初三数学期中总结范文第1篇
高一数学期中考试按事先的计划已圆满地结束了。从考试的结果看与事前想法基本吻合。考试前让学生做的一些事情从成绩上看都或多或少有了一定的效果。期中高103，104班为二类实验班，本次考试平均分分别为107.71和104.32，高110班为普通班，本次考试平均分为67.16，现将考试前考后的一些问题总结如下。 (1)考试的内容：
本次考试主要考查内容为高中数学必修1全册，从卷面上看，从分值分布看各考点基本合理。但此次试卷计算量稍大，对于平行班和加强班级而言，学生考试效果不太明显。
(2)考试成绩分析与反思
笔者教的班级是高一(3)，高一(4)班为实验班，入学成绩良好，学习风气比较好，学生乐学，肯下功夫，所以本学在教学管理方面比较轻松，从考试结果看，平时学习认真的同学基本上考出较好成绩，学习态度差的考出差的成绩，说明本试卷基本上能反映学生的学习状态。高一(10)班为普通班，本次考试成绩为普通班级第二名，但是从实际测试结果来看，学生还有很大的上升空间。各知识点的掌握情况不太乐观。无论教育制度怎么改，量化出来的分数始终是最让师生关注的，高考也是这样，总结大会上各级领导也基本上以分数或者分差多少来评论教师的个人业绩，至少目前还没有什么其他好的考评方法，多少年来似乎从未改变过。因而在平时的教学中就要注意做哪些事情能提高学生的成绩。根据个人的经验，学生的成绩有很大的弹性，不同的老师的教学，考出来的成绩会有很大区别，反思本人的教学行为有很多的不足，更应该做好这几项工作.
第一、必须每天都扎实在做好备课与辅导工作。上课时间少了，只有从课堂效率上入手，课前将学生定时定量应知应会的东西整理好，在课堂上比较流畅的讲解，适当控制好学生的学习行为。想尽一切办法，提高学生在课堂上的学习效率。
第二、辅导工作要加强，教学过程中发现考得好的老师课外会经常到班级转转，在课后了解学生的学情也很重要，个别辅导的工作还要加强。有时学生上课注意力不够集中，理解力也有些偏差，这些学生要靠老师课后适当关注，才会学得好一些。有时学生当天的学习负担过轻，就要将复习的内容及时补充，学有余力的学生要多练一练，一般情况下高一数学考前复习的时间会很短，如果到考前几天才复习，有的不会学习的学生忘得差不多了。如果让学生自己做好复习工作，仅仅说说而没有具体的题目也没有多大效果，对于大多数学生是不现实的，学生从小到大都对老师有很强的依赖性，如果我们只是说说而已，复习的工作显然是不够的。必须落到实处，老师要多思考，多做一些对学生课内外学习有效的工作。
第三、自己要独立思考，哪些东西讲，哪些东西不讲，哪些先讲，哪些后讲要根据学情做到心中有数，在适当的时间提出适当的问题，应该是比较好的做法。
第四、引导学生学会自主学习，成绩好的老师往往有一些方法，一些管理学生的做法要仔细研究。我们所教的学生还不能放任自流，不会学习，不会找问题研究，不会独立地进行有质量的思考是常见的事。要逐步引导他们学会独立思考，提出有质量的问题，自主解决一些常见的问题。 总之，从这次考试有很多值得总结与反思的地方，相信下次会有更好的教学效果。
初三数学期中总结范文第2篇
在这次期中考试中，四(3)班总参考人数54人，总分
分，平均分74.13分;90—99分3 人，80—89分
人，70—79分
人，60—69分
人，50—59分 1 人，40—49分 3人，40分以下 1 人。
对于这次期中考试成绩，可以说是相当不理想，现作以下分析：
本次期中考试试卷，总的来说，其考核内容是比较全面、综合的，题型也比较全面，不会超出所学范围，能全方位考核学生对上半学期所学知识的掌握程度。在题目的安排上，由易到难，题量适中，分数的分配较合理。所以说，整张试卷，对于本学期上半学期知识的考核是全面而详尽的，在难易度上是适中。但学生考出来的成绩却并不理想，究其原因在于：
学生中存在相当一部分的同学基础知识不扎实，不过关。这次考试中50分以下的学生很多是由于基础差，基础知识薄弱，有个别几个学生甚至连加、减、乘、除四则运算都不过关。而这些
二、三年级的知识不过关，到了四年级就跟不上了。中层生60—79分的学生也占了相当大的比例，这部分的学生主要是因为对所学知识掌握不扎实、不牢固，做起题来丢三落四的，容易出错。高层生80—99分的学生占的比例小。优秀生极少，原因在于这部分学生中存在着思维不够灵活，在运用所学知识方面不够灵活，题目稍微“转了个弯”，就解答不出来;另外，由于做题不够小心谨慎，也容易失分。而失分的原因多在于做题马虎，不细心，把数字看错或漏写。
另外，学生的成绩提不高，还在于很多学生对于数学的学习兴趣不够，不能自觉、自主地学习。在遇到不懂得问题，也不闻不问，得过且过。甚至有些学生，根本就不知道自己哪些知识不懂，整天迷迷糊糊的。学生的学习兴趣非常重要，很多学生对于学习没兴趣，上课也不能专心听讲，课后又没自主学习，成绩就无法提高了。再者，根据家长会所了解到的情况，很多学生在家里的学习不自觉，相当一部分的学生回到家里只是完成当天的作业而已，谈不上预习、复习。
当然，学生考出这样的成绩，作为科任的我，也有不可推卸的责任。未能及时跟踪追进，查漏补缺，没有及时了解学生的掌握情况，这是我的不足。另外，由于上半学期的授课时间较紧迫，在教学中讲的比较快，巩固练习不够，复习时间不够，这也是导致本次考试成绩差的原因之一。
初三数学期中总结范文第3篇
初三数学知识点总结
一、直线、相交线、平行线
1.线段、射线、直线三者的区别与联系
从图形、表示法、界限、端点个数、基本性质等方面加以分析。
2.线段的中点及表示
3.直线、线段的基本性质(用线段的基本性质论证三角形两边之和大于第三边)
4.两点间的距离(三个距离：点-点;点-线;线-线)
5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角)
6.互为余角、互为补角及表示方法
7.角的平分线及其表示
8.垂线及基本性质(利用它证明直角三角形中斜边大于直角边)
9.对顶角及性质
10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系)
11.常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12.定义、命题、命题的组成
13.公理、定理
14.逆命题
二、三角形
分类：⑴按边分;
⑵按角分
1.定义(包括内、外角)
2.三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，
3.三角形的主要线段
讨论：①定义②线的交点-三角形的心③性质
① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线
⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形
4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质
5.全等三角形
⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)
⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法
6.三角形的面积
⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
7.重要辅助线
⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线
8.证明方法
⑴直接证法：综合法、分析法
⑵间接证法-反证法：①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法
⑸证线段和差关系：延结法、截余法
⑹证面积关系：将面积表示出来
三、四边形
分类表：
1.一般性质(角)
⑴内角和：360
⑵顺次连结各边中点得平行四边形。
推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2：顺次连结对角线互相垂直的`四边形各边中点得矩形。
⑶外角和：360
2.特殊四边形
⑴研究它们的一般方法:
⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定
⑶判定步骤：四边形平行四边形矩形正方形
⑷对角线的纽带作用：
3.对称图形
⑴轴对称(定义及性质);⑵中心对称(定义及性质)
4.有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2
②三角形、梯形的中位线定理
③平行线间的距离处处相等。(如，找下图中面积相等的三角形)
5.重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常平移一腰、平移对角线、作高、连结顶点和对腰中点并延长与底边相交转化为三角形。
6.作图：任意等分线段。
初三数学知识点归纳大全
第四章直线形
★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。
☆内容提要☆
一、直线、相交线、平行线
1.线段、射线、直线三者的区别与联系
从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。
2.线段的中点及表示
3.直线、线段的基本性质(用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”)
4.两点间的距离(三个距离：点-点;点-线;线-线)
5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角)
6.互为余角、互为补角及表示方法
7.角的平分线及其表示
8.垂线及基本性质(利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”)
9.对顶角及性质
10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系)
11.常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12.定义、命题、命题的组成
13.公理、定理
14.逆命题
二、三角形
分类：⑴按边分;
⑵按角分
1.定义(包括内、外角)
2.三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，
3.三角形的主要线段
讨论：①定义②__线的交点―三角形的×心③性质
①高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线
⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形
4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质
5.全等三角形
⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)
⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法
6.三角形的面积
⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
7.重要辅助线
⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线
8.证明方法
⑴直接证法：综合法、分析法
⑵间接证法―反证法：①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法
⑸证线段和差关系：延结法、截余法
⑹证面积关系：将面积表示出来
三、四边形
分类表：
1.一般性质(角)
⑴内角和：360°
⑵顺次连结各边中点得平行四边形。
推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
⑶外角和：360°
2.特殊四边形
⑴研究它们的一般方法:
⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定
⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形
┗→菱形――↑
⑷对角线的纽带作用：
3.对称图形
⑴轴对称(定义及性质);⑵中心对称(定义及性质)
4.有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2
②三角形、梯形的中位线定理
③平行线间的距离处处相等。(如，找下图中面积相等的三角形)
5.重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。
6.作图：任意等分线段。
初中数学知识点总结归纳
代数部分：有理数、无理数、实数整式、分式、二次根式一元一次方程、一元二次方程、二(三)元一次方程组、二元二次方程组、分式方程、一元一次不等式函数(一次函数、二次函数、反比例函数)
几何部分：线段、角相交线、平行线三角形、四边形、相似形、圆。
1、实数的分类
有理数：整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数。如：-3，，0.231，0.737373...
无理数：无限不环循小数叫做无理数如：π，-，0.1010010001...(两个1之间依次多1个0)。
实数：有理数和无理数统称为实数。
2、无理数
在理解无理数时，要抓住"无限不循环"这一时之，它包含两层意思：一是无限小数;二是不循环.二者缺一不可.归纳起来有四类：
(1)开方开不尽的数，如等;
(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等;
(3)有特定结构的数，如0.1010010001...等;
(4)某些三角函数，如sin60o等。
注意：判断一个实数的属性(如有理数、无理数)，应遵循：一化简，二辨析，三判断.要注意："神似"或"形似"都不能作为判断的标准.
3、非负数：正实数与零的统称。(表为：x≥0)
常见的非负数有：
性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。
4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴("三要素")。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
5、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
初三数学期中总结范文第4篇
初三总复习是重要的教学阶段，是学生再学习的过程，也是全面提高学生文化素质，发展学生思维能力，培养学生分析问题解决问题能力的“收获季节”，是学生继续学习和参加工作的准备阶段，作为初登岗位的教师直接带了毕业班，经历不断地学习与自我总结，几多耕耘，几多收获。现将一学期的经验与不足总结如下：
一、总复习工作要面向全体学生 具体做法是：
㈠教师的板书与学生的板演
教师的板书应体现知识的发生过程，知识之间的纵横联系，对问题的解答要让学生看解题思路及学生参与情况，教师的板书布局要合理，层次要分明，电教手段运用要和谐。
强化学生板演作用，让不同层次学生都有机会表现，因为学生板演可为教师提供反馈信息，如暴露知识上的缺欠，可弥补讲课中的不足，同时，学生板演中出现的优秀解题方法，为教师提供向学生学习的良好机
1 会;另外也可以培养学生胆识，培养学生独立思考能力，促进记忆。
㈡注重学生解题中的错误分析
在总复习中，学生在解题中出现错误是不可避免，教师针对错误进行系统分析是重要的，首先教师可以通过错误来发现教学中的不足，从而采取措施进行补救;错误从一个特定角度揭示了学生掌握知识的过程，是学生在学习中对所学知识不断尝试的结果，教师认真总结，可以成为学生知识宝库中的重要组成部分，使学生领略解决问题中的探索、调试过程，这对学生能力的培养会产生有益影响。
首先，教师应预防错误的发生，要了解不同层次学生对知识的掌握情况，调查中发现： ⑴字面理解水平 ⑵联系的理解水平 ⑶创造性水平
其次，在复习过程中，提问是重要复习手段，对于学生错误的回答，要分析其原因进行有针对性的讲解，这样可以利用反面知识巩固正面知识。
最后，课后的讲评要抓住典型加以评述。事实证明，练是实践，评是升华，只讲不评，练习往往走过场。 ㈢关心学习上有困难的学生
2 对学习有困难的学生特别予以关心，反复采取措施，激发他们学习数学的兴趣，指导他们改进学习方法，帮助他们解决学习中的困难，使他们经过努力，能够达到大纲中规定的基本要求，成为一名合格的初中毕业生。
首先，教师找他们促膝谈心，把教师的爱倾注给学生，教师热心、体贴、耐心的帮助，学生会从心理体会到师生之间真挚情感，从而激发他们的学习信心。 其次，在课堂教学中，特别在题目的选择上要有梯度，符合他们的认知水平，逐步使他们学习质量有所提高。 最后，在班内开展学习中的互相帮助活动，创设一个良好的复习情境，同时，有计划、有针对性地做好课外辅导工作。
二、要把“发展学生思维能力是培养能力的信心”这思想贯穿整个复习的始终。
1、变更命题的表现形式，培养学生思维的深刻性。
2、寻求不同的解题途径与思维方式，培养学生的思维广阔性。
3、变化几何图形的位置、形状和大小，培养学生思维的灵活性，敏捷性。
4、强化题目的条件和结论，培养学生的思维批评性。
5、变封闭题目为开放型题目，培养学生的思维创造
3 性。
三、做好数学技能的再学习，全面培养学生素质 根据数学大纲的规定，一般认为数学技能指以下3种 ⑴运算技能 ⑵作图和画图技能 ⑶推理技能
为此，在数学复习中，特别在学生练习中要做到下面几个方面：第一，正确性。要求学生在解题过程中遵循正确思维规律和形式，在
运算、推理、作图中和所得结论中都要准确无误。 第
二、速度。注重解题速度。
四、工作中存在的问题
1、教材挖掘不深入。
5、教法不灵活，不能吸引学生学习，对学生的引导、启发不足。
3、新课标下新的教学思想学习不深入。对学生的自主学习,合作学习,缺乏理论指导.
4、差生转化力度不够。由于对学生的了解不够，对学生的学习态度、思维能力不太清楚。上课和复习时该讲的都讲了，学生掌握的情况怎样，教师心中无数。导致了教学中的盲目性。
5、教学反思不够。
五、今后努力的方向
1、加强学习，学习新课标下新的教学思想。
5、学习新课标，挖掘教材，进一步把握知识点和考点。
3、多听课，学习同科目教师先进的教学方法的教学理念。
4、加强转差培优力度。
初三数学期中总结范文第5篇
圆知识点总结
一、本章知识框架
二、本章重点
1.圆的定义：
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
2.判定一个点P是否在⊙O上.
设⊙O的半径为R，OP=d，则有
d>r点P在⊙O
外;
d=r点P在⊙O
上;
d
内.
3.与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.
(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角.
弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角.
弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半.
4.圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
(5)平行弦夹的弧相等.
5.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.
(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
6.切线的判定、性质：
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
7.圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
8.直线和圆的位置关系：
设⊙O
半径为R，点O到直线l的距离为d.
(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R.
(3)直线l和⊙O
有两个公共点直线l和⊙O
相交d
9.圆和圆的位置关系：
设的半径为R、r(R>r)，圆心距.
(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R+r.
(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d
(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d=R+r.
(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d=R-r.
(5)有两个公共点相交R-r
10.两圆的性质：
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
11.圆中有关计算：
圆的面积公式：，周长C=2πR.
圆心角为n°、半径为R的弧长.
圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl
，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
【经典例题精讲】
例1
如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变?
分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律.
解：
连结OP，
P点为中点.
小结：此题运用垂径定理进行推断.
例2
下列命题正确的是(
)
A.相等的圆周角对的弧相等
B.等弧所对的弦相等
C.三点确定一个圆
D.平分弦的直径垂直于弦.
解：
A.在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确.
B.等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确.
C.三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆.
D.平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦.
故选B.
例3
四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3，求∠D.
分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等.
解：
设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠D=∠A+∠C-∠B=2x.
x+2x+3x+2x=360°，
x=45°.
∴∠D=90°.
小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD=1︰2︰3，求AD的长.
例4
为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径.若测得PA=5cm，则铁环的半径是__________cm.
分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过
P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解.
解：
.
小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型.
例5
已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB=16，求两圆的圆心距.
解：分两种情况讨论：
(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴.
又∵AB=16
∴AC=8.
在中，.
在中，.
故.
(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结.
∵垂直平分AB，
∴.
又∵AB=16，
∴AC=8.
在中，.
在中，.
故.
注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题.
三、相关定理：
1.相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。(经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等)
说明：几何语言： 若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD(相交弦定理)
例1.
已知P为⊙O内一点，，⊙O半径为，过P任作一弦AB，设，，则关于的函数关系式为。
解：由相交弦定理得，即，其中
2.切割线定理
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB
例2.
已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：
即
，(舍)
由切割线定理，
由勾股定理，
∴
∴
∴
四、辅助线总结
1.圆中常见的辅助线
1).作半径，利用同圆或等圆的半径相等.
2).作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明.
3).作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算.
4).作弦构造同弧或等弧所对的圆周角.
5).作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角.
6).遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角.
7).遇到切线，作过切点的半径，构造直角.
8).欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直;(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径.
9).遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点.
10).遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线;(2)连结内心和三角形的顶点.
11).遇相交两圆，常作：(1)公共弦;(2)连心线.
12).遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线.
13).求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边.
2、圆中较特殊的辅助线
1).过圆外一点或圆上一点作圆的切线.
2).将割线、相交弦补充完整.
3).作辅助圆.
例1如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
分析：连结OC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB知CD=DE.设AE=x，则在Rt△CEO中，，即，则，(舍去).
答案：A.
例2如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB=55°，那么∠AOB等于(
)
A.35°
B.90°
C.110°
D.120°
分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB=2∠BAC=2×55°=110°.答案：C.
例3
如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于(
)
A.
B.
C.
D.
分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长;另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即.答案：B.
例4
如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，.
求：EM的长.
简析：(1)由DC是⊙O的直径，知DE⊥EC，于是.设EM=x，则AM·MB=x(7-x)，即.所以.而EM>MC，即EM=4.
例5如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程(其中m为实数)的两根.
(1)求证：BE=BD;
(2)若，求∠A的度数.
简析：(1)由BE、BD是关于x的方程的两根，得，则m=-2.所以，原方程为.得.故BE=BD.