证明不等式的13种方法

第一篇：证明不等式的13种方法

证明不等式的几种方法

黄启泉

04数学与应用数学1班30号

近几年来,有关不等式的证明问题在高考、竞赛中屡见不鲜，由于不等式的证明综合性强，对学生的思维灵活性与创造性要求较高，因此，许多考生往往“望题生叹”，本人通过对该类题目认真分析与研究，总结以下几种解题方法，下面结合一些热点题加以简要的介绍。

1. 运用重要不等式法，一些重要不等式如均值不等式，柯西不等式等在证明一些不等式题目中往往能取得一种立杆见影的效果。 1.1运用运用均值不等式

例1， 已知a,b,c,d都是正数， 求证：(abcd)(acbd)4abcd

证明：由a,b,c,d都是正数，得

abcd20,acbd2

0.



(abcd)(acbd)

4

abcd.

即(abcd)(acbd)4abcd 1.2运用柯西不等式

例2.设a,b,x,y,kR,k1,且a2b2

2kab1,

x2

y2

2kxy

1.axby

证：因为a2

b2

2kab1,所以

(a-kb)2

2

1(1)

同样的，2(kx-y)2

1(2) 运用柯本不等式式解：

(1)左*(2)左[(akb(kxy)]

2

axby)

2

故axby

成立

2.配凑常数法

常数在不等式证明当中有着举足轻重的作用，充分发挥好常数的“过渡”功能，将使证明的解决如虎添翼。 例3.已知a,b,cR，求证

acb+c

bca

ab

32

证明，给每个式子配以常数k有

a

bcb+cca

ab3(a

bcb+c

1)(

ca1)(ab1)(abc)(1b+c



1ca



1ab)1112[(bc)(ca)(ab)](b+c

1ca



ab

)

12(111)

2



92

所以

abb+c



ca



c9ab



2

3

32

，当

abc时，可以取等号，故命题得证。

3.待定系数法

当直接运用重要不等式较难达到目标时，有时可引入参数作为待定系数再根据题意解方程达到目标。

例4.设x,y,z是不全为零的实数，求

证

xy2yzx2

y2

z

2



2

证：对不等式左边分子式分母直接运用均值不等式显然达到目标，为此引入待定系数a,b从而有：

xy2yz2







2

1zb



a1x2

y221222abybz

a

2x2

1212abyz2

b令a1b

1即ab2

2a

b

解

xy2yz

x

y2z



即

xy2yzx2

y2

z



4.向量法

向量做为中学数学一种新的工具，具在证明不等式中有时能达到异曲同工之效。 例5.已知x,y,z是非负实数，具x+y+z=1求证：

证：构造向量：a

xy,x,y,byz,y,z,则

c

zx,z,x.

abc(2,1,1),由abcabc



代入原式成立易知xyz13

时取等

号。

5.倒数变换法

这里所说的倒数变换是指将每一个字母都用其倒数的形式来代替，对一些分式不等式采用这一变换后，有时可将式子的结构化简从而为不等式的证明找到契机。

例6.已知abcR

,且abc1,求证：

11a

bc



b

ac



1c

ab



证：

令A=

1a

,B

b,C1



c

,则

A，B，CR，且ABC=1

此式左边=

A+B+CA+B+C+B+CB+C

+

A+C

+

AA+B

-3

=12B+C+A+C+A+B1

11++B+CA+CA+B3

92-3=32

即原命题得证 注：倒数变换方法实质是通过变换达到化繁为简的目的，或将不熟悉的不等式转化为熟透的不等式，需要注意的是，变量代换后的取值范围可能有变化

6分母置换法

一般地，在分子不等式中当一个分式的分子较简捷而分母相对较复杂时，通过对分母进行代换可以使解题思路变得更顺畅。 例

7.已知abc

，R求证

a



bcb3c

8c

49a

347

a2。b 48

证：令b3

c,

则

x



a9cb3c

b8c4a



3a2b



1y4x1z98yx614zxz

9z61

x16yz48

由均值不等式解

1y4x1z9x14z8xy9y61

6xz

16yz48118*4

16*6

16*12

61484748

当且仅当y2x,z3x时取等号。

故原命题得证。

7.数形结合法

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学.”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又提示其几何直观使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形像巧妙和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，有时能使问题化难为易，化繁为简。 例

8.

已知x0,x2



yz2

1,求证：5

xy

6

证：令z

xy



4z2



x

2

x2

y



该式

，的分子可视为点P,x

y到

直

线

lx

0的距离平方，分母可视为

P点与原点的距离平方，

因此利用几何意义将原问题进行代换，作PA⊥l于点A设

∠AOP

60o

90o

,PA

易知

OP

以

sin=

PAOP

,

sin1

此时-2=4s2

in，可

3得4当.x0y,时0取最小值,5.

当x,y32

时，取最大值。

56即命题得证.

8行列式法

这是一种比较特别又新颖的解法，虽然不常见，但有些不等式题采用此法可以显得很容易。 例

9.

若,,R,求

证



3s

insin



i

n

3 证

:

令

usinsinsin

则

usincossincossincos

sincossincossincos

sin

cos1sin

cos1sin

cos

构

造

点

As

Bi





C

ns

则uSABC

n

很明显,上面三点A,B,C都在单位圆

x2

y2

1上因为圆内接三角形以正三角

形的面积最大所以当ABC为正三角形时,SABC取得最大

值

,于

是

u

故命题得证.

9.三角换元法

三角函数蕴涵着丰富的公式与性质,求运用这些公式与性质巧妙地解决某些不等式的证明问题 例

10.设正数a,b,c,x,满y足z

cybza,azcxb,bxayc求证:

x

y

1 1x



1y



z

1z



证:由

条

件

解ba

z

x

b

c

0即b 2

bcxa2

b2

c2

0故2

x

bca

2bc

同

理

可

得y

c2

ab

bca

2ac

,z

2ab

因a,b,c,x,y,z均为正数,综合上面3式可得

b2

c2

a2

,a2

c2

b2

,a2

b2

c2

故以a,b,c为边长可构造一个锐角三角形.令xcosA,ycosB,zcosC 则

原

不

等

式

转

化为cos2

Acos2

Bcos2





C1cosA

1cosB

1cosC



12

又令

ucotA,vcotB,wcotC.则u,v,wR

,uvvwwu1

u2

1uvuw,

且v21uvvw,

w2

1uwrw,

因

此

w

cos2

A2

1cosA

1

x

a

yc



a

u2u



2

bza

3u2



u

u2

u11

2uvuw



22

cos2B

v3

11

同理

1cosBv2uvuw



cos2

C3

111cosC

w

w2uw

vw



所

以

不等式左边

u2

v2

w2

1u3v3w3v3u3v3

2uvuvuv



u2v2w2

1

u2uvv2v2vww2u2uvw22



12

uvvwuw

12

当且仅当uvw时等号成立 此时abc,xyz12

故原命题得证.

10.局部突破法

对于和式型不等式,不妨先研究局部性

质,导出一些局部不等式,再综合运用这些局部不等式推断出整体性质.

例11.设x,y,zR

且x4

y4

z4

1.求

证

x

3z

31x

8



y

31y

8



1z

8



.

证.先求x1x8的最大值. 注

意

到

8x

8

1x

8



8

8x

8

1x8

1x8

8



1x

8个



9

8x881x8

9

89

9

因此x

1x

8



x

34

从而

x4



1x8



x

x

1x

8





8同理y

y4

z

3z4

1y

8



8

1z

8



8

故x

1x

8



xy3

z



当且仅当xyz.

故原不等式得证.

11.利用配对法

如果不等式AC中式子A的各项为形如

m

mn

的和形式,则配上对应项为

n

mn

的式子B,那么AB必定是一个整

式形式,再对AB进行适当变化有时可以找到解决问题的办法. 例

12.

已知x

1xxnR2,且xxxn1

.

求证

x2

n

1x

x1

1x

x2

1x

1n

n1

.

n

证明:令不等式左边=A,B

1

则

i1

1x

i

n

BA

1x2n

i



(1xi

)n1

i11x

ii1n

n

222

BA



1xi

11nxi

i11x



n2

i

i1n(1xi)

n

n





n12nxi2

n22n11i1

n(1x



i)

i1

n2

1x2

in



n2n1

n2

B2

A

2n1n

B2

2n1

n

n1A2

从而易推得A

1n1

使原不等式成

立.

有时,不等式中的各项是

mmn

(其中

m为常数)的形式,此时可先将其化为

1m

mn

或

mn

的形式,然后再应用上述配

对方法.

12.引入复数法

复数的代数形式,三角形式与几何形式将代数,三角与几何进行有机地结合.因此,巧妙运用复数的性质也可以使很多问题”柳暗花明”

例13.若x,y,zR

且xyz1.求证

:

证

:

经

配

方

解

x2y2

xy12

x2y2 

同理:y2z2

yz1yz22z

2

x2

z2

xz

1zx2x

2

1

构造复数：z1xyyi,

22

1

z2yzzi,

221

z3zxxi

22

解z1z2z2z1z2z332



xyz

xyzi

(当且仅当xyz

13

时,等号成立)

故命题得证.

当然不等式证明方法远不止这些,不过从上面这些证法可以看出遇到不等式证明定要想办法把它向我到熟悉的不等式转化,这是各种证法的共同特征，应该说也是证明所有不等式的共同突破口。

参考文献：

[1]中学数学研究 2007.1 [2]中学教研 2007.11 [3]中学数学教学 2007.6 [4]高中数学 2007.5

第二篇：证明不等式的几种常用方法

摘要：不等式由于结构形式的多样化化,证明方式也是灵活多样,但都是围绕着比较法、综合法、分析法三种方法展开.这三种方法是不等式证明的最基本、最重要的方法. 关键词：不等式证明;比较法;综合法;分析法

引言：不等式的证明是初高中教学中的一个难点,由于结构形式不同,其证明方法也是灵活多样的,且技巧性强.学生需要重点掌握的不等式证明的常用方法如比较法、综合法、分析法,它们是不等式证明的最基本、最重要的方法.虽然证明不等式的方法灵活多样,但都是围绕这三种基本方法展开.1 比较法

法证明不等式是不等式证明的最基本的方法,常用作差法和作商法.

1.1 作差比较法

作差比较法：要证不等式abab,只需证ab0ab0即可.

作差比较法步骤为：作差、变形、判断符号(正或负)、得出结论.

①作差：对要比较大小的两个数(或式)作差.

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和.

③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.

例1 已知a,b,m都是正数,并且ab,求证：ama. bmb

证明：amab(am)a(bm)m(ba). bmbb(bm)b(bm)

∵a,b,m都是正数,并且ab,

∴bm0,ba0,

∴amam(ba). 0即：bmbb(bm)

aa1,欲证ab,需证1. bb1.2 作商比较法 作商比较法：若b0,要证不等式ab,只需证

作商比较法步骤为：作商、变形、判断与1的大小、得出结论.例2 已知a,b,m都是正数,并且ab,求证：ama. bmb

证明：amab(am)abbm, bmba(bm)abam

mR,0ab,

abbmabam,即

abbm1, abamama. bmb

2 综合法

综合法就是由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一

种证明方法.

例3 已知xyz1,求证：xyz

证明： xyz2222221. 31[3(x2y2z2)] 3

1222222222[xyz(xy)(yz)(zx)] 3

1211222(xyz2xy2yz2zx)(xyz), 333

1222xyz. 3

bccaababc例4 设a,b,c都正数,求证：abc

证明：a,b,cR, 

bccaab,,R, abc

bccacaababbc∴2c,2a,2b, abbcca

bccaab2(abc),∴2(bcabccaababc∴abc

3 分析法

分析法：从结论出发,逐步逆找结论成立的充分条件.也就是从求证的不等式出发,分析使这

个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这

些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,基本步骤：要证……只需证……,只需证……

1. 3

1222证明： xyz1,为了证明xyz, 3例5 已知xyz1,求证：xyz222

只需证明3x3y3z(xyz),

即3x3y3zxyz2xy2yz2zx, 2222222222

即2x22y22z22xy2yz2zx,

即(x22xyy2)(y22xyz2)(z22zxx2)0,

即(xy)2(yz)2(zx)20.

(xy)2(yz)2(zx)20成立,xyz2221成立. 3

(ab)2ab(ab)2

ab. 例6 设ab0,求证：8a28b

(ab)2(ab)2(ab)2

证明：要证原不等式成立,只需证：. 8a28b

∵a

(ab)2(a)2

只需证1. 4a4b

abab只需证,12a2ba只需证 1ab

∵ab0上式成立,

∴原不等式在ab0时成立.

4 结束语

关于不等式的证明,上面的三种方法是最基本的方法,该类不等式的证明方法是以上三种方

法的延伸.有待读者进一步的研究.

第三篇：不等式的几种证明方法及简单应用

本科毕业论文(设计)

题目：不等式的几种证明方法及简单应用

学生：孙振学号： 200940520131学院：数学与计算科学学院专业： 信息与计算专业

入学时间： 2009年9月10日 指导教师： 荆科职称：学士完成日期：年月日

(空一行)

论文题目(格式：居中，三号黑体，加粗，标题不超过20字，不用非公知公用的缩写、化学式等)

(空一行)

——副标题(格式：居中，小三号黑体，加粗)

摘要(五号黑体，加粗)：□□□□五号楷体□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(五号楷体，行距16磅)关键词(五号黑体，加粗)：词1;词2;......词5(五号楷体)

(空一行)

Title(格式：居中，四号Time New Roman字加粗，行间距20磅，句首字母和专有名词首字母大写)

(空一行)

Abstract: □□□□□□□□□□□□□□。(五号Time New Roman体，行距16磅)

Key words: word1;word2;......word5(一一对应)(格式：五号Time New Roman体)

(空一行)

目录(格式：黑体四号字，字间空出4个半角字符，加粗，居中)

1(第1章)引言(绪论)................1 1.1 (第1章第1节)题名............1 1.1 (第1章第2节)题名............2 2 (第2章)题名..........2 2.1 (第2章第1节)题名............5 2.2 (第2章第2节)题名............6 2.2.1(第2章第2节第1目)题名.............7 2.2.2(第2章第2节第2目)题名............. ......8

......5 (第5章)结论(结束语)..............25 参考文献.................26 附录A ...........28 附录B ...........32......

致谢 .............36

(格式：宋体小四号，加粗，分散对齐，行间距20磅，

一、

二、三级标题序号与题名间均空出1个半角字符)

(空一行)

1一级标题(格式：宋体小四号，加粗，左对齐，标题序号与题名间空出2个半角字符)□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。(格式：宋体小四号，首行缩进4个半角字符，行距20磅) 1.1二级标题(格式：宋体小四号，左对齐，标题序号与题名间空出2个半角字符)□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。 1.2二级标题

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。

1.2.1三级标题(格式：宋体小四号，左对齐，标题序号与题名间空出2个半角字符)

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。

1.2.2.1四级标题(格式：宋体小四号，左对齐，标题序号与题名间空出2个半角字符)□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。 2一级标题

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。

......5结论(结束语)

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。

参考文献：(格式：宋体四号字，加粗，左对齐，左缩进4个半角字符)

(文献按正文部分标注的序号依次列出)(格式：宋体五号字，左对齐，左缩进4个半角字符，行距16磅)

示例：

[1] 廖荣宝，朱云，吴佳，等.对高校化学教材中杂化轨道理论的一点认识[J].阜阳师范学

院学报(自然科学版)，2009，26(4)：69-72.(期刊：主要责任者.文献题名[J].刊名，出

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附录A(格式：黑体四号字，加粗，左对齐)

标题(格式：黑体四号字，加粗，居中)

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。(格式：宋体小四号，首行缩进4个半角字符，行距20

磅)

附录B(格式：黑体四号字，加粗，左对齐)

标题(格式：黑体四号字，加粗，居中)

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。(格式：宋体小四号，首行缩进4个半角字符，行距20

磅)

致谢(格式：黑体四号字，加粗，居中)

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

□□□□□□□□□□□□□□□□。(内容一般不超过300字。格式：宋体小四号，首行缩

进4个半角字符，行距20磅)

表例：

表1NanoDrop ND-1000测定RNA质量

实验组 对照组

1.8

51.98

2.05

2.1

4147.84 140.1

220

40

2 956.8 5 604.8

(格式：表中文字五号，中文宋体，英文、数字Time New Roman体)

图例：

图2含二甲氨基查尔酮基团的三硫代碳酸酯在不同溶剂中的荧光光谱图

(格式：图题五号字，中文黑体，英文及数字Time New Roman体)

(格式：图中数字、字母、符号一般为小五号，图例为六号，中文用宋体，英文及数字用Time New Roman

体)

公式：

n

n

wi

n

fw(V1,,Vn)



j

1wiVj[1(1ti),1fi](1)

i1

i1

wi

(格式：图题五号字，中文黑体，英文及数字Time New Roman体)

(用公式编辑器输入，重要公式、多个公式应给出编号，全文按前后顺序连续编号，公式居中。要注意公式与物理量符号及上下角标。)

第四篇：用导数证明函数不等式的四种常用方法

本文将介绍用导数证明函数不等式的四种常用方法.

()x0). 例

1证明不等式：xln(x1证明

设f(x)xln(x1)(x0)，可得欲证结论即f(x)f(0)(x0)，所以只需证明函数f(x)是增函数. 而这用导数易证：

f(x)1所以欲证结论成立.

10(x0) x1注

欲证函数不等式f(x)g(x)(xa)(或f(x)g(x)(xa))，只需证明f(x)g(x)0(xa)(或f(x)g(x)0(xa)). 设h(x)f(x)g(x)(xa)(或h(x)f(x)g(x)(xa))，即证h(x)0(xa)(或h(x)0(xa)). 若h(a)0，则即证h(x)h(a)(xa)(或h(x)h(a)(xa)). 接下来，若能证得函数h(x)是增函数即可，这往往用导数容易解决. 例

2证明不等式：xln(x1). 证明

设f(x)xln(x1)(x1)，可得欲证结论即f(x)0(x1). 显然，本题不能用例1的单调性法来证，但可以这样证明：即证f(x)xln(x1)(x1)的最小值是0，而这用导数易证：

f(x)11x(x1) x1x1

所以函数f(x)在(1,0],[0,)上分别是减函数、增函数，进而可得

f(x)minf(1)0(x1)

所以欲证结论成立. 注

欲证函数不等式f(x)()g(x)(xI,I是区间)，只需证明f(x)g(x)()0x. (I设h(x)f(x)g(x)(xI)，即证h(x)()0(xI)，也即证h(x)min()0(xI)(若h(x)min不存在，则须求函数h(x)的下确界)，而这用导数往往容易解决.

bex1例3

(2014年高考课标全国卷I理科第21题)设函数f(x)aelnx，曲线

xxyf(x)在点(1,f(1))处的切线为ye(x1)2.

(1)求a,b;

(2)证明：f(x)1.

x解

(1)f(x)aelnxaxbx1bx1e2ee. xxx题设即f(1)2,f(1)e，可求得a1,b2.

x(2)即证xlnxxe21(x0)，而这用导数可证(请注意1)： ee设g(x)xlnx(x0)，得g(x)ming. 设h(x)xex1e1e12(x0)，得h(x)maxh(1).

ee注

i)欲证函数不等式f(x)g(x)(xI,I是区间)，只需证明f(x)ming(x)max(xI)，而这用导数往往可以解决. 欲证函数不等式f(x)g(x)(xI,I是区间)，只需证明f(x)ming(x)max(xI)，或证明f(x)ming(x)max(xI)且两个最值点不相等，而这用导数往往也可以解决. ii)例3第(2)问与《2009年曲靖一中高考冲刺卷理科数学

(一)》压轴题第(3)问完全一样，这道压轴题(即第22题)是：

已知函数f(x)xlnx,g(x)xax3. (1)求函数f(x)在[t,t2](t0)上的最小值;

(2)对一切x(0,),2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围; (3)证明：对一切x(0,)，都有lnx212成立. xeexln x例4 (2013年高考北京卷理科第18题)设L为曲线C：y=在点(1，0)处的切线.

x(1)求L的方程;

(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方. 解 (1)(过程略)L的方程为y=x-1. lnxx1(当且仅当x1时取等号). xx2-1+ln xlnx(x0). 设g(x)x1，得g′(x)=

x2x(2)即证当01时，x2-1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，得g(x)单调递增.

所以g(x)ming(1)0，得欲证结论成立. (2)的另解 即证仅当x1时取等号). 设g(x)xxlnx，可得g(x)2lnxx1(当且仅当x1时取等号)，也即证x2xlnx0(当且x2x1(x1)(x0). x进而可得g(x)ming(1)0，所以欲证结论成立. (2)的再解 即证lnxx1(当且仅当x1时取等号)，也即证lnxx2x(当且仅当xx1时取等号).

2如图1所示，可求得曲线ylnx与yxx(x0)在公共点(1,0)处的切线是yx1，所以接下来只需证明

lnxx1,x1x2x(x0)(均当且仅当x1时取等号)

前者用导数易证，后者移项配方后显然成立.所以欲证结论成立.

图1

例5

(2013年高考新课标全国卷II理21(2)的等价问题)求证：eln(x2). 分析

用前三种方法都不易解决本问题，下面介绍用导数证明函数不等式的第四种常用方法. 设f(x)e(x2),g(x)ln(x2)(x2)，我们想办法寻找出一个函数h(x)，使得f(x)h(x)g(x)(x2)且两个等号不是同时取到. 当然，函数h(x)越简洁越好. 但h(x)不可能是常数(因为函数g(x)ln(x2)(x2)的值域是R)，所以我们可尝试h(x)能否为一次函数，当然应当考虑切线. 如图2所示，可求得函数f(x)e(x2)在点A(0,1)处的切线是yx1，进而可得f(x)h(x)(x2);还可求得函数g(x)ln(x2)(x2)在点B(1,0)处的切线也是yx1，进而可得h(x)g(x)(x2).

xxx

图2 进而可用导数证得f(x)h(x)g(x)(x2)且两个等号不是同时取到，所以欲证结论成立. 当然，用例2的方法，也可给出该题的证明(设而不求)：

x设f(x)eln(x2)，得f(x)ex1(x2). x2可得f(x)是增函数(两个增函数之和是增函数)，且1fe20,f(1)e10，所以函数g(x)存在唯一的零点x0(得2(x02)ex01,x02ex0,ex01)，再由均值不等式可得 x02f(x)minf(x0)ex0ln(x02)11lnex0x0220x02x02

(因为可证x01)所以欲证结论成立. x例6 求证：elnx2.

x证法1

(例5的证法)用导数可证得ex1(当且仅当x0时取等号)，x1lnx2(当且仅当x1时取等号)，所以欲证结论成立.

x证法2

(例2的证法)设f(x)elnx，得f(x)ex1(x0). x可得f(x)是增函数且g11110,g(0)0，所以函数g(x)存在唯2e1.52一的零点x0(得ex01,x0ex0)，再由均值不等式可得 x011lnex0x02(因为可证x01)x0x0 f(x)minf(x0)ex0lnx0所以欲证结论成立. 注

欲证函数不等式f(x)g(x)(xI,I是区间)，只需寻找一个函数h(x)(可以考虑曲线yh(x)是函数yf(x),yg(x)的公切线)使得f(x)h(x)g(x)(x2)且两个等号不是同时取到，而这用导数往往容易解决. 下面再给出例5和例6的联系.

对于两个常用不等式exx1,lnxx1，笔者发现yex与ylnx互为反函数，yx1与yx1也互为反函数，进而得到了本文的几个结论.

定理

已知f(x),g(x)都是单调函数，它们的反函数分别是f1(x),g1(x). (1)若f(x)是增函数，f(s)g(s)恒成立，则f1(t)g1(t)恒成立;

11(2)若f(x)是减函数，f(s)g(s)恒成立，则f(t)g(t)恒成立; 11(3)若f(x)是增函数，f(s)g(s)恒成立，则f(t)g(t)恒成立; 11(4)若f(x)是减函数，f(s)g(s)恒成立，则f(t)g(t)恒成立. 证明

下面只证明(1),(4);(2),(3)同理可证. (1)设不等式f(s)g(s)中s的取值范围是A，当sA时，f(s),g(s)的取值范围分别是fA,gA，得不等式f1(t)g1(t)中t的取值范围是fAgA，所以

1tfAgA,x0A,tgx(0x),gt. ()0由f(s)g(s)恒成立，得g(x0)f(x0). 由f(x)是增函数，得

f1(x)也是增函数，所以f1(g(x0))f1(f(x0))x0g1(g(x0))，即f1(t)g1(t). 得tfAgA,f1(t)g1(t)，即欲证结论成立. (4)设不等式f(s)g(s)中s的取值范围是A，当sA时，f(s),g(s)的取值范围分别是fA,gA，得不等式f1(t)g1(t)中t的取值范围是fAgA，所以

1tfAgA,x0A,tgx(0x),t. ()0g由f(s)g(s)恒成立，得g(x0)f(x0). 由f(x)是减函数，得

f1(x)也是减函数，所以f1(g(x0))f1(f(x0))x0g1(g(x0))，即f1(t)g1(t). 得tfAgA,f1(t)g1(t)，即欲证结论成立. 推论1

已知f(x),g(x)都是单调函数，它们的反函数分别是f1(x),g1(x). (1)若f(x),g(x)都是增函数，则f(s)g(s)恒成立f1(t)g1(t)恒成立; (2)若f(x),g(x)都是减函数，则f(s)g(s)恒成立f1(t)g1(t)恒成立. 证明

(1)由定理(1)知“”成立.下证“”：

因为g(x)是增函数，g1(t)f1(t)恒成立，g1(x),f1(x)的反函数分别是g(x),f(x)，所以由“”的结论得g(s)f(s)恒成立，即f(s)g(s)恒成立. (2)同(1)可证.

推论2

把定理和推论1中的“,”分别改为“,”后，得到的结论均成立. (证法也是把相应结论中的“,”分别改为“,”.)

在例5与例6这一对姊妹结论“eln(x2),lnxe2”中ye与ylnx互为

x反函数，yln(x2)与ye2也互为反函数，所以推论2中的结论“若f(x),g(x)都11是增函数，则f(s)g(s)恒成立f(t)g(t)恒成立”给出了它们的联系.

xxx

第五篇：高二培优讲义1构造函数法证明不等式的七种方法

利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年考试的热点。解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。以下介绍构造函数法证明不等式的七种方法。

一.移项法、作差法构造函数 例1.已知函数f(x)1

2x2

lnx. 求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)

2

33x的图象的下方.二.换元法构造函数证明

例2.证明：对任意的正整数n，不等式ln(

11)11

nn2

n3

都成立.

三.从条件特征入手构造函数证明

例3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>-f(x)恒成立，且常数a，

b满足a>b，求证：.af(a)>bf(b)

四.主元法构造函数

例4.已知函数f(x)ln(1x)x,g(x)xlnx 设0ab,证明 ：0g(a)g(b)2g(

ab

2)(ba)ln2. 1

五.构造二阶导数函数证明导数的单调性 例5.已知函数f(x)aex

12

x2 (1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围; (2)若a=1,求证:x>0时,f(x)>1+x

六.对数法构造函数(选用于幂指数函数不等式) 例6.证明：当x0时,(1x)11x

e

1

x2

七.构造形似函数

例7：证明当bae,证明abba

例8：已知m、n都是正整数，且1mn,证明：(1m)n

(1n)m

经典题选

1. 已知函数f(x)ln(1x)x

1x

，求证：对任意的正数a、b，恒有lnalnb1ba.

2.已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有

1

x1

ln(x1)x

3.已知函数2

f(x)ln2(1x)x.

1x

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若不等式(11n

)nae对任意的nN*都成立(其中e是自然对数的底数).求a的最大值.

4. 已知函数f(x)

12

x2

ax(a1)lnx，a1. 证明：若a5，则对任意xf(x1)f(x2)

1,x2(0,)，x1x2，有x1.

1x2

5. 已知函数f(x)xlnxax2

(2a1)xaR. (1)当a

时，求f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在[1,)单调递减，求实数a的取值范围.

6. 已知函数f(x)alnxb，曲线yf(x)在点(1,f(1)处)的切线方程为

x1

x

x2y30.

(I)求a，b的值;

(II)证明：当x>0，且x1时，f(x)lnx.

x1

7. 已知函数f(x)

lnxk

ex

(k为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行. (Ⅰ)求k的值;

(Ⅱ)求f(x)的单调区间;

(Ⅲ)设g(x)xf(x),其中f(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x0,g(x)1e2

8. 设函数f(x)axn

(1x)b(x0),n为正整数,a,b为常数,

曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线方程为xy1. (1)求a,b的值;

(2)求函数f(x)的最大值;(3)证明:f(x)

1ne

. 答案：3.(1)增(-1,0)减(0，+∞)(2)a≤1

2)a≥1

ln2−1;5.(1)减(0，+∞)(2;6.a=b=1;7.(1)k=1(2)增(0,1)减(1，+∞);8.(1)a=1，b=0;(2nn

(n+1)