotka-Volterra模型建立两者之间的动力学模型。其次依据常微分方程有关理论,得出“商家能够降低自身的收益底线,或者游客降低自身的评价分界线”,会达到旅行社与游客双赢的结论。最后依据解空间的相图,来直观说明结论。

关键词：旅行社效益,Lotka-Volterra模型,奇点的稳定性

参考文献

[1]叶产谦.常微分方程讲义.高教,1985,2.

[2]马知恩,周义仓.常微分方程定性与稳定性方法[M].科学出版社,2005,8.

[3]Hsu SB,Huang TW,Global stability for a class of predator-prey systems,[J].SIAM J.Appl.Math.,55(1995):763-83.

[4]Y.Song,S.Yuan and J.Zhang,Bifurcation analysis in the delayed Leslie-Gower predator-prey system,[J].Appl.Math.Modelling,(2009).

动力学模型第5篇

用于动力学模拟的STI轮胎模型分析

介绍了用于汽车驾驶模拟器动力学模拟的STI(Systems Technologies Inc)轮胎半经验模型,建立了该轮胎模型的`复合滑移率、横向刚度和纵向刚度以及横向力和纵向力的计算方程,并利用VC++6.0编程计算得到的理论值与实验值对比,对该模型进行了分析和验证.分析结果表明,该轮胎模型用于车辆动力学模拟时有较好的精度.

作者：潘开扬陆有江 PAN Kaiyang LU Youjiang 作者单位：长安大学汽车学院刊名：汽车工程师英文刊名：TIANJIN AUTO 年，卷(期)： “”(2) 分类号：U4 关键词：轮胎模型动力学模拟分析

动力学模型第6篇

【关键词】冲浪动力学；圆滚线；实时反馈

前言

国际帆联（ISAF）2012年年中会议于意大利Stresa举行，会议确定了2012年巴西里约热内卢奥运会航海比赛项目。国际帆联理事会投票决定，风筝冲浪（kiteboarding）将取代帆板（windsurfing）成为奥运会男女板类航海比赛项目[1]。所以目前研究冲浪实时反馈系统，利用科学研究所获得数据和参数，实时地指导运动员进行训练，能够达到更好地提高运动员技战术水平，实现为国争光的目的。

本文从理论角度来论述冲浪的动力学模型，并针对其中存在的摩擦阻力问题展开讨论，而实验环节选取两名现役的冲浪运动员，采用二维摄像机拍摄，利用图像分析软件，针对实时测试数据，现场纠正技术动作，提出在今后日常训练中需要加强的训练建议，达到实时反馈纠正的目的。

一、冲浪运动的动力学模型

由牛顿第二定律及圆周运动的特点，能够得到冲浪远动的动力学模型。

从附录A中圆滚线运动方程的推导，可以得到冲浪运动具有等时性，其物理含义有两点：首先，在竖直平面内，从圆滚线的顶点A运动到圆滚线最低点0时，人和滑具组成的滑块在所有的连接线上运动时，时间0T是最短的。证明如附录B中所示。然后在同一水平线上A、B两点，经过0点时，不管用哪种线相连，最省时的是圆滚线。

由此可见在进行冲浪运动和滑板运动时，我们要尽量选择圆滚线上运动。只有圆滚线在完成相同的路程所花的时间最少。这就需要运动员和教练员在训练和练习时掌握冲浪运动中的等时性的这一特点，为运动中取得优异成绩作出科学的决断。但是自然界存在大量地摩擦阻力，需要对其进行讨论。

二、冲浪运动中存在摩擦阻力的讨论

由于摩擦阻力的存在，上述动力学方程变化为：

三、实验分析

1.研究对象

选取2名XX省省队的优秀男子冲浪运动员为研究对象，受试者的年龄范围19土4岁，身高范围为163士3 cm，体重范围为48士3 kg。

2.仪器放置

将SONY1080高速摄像机垂直放置在海上冲浪起点400 m处内侧距离30 m处，摄像机拍摄频率为250 Hz，曝光时间为1/1000 s，摄像机三角架高度定为1.5 m。运动员依次进人镜头，在所获得的录像中选取至少有两个完整复步的录像进行解析，收集数据进行分析。

3.研究方法

在训练系统设计的过程中，建立训练的衡量标准并对运动员的训练进行评价是必不可少的，我们使用索尼公司所研制的高速二维摄像机，对于海上训练的运动员，获取在冲浪时实时水平速度和垂直速度，从而得到圆滚线上运动距离计算方法，以得到参照标准。

而为了提高运动员的技战术水平，将分析所得的参数参照标准实时反馈给运动员，指导其做出及时地改进，这就需要建立一种方便有效的实时反馈方法。在冲浪项目中，因为运动员位置的不确定性，所以实时反馈不可能采用有线连接的方式，必须利用无线技术来实现，并要保证反馈信息传输的及时性、稳定性、通讯距离，这样才能实现真正有效的反馈。

同时实时仿真平台也是必要的。ZX2011系列三维仿真测试平台中安装有四只三维力传感器，可以测量作用于台面上的空间三维力（Fx，Fy，Fz）的动、静态信息，根据计算机三维模型成像技术，经过预测分析，可得到我们所需的数据。我们以X轴为水平方向，Y轴为垂直方向，Z轴为高度方向，其实验的具体过程如下：

首先，采用高速二维摄像机，获得运动在海上训练的实时影像数据；

然后，通过无线传输设备将数据实时传送给ZX2011系列三维仿真测试平台，获取实时的三维方向受力的大小；

接着，利用计算机辅助分析软件，融合各种数据，模拟人体行为，判断该运动员现在是否处于正常状态中，同时预测在当前状态下，运动员将会面临的问题；

最后，根据当前和预测的状态，系统提出建议，实时的反馈给该运动员，及时调整动作。同时根据运动员习惯性的反应，判断该运动员不良姿势和动作，及时提出改进意见。

4.研究结果

（一）冲浪角度及相关指标

本文针对冲浪角度的研究选取的指标有最大滑板夹角、风筝夹角和相对扭度等。从图1和2中可以看出：运动员2的最大滑板夹角最大而运动员1小于30度。运动员1的风筝夹角大于30度而运动员2几乎为0。运动员1的相对扭度为0.330而运动员2没有明显的差别。

（二）冲浪速度及相关指标

速度指标包括最大速度、最小速度、平均速度和速度损失率。平均速度表示运动员在一个复步中的平均水平速度，速度损失率为一个复步中的最高速度与最低速度的差值占平均速度的百分数。在表1中可以看出：运动员的最大速度和最小速度的差值较大，从而导致运动员普遍出现速度损失率较大的现象，尤其是运动员2速度损失率最为严重为48.66%。

（三）身体位移及相关指标

身体位移指标包括水平位移、垂直位移和上下位移。他们分别表示单位时间内身体重心在水平、垂直和上下方向的位移。在表2中我们可以发现：运动员2各项位移较大，而运动员1没有明显的差异。

可见，我们利用ZX2011系列三维仿真测试平台，与高速摄影分析结果进行了对比分析，对比结果证明数字冲浪系统的分析数据准确、反馈实时性很好，且安装的工艺符合冲浪运动的要求。该系统并能够为指导运动员科学有效的训练提供参照，有利于运动员之间互相对比学习，从而更快地提高自己的技战术水平。

四、结论

本文研究了冲浪运动中动力学模型的特征，即在光滑或者近似光滑的圆滚线上的滑板，在竖直平面内，同一水平线上经过最低点的任意两点的所有可能的光滑理解线中，物体无初速度滑行时，所需时间最短的曲线是圆滚线（最速降线）。针对于这个动力学模型，我们进行了海上冲浪运动在运动中如何选择路线的探讨，无疑地我们应选择物体的滚线上的运动，这是最佳路线。本文还讨论了一般情况下（即具有摩擦情况下）物体在圆滚线上的运动，这对目前流行冲浪运动如何选择自己行进中的曲线具有一定地指导意义。

但限于本人的能力及对人体的了解程度，整个数字冲浪系统在实际应用中尚存在问题，需要作出进一步改进，以便更好的为冲浪运动队服务，主要问题如下：1）数据采集算法需作改进，目前的方法满足现阶段使用要求，但在数据采集的速度方面还需进一步提高，以满足后续更高的使用要求，在数据传输方面也要设计更加有效的数据打包及数据校验方式，这对系统的传输总线方式及算法也提出了更高的要求。2）对动力学信息要进行更深层次的分析、挖掘，现今仅采用部分或者不完全的运动参数，而如何使用更多的或者完整的运动参数，尚未有十分行之有效的方法。3）设计更完善的专家系统及实时反馈方式，保证实时反馈的及时性、准确性、完善性，使运动员有更好的运动参考标准，在运动过程中可根据实时分析数据作出相应的及时改进。

【参考文献】

[1]http：//sports.cn.yahoo.com/ypen/20120510/1038019.html2013-06-05

[2]樊映川.高等数学讲义：上册[M].北京：人民教育出版社，1978：417

[3]四川矿业学院数学教研组增订.数学手册[M].北京：科学出版社，1978：134、181、250

[4]欧阳光中，朱学炎，秦曾复.数学分析上册[M]上海：上海科技出版社，1981：298-300

[5]李传兵，黄达武，中国风筝冲浪运动发展势态分析[J]，体育科学研

究，2012，16（6）：38-41

[6]刘宏玉，冲浪运动研究[J].体育文化导刊，2015（2）：52-55

深圳市梅毒传播系统动力学模型第7篇

1 系统动力学原理和模型特点

所谓系统动力学,就是对整体运作本质的思考方式,把结构的方法、功能的方法和历史的方法融为一个整体,其目的在于提升人类组织的“群体智力”。系统动力学与混沌理论和复杂性科学所探讨的内容相同,也是研究社会系统动态行为的计算机仿真方法。

2 系统边界确定

本文使用的建模软件是系统动力学的专用软件Vensim-PLE,模型运行时间为2004~2015年,仿真步长为1年。主要的数据来源于文献报导和调查的行为学数据。模型的边界,本组设定为深圳市15~50岁女性人群和15~64岁的男性人群,边界外的影响因素视为输入变量,使边界内部构成完整的系统。根据数据的可获得性,并且依据性行为关系的模式,将深圳市15~55岁女性人群和15~64岁的男性人群分为女性性服务工作者(female sex workers,FSWs)人群、多性伴男性人群、多性伴女性人群(FSW人群除外)、固定性伴男性人群及固定性伴女性人群等5个子系统,还选择了深圳市15~49岁女性人群和15~64岁的男性人群总人口作为动力学模型的一个子系统。

3 变量和参数设置

系统动力学中主要变量包括有状态变量、速率变量、辅助变量和常量。在本研究中,根据研究需要和实际调查,对各个人群的定义如下:

FSWs:指女性性工作者,即卖淫女性。本研究中FSWs年龄设定为15~29岁。

固定性伴关系:指婚姻关系或同居关系。

多性伴男性:是指在同期有一个固定性伴和一个非固定性伴或有多个(≥2)非固定性伴的男性(其中包括嫖客)。

多性伴女性:是指在同期有一个固定性伴和一个非固定性伴或有多个(≥2)非固定性伴的女性(不包括FSWs)。

本文选取了表征各子系统的7个状态变量,分别是15~64岁男性人口数、15~49岁女性人口数、FSWs感染者、多性伴男性感染者、多性伴女性感染者、固定性伴男性感染者及固定性伴女性感染者。

其他主要变量说明和设定:

多性伴男性比例:指15~64岁有性活动的男性人口中多性伴的比率。根据文献,国外在2005年的家庭调查中,年龄15~59岁的未婚男子有过性经验的人群中目前超过一个性伴的比例为12%~18%,而相应的未婚妇女的比例则介于1%和3%[1,2]。然而,这些调查可能低估了多性伴的比例,因为作为个人在面对面的调查中,往往隐瞒多性伴的行为[3,4]。由于我们并没有区分已婚和未婚人群,所以我们设定多性伴男性的比例为45%。

每人每年性人次数:指FSW人群与多性伴男性人群每年平均性接触人次数。根据文献[5,6],本组设定为180人次。

4 编写方程和系统程序

首先,应考虑传播概率的问题。根据相关文献,本组按照每次性行为的传染概率进行估计[7,8,9,10]。具体计算方法如下:

这里,β表示人群感染的平均概率,βa是表示每次无保护性行为传染的概率,本文中为30%。n表示平均每人每年的无保护性行为次数。

n=平均每人每年的性行为次数×(1-平均的安全套使用率)。

在VNESIM软件中进行程序编写,这里仅列出了部分重要的方程。其中,对与非线性关系可使用表函数来表示。下面是一些主要的方程。

减少量=FSWs感染者×就诊率×就诊率+FSWs感染者×转移流出率;

增加量=(FSW数-FSWs感染者)×[(1-EXP(每人每年的性人次数×(1-安全套使用率)×LN(1-每次无保护行为传播概率)×多性伴男性感染率]。

5 模型有效性检验和预测

系统动力学模型构建后,模型是否适用于建模目标,在进行系统仿真或政策分析之前,需要对模型的正确性与适用性进行有效性检验。本文中采用历史检验的方法,确定本文检验年份为2004~2009年,检验变量为报告发病数。

通过表1中相对误差的分析可知,模型的仿真模拟值与历史值的误差的绝对值不超过5%,说明运行结果与实际数据高度拟合,由此建立的深圳市梅毒传播的系统动力学模型能有效代表实际系统,可以进行模拟预测和政策分析。

然后,本组利用该模型对深圳市2010~2015年的各个人群的报告发病数和实际发病数进行预测,结果见表2。通过预测,为防治政策总预算提供了重要的依据。

注:实际报告发病数中已经排除了MSM,静脉吸毒的感染者和先天梅毒感染者

注:本研究中的全人群指深圳市15~50岁女性人群和15~64岁的男性人群

6 结论和讨论

本文中建立的梅毒传播的系统动力学模型,主要考虑梅毒的核心传播人群——FSW人群和桥梁人群——多性伴人群,并且考虑了安全套使用、健康干预、筛查和人口经济学因素,以及其他防治政策和治疗等各个因素对疾病传播的影响,试图尽量真实地反应深圳市梅毒传播的现状,减少模型的结构不确定性,并且模型中的很多参数,是笔者通过调查或从深圳本地文献获得。本研究对模型进行历史检验时,误差均在5%以内,说明了该模型是可以用来预测深圳市梅毒的传播特征的。

球头铣刀动力学模型的仿真算法分析第8篇

球头铣刀的动力学模型被假设为在二维坐标系X, Y下的二个自由度的振动模型, 进给方向延着X轴。铣刀的N个齿被假设为等距, 当第j齿切削位置时, 将参与切削的切削刃上的切削力累加后, 在X与Y方向上总球头铣刀的动态铣削力表达式如下:

第j齿的转角位移为:

R0为球头刀最大半径;φ为螺旋滞后角。

由方程式1-3可以看到, 由于球头铣刀铣具有2个以上刀齿, 对及切削厚度的再生效应, 两个方程均为二阶常系数非齐次线性微分方程, 这类非齐次线性微分方程的解析基本无法实现, 由20世纪80年代以来开始的计算机技术, 用计算机的数值计算进行仿真的方法越来越多地被应用到复杂的模型当中, 即用仿真算法将原始的数学模型转换成计算机上能运行的仿真模型, 用仿真算法求解这类常系数非齐次线性微分方程, 从而对球头铣刀的动力学特性进行仿真。

1 球头铣刀动力学模型常见的计算机仿真算法

通常求解常微分方程初值问题的数值方法可分为两类:

单步法:计算第i个点处的值时, 只用到第i-1个点处的数值信息;

多步法:计算第i个点处的值时, 要用到第i+1个点之前的多个网络点处的数值信息;

用数值方法求解常系数非齐微分次方程时, 现常用到的数值算法有:Simpson方法、Eluer方法、显式Runge-Kutta方法、Adams方法、基于数值积分的Eluer方法等[2]。

1.1 Euler方法

在一段两点构成的区间上, 任取一些节点, 将这些节点进行离散化, 离散化的方法采用数值微分, 即将常系数非齐微分次方程转化为差分方程, 算法简单, 把原来方程降阶为一阶的方程, 将节点处离散的解作为近似的解。此Euler方法在求解的过程中, 节点间的仿真步长较大时, 求解时仿真步数就会增加, 带来的误差将慢慢扩大。如果节点间的仿真步长较小时, 求解步数增加, 求解效率下降。求解过程中, 误差的产生与各离散点的计算值误差有关, 也与步长大小相关。此Euler方法在求解常系数非齐微分次方程时, 虽然简单, 但是精度只用一位数, 精度不高。

1.2 基于数值积分的Eluer方法

基于数值积分Eluer方法是将区间内的节点采用高阶数值积分来对节点进行离散化, 即将常系数非齐微分次方程转化为数值微分方程。基于数值积分的Eluer方法, 解决了步长对求解精度的影响, 只要节点步长适当, 方程的收敛性与求解精度都高于基于数值微分的Eluer方法, 但是如果节点步长不合适, 使求解时误差被放大, 仿真结果会失真, 计算失败, 它的精度是二位数。

1.3 Simpson方法

Simpson算法是近似计算定积分的方法, 由此导出常系数非齐微分次方程求解公式属于隐式求解, 多步算法, 也由此常系数非齐微分次方程的求解精度为四位, 不能再提高了, 但是方程求解的收敛性与稳定性都高于前两者 (基于数值微分的Eluer方法、基于数值积分的Eluer方法) , 可是求解时一直有较大误差。

1.4 显式Runge-Kutta方法

目前是一种应用很广的算法, 该方法是单步算法, 简单的理解是一阶Runge-Kutta方法是基于数值微分的Eluer方法, 二阶Runge-Kutta方法是基于数值积分的Eluer方法, 最经典的是四阶Runge-Kutta算法, 即对节点上的离散值进行线组合来代替求解高阶导数, 也就是用Taylor离散法建立的差分方程, 此方法在求解动力学方程时具有很好的收敛性与数值稳定性, 方法简练, 但是离散方法要求方程解具有良好的光滑性, 才能使近似解准确趋近, 如果没有好的光滑性, 那么数值解的精度也许只是一位数。此算法的缺点是每一步的计算工作量都较大, 四阶以上的Runge-Kutta算法较少被采用。从实际出发, 按所要求求解的精度选择合适的算法, 在采用显式Runge-Kutta方法时, 节点处离散解的误差大于迭代允许误差时, 步长减到一半, 再计算, 反复到离散点误差小于迭代允许误差值为止。反过来, 节点处离散解的误差小于迭代允许误差时, 步长增加, 再计算, 反复到离散点误差累加到迭代允许误差值为止。它的精度是四位的, 适合在计算机上进行迭代数值计算。当该方法在球头铣刀动力学系统微分方程时表现出了较好的收敛性及稳定性, 同时在求解过程中始终保持较小的计算误差。

1.5 Adams方法

Adams方法是多步方算法, 它是对节点处采用Lagrange型离散法来进行求解。方程求解的收敛性较好, 但是求解过程的稳定性低于Simpson方法和Runge-Kutta方法。因为此方法的初始值误差累积导致最终的误码差较大。

2 总结

由上可以看到Simpson方法、Eluer方法、显式Runge-Kutta方法、Adams方法、改进的Eluer方法的算法、精度、方程求解的收敛性及稳定性都不同, 通过分析与比较, 适合两自由度球头铣刀铣削加工动力学方程的算法为四阶显式Runge-Kutta方法, 求解过程中计算误差较小, 能更好进行动力学性能仿真。

摘要：因为球头铣刀动力学模型为常系数非齐次线性微分方程, 用数值方法对此方程进行近似计算求解, 对于节点处的离散方法不同, 算法 (Simpson方法、Eluer方法、Runge-Kutta方法等) 不同, 对于它们的精度、方程求解的收敛性及稳定性进行了分析与比较。本文对常见的几种计算机仿真算法进行了讨论, 对于球头铣刀动力学模型仿真算法的选择有一定参考意义。

关键词：球头铣刀,动力学模型,算法,精度

参考文献

[1]孙孟琴, 王立臣.球头铣刀动力学模型及其铣削加工稳定性的研究[J].机床与液压, 2012, 40 (9) :52-54.

基于进化动力学的企业创新模型研究第9篇

近年来,许多学者尝试利用生态系统中的种群间竞争分析经济系统中的企业竞争,得到了良好的结论。几乎所有这方面的论文都是利用生物数学中经典的Lot- ka-Volterra方程对企业行为进行分析,这些研究是富有成效的,但是既然企业间的竞争和合作都是动态的,那么从生物进化动力学的角度分析企业间竞争和合作将是非常贴合实际的。因此,下面我们尝试利用进化动力学的思想方法,构造企业创新动态演化发展模型,并对模型进行分析。希望我们的工作对于当前的研究有所补充。

假设A,B为某一种群的两个亚种,考虑到生态系统中总是存在最大容量,因此下面我们假设两个亚种总的数量保持不变。X1,X2为这两个亚种在某时刻的相对多度(即比例),那么必然有X1+X2=1。根据进化动力学理论,建立如下的选择动力学方程:

其中,a,b为两个亚种的适合度(即繁殖率), ф=a X1+b X2为两个亚种的平均适合度。显然A,B两个亚种的适合度决定了它们的未来:如果某亚种的适合度超出平均适合度,则该亚种的相对多度将持续增加,换句话说, 另外一个亚种可能面临被淘汰的命运;当满足一定的条件时,两个亚种也可能实现某种形式的稳定共存。

企业在面对激烈的市场竞争时,如果没有周期性的有计划的创新决策,就很难创造企业新的核心能力,就会使企业在激烈的市场竞争中处于被动的局面,就会使企业内部失去生存与发展的动力。但是,由于创新需要冲破原有的企业结构和思想观念,需要追加高额的风险投资成本, 因而许多企业会因为惰性而不愿意进行创新。于是,我们可以将市场上生产同一产品的企业视为同一种群的两个亚种,其中的一个亚种属于技术创新型企业,另一个亚种属于落后淘汰型企业。基于以上讨论,可以利用进化动力学对企业间的动态发展进行分析,从而可以建立如下企业创新动态演化模型。

二、模型和分析

1、晋级模型

假设在某一市场上生产同一产品的企业分为两类:一类为技术创新型企业,另一类为落后淘汰型的企业。考虑到技术革新性企业往往污染小、社会效益好,所以往往能够得到国家政策的支持;而那些落后淘汰型企业往往因为环境污染大、社会效益差,属于国家要求停产关闭的对象, 因此要保持生存,必然要求它们不断改进生产工艺,于是有一部分落后淘汰型企业会向技术创新型企业转变。考虑到市场存在最大的饱和量,因此我们总假设市场上生产该产品的企业数量保持不变,基于以上的考虑,我们得到如下的模型:

其中,X1为技术创新型企业的相对多度(即比例),X2为落后淘汰型企业的相对多度,且满足X1+X2=1;准为两类企业的平均适合度,ф=a X1+b X2;a为技术创新型企业的适合度,b为落后淘汰型企业的适合度,因为落后淘汰型企业的所需成本低,更易扩张,因此我们假设a<b;假设 μ 为落后淘汰型企业向技术创新型企业转变的系数,且称0<μ<1为创新系数。如果我们将淘汰落后型企业转变为技术创新型企业称作“晋级”,那么我们称系统(2)为企业晋级模型。

下面利用微分方程定性理论,求解系统(2)的平衡点。由ф=a X1+b X2及X1+X2=1,容易得到ф=a X1+b X2=b+(a-b)X1, 将其代入系统(2),并令

得到X1(a-ф)+μb X2=(1-X1)((a-b)X1+μb)=0,于是解得

对晋级模型进行分析可知:那么当满足条件是稳定正平衡点,此时那么当时,X*1=1是稳定正平衡点,此时X*2=0。

于是我们有如下定理。

定理1:当时,系统(2)存在唯一的稳定正平衡点(X*1,X*2),其中系统(2)存在唯一的稳定正平衡点(X*1=1,X*2=0)。

从前面的分析及定理1可以看出,在晋级模型(2)中创新系数μ是一个关键所在。从模型的分析可以看出,无论两类企业在初始状态下的相对多度是多少,只要两类企业适合度之比a/ b小于1-μ时,两类企业的相对多度X1和X2就会达到稳定的状态,即两类企业的比例保持稳定不变,各自的比例分别为。但是当创新系数足够大时(当),所有的落后淘汰型企业最后必将都转变成技术创新型企业。

同时,我们还可以看出,这说明,稳定状态下创新型企业的相对多度X*1是一个关于创新系数μ的增函数。在a,b保持不变的条件下,X*1将随着μ的增大而增大。换句话说,稳定状态下创新型企业在全部企业中所占的比例随着创新系数μ的增大而增大。这与企业生产活动的实际情况是一致的。

2、晋级—降级模型

晋级模型(2)刻画了落后淘汰型企业和技术创新型企业的动态竞争过程,但是此处暗含了技术创新型企业一直保持良好的技术创新状态。然而,从较长的周期来看,两类企业的状态应当是相对的、动态的。事实上,许多企业在企业生命周期的成熟期,整个企业处于惰性状态,缺少创新所需的内部条件,因此技术创新型企业也同样可能会转变成落后淘汰型企业。在实际观察中,我们也不乏这样的案例。所以,在建立模型时需要考虑这一因素,即我们需要考虑技术创新型企业和落后淘汰型企业相互转变的可能性。仿照之前的分析,我们称技术创新型企业转变为落后淘汰型企业的过程称为“降级”。

显然,技术创新型企业相对多度的变化率就应当等于落后淘汰型企业的晋级率减去技术创新型企业的降级率。因此,在对晋级模型(2)进行修正后,我们得到了如下的企业晋级—降级模型:

其中,μ1为技术创新型企业向落后淘汰型企业转变的系数,称0<μ1<1为落后系数;μ2为落后淘汰型企业向技术创新型企业转变的系数,即创新系数且满足0<μ2<1。其余变量和参数的意义均与系统(2)保持一致。

同样利用微分方程定性理论,求解系统(4)的平衡点。令

由ф=a X1+b X2及X1+X2=1,得到ф=a X1+b X2=b+(a-b)X1,代入方程(5),得(b-a)X21+(a-b-μ1a-μ2b)X1+μ2b=0,解得

因为(a(1-μ1)-b(1-μ2))2+4abμ1μ2>0恒成立,因此X*1有意义。考虑到当μ1=μ2=0时,并且此时X*1取得最小值,即X*1=1为X*1的最小值,这与实际生产不符合,因此舍去。即我们只考虑的情况。

对于企业晋级—降级模型(4),显然有

这说明X*1是稳定正平衡点。此时

于是我们得到如下的结论。

定理2:对于系统(4),一定存在唯一的稳定正平衡点(X*1,X*2),其中,

定理2说明,无论两类企业在初始状态下的相对多度是多少,最终两类企业的相对多度X1和X2一定会达到稳定的状态,即两类企业的比例保持稳定不变。

三、数值仿真与分析

1、例1

对于晋级模型(2),考虑X1(0)=0.3,X2(0)=0.7,a=0.2, b=0.3,可得到如下系统:

其中ф=0.2X1+0.3X2。然后在分别取 μ=0.2和 μ=0.4, 得到数值仿真图1和图2。

当μ=0.2时,满足条件,此时X1(t)和X2(t)趋于稳定正平衡解,这意味着随着时间的推移,技术创新型企业和落后淘汰型企业的比例最终趋于稳定;而当μ=0.4时,满足条件,此时X1(t)趋于1,X2(t)趋于0,这意味对着时间的推移,落后淘汰型企业最终都要关门倒闭,市场上只剩下技术创新型企业。

2、例2

对于晋级—降级模型(4),考虑X1(0)=0.3,X2(0)=0. 7,a=0.2,b=0.3,μ1=0.1,μ2=0.25,可得到如下系统:

其中准=0.2X1+0.3X2,得到数值仿真图3。

从图3可以看出,X1(t)和X2(t)最终都趋于稳定平衡解。这意味着,随着时间的推移,技术创新型企业和落后淘汰型企业的比例最终将趋于稳定。

四、讨论

本文针对生产实际,建立了企业晋级模型和企业晋级—降级模型。从企业晋级模型分析可知,当企业创新系数时,技术创新型企业和落后淘汰型企业可以实现均衡;当企业创新系数时,所有企业都会转变成技术创新型企业。而且可以看出,企业创新系数越大,在稳定状态下技术创新型企业所占的比例就越高。考虑到长期生产过程中技术创新和落后淘汰总是在动态变化的,我们建立了企业晋级—降级模型。通过对该模型的分析,可以看出模型存在唯一稳定正平衡点,这意味着当我们考虑技术创新与落后淘汰之间是动态变化的,两类企业最终的比例将保持稳定不变。最后,通过数值仿真实验,我们动态展示了企业创新的演化过程。企业晋级—降级模型强调了竞争的公平性,即企业只有不停地进行技术创新和改革,才能在激烈的竞争中稳定生存下来,以获得更大的发展。我们的结论表明,只有大力支持落后淘汰型企业的科技创新以及技术改革,才能使整个企业群成走上创新发展的道路。

摘要：本文建立于进化动力学理论基础之上,引入创新系数和滞后系数,分别讨论了企业晋级模型和企业晋级—降级模型,运用微分方程稳定性理论分析了其稳定性,并进行了数值仿真。结果表明,模型有效模拟了企业创新的动态演化过程。

动力学模型第10篇

牡丹花有“花中之王”的美誉, 作为我国的传统名花, 是重要的观赏植物和资源植物[1]。牡丹花期短, 加上其生长条件的制约, 种植地域也受到限制, 且牡丹鲜切花的储运也很困难, 因此很大程度上影响了人们对于牡丹花的观赏[2,3]。

压花 (即平面干燥花) 是将采集的植物材料 (根、茎、叶、花、果) 利用物理和化学方法, 经过脱水、保色压制和干燥处理而成的平面花材, 然后将处理的花材经过巧妙构思而制成精致的植物工艺品[4]。目前, 国内外牡丹压花大都采用的是分瓣压制自然干燥的方法, 耗费大量的人力、物力和时间, 不适合工业化规模化生产。热风干燥具有干燥速度快, 操作方便, 成本低等众多优点, 适合用于牡丹压花的干燥。

本文对牡丹压花的热风干燥进行研究, 建立牡丹花在压制状态下的热风干燥模型, 通过预测并控制不同干燥工艺和参数下的脱水率和含水率, 优化牡丹压花热风干燥工艺, 提高产品质量。近年来, 国内外学者对薄层干燥模型进行了大量研究[5,6,7], 但对花材的干燥模型研究极少, 尤其是压制状态下花材的热风干燥模型还未见报道。

1 材料与方法

1.1 材料与仪器

1.1.1 材料

新鲜牡丹花, 品种洛阳红, 采于洛阳国际牡丹园。花型为蔷薇型或菊花型, 花径16cm×6cm, 初始干基含水率为458.7%。

1.1.2 仪器

热风干燥箱, 电子天平, 干燥板等。

1.2 检测方法与指标

1.2.1 水分含量的测定

水分含量按照GB5009.3-2003测定。

1.2.2 水分比 (MR)

水分比 (MR) 通常用于表示一定干燥条件下物料还有多少水分未被除去, 反映物料干燥速率, MR= (Mt-Me) / (Mo-Me) 。其中, Me为物料平衡水分含量 (kg/kg) ;Mo为初始水分含量 (kg/kg) ;Mt为干燥中某时刻的含水率 (kg/kg) 。

1.2.3 艺术美观性

感官评定标准:1平整度, 2完整度, 3褐变程度, 4色变程度, 5光泽度;每项满分10分。

1.2.4 干燥曲线的绘制

在干燥前, 检测牡丹花的含水率, 即为热风干燥的初始含水率;在试验中, 每隔一定时间称量样品, 得出牡丹花干基含水率随干燥时间变化的干燥曲线, 干燥终点为8%。

1.3 试验方法

1.3.1 干燥试验前的预处理方法

新鲜牡丹花经过去除雌蕊、花托、多余花瓣, 用滤纸吸取表面水分, 擦去花瓣上散落的花粉, 然后将牡丹花上下两侧依次放上吸水宣纸和薄海绵, 使用干燥板将其夹住、压紧, 等待干燥。

1.3.2 干燥温度对牡丹压花干燥特性的影响

牡丹花经过预处理后, 在干燥温度20, 30, 40, 50℃下, 干燥板板孔密度为2.065 5×10-1, 风速为1.8m/s, 进行热风干燥试验。干燥过程中定期取样测定其含水率, 直到达到要求的含水率为止。

1.3.3 干燥板孔密度对牡丹压花干燥特性的影响

预处理后的牡丹花分别压制在孔径为4㎜, 孔间距分别为4, 8, 12, 16㎜, 干燥板孔密度=板上孔面积/板总面积, 即干燥板孔密度分别为2.065 5×10-1, 9.338 9×10-2, 5.298 7×10-2, 3.408 8×10-2 (分别记为:板1、板2、板3、板4) 的干燥板中, 干燥温度为38℃。干燥过程中定期取样测定其含水率, 直到达到要求的含水率为止。

1.3.4 感官评定

分别从平整度, 完整度, 褐变程度, 色变程度, 光泽度5个不同方面对干燥后牡丹压花进行评分, 每个方面总分10分。各方面评分标准具体如表1所示。

1.4 干燥数学模型

基于不同物料大量的试验研究, 有学者总结了几种常用的经验、半经验干燥数学模型, 定量地描述了物料干燥规律[8,9,10]。

常见的用于描述农产品物料的薄层干燥的数学模型主要有Lewis, Page, Henderson-Pabis, ModifiedPage, 两项指数, Thompson和Wang and Singh等。

2 单因素试验结果与分析

2.1 温度对牡丹压花干燥特性的影响

不同温度下牡丹压花的干燥曲线, 如图1所示。

由图1可以看出, 随着时间的延长, 物料残余的水分逐渐减少, 干燥温度对牡丹压花的干燥速率影响很大, 温度越高干燥速率越快。牡丹花热风干燥11h时, 其干基含水率在干燥温度20, 30, 40, 50℃下分别为127.63%, 89.13%, 46.15%, 18.92%;而若使干基含水率达到8%, 干燥温度为20, 30, 40, 50℃时则分别需要27, 21, 14.5, 13h。干燥温度为50℃时, 达到预期干基含水率8%所需的时间与20℃时相比缩短14h, 与30, 40℃相比分别缩短8, 1.5h。牡丹压花的干燥是水分通过两种途径—表面蒸发和气孔扩散, 最终经过压花板上的空隙散发到空气中。根据Trabert理论, 自由静水表面的水分蒸发量Eo可以表示为其中, C为比例常数, T为绝对温度, v为风速, d为某个温度下饱和蒸汽压和空气水蒸气压的压力差。

2.2 干燥板孔密度对牡丹花干燥特性的影响

不同干燥、板孔密度牡丹压花的干燥曲线如图2所示。

由图2可以看出, 随着时间的延长, 物料残余的水分逐渐减少, 不同板空密度干燥板对牡丹压花的干燥速率有一定的影响。干燥板空密度越大, 牡丹压花的干燥速率越快。

牡丹压花热风干燥11h时, 其干基含水率使用板1、板2、板3、板4时分别为44.15%, 52%, 81.81%, 107.14%;而若使干基含水率达到8%, 板1、板2、板3、板4时则需要时间分别为14.5, 15, 15.5, 17h。使用板1时, 达到预期干基含水率8%所需要的时间与使用板4相比减少了2.5h;与使用板2, 板3时相比减少了0.5, 1h, 干燥速率变化不明显。由此可见, 牡丹压花热风干燥中, 干燥板孔密度对干燥速率的影响主要在干燥过程的前期。

2.3 温度, 干燥板孔数对牡丹压花艺术美观性的影响

温度对牡丹压花艺术美观性的影响如图3所示。

干燥板孔密度对牡丹压花艺术美观性的影响如图4所示。

由上述两个柱状图可见, 从平整度来看:随着温度的升高, 干燥后压花平整方面分数逐渐增加;随着干燥板孔密度的增加效果越来越好, 但是不同干燥板孔密度下差异不大。从褐变程度方面来看, 随温度升高, 干燥后褐变程度逐渐减弱, 分数逐渐增高, 30℃和40℃时达到最高, 当温度过高时, 褐变严重, 分数降低;随着干燥板孔密度的增加, 褐变越来越弱, 即分数原来越高。干燥板孔密度一定时, 在温度为40℃时, 感官评定对牡丹压花艺术美观性的感官评定成绩最高;当热风干燥温度一定时, 板孔密度最大的板1感官评定成绩最高, 即艺术美观性最强。

3 牡丹压花热风干燥数学模型的建立

3.1 模型的选择

牡丹压花热风干燥不同温度和不同干燥板孔密度条件下MR-t、-ln MR-t和-ln (-ln MR) -lnt关系如图5和图6所示。

根据图5和图6, 在MR-t, -ln MR-t和-ln (-ln MR) -lnt3种坐标系内的拟合曲线可以得到各自的回归方程及相关系数R2, 表2是在不同温度、不同干燥板孔密度下3种拟合曲线回归方程相关系数R2的比较表。

由表2可以看出, 热风干燥过程中, 在不同温度和不同干燥板孔密度下, 试验数据在-ln (-ln MR) -lnt坐标系内更接近线性关系, 而在MR-t, -ln MR-t坐标系内相关系数的值R2均低于0.97, 即基本不具有线形关系, 说明Page模型适合作为本试验条件下的目标模型。

3.2 模型常数的确定

采用二因素五水平二次正交回归设计[11], 建立牡丹压花热风干燥回归模型。根据表3试验安排进行试验, 将试验结果分别进行-ln (-ln MR) -lnt坐标变换后进行线性回归, 得到11组ln K和n值, 因素水平表和试验结果如表4和表5所示。

根据试验结果, 求得回归方程为

利用方差分析 (表略) 对回归方程的拟合情况进行检验, F1 (ln K) =3.285和F2 (n) =5.764<F0.05 (4, 2) , 说明回归方程拟合很好。F1 (ln K) =4.565和F2 (n) =7.668>F0.05 (4, 6) , 说明所得回归方程显著, 与实际牡丹压花热风干燥过程吻合, 具有实际意义。

3.3 模型的验证

使用模型中的n和ln K, 在热风干燥工艺参数为 (1, 1) , (-1, -1) 时 (括号内左为温度编码值, 右为板孔密度编码值) , 按照Page模型对干燥模型进行检验并与实际测定结果进行比较, 结果如图7所示。

从图7中可以看出当温度和干燥板板孔密度处于较高值1时, 模型理论值略高于实测值;而当温度和干燥板板孔密度处于较低值-1时, 模型理论值略低于实测值。但都差别不大, 理论值与实测值基本吻合, 可以确定该模型适合用来描述牡丹压花热风干燥过程。将代入编码方程得到实际方程, 进而得到牡丹压花热风干燥的数学模型为MR=exp (-Ktn) 。

其中, x1为干燥温度, x2为干燥板孔密度。

4 结论

1) 温度、干燥板孔密度对牡丹压花干燥速度的影响很大, 温度越高, 干燥板孔密度大, 干燥越快。

2) 牡丹压花的艺术美观性随着温度的升高, 逐渐增强, 当温度超过40℃后又有减弱的趋势。干燥板孔密度越大艺术美观性相对越强。

3) 牡丹压花热风干燥模型可用Page模型来描述, 方程中的K, n由干燥温度和干燥板孔密度共同决定。

参考文献

[1]王莲英.中国牡丹品种图志[M].北京:中国林业出版社, 1997:1-15.

[2]么秀英.牡丹鲜切花花期控制方法[J].北京林业科技, 2006 (4) :63-64.

[3]陈富慧, 索志立, 赵孝庆, 等.中国牡丹品种的花期[J].东北林业大学学报, 2005, 33 (6) :55-61.

[4]肖绿田, 蒋利媛, 喻尚平, 等.植物压花技术[J].湖南林业科技, 2008, 35 (4) :56-59.

[5]Akpinar E K, Bicer Y, Yildiz C.Thin layer drying of red pep-per[J].Journal of Food Engineering, 2003, 59 (1) :99-104.

[6]Panchariya P C, Popovic D, Sharma A L.Thin layer modeling of black tea drying process[J].Journal of Food Engineering, 2002, 52 (4) :349-357.

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动力学模型第11篇

关键词：发动机再制造；系统动力学；经济效益；动态仿真与模拟

汽车产品回收利用是循环经济的重要组成部分＼[1＼]，再制造是实现汽车产品回收利用的有效途径.在经济效益方面，目前全球再制造产业年产值估算超过千亿美元，其中美国再制造产业规模最大，超过750亿美元，有73 000家再制造企业，从业人数约48万，其中汽车和工程机械领域约占2/3以上＼[2＼].作为汽车“心脏”的发动机，其再制造产业的发展得到了国家各项政策的重点支持，从2005年以来在国家各项政策的支持下，我国汽车发动机再制造产业从无到有，技术不断升级，产业规模不断扩大.但对于汽车发动机再制造产业经济性方面的研究在学术界仍是一个新兴的研究领域，主机厂、用户以及投资者对其经济性、商业模式的研究还很少.从获取的文献来看，国内外虽有学者对此有所涉及，如Crotty[3]采用战略矩阵法定性地考察英国的汽车零部件生产企业和再制造企业对欧盟报废汽车指令的具体战略对策.Chitrakar和Ferrao等＼[4-5＼]在绿色制造的基础上构建了报废汽车循环管理模型，并运用报废汽车处理者的技术成本模型分析汽车回收利用活动的经济效益是如何变化的.国内的董晨阳[6]对我国报废汽车回收工程中应用循环经济理论的正确性和可行性进行了论证.徐滨士、刘世参等[7]在对3 000台斯太尔发动机再制造过程的剖析和对我国报废汽车的数量、质量调研的基础上测算了汽车发动机再制造产业的经济效益.但大多数研究都是偏重于汽车产品回收利用的整个过程，专门针对汽车发动机再制造经济性的研究较少，仅有的少量研究也是静态数据的计算，缺乏前瞻性和预测性.特别是对于发动机再制造这样的新兴产业必将伴随着与之相适应的商业模式，结合实例从用户视角和企业视角等多个层面开展系统性的经济研究将是一个崭新的课题.

1再制造汽车发动机的定义本文通过对相关汽车发动机企业商业运营模式进行调研，将再制造发动机总结为三类：报废汽车发动机、大修汽车发动机和三包汽车发动机.报废汽车发动机是指发动机的寿命周期已经结束，经相关机构与企业回收、拆解、再制造的发动机（流向如图1所示）.大修汽车发动机是指发动机在大修期内（一般指出厂使用4～6年）出现故障，普通维修已无法满足需要，必须经再制造才可恢复原有功能的发动机（流向如图2所示）.三包汽车发动机是指在三包期内（一般三包期为12个月或10×104km，以先期到达者为限）出现故障，普通维修已无法满足需要，需经过相关机构鉴定后进行再制造的发动机（流向如图3所示）.

2汽车发动机再制造的系统动力学经济性

2.1选取系统变量科学合理地选取影响汽车发动机再制造经济性的动态变量是建立系统动力学模型的第一步，也是进行整个动态分析的基础＼[8-9＼].本文运用头脑风暴、专家访谈以及情景分析等方法多次深入政府机关、科研院所、生产一线，和政府官员、专家学者、企业技术人员进行了多次深度访谈和交流，以产量和利润作为2个主要变量，将产量设计为随时间变化的变量，时间范围设计为2011年—2014年，将利润设计为滑块变量，可由研究者根据研究的不同需要自行决定取值范围.

2.2流图设计与系统调试根据产量和利润2个主要变量，将系统分为2个子系统，一是再制造汽车发动机的产量预测子系统，二是再制造汽车发动机的利润预测子系统.

2.2.1再制造汽车发动机产量预测子系统

2.2.2再制造汽车发动机利润预测子系统

2.2.3经济分析综合系统

3实证仿真与分析

3.1获取实证数据本文选取某企业为案例，采集的数据汇总如表1—表5所示（表中数据均由企业提供，部分价格数据由供应商提供）.

3.2再制造发动机产量分析根据系统输出结果，2011—2014年报废汽车发动机的产量、大修汽车发动机的产量、三包汽车发动机的产量以及再制造发动机的总产量如表6和图7所示.从表6和图7中可以明显地看出，大修机产量要远大于三包机和报废机的产量，而且随时间的变化更为明显，说明目前大修机仍是再制造中废旧发动机的主要来源，这样的仿真预测结果也与实际调研情况吻合，即真正意义上的完全报废机用于再制造的还较少.

4结论

本文通过构建汽车发动机再制造系统动力学经济性分析模型，对某具有代表性的企业生产销售的某款再制造发动机进行实证分析，结合当前汽车产业已形成规模经济的特点＼[10＼]，得出以下结论：1）从企业视角分析，目前再制造板块的主要盈利还是依靠三包发动机，三包发动机的利润远远大于报废机和大修机.这也反映出目前我国发动机再制造领域的普遍问题，报废机和大修机的利润都较低，唯有依靠提高回收率才能产生规模效应.2）从国家层面来看，在当前的技术水平和商业模式下，发动机再制造企业主要依靠对三包汽车发动机进行再制造盈利，而报废汽车发动机和大修汽车发动机的利润率较低.因此国家应完善相关法律法规和制订科学合理的补贴政策，以提高废旧发动机的回收率，从而促进企业产生规模经济效应.

摘要：将“产量利润效益”三者有机结合，运用系统动力学方法构建了汽车发动机再制造经济性分析模型.运用该模型选取某发动机再制造企业为实证案例，对其经济效益进行了动态仿真分析与模拟.通过分析得出以下结论：目前企业主要依靠三包汽车发动机盈利，大修机和报废机利润率较低，国家应进一步完善相关法律法规和补贴政策，提高废旧发动机的回收率以促进企业产生规模经济效应.

关键词：发动机再制造；系统动力学；经济效益；动态仿真与模拟

2汽车发动机再制造的系统动力学经济性

2.2.1再制造汽车发动机产量预测子系统

2.2.2再制造汽车发动机利润预测子系统

2.2.3经济分析综合系统

3实证仿真与分析

3.1获取实证数据本文选取某企业为案例，采集的数据汇总如表1—表5所示（表中数据均由企业提供，部分价格数据由供应商提供）.

4结论

关键词：发动机再制造；系统动力学；经济效益；动态仿真与模拟

2汽车发动机再制造的系统动力学经济性

2.2.1再制造汽车发动机产量预测子系统

2.2.2再制造汽车发动机利润预测子系统

2.2.3经济分析综合系统

3实证仿真与分析

3.1获取实证数据本文选取某企业为案例，采集的数据汇总如表1—表5所示（表中数据均由企业提供，部分价格数据由供应商提供）.

4结论

机载导弹发射的多体动力学模型第12篇

自无人机在实战中实现对地攻击以来, 具备武器携带和攻击能力的无人机倍受关注。由于目前的无人机一般具有较小的质量和惯性, 因此机载武器发射引起的飞机扰动运动可能会与有人飞机有所不同, 在这方面目前国内还没有针对察打一体无人机的相应研究。通常由外挂物投放、军械投掷引起的瞬态运动均属于飞机扰动运动。这类问题的一般计算方法是用数值法求解多自由度非线性变系数微分方程组, 当气动导数、结构参数等变化不大或扰动引起的飞机运动反应较小时, 可以采用线性常微分方程组作近似解;工程上, 以脉冲型或阶跃型作为扰动输入形式, 使用线性小扰动方程及其传递函数计算飞机的瞬态反应[1,2]。这种方法无法考虑发射过程中机载导弹与载机相对运动引起的系统质心、惯性矩的实时变化, 由于只求解载机的动力学方程, 因此也无法考虑到机载导弹和载机的相互影响, 更无法求解发射瞬间载机运动对机载导弹离轨参数造成的影响。

本文运用多刚体动力学原理, 将载机、导弹发射架和导弹看成单独的刚体, 考虑导弹和发射架之间的间隙碰撞效应, 采用Schiehlen法[3,4]建立机载导弹发射的动力学模型;并基于该模型对某察打一体无人机在高空发射机载导弹的过程进行了仿真和分析。

1机载导弹发射模型

导弹发动机点火后, 由于闭锁挡弹器的作用导弹仍然被固定在发射架, 直到发动机推力达到规定的开锁力, 闭锁挡弹器开锁, 导弹在推力和摩擦力作用下沿导轨滑行, 当导弹滑行一段距离后, 导弹脱离发射架[5]。载机、发射架和导弹之间的约束关系如图1所示。

发射架可以绕A点转动, 发射架与载机连接处的弹性用一扭簧表示;发射架导轨和导弹之间由前后定心钮连接, 为了模拟导轨和定心钮之间的间隙, 用四个并联的非线性弹簧阻尼系统表示它们在竖直方向的约束关系。

根据多刚体理论的Schiehlen法, 为了用与系统自由度数量相等的独立广义坐标描述系统的位形, 取飞行力学[6]中的地面坐标系Oxgygzg为惯性坐标系 (假想为刚体B0) , 取无人机 (刚体B1) 的质心坐标和姿态角、发射架 (刚体B2) 相对载机的转角、导弹 (刚体B3) 相对发射架的位移和俯仰角为广义坐标。则系统的广义坐标可以表示为如下的十维向量:

q=[x、y、z、φ、θ、ψ、χ、r、s、η]T。

式中x、y、z表示无人机质心在惯性系下的坐标, ϕ、θ、ψ表示无人机的姿态角, χ表示发射架相对载机的俯仰角, r、s分别表示导弹在导轨上的沿x轴和y轴的位移, η表示导弹相对发射架的俯仰角。

同时, 为了推导方便, 引进动参考系, 则对于定常完整约束系统, 刚体Bi (i=1, 2, 3, 下同) 相对Bi-1的质心速度及其绕质心的转动角速度为:

$v_{(i, i - 1)} = J_{Τ (i, i - 1)} \dot{q}$ , $ω_{(i, i - 1)} = J_{R (i, i - 1)} \dot{q}$ 。

式中JT1和JR1为3×10的几何雅克比矩阵, 它们是广义坐标的函数。

对速度和角速度求导即可得到质心的加速度和绕质心转动的角加速度:

$a_{(i, i - 1)} = J_{Τ (i ‚ i - 1)} \ddot{q} + G_{Τ (i, i - 1)} \dot{q}$ ;

$\dot{ω}_{(i, i - 1)} = J_{R (i, i - 1)} \ddot{q} + G_{R (i, i - 1)} \dot{q}$ 。

式中GT (i, i-1) 表示 $\frac{\partial v_{(i, i - 1)}}{\partial q}$ , GR (i, i-1) 表示 $\frac{\partial ω_{(i, i - 1)}}{\partial q}$ 。

根据多刚体运动原理, 引入动参考系R后, 刚体的绝对运动量为:

$v_{i} = v_{R} + \vec{v}_{R i} + \tilde{ω}_{R} r_{R i}$ ;

ωi=ωR+ωRi;

$a_{i} = a_{R} + (\tilde{\dot{ω}}_{R} + \tilde{ω}_{R}^{2}) r_{R i} + \vec{a}_{R i} + 2 \tilde{ω}_{R} \vec{v}_{R i}$ ;

$\dot{ω}_{i} = \dot{ω}_{R} + \dot{ω}_{(R, i)} + \tilde{ω}_{R} ω_{(R, i)}$ 。

式中r (i, R) 表示刚体Bi相对动参考系原点R的距离, $\tilde{ω}$ R和 $\tilde{\dot{ω}}_{R}$ 分别表示ωR和 $\dot{ω}$ R的叉乘矩阵, 符号“→”表示在动参考系中的相对导数。

将作用在刚体Bi的主动力及约束力分别向质心简化, 得到主动力主矢F $_{i}^{a}$ 和主矩M $_{i}^{a}$ 、约束力主矢F $_{i}^{c}$ 和主矩M $_{i}^{c}$ , 于是可以分别写出载机、发射架和导弹的牛顿—欧拉动力学方程:

${\begin{matrix} m_{i} a_{i} = F_{i}^{c} + F_{i}^{a} ； \\ J_{i} \dot{ω}_{i} + \tilde{ω}_{i} J_{i} ω_{i} = Μ_{i}^{c} + Μ_{i}^{a} 。 \end{matrix}$

式中mi表示刚体的质量, Ji表示刚体的惯量矩阵。

将载机、发射架和导弹的动力学方程组装为矩阵的形式, 于是可以得到更简洁的方程:

$Μ J_{Τ} \ddot{q} + Κ (q, \dot{q}, t) = Q^{a} + Q^{c}$ 。

式中M表示系统18×18的质量对角阵, JT为18×10的几何雅克比矩阵, K表示18×1的陀螺力和离心力列阵, Qa和 Qc分别表示18×1的主动力列阵和约束反力列阵。

根据达朗伯原理, 理想约束具有质点系所受的约束力在任意虚位移上所做的虚功之和恒为零。应用于刚体则可以表示为:

∫mδr δFc=0。

δFc是作用在位置矢径为r的质量微元上的外力。经简单推导后可以得到:

δqTJTTQc=0。

因为完整约束系统的独立广义坐标变分是独立的, 故有:

JTTQc=0

于是, 用JTT左乘系统的动力学方程得到:

$J_{Τ}^{Τ} Μ J_{Τ} \ddot{q} + J_{Τ}^{Τ} Κ (q, \dot{q}, t) = J_{Τ}^{Τ} Q^{a}$ 。

该方程即为系统最终的多体动力学方程, 它包含十个标量方程, 方程数目等于系统的自由度数目。

2 间隙模型

为了考虑定心钮与发射架导轨之间的间隙对导弹离轨姿态的影响, 本文运用机构动力学中的间隙模型来模拟定心钮与导轨之间的间隙碰撞效应。假设定心钮与导轨交替处于接触和自由两种状态, 因此定心钮和导轨之间的法向作用力可以表示如下[7,8]:

$F_{n} = {\begin{matrix} 0 ‚ & ε < 0 ； \\ k ε^{1.5} + c (ε) \dot{ε} ‚ & ε \geq 0 。 \end{matrix}$

式中ε表示两物体之间的穿透量, k表示等效刚度系数, 它与碰撞点处的两物体曲率半径ρ1、ρ2, 材料的弹性模量E1、E2, 以及泊松比λ1、λ2的关系如下:

$k = \frac{16}{9} \frac{ρ_{1} + ρ_{2}}{ρ_{1} ρ_{2}} [\frac{E_{1} (1 - λ_{2}^{2}) + E_{2} (1 - λ_{1}^{2})}{E_{1} E_{2}}]^{2}$ 。

c (ε) 表示阻尼系数, 它是ε的函数, 二者的关系如下:

$c (ε) = {\begin{matrix} c_{m} (ε^{2} / d_{m}^{2}) (3 - 2 ε / d_{m}) ‚ 0 \leq ε \leq d_{m} \\ c_{m} ‚ ε \geq d_{m} 。 \end{matrix}$

式中, cm为最大阻尼系数, dm是物体接触时的最大穿刺深度。物体之间的摩擦力表达式为:

Fτ=Fnμ (υτ) 。

μ表示定心钮和导轨之间的摩擦系数, υτ是导弹与发射架的相对运动速度。

3 仿真与分析

本文以某型察打一体无人机为例, 在飞行速度0.6 Ma下发射一枚挂于左侧机翼100 kg级的机载导弹, 载机的质量为4 000 kg, 导弹质量为100 kg。

下面给出了由考虑间隙的多体动力学模型 (multibody model) 仿真得到的迎角变化量α、侧滑角β、滚转角φ、偏航角ψ和俯仰角变化量θ的变化历程曲线;为了对比, 也给出了文献[2]中介绍的小扰动模型 (small disturbance model) 的仿真结果。

从以上各图可见, 本文的方法和基于小扰动模型的传统方法相比较, 二者所预测的各个参数响应历程趋势是一致的, 这说明本文的方法是正确可靠的。同时, 可以看出, 传统的小扰动模型由于对飞行器质量和惯性处理得比较简单, 因此所预测的载机扰动相对较小;对于本文这种导弹质量占全机重量较大的情况下, 小扰动模型预测的气流角α、β的变化历程具有较大的误差。而多刚体模型由于考虑了导弹推力的影响和载机质量、惯性矩的实时变化, 因此能更准确地预测载机各参数的变化历程。

多刚体模型由于同时计算系统每一个物体的运动参数, 因此它还能求解出导弹的离轨姿态, 这对机载导弹发射架设计和研究武器的安全投放来说具有重要参考作用, 下面给出机载导弹在导轨上运动过程中的χ、η角的变化。

导弹相对载机的俯仰角θ31和相对于地面的俯仰角θ30变化历程如图8。

从图7和图8可见, 影响导弹姿态最重要的因素来自于载机, 其次是发射架与载机的连接刚度。考虑间隙碰撞效应后, 导弹相对发射架的姿态体现出很高频率的振荡, 但由于导弹定心钮受到发射架导轨的约束, 因此导弹相对发射架的俯仰角η变化很小, 仅当前定心钮脱离导轨之后, 由于存在弹头下沉现象时, η的变化量迅速增加。

4 结论

(1) 基于多体动力学理论的机载导弹发射动力学模型考虑了系统质量和惯性矩的实时变化, 比传统的基于小扰动的模型能更好地预测载机对导弹发射的响应特性;该模型由于同时求解各个物体的运动参数, 因此也能求解机载导弹的离轨姿态, 从而克服了小扰动模型只能求解载机的动态响应的缺点。故无论是研究飞机对机载导弹发射的动态响应特性, 还是设计导弹发射架和分析机载导弹的发射安全, 该模型都具备重要的参考作用。从仿真结果看, 导弹发射对本文的察打一体无人机造成的扰动较大, 且由于发射后载机质量分布的不对称, 姿态角在相当长的时间内都无法恢复到一个稳定的值, 因此设计相应的控制系统是必要的。

参考文献

[1]《飞机设计手册》总编委会.飞机设计手册第6册气动设计.北京:航空工业出版社, 2002

[2]Pedro J, de Oliveira N, Artemio R.et al.G-jump simulations for a fighter airplane.AIAA2005-6028, 2005

[3]Schiehlen W.Multibody system dyna-mics:roots and perspectives.Multibody System Dynamics, 1997;1 (2) :149—188

[4]袁世杰, 吕哲勤.多刚体系统动力学.北京:北京理工大学出版社, 1991

[5]姚昌仁, 唐国梁.火箭导弹发射动力学.北京:北京工业学院出版社, 1987

[6]方振平, 陈万春, 张曙光.航空飞行器飞行动力学.北京:北京航空航天大学出版社, 2005

[7]俞武勇, 季林红, 阎绍泽, 等.含间隙机构运动副的动力学模型.机械科学与技术, 2001;20 (5) :665—669

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