Richardson_Lucy (简称RL) 迭代算法[1,2]是一种快速非盲去卷积算法。其应用非常广泛, 不仅用于求解非盲去模糊问题, 而且用于求解盲去模糊问题[3,4]。RL迭代算法的最大优点是非负性, 即假设第一次迭代结果为正, 则以后的迭代值都为正值。但是它也有一些缺点, 例如振铃效应, 噪声的敏感性。为了克服RL算法的缺点, 后人对其进行了不断改进, 改进方法主要集中在两个方面, 一方面是采用预处理方法先对图像去噪, 再利用RL算法进行非盲去卷积, 分别采用高斯滤波器、小波、加权光滑等方法对图像进行去噪预处理, 然后对预处理图像使用RL算法去卷积;另一方面是通过添加不同正则项, 利用正则化方法, 产生了不同的基于正则化约束的RL算法。Conchello等人添加了Tiknonov正则项, 提出了Tiknonov_RL迭代算法, 该算法对噪声不敏感, 但是Tiknonov正则项使图像过光滑。Dey等人添加了总变分 (TV) 正则项, 提出了TV_RL算法, 该算法克服了Tiknonov_RL算法过平滑的缺点, 它对噪声不敏感, 且能恢复图像的阶跃边缘。Yuan等人添加了双边 (Bilateral) 正则项, 提出了双边RL (BRL) 算法, 由于双边正则项利用了图像像素的位置信息和灰度信息, 所以该算法具有较好的抗噪性, 并且能够恢复图像的锋利边缘。其它改进算法是将RL算法与其它方法相结合, 提出了基于投影路径的RL算法, 用于处理三维空间变化模糊核;基于极值滤波的RL改进算法, 可以有效地抑制振铃效应。
针对RL迭代算法及其基于正则化约束的改进算法, 何时停止迭代成为了这些迭代算法的关键问题。如果迭代次数太少, 则恢复不出好的图像效果, 例如恢复的图像有振铃效应, 或图像不清晰, 锋利边缘太少等;如果迭代的次数太多, 则必然会造成时间上的浪费, 噪声的放大, 甚至恢复出一些伪细节信息等。基于统计信息的停止准则, 该准则仅可以停止RL算法的迭代。Dey等人提出了基于差值测量法的停止准则, 该方法虽然能够适时地停止RL迭代算法, 但是它需要一个固定的阈值, 由于RL算法基于正则化约束, 所以该阈值的选取主要依赖于正则化参数的选择。因此它不能自适应地停止算法迭代, 并且针对不同的正则化参数很难准确找到合适的阈值, 导致求解过程耗时长。为了克服基于差值测量法停止准则的缺点, 本文首次提出基于边缘像素统计的停止准则。
通过对图像边缘检测的几种常用方法实验比较, 得出Sobel边缘检测算子最适用于本文。在图像去模糊过程中, 采用Sobel算子检测恢复图像的边缘, 根据边缘像素变化情况制定了基于边缘像素统计的停止准则, 该准则不受迭代算法的影响, 不受任何正则化参数的影响, 能够自适应地停止算法迭代。本文对几种算法进行了实验, 结果表明本文停止准则能够自适应地停止算法迭代, 并且能够恢复出好的图像效果。
一、RL算法及其基于正则化约束的改进算法
(一) 经典的RL算法
若观察图像是由清晰图像经点扩散函数退化, 并受泊松噪声影响所得, 则模糊图像的形成过程可以表述为:
其中g表示观测的模糊图像, f是清晰图像, k是模糊核, ℘是泊松处理过程, ⊗表示卷积算子。关于图像的似然概率可以表示为:
根据信息熵的理论, 对上式两端同时取负对数, 可得RL算法的能量函数为:
最小化能量函数可得RL算法的迭代公式:
其中n表示迭代次数, k*表示k的共轭算子, 即
(二) 总变分RL (TV＿RL) 算法
TV_RL算法的能量函数为:
其中div (·) 表示散度算子。
(三) 双边RL (BRL) 算法
BRL算法的能量函数为:
二、迭代停住准则
(一) 基于差值测量法的迭代停止准则
为了停止RL迭代算法及其改进算法, 文献提出了基于差值测量法的停止准则。若连续两次迭代, 恢复图像之间的差值小于某一阈值时, 则停止迭代;并假设最后一次估计的结果为最好的恢复结果。测量准则定义为:
一般情况下t的取值为10-4或10-6左右, 基于不同精度可以选择不同的值。正则化参数的变化引起阈值赌变化, 所以t值的选择依赖正则化参数的选择, 一般当正则化参数较大时, t的值不宜太小。
(二) 基于边缘像素统计的迭代停止准则
基于差值测量法停止准则的阈值受正则化参数的影响, 因此很难自适应地停止算法迭代, 并且参数变化时很难准确地找到合适的阈值t。为了改进这种停止准则的缺点, 本文首次提出了基于边缘像素统计的停止准则, 准则定义为:
迭代停止准则确定原因:
第一:在去模糊过程中, 迭代算法会随着迭代次数的增加, 恢复出越来越清晰的图像。图像是否清晰主要取决于其边缘是否清晰, 因此迭代算法随着迭代次数的增加, 恢复图像的边缘像素个数也不断地增加, 即边缘像素变化曲线呈递增趋势.
第二:每种迭代算法合理的必要条件是其解必须收敛, 即在迭代一定次数后, 恢复图像不再发生变化。当恢复图像不再变化时, 图像的边缘也不再变化, 即图像边缘像素的个数达到稳定, 边缘像素变化曲线趋于稳定。所以, 由第一条和第二条可知, 边缘像素曲线的变化趋势为先迅速增加, 后趋于稳定。
第三:本文采用第k次迭代点处的曲线平均斜率值作为该点的曲线斜率, 避免了算法趋于收敛时的微小震荡, 能更准确地确定算法的迭代停止时间.
三、实验结果与分析
(一) 各种边缘检测算子的对比实验
采用综合数据进行实验测试。首先选择20幅图像, 采用5种不同的运动模糊核, 产生100幅运动模糊图像;然后利用TV_RL算法进行非盲去卷积, 并利用五种边缘检测算子 (Prewitt算子、Roberts算子、Sobel算子、Log算子、Canny算子) 检测算法迭代过程中恢复图像的边缘像素个数;最后统计边缘像素的变化情况, 对每种检测算子的检测结果求平均, 绘制出其平均边缘像素变化曲线图, 如图1所示。
由图1可知, 在算法迭代过程中, Roberts算子检测的边缘像素变化曲线是先增长后下降, 不符合迭代算法的要求;Log算子检测的边缘像素变化曲线在不断地递增, Canny算子检测的曲线在不断地上下震荡, 只有Sobel算子和Prewitt算子检测的边缘像素变化曲线是先增长然后再趋于稳定。通过实验可知Sobel算子和Prewitt算子检测的边缘像素变化曲线是最符合去模糊过程中边缘像素变化的情况, 但是Prewitt算子对噪声很敏感, 而Sobel算子受噪声的影响比较小, 所以本文采用Sobel算子检测恢复图像的边缘。
(二) 迭代过程中恢复图像的边缘像素变化曲线图
实验选取Einstein运动模糊图像 (运动像素个数为15, 运动方向为30°) , 分别采用RL迭代算法、TV_RL算法和BRL算法三种算法对模糊图像进行去模糊, 绘制恢复图像的边缘像素变化曲线图, 如图2所示:
由图2可知, RL迭代算法、TV_RL算法、BRL算法在去模糊过程中, 恢复图像的边缘像素变化曲线都是先增长后趋于稳定, 表明了本文停止准则的合理性。
(三) 迭代停止准则的自适应性
首先对正则化参数取不同值, 比较两种迭代停止准则的停止时间, 表明本文方法不受正则化参数的影响, 具有自适应性;然后对RL迭代算法、TV_RL算法、BRL算法进行实验, 比较两种迭代停止准则的恢复图像, 表明不受迭代算法的影响, 两组实验表明本文方法具有自适应性。
1. 两种迭代停止准则的阈值与正则化参数之间的关系
实验采用cameraman运动模糊图像 (运动像素个数15, 运动方向45°) , 采用TV_RL算法去模糊, 最大迭代次数2000次。TV_RL算法的正则化参数λ取5种不同的值, λ=0.001, 0.0005, 0.0001, 0.00005, 0.00001;基于差值测量法停止准则的阈值t取2种不同的值, t=0.0005, 0.00015。大量实验表明, 平均曲线斜率的求解使用2-5次地连续迭代, 斜率的近似估计使用5-10次地连续迭代。本文停止准则的阈值取固定值T=0.01, 平均曲线斜率的求解使用3次连续迭代, 斜率的近似估计使用8次连续迭代, 在迭代结束后画出λ取不同值时恢复图像的边缘像素变化曲线图和psnr变化曲线图, 并在曲线上标记出两种迭代停止准则的停止时间, 如图 (3, 4) 所示.
图3给出了当阈值t=0.0005时, 两种迭代停止准则的停止时间, 图3 (a) 、 (b) 中, 曲线上绿色的圆点表示本文方法的停止时间, 曲线上红色的圆点表示基于差值测量法的停止时间。图3 (a) 是边缘像素变化曲线图, 观察曲线上圆点的分布可知, 无论λ取何值, 基于差值测量法的停止时间都集中在曲线增长较快的区域;而本文的停止时间都处于曲线趋于稳定的区域中。图3 (b) 是psnr变化曲线图, 观察曲线上圆点的分布, 发现与边缘像素变化曲线上圆点的分布有相似的结果, 本文方法恢复的图像具有更高的psnr值, psnr越大, 说明恢复图像与真实图像越接近, 恢复的图像越好。因此本文的停止时间更合适, 使得恢复图像具有较多的边缘像素和较大的psnr值。进一步也说明了基于差值测量法停止准则的阈值选择不合适, 下一组实验我们选取更合适的阈值。
图4给出了当阈值t=0.00015时, 两种停止准则的停止时间, 曲线上圆号的标记与图3的意义相同。观察图4 (a) 和 (b) , 虽然当λ=0.001时, 两种停止准则的停止时间非常靠近, 但是针对其它的正则化参数, 我们发现本文方法的停止时间都分布于图像边缘像素曲线和psnr曲线趋于稳定的区域, 而基于差值测量法的停止时间都集中在图像边缘像素曲线和psnr曲线增长较快的区域。因此当t发生变化时, 基于差值测量法停止准则只能使λ取某一固定值时达到较好的恢复结果, 而对其它λ的取值不能到达好的恢复结果。
图3、4表明, 基于差值测量法停止准则的阈值是随着正则化参数的变化而变化的, 针对不同的正则化参数, 要选择不同的阈值, 才能使迭代算法在合适的时间停止迭代, 因此它不能自适应地停止算法迭代, 并且针对不同的正则化参数很难准确地找到合适的停止阈值。而本文的停止阈值不受正则化参数的影响, 无论正则化参数取何值, 都能使迭代算法在合适的时间停止, 实现了迭代停止准则的自适应性, 减少了时间的浪费。
2. 针对不同迭代算法, 两种迭代停止准则的比较实验
为了评价恢复图像的质量, 本文计算了恢复图像与清晰图像之间的PSNR值和结构相似性 (SSIM) , 统计了基于差值测量法的差值χ和恢复图像的边缘像素总个数 (EDGE) 。以下实验中, 基于本文方法的实验参数都相同, 其中平均曲线斜率的求解使用3次连续迭代。
(四) RL迭代算法
实验对象为运动模糊图像lenna (运动像素个数为15, 运动方向为30°) , 采用RL迭代算法去模糊。基于差值测量法的阈值t=0.0001。图5和表1给出2000次迭代、基于差值测量法的停止迭代和基于本文方法的停止迭代所恢复的图像及其客观评价。
由图5 (e) 可知, 边缘像素的变化曲线在算法迭代600次左右趋于稳定, 本文停止准则迭代了603次, 实验表明该停止时间是合适的, 其恢复的图像如图5 (c) 所示, 由于RL算法自身的缺点恢复图像出现了一些振铃效应。基于差值测量法停止准则迭代了201次, 其恢复图像如图5 (b) 所示, 恢复图像也出现了振铃。图5 (d) 为2000次迭代恢复的图像, 它虽然减少了振铃, 但是出现了很多伪细节信息。由表1的对比分析可知, 虽然本文方法的SSIM值略低于差值测量法, 但PSNR值和边缘像素个数均高于差值测量法, MSE值也优于差值测量法, 客观表明了本文方法恢复的图像效果较好。
(五) TV＿RL迭代算法
实验对象为运动模糊图像computer (运动像素个数为15, 运动方向为45°) , 采用TV_RL算法去模糊。正则化参数λ=0.001, 基于差值测量法的阈值t=0.0005。图6和表2给出2000次迭代、基于差值测量法的停止迭代和基于本文方法的停止迭代所恢复的图像及其客观评价。
由图6 (e) 可知, 边缘像素变化曲线在算法迭代500次左右趋于稳定, 本文停止准则迭代了524次, 实验如图6 (c) 所示表明该停止时间是合适的;基于差值测量法停止准则迭代了103次, 恢复图像有明显的振铃效应, 如图6 (b) 所示;图7 (d) 为2000次迭代恢复的图像, 可见和本文的迭代恢复图像视觉差异不大。由表2的对比分析可知, 本文方法的SSIM值、PSNR值和边缘像素个数均高于差值测量法, MSE值也优于差值测量法。虽然本文方法的客观评价与2000次迭代相比较并无明显优势, 但本文方法大大降低了时间开销。因此本文方法是有效的, 合理的。
(六) BRL迭代算法
实验对象为运动模糊图像pencil-vase (运动像素个数为15, 运动方向为15°) , 采用BRL迭代算法去模糊。正则化参数λ=0.01, 基于差值测量法的阈值t=0.00001。图7和表3给出2000次迭代、基于差值测量法的停止迭代和基于本文方法的停止迭代时所恢复的图像及其客观评价。
由图7 (e) 可知, 边缘像素变化曲线在算法迭代600次左右趋于稳定, 本文停止准则迭代了608次, 恢复图像如图8 (b) 所示, 实验表明停止时间是合适的。从视觉上看, 本文的恢复图像与图8 (c) 和8 (d) 的恢复图像差异不大, 它们在平坦区域都出现了振铃效应, 对比差值测量法, 本文的迭代次数少, 降低了时间开销。由表3的对比分析可知, 虽然本文方法的EDGE值略低于差值测量法, 但是本文方法的SSIM值、PSNR值均高于差值测量法, MSE值也优于差值测量法, 因此本文方法不仅能够恢复出好的图像效果, 而且大大降低了迭代算法的时间开销。
本节通过对两种停止准则的阈值与正则化参数之间关系地分析及对RL迭代算法、TV_RL算法、BRL算法的实验, 表明了本文方法不受迭代算法影响, 不受正则化参数影响具有自适应性。
四、结束语
本文提出了RL迭代算法及其基于正则化约束改进算法的一种新的迭代停止准则——基于边缘像素统计的迭代停止准则, 大量实验表明了该停止准则的有效性和合理性。通过采用不同正则化参数及多种迭代算法的实验, 表明本文迭代停止准则与正则化参数及迭代算法的选取无关, 具有自适应性。未来的研究方向, 一方面是将本文方法推广到其它的图像恢复迭代算法中, 研究其是否有效;另一方面是本文方法对含有较大噪声的模糊图像在迭代恢复时, 不能适时地停止迭代, 需进一步研究改进。
摘要：Richardson＿Lucy算法是一种快速的迭代去卷积算法。针对差值测量停止准则不能自适应地停止迭代Richardson＿Lucy算法及其基于正则化约束的改进算法的不足, 提出了基于边缘像素统计的迭代停止准则这一新的算法。经过比较优化, 选择Sobel检测算子检测图像的边缘像素变化曲线;采用最小二乘法估计边缘像素变化曲线的斜率。通过实验, 得到基于边缘像素统计的迭代停止准则不受正则化参数的影响, 具有自适应性, 可以适时地停止算法迭代, 并且在算法停止时可以获得好的图像恢复效果。
关键词：RichardsonLucy算法,正则化方法,自适应性,边缘像素统计,停止准则
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