1 引言
直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一, 在对梁进行强度校核时, 根据剪力图和弯矩图中曲线的变化规律, 确定等截面弯曲梁的危险截面, 因此快速准确绘制剪力图和弯矩图对工程计算非常重要。绘制剪力图和弯矩图内容复杂, 学生较难理解, 容易出错。不同的教材对于剪力图和弯矩图的绘制方法阐述大同小异, 主要分为截面法、利用微分关系绘图、叠加法等, 在原有绘图方法的基础上, 提出自己新的理解, 可以有助于学生快速、准确绘制剪力图和弯矩图。
2 直接绘制剪力图和弯矩图
例:一外伸梁受力图如图1 (a) 所示, 集中荷载qa/4作用在梁两端, BC梁段受到方向向下大小为q的均匀荷载, CD梁段受到方向向上大小为q的均匀载荷, 绘出梁的剪力图和弯矩图。
解: (1) 选取整个梁为研究对象, 通过平衡方程获得支座反力, FBy=3qa/4, FDy=-qa/4。
(2) 绘制剪力图。
过A点建立水平方向的x轴, 竖向的FS轴, 方向向上为正。从原点 (0, 0) 即A+截面 (过A点左横截面) 开始, 初始截面处于自由端, 剪力为零。遇到作用在A点向下的集中载荷, 则剪力顺着箭头方向下降qa/4, 下降值和集中载荷的大小相同, 则对应于A-截面 (过A点右横截面) 的剪力图坐标为 (0, -qa/4) 。AB段无荷载, 所以剪力图保持直线, 即B+截面处的剪力图坐标为 (a, -qa/4) 。在B点处受到约束力FBy的作用, 方向向上, B-截面处的剪力图坐标为 (a, qa/2) , 剪力变化值等于约束力FBy。BC段梁受到向下均匀载荷的作用, 剪力均匀下降, 由点B- (a, qa/2) 均匀下降到C (2a, -qa/2) , 斜率为-q。CD段的剪力受到向上均匀载荷的作用, 剪力均匀上升, 由点C (2a, -qa/2) 均匀上升到D (3a, qa2) , 斜率为q。受到D点约束力的作用, D-截面在剪力图中的坐标为 (3a, qa/4) 。DE段无载荷作用剪力保持不变, E+截面在剪力图中的坐标为 (4a, qa/4) 。在E点受到大小为qa/4的集中载荷作用, E-截面的剪力图坐标为 (4a, 0) , 即剪力值从零开始, 到零结束, 剪力图始终是一个封闭图形。
(3) 绘制弯矩图。
建立水平方向的x轴, 竖向的M轴, 且方向向下为正。画弯矩图按照习惯从左到右开始, 从原点 (0, 0) 即A+截面开始。整梁无集中力偶, 弯矩图无突变。根据剪力和弯矩的关系知道AB梁段的弯矩图为斜向上的直线, A点和B点弯矩的变化值为AB段剪力图围成的矩形面积之和-qa2/4, 即B点的坐标为 (a-qa2/4) 。在BC段上有方向向下的均匀载荷q, 则弯矩图开口方向向上[1], 剪力图中显示BC段中点G处剪力为零, 则弯矩图中BC段中点处有极值, 此点处弯矩的值为这点左边剪力图面积之和qa2/8, 坐标为 (3a/2, -qa2/8) , C点处的坐标为 (2a, -qa2/4) 。同理, CD段的弯矩图开口方向向下, 根据计算面积, CD中点处坐标为 (5a/2, -qa2/8) , D点坐标为 (3a, -qa2/4) 。根据剪力图可以确定DE段的弯矩图为斜向下直线, D、E两点弯矩之差为对应的DE段梁剪力图包围的面积, 所以E点的坐标为 (4a, 0) 。起始点A处弯矩为零, 梁末端E点弯矩为零, 弯矩图始终是封闭图形, 这也说明整个梁受到的弯矩为零。对于BD梁受到相反方向的均匀载荷作用, 其变形为扭曲的S形, 观察其弯矩图也是S形, 这说明弯矩图的形状和梁的变形有一定的相似性, 我们也可以根据这个方法判断自己画的弯矩图是否正确。
3 采用叠加原理绘制剪力图和弯矩图
采用上述方法计算约束力较为困难, 绘制剪力图及弯矩图也比较复杂。图1 (a) 中结构为对称结构, 根据叠加原理将其载荷分解, 对称载荷和非对称载荷分别作用于对称结构上如图2 (a) 和3 (a) 所示, 然后分别绘制内力图。对于图2 (a) 中的对称结构可以方便计算出FSBy=qa/4以及FSDy=qa/4。根据上述方法可以画出剪力图2 (b) 及弯矩图2 (c) , 对称载荷作用下, 剪力图是反对称的, 弯矩图是对称的。
对于反对称载荷作用于对称结构上, 如图3 (a) 所示。可以容易计算出约其束力, FDBy=qa/2以及FDDy=-qa/2。根据上述方法可以画出剪力图3 (b) 及弯矩图3 (c) , 反对称载荷作用下, 剪力图是对称的, 弯矩图是反对称的。
将图2及图3中的内力图进行叠加就可以得到和图1中相同的剪力图和弯矩图。这时须注意两个弯矩图的叠加并非是两个图形的简单拼加, 而是指两图中对应的纵坐标相叠加, 同侧的纵坐标应相加[2], 异侧的纵坐标应相减, 叠加法的运用可以使复杂弯矩图的绘制变得简单。
4 结语
弯曲内力图是材料力学教学中的重点和难点, 是梁强度及刚度计算的基础, 因此, 要求学生能够熟练掌握。通过对典型例题详细分析, 介绍了绘制剪力图和弯矩图的技巧, 有助于学生快速掌握。
摘要：绘制梁的内力图是材料力学课程的重点问题, 也是难点问题, 对于初学的学生不易理解。本文分析了绘制剪力图和弯矩图的多种方法, 比较不同方法之间的区别, 旨在帮助学生掌握快速绘制剪力图和弯矩图技巧。
关键词：剪力图,弯矩图,面积法,叠加法
参考文献
[1] 徐烈烜, 聂国隽.材料力学[M].上海:同济大学出版社, 2011.
[2] 易春林, 丁小艳.探索弯矩叠加[J].洛阳工业高等专科学校学报, 2005, 15 (3) .