线性代数教材范文

线性代数教材范文第1篇

笔者认为, 线性代数课程对于培养学生的抽象思维能力, 逻辑推论能力及解决问题能力有重要的意义。学生通过学习线性代数这门课程, 得到了良好的逻辑思维能力, 运算能力、抽象及分析、综合及推理能力的训练。这种思维能力和思想方法对一个人的能力的培养十分有意义, 从而学好线性代数就显得十分重要了。

通常, 线性代数课程包括以下六方面的内容:行列式, 矩阵及其运算, 初等变换与线性方程组, 向量组的线性相关性, 相似矩阵及二次型, 线性空间与线性变换。与高等数学、微积分等数学课程相比, 线性代数这门课程的概念多且抽象, 如矩阵的秩, 极大线性无关组, 二次型等, 学习起来难以理解。课本中的概念、性质, 定理之间的联系十分密切, 常常难以理清它们之前的关系, 再加上课时设置不够充足, 学习起来较仓促, 令不少学生对线性代数的学习常常感到束手无策。

针对线性代数抽象、枯燥、概念多等特点, 笔者结合近年来的实际教学过程, 经过认真分析总结, 认为提高线性代数教学质量, 应从以下六方面努力。

1 结合教学对象的实际, 选择合适的教材

选用一本优秀的教材对线性代数这门课程的教学是十分关键, 往往使学生对该门课程的学习事半功倍。笔者认为, 对于工科的学生, 选用高等教育出版社, 由同济大学数学系主编《线性代数》课程较为理想。其一, 该教材内容全面, 章节编排合理, 有承上启下的作用;其二, 课程所选用的例题较典型, 通俗易懂, 很多例子与实际生活息息相关, 大大激发了学生学习该课程的兴趣;其三, 该教材的课后习题均配套答案, 方便学生自学和复习, 大大提高学习的效率。

2 培养学生学习的兴趣, 提高学习的积极性

俗语说得好, 兴趣是最好的老师。如果学生对一门课程兴趣很浓, 相信其学习的积极性会是很高的, 这样对该门课程的学习是十分有利的。笔者认为, 要培养学生学习线性代数的兴趣, 应先解决好两个问题即学习线性代数的用处在哪?实用性有多强?解决好这两个问题, 我相信学生学习积极性会大大的提高。

笔者记得, 在学习线性代数第二章第一节矩阵时, 为了便于学生理解矩阵这个定义, 课本就引用了一个实际生活中的例子:某工厂向三个商店发送四种产品的数量, 单价, 单件产品的重量均可用矩阵方便地表示出来, 如:

其中用aij表示向第i个商店发送第j种产品的数量;bi1表示第i种产品的单价bi2表示第bi1种产品的重量。通过这个例子, 一方面学生在理解矩阵这个定义时不再觉得抽象;另一方面, 学生发现矩阵的实用性, 在工厂的经营管理中使用矩阵大大方便了该厂销售产品的管理, 在学习了矩阵的运算之后, 还可以利用矩阵的运算来计算该厂的销售总额, 利润等, 在现实生活中实用性很强, 学生学习的兴趣马上起来了课堂气氛热烈, 学习的兴致很高, 后来发现矩阵这一章的学生的学习效果很理想。

3 课堂教学中要注意加强师生互动, 进一步提高课堂效率

在目前高等院校的课堂教学中, 课堂上, 不少老师只是一味地讲, 而缺少与学生在课堂上的交流。教师为了完成教学任务, 授课速度较快, 学生眼睁睁在听。笔者认为这样学生的听课效果是不够好的。课堂上教师应多与学生进行交流, 教学过程中时不时提几个问题让学生回答, 时不时问下学生是否听懂了, 这样一方面可以及时了解学生对上课内容的掌握程度, 方便教师及时调整教学计划;另一方面通过与学生互动, 可以使学生的注意力更加集中, 避免学生上课注意力不集中, 有利于提高教学质量。

4 教学中多引用实例, 将抽象问题具体化以便于学生理解

线性代数课程一个突出的特点是抽象性, 不少学生常抱怨线性代数课程的某些定义定理难以理解, 为解决定义定理抽象难问题, 笔者在实际教学中常通过引用实例的办法, 将抽象问题淡化, 帮助学生更好理解这些定义定理。例如, 在学习矩阵的秩的概念时, 为了让学生掌握什么是最高阶非零子式, 我在教学过程中针对常见的矩阵现场演示怎样找矩阵的非零子式及最高阶非零子式, 使学生对矩阵的秩这个概念有了更深的理解, 故使用实例教学, 无疑给学生理解抽象问题带来极大的帮助。

5 将传统教学方法与多媒体教学相结合, 切实提高课堂效率

笔者在线性代数教学过程中发现, 如果单纯采用传统的黑板加粉笔授课会显得课堂教学效率偏低。根据教学大纲的安排, 传统工科线性代数课程通常安排32个学时, 若要完成教学大纲所规定的内容, 教学压力就会显得较大, 不少教师常常拼命赶课, 导致教学效果不佳。如果采用多媒体辅助教学, 可以有效地解决这个问题。一方面, 只要事先将所要讲授的内容做成PPT, 在上课时就会大大缩短因为板书而浪费的时间, 使余有足够的时间分析重点难点问题;另一方面, 通过使用多媒体教学, 可以做到图文并茂, 在讲解时更方便学生理解。当然, 多媒体只是辅助的手段, 在讲授重点内容时还应使用黑板加以阐述说明。

6 与时俱进, 切实提升教师自身的专业知识水平和教学技能

总之, 在线性代数的教学中, 教师应树立与时俱进的理念, 不断进行教学改革, 根据学生的实际情况, 培养学生学习线性代数的兴趣, 提高教学质量, 尽可能使教学的内容富有生命力及时代性, 切实推动线性代数课程建设。

摘要：线性代数是高等院校理工科的一门重要基础课, 笔者结合近年来线性代数教学的实际情况, 就如何开展实际教学以提高学生学习线性代数的效果浅谈了对线性代数教学的几点看法, 具有一定的意义。

关键词：线性代数,教学,课程

参考文献

[1] 同济大学数学系.工程数学线性代数[M].北京:高等教育出版社, 2008.

[2] 王章雄, 曹顺娟“.线性代数”概念教学刍议[J].高等理科教育, 2009 (6) :41～43.

[3] 范新华.21世纪线性代数课程建设与教学改革的探索[J].常州工学院学报, 2005, 18 (2) :75～78.

[4] 秦静.线性代数教学改革点滴[J].工科数学, 2008, 16 (4) :95～97.

[5] 朱盛.关于线性代数教学改革的几点探讨[J].科技教学创新, 2009 (20) :256～257.

线性代数教材范文第2篇

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659;

(2) 987654321;

(3) n(n?1)…321;

(4) 13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2. 【解】

(1) τ(341782659)=11;

(2) τ(987654321)=36;

(3) τ(n(n?1)…3²2²1)= 0+1+2 +…+(n?1)=;

(4) τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式的展开式中包含和的项.

解： 设

，其中分别为不同列中对应元素的行下标，则展开式中含项有

展开式中含项有 . 5. 用定义计算下列各行列式.

(1);

(2). 【解】(1) D=(?1)τ(2314)4!=24;

(2) D=12. 6. 计算下列各行列式.

(1);

(2) ;

(3);

(4) . 【解】(1) ;

(2) ;

7. 证明下列各式.

(1) ;

(2) ;

(3)

(4) ;

(5) . 【证明】(1)

(2)

(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式: 从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为

但对(*)式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故

(4) 对D2n按第一行展开，得

据此递推下去，可得

(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.

当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n?1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.

按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：

但由归纳假设

从而有

8. 计算下列n阶行列式.

(1)

(2) ;

(3). (4)其中 ;

(5). 【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n?1),得

将第一行乘(?1)后分别加到其余各行，得

(2) 按第二行展开

(3) 行列式按第一列展开后，得

(4)由题意，知

. (5)

. 即有

由

得 . 9. 计算n阶行列式.

【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得

将第一行乘(?1)后加到其余各行，得

10. 计算阶行列式(其中). . 【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.

11. 已知4阶行列式 ; 试求与，其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式. 【解】

同理

12. 用克莱姆法则解方程组.

(1)

(2)

【解】方程组的系数行列式为

故原方程组有惟一解，为

13. λ和μ为何值时，齐次方程组

有非零解?

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式

即

故或时，方程组有非零解. 14. 问：齐次线性方程组

有非零解时，a,b必须满足什么条件? 【解】该齐次线性方程组有非零解

，a,b需满足

即(a+1)2=4b. 15. 求三次多项式，使得

【解】根据题意，得

这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于

故得 于是所求的多项式为

16. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为 ax+by+c=0 (a,b不同时为0) 按题设有

则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件. 习题 二

1. 计算下列矩阵的乘积.

(1);

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5)

;

(6) . 【解】

(1)

(2);

(3) (10); (4)

(5);

(6) . 2.

设，，

求(1);(2) ;(3) 吗? 【解】(1)

(2)

(3) 由于AB≠BA,故(A+B)(A?B)≠A2?B2. 3. 举例说明下列命题是错误的. (1) 若， 则;

(2) 若， 则或; (3) 若，， 则. 【解】

(1) 以三阶矩阵为例，取,但A≠0 (2) 令,则A2=A,但A≠0且A≠E (3) 令

则AX=AY,但X≠Y. 4. 设, 求A2，A3，…，Ak. 【解】

5.

， 求并证明： . 【解】 今归纳假设

那么

所以，对于一切自然数k,都有

6. 已知，其中

求及. 【解】因为|P|= ?1≠0,故由AP=PB,得

而

7. 设，求||.

解：由已知条件，的伴随矩阵为

又因为，所以有 ，且，

即

于是有

. 8. 已知线性变换

利用矩阵乘法求从到的线性变换. 【解】已知

从而由到的线性变换为

9.

设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵. 【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A, 所以

(B′AB)′=B′A′B=B′AB, 故也为对称阵. 10. 设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA. 【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB. 则

AB=(AB)′=B′A′=BA, 反之，因AB=BA,则 (AB)′=B′A′=BA=AB, 所以，AB为对称阵. 11. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明： (1) B2是对称矩阵. (2) AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵. 【证明】

因A′=A,B′= ?B,故

(B2)′=B′²B′= ?B²(?B)=B2; (AB?BA)′=(AB)′?(BA)′=B′A′?A′B′

= ?BA?A²(?B)=AB?BA; (AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′

= ?BA+A²(?B)= ?(AB+BA). 所以B2是对称矩阵，AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵. 12. 求与A=可交换的全体二阶矩阵. 【解】设与A可交换的方阵为,则由 =, 得 .

由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数. 13. 求与A=可交换的全体三阶矩阵. 【解】由于 A=E+, 而且由

可得

由此又可得

所

以

即与A可交换的一切方阵为其中为任意数. 14. 求下列矩阵的逆矩阵. (1) ;

(2) ; (3);

(4) ; (5) ;

(6) ，

未写出的元素都是0(以下均同，不另注). 【解】

(1) ;

(2) ; (3) ;

(4) ; (5) ;

(6) . 15. 利用逆矩阵，解线性方程组

【解】因,而 故

16. 证明下列命题：

(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则(AB)*=B*A*. (2) 若A可逆，则A*可逆且(A*)?1=(A?1)*. (3) 若AA′=E,则(A*)′=(A*)?1. 【证明】(1) 因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得

|A|²|B|²B*A*=|AB|E(B*A*)

=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*

=(AB) *A|B|EA*=|A|²|B|(AB) *. ∵

|A|≠0,|B|≠0, ∴

(AB) *=B*A*. (2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A?1,从而(A?1) *=|A?1|(A?1)?1=|A|?1A. 于是

A* (A?1) *=|A|A?1²|A|?1A=E, 所以

(A?1) *=(A*)?1. (3) 因AA′=E，故A可逆且A?1=A′. 由(2)(A*)?1=(A?1) *,得 (A*)?1=(A′) *=(A*)′. 17. 已知线性变换

求从变量到变量的线性变换. 【解】已知

且|A|=1≠0,故A可逆，因而

所以从变量到变量的线性变换为

18. 解下列矩阵方程.

(1) ;

(2);

(3) ;

(4) . 【解】(1) 令A=;B=.由于 故原方程的惟一解为

同理

(2) X=;

(3) X=;

(4) X= 19. 若 (k为正整数)，证明：

. 【证明】作乘法

从而E?A可逆，且

20.设方阵A满足A2-A-2E=O，证明A及A+2E都可逆，并求A?1及(A+2E)?1. 【证】因为A2?A?2E=0, 故

由此可知，A可逆，且

同样地

由此知，A+2E可逆，且

21. 设，,求. 【解】由AB=A+2B得(A?2E)B=A. 而

即A?2E可逆，故

22.

设. 其中，， 求. 【解】因可逆，且故由 得

23. 设次多项式，记,称为方阵的次多项式.

(1)， 证明

，;

(2) 设， 证明，. 【证明】

(1)即k=2和k=3时，结论成立. 今假设

那么

所以，对一切自然数k，都有

而

(2) 由(1)与A=P ?1BP,得 B=PAP ?1. 且

Bk=( PAP ?1)k= PAkP ?1, 又

24. ，证明矩阵满足方程. 【证明】将A代入式子得

故A满足方程. 25. 设阶方阵的伴随矩阵为，

证明：(1) 若||=0，则||=0;

(2) . 【证明】(1) 若|A|=0，则必有|A*|=0，因若| A*|≠0，则有A*( A*)?1=E,由此又得 A=AE=AA*( A*)?1=|A|( A*)?1=0,

这与| A*|≠0是矛盾的，故当|A| =0，则必有| A*|=0. (2) 由A A*=|A|E，两边取行列式，得 |A|| A*|=|A|n, 若|A|≠0，则| A*|=|A|n?1 若|A|=0,由(1)知也有 | A*|=|A|n?1. 26. 设

. 求(1) ; (2); (3) ;(4)||k (为正整数). 【解】

(1);

(2) ; (3) ;

(4). 27. 用矩阵分块的方法，证明

下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.

(1);

(2);

(3). 【解】(1) 对A做如下分块

其中

的逆矩阵分别为

所以A可逆，且

同理(2) (3)

习题 三

1. 略.见教材习题参考答案. 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 略.见教材习题参考答案. 5.，证明向量组线性相关. 【证明】因为

所以向量组线性相关.

6. 设向量组线性无关，证明向量组也线性无关，这里 【证明】

设向量组线性相关，则存在不全为零的数使得

把代入上式，得 . 又已知线性无关，故

该方程组只有惟一零解，这与题设矛盾，故向量组线性无关. 7. 略.见教材习题参考答案. 8. .证明：如果，那么线性无关. 【证明】已知,故R(A)=n,而A是由n个n维向量

组成的，所以线性无关. 9. 设是互不相同的数，r≤n.证明：是线性无关的. 【证明】任取n?r个数tr+1,…,tn使t1,…,tr,tr+1,…,tn互不相同，于是n阶范德蒙行列式

从而其n个行向量线性无关，由此知其部分行向量也线性无关. 10. 设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明：为的一个极大线性无关组. 【证明】若

(1) 线性相关，且不妨设

(t

(2) 是(1)的一个极大无关组，则显然(2)是的一个极大无关组，这与的秩为r矛盾，故必线性无关且为的一个极大无关组. 11. 求向量组=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组. 【解】把按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.

当k=1时，的秩为为其一极大无关组.

当k≠1时，线性无关，秩为3，极大无关组为其本身. 12. 确定向量,使向量组与向量组=(0,1,1), =(1,2,1),=(1,0,?1)的秩相同，且可由线性表出. 【解】由于

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又

要使可由线性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即=(2,2,0). 13. 设为一组n维向量.证明：线性无关的充要条件是任一n维向量都可经它们线性表出. 【证明】充分性: 设任意n维向量都可由线性表示，则单位向量，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组的秩为n，因此线性无关.

必要性：设线性无关，任取一个n维向量,则线性相关，所以能由线性表示. 14. 若向量组(1，0，0)，(1，1，0)，(1，1，1)可由向量组α1,α2,α3线性表出，也可由向量组β1,β2,β3,β4线性表出，则向量组α1,α2,α3与向量组β1,β2,β3,β4等价.

证明：由已知条件，，且向量组(1，0，0)，(1，1，0)，(1，1，1)可由向量组α1,α2,α3线性表出，即两向量组等价，且

， 又，向量组(1，0，0)，(1，1，0)，(1，1，1)可由向量组β1,β2,β3,β4线性表出，即两向量组等价，且 ，

所以向量组α1,α2,α3与向量组β1,β2,β3,β4等价.

15. 略.见教材习题参考答案. 16. 设向量组与秩相同且能经线性表出.证明与等价.

【解】设向量组 (1) 与向量组 (2) 的极大线性无关组分别为 (3) 和 (4) 由于(1)可由(2)线性表出，那么(1)也可由(4)线性表出，从而(3)可以由(4)线性表出，即

因(4)线性无关，故(3)线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由(*)解出,即(4)可由(3)线性表出，从而它们等价，再由它们分别同(1)，(2)等价，所以(1)和(2)等价. 17. 设A为m³n矩阵，B为s³n矩阵.证明： . 【证明】因A,B的列数相同，故A,B的行向量有相同的维数，矩阵可视为由矩阵A扩充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量线性表示，故

同理

故有

又设R(A)=r,是A的行向量组的极大线性无关组,R(B)=k, 是B的行向量组的极大线性无关组.设是中的任一行向量，则若属于A的行向量组，则可由表示，若属于B的行向量组，则它可由线性表示，故中任一行向量均可由,线性表示，故

所以有 . 18. 设A为s³n矩阵且A的行向量组线性无关，K为r³s矩阵.证明：B=KA行无关的充分必要条件是R(K)=r. 【证明】设

A=(As,Ps³(n?s)), 因为A为行无关的s³n矩阵，故s阶方阵As可逆. ()当B=KA行无关时，B为r³n矩阵. r=R(B)=R(KA)≤R(K),

又K为r³s矩阵R(K)≤r,∴ R(K)=r. ()当r=R(K)时，即K行无关，

由B=KA=K(As,Ps³(n?s))=(KAs,KPs³(n?s)) 知R(B)=r,即B行无关. 19. 略.见教材习题参考答案. 20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.

(1);

(2). 【解】(1) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为; (2) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为. 21. 略.见教材习题参考答案. 22. 集合V1={()|∈R且=0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由(0,0,…,0)∈V1知V1非空，设)则

因为

所以,故是向量空间. 23. 试证：由,生成的向量空间恰为R3. 【证明】把排成矩阵A=(),则 , 所以线性无关，故是R3的一个基，因而生成的向量空间恰为R3. 24. 求由向量所生的向量空间的一组基及其维数. 【解】因为矩阵

∴是一组基，其维数是3维的. 25. 设,证明: . 【解】因为矩阵

由此知向量组与向量组的秩都是2，并且向量组可由向量组线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而也可由线性表出.所以 . 26. 在R3中求一个向量，使它在下面两个基

下

有相同的坐标. 【解】设在两组基下的坐标均为()，即

即

求该齐次线性方程组得通解 (k为任意实数) 故

27. 验证为R3的一个基，并把 用这个基线性表示. 【解】设 又设 , 即

记作

B=AX. 则

因有,故为R3的一个基，且

即 . 习题四

1. 用消元法解下列方程组. (1)

(2) 【解】(1)

得

所以

(2) ①

②

③

解②?①³2得

x2?2x3=0 ③?① 得

2x3=4 得同解方程组 ④

⑤

⑥

由⑥得

x3=2, 由⑤得

x2=2x3=4, 由④得

x1=2?2x3 ?2x2 = ?10, 得

(x1,x2,x3)T=(?10,4,2)T. 2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.

(1)

(2)

(3)

(4) 【解】(1)

得同解方程组

得基础解系为 . (2) 系数矩阵为

∴ 其基础解系含有个解向量.

基础解系为

(3)

得同解方程组

取得基础解系为

(?2，0，1，0，0)T,(?1，?1，0，1，0). (4) 方程的系数矩阵为

∴ 基础解系所含解向量为n?R(A)=5?2=3个 取为自由未知量

得基础解系

3. 解下列非齐次线性方程组.

(1)

(2) (3)

(4) 【解】

(1) 方程组的增广矩阵为

得同解方程组

(2) 方程组的增广矩阵为

得同解方程组

即

令得非齐次线性方程组的特解 xT=(0，1，0，0)T. 又分别取

得其导出组的基础解系为 ∴ 方程组的解为

(3)

∴ 方程组无解. (4) 方程组的增广矩阵为

分别令

得其导出组的解为

令, 得非齐次线性方程组的特解为：xT=(?16,23,0,0,0)T, ∴ 方程组的解为

其中为任意常数. 4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品(或劳务)，今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.

车间

消耗系数 车间 1 2 3 出厂产量 (万元) 总产量 (万元) 1 0.1 0.2 0.45 22 x1 2 0.2 0.2 0.3 0 x2 3 0.5 0 0.12 55.6 x3

表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品;第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.

解：根据表中数据列方程组有

即

解之

5. 取何值时，方程组

(1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解. 【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为

|A|=. (1) 当≠1且≠?2时，|A|≠0，R(A)=R(B)=3. ∴ 方程组有惟一解

(2) 当=?2时，

R(A)≠R(B),∴ 方程组无解. (3) 当=1时

R(A)=R(B)<3,方程组有无穷解. 得同解方程组

∴ 得通解为

6. 齐次方程组

当取何值时，才可能有非

零解?并求解. 【解】方程组的系数矩阵为

|A|= 当|A|=0即=4或=?1时，方程组有非零解. (i) 当=4时,

得同解方程组

(ii) 当=?1时, 得

∴ ()T=k²(?2,?3,1)T.k∈R 7. 当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解?在有解时，求出其解.

(1)

(2) 【解】方程组的增广矩阵为 (1)

(i) 当b≠?52时,方程组有惟一解

(ii) 当b=?52,a≠?1时，方程组无解. (iii) 当b=?52，a=?1时，方程组有无穷解. 得同解方程组 (*) 其导出组的解为

非齐次线性方程组(*)的特解为

取x4=1,

∴ 原方程组的解为

(2)

(i) 当a?1≠0时，R(A)=R()=4,方程组有惟一解.

(ii) 当a?1=0时,b≠?1时，方程组R(A)=2

取

∴ 得方程组的解为

8. 设，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0. 【解】设B=(b1 b2 b3),其中bi(i=1,2,3)为列向量, 由

为Ax=0的解. 求=0的解.由

得同解方程组

∴ 其解为 取

则

9.已知是三元非齐次线性方程组Ax=b的解，且R(A)=1及

求方程组Ax=b的通解. 【解】Ax=b为三元非齐次线性方程组

R(A)=1Ax=0的基础解系中含有3?R(A)=3?1=2个解向量.

由为Ax=b的解为Ax=0的解, 且线性无关为Ax=0的基础解系. 又

∴ 方程组Ax=b的解为

10. 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.

(1)

(2) 【解】

(1) 设齐次线性方程组为Ax=0 由为Ax=0的基础解系，可知

令

k1=x2 ,

k2=x3

Ax=0即为x1+2x2?3x3=0. (2) A()=0A的行向量为方程组为的解. 即的解为

得基础解系为=(?5 ?1 1 1 0)T =(?1 ?1 1 0 1)T A= 方程为

11. 设向量组=(1，0，2，3)，=(1，1，3，5)，=(1，?1，a+2，1)，=(1，2，4，a+8)，=(1，1，b+3，5)

问：(1) a，b为何值时，不能由，，，线性表出?

(2) a，b为何值时，可由，，， 惟一地线性表出?并写出该表出式.

(3) a，b为何值时，可由，，，线性表出，且该表出不惟一?并写出该表出式. 【解】 (*)

(1) 不能由，，，线性表出方程组(*)无解,即a+1=0,且b≠0.即a=?1,且b≠0. (2) 可由，，，惟一地线性表出方程组(*)有惟一解，即a+1≠0，即a≠?1. (*) 等价于方程组

(3) 可由，，，线性表出，且表出不惟一方程组(*)有无数解，即有 a+1=0,b=0a=?1,b=0. 方程组(*) 为常数. ∴

12. 证明：线性方程组有解的充要条件是. 【解】

方程组有解的充要条件，即R(A)=4=R(A) 得证. 13. 设是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明

(1)线

性无关;

(2)线性无关. 【 证明】 (1) 线性无关 成立, 当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),k=0

∵为Ax=0的基础解系

由于 . 由于为线性无关

∴线性无关. (2) 证线性无关. 成立

当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),且k=0 即

由(1)可知，线性无关. 即有ki=0(i=1,2,…,n?r),且

∴线性无关. 14. 设有下列线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(1) 求方程组(Ⅰ)的通解;

(2) 当方程组(Ⅱ)中的参数m,n,t为何值时，(Ⅰ)与(Ⅱ)同解? 解：(1)对方程组(Ⅰ)的增广矩阵进行行初等变换

由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组 (*)

得方程组(*)的基础解系

令，得方程组(Ⅰ)的特解

于是方程组(Ⅰ)的通解为，k为任意常数。

(2) 方程组(Ⅱ)的增广矩阵为

系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，令

(**) 方程组(**)的基础解系为 当时，，当时，

方程组(Ⅱ)与方程组(Ⅰ)同解，则，故有

把m，n代入方程组，同时有

，即t = 6. 也就是说当m=2，n=4，t=6时，方程组(Ⅱ)与方程组(Ⅰ)同解.

习题五

1. 计算.

【解】

2. 把下列向量单位化.

(1) =(3，0，-1，4);

(2) =(5，1，-2，0). 【解】

3. 利用施密特正交化方法把下列向量组正交化.

(1) 1 =(0，1，1)′, 2 =(1,1,0)′, 3 =(1,0,1)′;

(2) 1 =(1,0,?1,1), 2 =(1,?1,0,1), 3 =(?1,1,1,0) 【解】

4. 试证，若n维向量与正交，则对于任意实数k，l，有k与l正交. 【证】与正交.

∴ 与正交. 5. 下列矩阵是否为正交矩阵.

【解】

(1) A′A≠E, ∴A不是正交矩阵

(2) A′A=EA为正交矩阵 6. 设x为n维列向量，x′x=1，令H=E-2xx′.求证H是对称的正交矩阵. 【证】

∴ H为对称矩阵.

∴ H是对称正交矩阵. 7.

设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵. 【证】A与B为n阶正交矩阵A′A=EB′B=E (AB)(AB)′=AB²(B′A′)=A(BB′)A′=AEA′=AA′=E ∴ AB也是正交矩阵. 8. 判断下列命题是否正确.

(1) 满足Ax=x的x一定是A的特征向量;

(2) 如果x1，…，xr是矩阵A对应于特征值的特征向量.则k1x1+k2x2+…+krxr也是A对应于的特征向量;

(3) 实矩阵的特征值一定是实数. 【解】

(1) ╳.Ax=x,其中当x=0时成立，但x=0不是A的特征向量. (2) ╳.例如：E3³3x=x特征值=1, 的特征向量有 则不是E3³3的特征向量. (3) ╳.不一定.实对称矩阵的特征值一定是实数. 9. 求下列矩阵的特征值和特征向量.

【解】(1)

当时， 为得解

对应的特征向量为 . 当时,

其基础解系为,对应的特征

向量为

∴ 特征值为

(i) 当时，

其基础解系为

∴ 对应于=2的特征向量为 且使得特征向量不为0. (ii)当时, , 解得方程组的基础解系为

∴ 对应于的特征向量为

特征值为 (i) 当时,

得基础解系为 对应的特征向量为 (ii) 当时，

其基础解系为(2,?2,1)′, 所以与对应的特征向量为 (iii) 当时，

其基础解系为(2,1,?2)′ ∴ 与对应的特征向量为

∴ A的特征值为1,2. (i) 当时,

其基础解系为(4,?1,1,0)′. ∴ 其对应的特征向量为k²(4,?1,1,0)T,k∈R且k≠0. (ii) 当时，

其基础解系为：(1,0,0,0)′. ∴ 其对应的特征向量为

10.设3阶方阵A的特征值为λ1=1，λ2=0，λ3=-1，对应的特征向量依次为

求矩阵A. 【解】

由于为不同的特征值线性无关，则有 可逆

11.

设3阶实对称矩阵A的特征值为-1，1，1，与特征值-1对应的特征向量x=(-1，1，1)′，求A. 【解】对应的特征向量为x1=(?1,1,1)T,设对应的特征向量为x2=(x1,x2,x3)T,A为实对称矩阵，所以(x1,x2)=0,即有?x1+x2+x3=0. 得方程组的基础解系为

可知为对应的特征向量. 将正交化得

=(?1,1,1)T, 单位化：; =(1,1,0)T,

; 则有

12. 若n阶方阵满足A2=A，则称A为幂等矩阵，试证，幂等矩阵的特征值只可能是1或者是零. 【证明】设幂等矩阵的特征值为，其对应的特征向量为x.

由A2=A可知 所以有或者=1. 13. 若A2=E，则A的特征值只可能是±1. 【证明】设是A的特征值，x是对应的特征向量. 则Ax=x A2x=(Ax)=2x 由A2=E可知 x=Ex=A2x=2x (2?1)x=0, 由于x为的特征向量，∴ x≠02?1=0=±1. 14. 设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同的特征根，1,2分别是A的属于λ1, λ2的特征向量，证明1+2不是A的特征向量.

证明：假设1+2是A的属于特征根λ的特征向量，则

A(1+2)=λ(1+2)=λ1+λ2. 又

A(1+2)= A1+ A 2=λ11+λ22 于是有

(λ?λ1)1+(λ?λ2)2 =0 由于，1与2线性无关，故λ?λ1=λ?λ2=0. 从而与矛盾，故1+2不是A的特征向量. 15. 求正交矩阵T，使T-1AT为对角矩阵.

【解】

(i)当时,

方程组的基础解系为 (?2,1,0)T, (2,0,1)T. (ii) 当时,

其基础解系为. 取,单位化为, 取，取，使正交化. 令 单位化

得. (i) 当时,

其基础解系为

正交化得

单位化得

(ii) 当时，

其基础解系为

单位化得

(i) 当时,

其基础解系为

由于()=0,所以正交. 将它们单位化得

(ii) 当时,

其基础解系为=(1,?1,?1,1)T, 单位化得

(iii) 当时,

其基础解系为=(?1,?1,1,1)T, 单位化为

(i) 当=2时,

其基础解系为=(2,1,?2)T, 单位化得 , (ii) 当=5时,

=(2,1,2)T.

其基础解系为=(2,?2,1)T

. 单位化得 . (iii) 当=?1时, , 其基础解系为=(1,2,2)T, 单位化得 , 得正交阵

16. 设矩阵与相似.

(1) 求x与y;

(2) 求可逆矩阵P，使P-1AP=B. 【解】(1)由A~B可知，A有特征值为?1,2,y.

由于?1为A的特征值，可知 . 将x=0代入|A?E|中可得

可知y= ?2. (2) (i) 当=?1时,

其基础解系为

=(0,?2,1)T, = ?1对应的特征向量为 =(0,?2,1)T. (ii) 当=2时,

其基础解系为

=(0,1,1)T 所以=2对应的特征向量为

=(0,1,1)T (ⅲ) 当=?2时, , 其基础解系为

=(?2,1,1)T, 取可逆矩阵

则

17. 设， 求A100. 【解】

特征值为 (i) 当时,

其基础解系为

(ii) 当时,

其基础解系为(?1,1,2)T. 令,则

18.将下列二次型用矩阵形式表示.

(1) ;

(2) ;

(3) . 【解】 (1) (2) (3)

19. 写出二次型 的矩阵. 【解】

20. 当t为何值时，二次型的秩为2. 【解】

21. 已知二次型经过正交变换化为标准型，求参数a,b及所用的正交变换矩阵. 【解】由题知 二次型矩阵

当时,

即有

2ab=0. 当时,

当时,

(ⅰ) 当时,

得基础解系为=(1,0,?1)T, 单位化

(ⅱ) 当时,

其基础解系为=(0,1,0)T. (iii) 当时，

其基础解系为=(1,0,1)T. 单位化得

得正交变换矩阵

22. 用配方法把下列二次型化为标准型，并求所作变换.

【解】

令

由于

∴ 上面交换为可逆变换. 得

令为可逆线性变换

令为可逆线性交换 所作线性交换为

23. 用初等变换法化下列二次型为标准型，并求所作变换.

【解】(1)

(2) 二次型矩阵为

24. 设二次型

(1) 用正交变换化二次型为标准型;

(2) 设A为上述二次型的矩阵，求A5. 【解】(1) 二次型的矩阵为

求得A的特征值. 对于，求解齐次线性方程组 (A?E)x=0，得基础解系为

将正交单位化得 对于，求解方程组(A+2E)x=0, 得基础解系为将单位化得 于是

即为所求的正交变换矩阵，且 (2) 因为所以 故

25. 求正交变换，把二次曲面方程化成标准方程. 【解】的矩阵为

(1) 当时,

其基础解系为

正交化得

单位化得

(2) 当时, . 其基础解系为. 单位化得

正交变换矩阵

为所求正交变换.得

二次曲面方程的标准方程为

26. 判断下列二次型的正定性.

【解】(1) 矩阵为

∴ 二次型为负定二次型. (2) 矩阵

∴ 二次型为正定二次型. (3) 矩阵为

∴ 为正定二次型. 27. t满足什么条件时，下列二次型是正定的.

【解】(1) 二次型的矩阵为

可知时，二次型为正定二次型. (2

) 二次型的矩阵为

当t满足时，二次型为正定二次型. 28. 假设把任意x1≠0，x2≠0，…，xn≠0代入二次型都使f>0，问f是否必然正定? 【解】错，不一定.

当为实二次型时,若≠0,

都使得f>0,则f为正定二次型. 29. 试证：如果A,B都是n阶正定矩阵，则A+B也是正定的. 【证】A,B是正定矩阵，则存在正定二次型 = xTAx

= xTBx 且A′=A ， B′=B(A+B)′=(A′+B′)=A+B 有

= xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0 ∴ A+B为正定. 30. 试证：如果A是n阶可逆矩阵，则A′A是正定矩阵. 【证】A可逆 (A′A)′= A′²(A′)′= A′A A′A = A′E A

可知A′A与E合同

A′A正定. 31. 试证：如果A正定，则A′,A-1，A*都是正定矩阵. 【证】A正交，可知A′=A 

可逆阵C，使得A=C′EC. (i) A=C′ECA′=(C′EC)′A′=C′E′(C′)′=C′EC ∴ A′与E合同，可知A′为正定矩阵. (ii) (A?1)′=(A′)?1=A?1可知A?1为对称矩阵. 由A正交可知，A为点对称矩阵

其特征值设为且有>0(i=1,2,…,n) Axi=xixi=A?1xiA?1xi=xi 可知A?1的特征值为 ，

(i=1,2,…,n) ∴ A?1正定. (iii) 由A*=|A|²A?1可知

(A′)1=|A|²(A?1)′=|A|²A?1=A* 由(ii)可知A?1为正定矩阵即存在一个正定二次型 = xTA?1x 有>0 ∵ A正交|A|>0 = xTA*x=xT²|A|²A?1x=|A|²(xTA?1x) 即有时， xTA?1x>0 ∵ |A|>0,即有 = xTA*x >0 ∴ A*为正定矩阵. 习题

六

1. 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法; (2) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： k²;

(3) 2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法;

(4) 与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法. 【解】(1)是.由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的1?8条性质，因此只需考虑反对称(上三角)矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A，B均为2阶反对称矩阵，k为任一实数，则 (A+B)′=A′+B′=?A?B=?(A+B), (kA)′=kA′=k(?A)=?(kA), 所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间.

(2) 否.因为(k+l)²,而,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质.

(3) 否.因为零矩阵不可逆(又因为加法和数量乘法都不封闭).

(4) 否.因为加法不封闭.例如，向量(1，0，0)，(0，1，0)都不平行于(1，1，0)，但是它们之和(1，0，0)+(0，1，0)=(1，1，0)不属于这个集合. 2. 设U是线性空间V的一个子空间，试证：若U与V的维数相等，则U=V. 【证明】设U的维数为m，且是U的一个基，因UV,且V的维数也是m，自然也是V的一个基，故U=V.

3. 设是n维线性空间Vn的线性无关向量组，证明Vn中存在向量使成为Vn的一个基(对n?r用数学归纳法). 【证明】对差n?r作数学归纳法.

当n?r=0时，结论显然成立.

假定对n?r=k时，结论成立，现在考虑n?r=k+1的情形.

因为向量组还不是V的一个基，它又是线性无关的，所以在V中必存在一个向量不能由线性表出，把添加进去所得向量组 ,

必定还是线性无关的，此时n?(r+1)=(n?r)?1=(k+1)?1=k.

由归纳法假设, ,可以扩充为整个空间的一个基.

根据归纳法原理，结论普遍成立. 4. 在R4中求向量=(0,0,0,1)在基=(1,1,0,1),=(2,1,3,1), =(1,1,0,0), =(0,1,-1,-1)下的坐标. 【解】设向量在基下的坐标为(),则 即为

解之得()=(1,0,?1,0). 5. 在R3中，取两个基

=(1，2，1)，=(2，3，3)，=(3，7，1);

=(3，1，4)，=(5，2，1)，=(1，1，-6)，

试求到的过渡矩阵与坐标变换公式. 【解】取R3中一个基(通常称之为标准基) =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1). 于是有

所以由基到基的过渡矩阵为

坐标变换公式为

其中()与()为同一向量分别在基与下的坐标. 6. 在R4中取两个基

(1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵;

(2) 求向量()在后一个基下的坐标;

(3) 求在两个基下有相同坐标的向量. 【解】(1)

这里A就是由基到基的过渡矩阵. (2) 设,由于()=()A?1,所以

因此向量在基下的坐标为

(3) 设向量在这两个基下有相同的坐标,那么

即

也就是

解得,其中为任一非零实数. 7. 证明3阶对称矩阵的全体S构成线性空间，且S的维数为6. 【证明】首先，S是非空的(∵0∈S),并且A,B∈S,k∈R,有 (A+B)′=A′+B′=A+B (kA)′=kA′=kA.

这表明S对于矩阵的加法和数量乘法是封闭的.其次，这两种矩阵运算满足线性空间定义中的18条性质.故S是线性空间. 不难验证，下列6个对称矩阵.

构成S的一个基，故S的维数为6. 8. 说明平面上变换的几何意义，其中

(1);

(2) ;

(3) ;

(4) . 【解】,T把平面上任一点变到它关于y轴对称的点. ,T把平面上任一点变到它在y轴的投影点. ,T把平面上任一点变到它关于直线x=y对称的点. ,T把平面上任一点变到它绕原点按顺时针方向旋转90°后所对应的点. 9. 设V是n阶对称矩阵的全体构成的线性空间[维数为]，给定n阶方阵P，变换

T(A)=P′AP， A∈V

称为合同变换，试证合同变换T是V中的线性变换. 【证明】因为A,B∈V,k∈R,有

T(A+B)=P′(A+B)P=P′AP+P′BP=T(A)+T(B), T(kA)=P′(kA)P=k(P′AP)=kT(A). 所以T是线性空间V的一个线性变换. 10. 函数集合

V3={=(a2x2+a1x+a0)ex|a2，a

1,a0∈R｝

对于函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其中取一个基

1=x2ex, 2=2xex, 3=3ex， 求微分运算D在这个基下的矩阵. 【解】

即

因此D在基下的矩阵为. 11. 2阶对称矩阵的全体

对于矩阵的加法与数乘构成3维线性空间，在Vn中取一个基

(1) 在V3中定义合同变换

求在基下的矩阵及T的秩与零度.

(2) 在V3中定义线性变换

求T在基下的矩阵及T的像空间与T的核. 【解】(1)

由此知，T在基下的矩阵为

显然M的秩为3，故这线性变换T的秩为3，零度为0. (2)

即

T()=()M, 其中就是T在基下的矩阵.显然有

所以

T(V3)=L(T(A1))=L(A1+A2+A3). 最后求出T?1(0).设A=x1A1+x2A2+x3A3∈T ?1(0),那么T(A)=0，即

也就是()MX=0,它等价于齐次方程组MX=0，解之得基础解系 (2,?1,0), (1,0,?1). 故T ?1(0)=L(2A1?A2,A1?A3).

习题

七

1. 求下列矩阵的Smith标准型.

【解】(1)对矩阵作初等变换，得

即为所求. (2) 对矩阵作初等变换得

即为所求. (3) 不难看出，原矩阵的行列式因子为

所以不变因子为

故所求的Smith标准形是 (4) 对矩阵作初等变换，得

即为所求. 2. 求下列矩阵的不变因子.

【解】(1) 显然，原矩阵中左下角的二阶子式为1，所以 D1=1, D2=1, D3=(2)3. 故所求的不变因子为 d1=1, d2=1, d3=(2)3.

(2) 当b≠0时，

且在矩阵中右上角的三阶子式

而,所以D3=1.故所求的不变因子为 d1=d2=d3=1, d4= [(+a)2+b2]2. 3. 证明

的不变因子为

d1(λ)=…=dn-1(λ)=1,dn(λ)=λn+a1λn?1+…+an-1λ+an. 【证明】由于该矩阵中右上角的n-1阶子式等于非零常数(-1)n-1,所以 D1()=D2()=…=Dn-1()=1. 而该矩阵的行列式为

Dn()=n+a1n-1+…+an-1+an, 故所给矩阵的全部不变因子为

d1()=…=dn-1()=1, dn()=n+a1n-1+…+an-1+an.

4. 证明(a为任一非零实数)相似. 【证明】 记

经计算得知，E-A与E-B的行列式因子均为D1=D2=1,D3=(-0)3,所以它们的不变因子也相同，即为d1=d2=1,d3=(-0)3,故A与B相似. 5. 求下列复矩阵的若当标准型.

【解】设原矩阵为A.对A的特征矩阵作初等变换，得

于是A的全部初等因子为.故A的若当标准形是

(2) 设原矩阵为A.对A的特征矩阵作初等变换，得

线性代数教材范文第3篇

一单项选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分)

1. 设1,2,3,1,2都是四维列向量，且四阶行列式|1,2,3,1|m，|1,2,2,3|n，则四阶行列式|3,2,1，(12)|等于 [ ]. (A) mn (B) (mn) (C) nm (D) mn

2. 设n阶矩阵A，B，C满足ABCE，则下列一定正确的是 [ ]. (A) ACBE (B) BACE (C) CBAE (D) CABE

3. 向量组1,2,,r线性相关的充分必要条件是 [ ]. (A) 向量组中至少有一个向量可由其它向量线性表示; (B) 向量组中任一向量都可由其它向量线性表示; (C) 向量组中任一向量都不能由其它向量线性表示; (D) 向量组中至少有一个向量不能由其它向量线性表示;

4. 设1,2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，1,2是其导出组Ax0的一个基础解系，则线性方程组Axb的通解可表示为 [ ]. 11(12)k11k2(122)(12)k11k2(12)22(A) (B)

(C) (12)k11k22 (D) (12)k11k22

5. 设n阶矩阵A与B相似，则下列不正确的是 [ ].

22(A) AB (B) AEBE (C) AEBE (D)A与B相似

二填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分;将正确答案填在题中括号内。)

2AB1. 设A,B都是n阶矩阵，且|A|=2,|B|3，则

1= ( )。

101aA11a0002的秩R(A)2,则a( )。 2. 设矩阵110212122的过渡矩阵 R3. 从向量空间的基，到基，

1111为( )。

4. 设R(A)2，且线性方程组Axb无解，则R(Ab)( )。

222f(x,x,x)x2x3x1232tx1x2是正定的，则t满足条件( )。 5. 设二次型1231

2三、 计算行列式(10分)D342341341241 23230

1四、设A120，且ABA6ABA，求矩阵B(10分). 003TTTT(1,0,1,1)(1,1,1,1)(1,2,3,1)(1,3,5,1)312

4五、讨论向量组,,,的线性相关性，并求其秩和一个极大线性无关组(10分)。 六为何值时线性方程组：

x1x2x3x412xx3x2x21234x14x25x43x13x25x35x43

有解?在有解时求该方程组的通解(10分)。 设V是RV22上所有对称矩阵组成的线性空间，试求出V的一组基，并求

1212A21在此组基下的矩阵(10分)。 2122f(x1,x2,x3)2x12x2x32x2x3化成标准形，并说明上线性变换(A)

八、求一正交变换，将二次型f(x1,x2,x3)1表示何种二次曲面(10分)。

线性代数试题 2008.5

一、计算下列各题(每小题5分, 共30分)

1、设1,2,,都是3维列向量，且行列式|A||1,22,|a，|B||2,1,|b，求行列式C|1,22,|. 100*1A

2、设的逆矩阵A220, 求A的伴随矩阵A. 333TTTT(1,1,3,2)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,0,1,2)312

43、设,,,,求向量组1,2,3,4的秩和一个极大线性无关向量组。

111x11

4、已知线性方程组211x22有解，但解不唯一，求a,b的值。

1a1xb3T100122(A)AR

5、求线性空间的线性变换在基E11,E120000,

0000TA,下的矩阵，其中是A的转置矩阵。 E21E221001222fxx5x2tx1x22x1x34x2x3是正定二次型。 123t

6、问为何值时，二次型1a23412a34123a4234a

二、(10分)计算行列式

1三、(10分) 求解下面矩阵方程中的矩阵X

010100121100X011102001001134

x1x3x42xx2xx13

4四、(10分)求线性方程组12的通解，并用对应齐次线性方程组基础2x1x2x32x433x1x23x45解系表示通解。

1a1300

五、(10分)已知矩阵Aab0与B030相似，求a,b的值. 411001222f(x,x,x)2xxx2x2x3为标准形 xQy12312

3六、12分)求出正交变换，使化二次型

七、(8分)记R是R上所有23矩阵，按矩阵加法、数与矩阵乘法构成的R上的线0Vx3性空间，集合2323x10x2xxx0,x,x,x,xR1241234x4，

证明：V是R的线性子空间，并求V的一组基和维数。

八、(10分)证明题：

(1)设向量组1,2,,s线性无关，向量组1,2,,s,线性相关，证明向量可由向量组1,2,,s线性表示且表示式唯一。 (2)设A(aij)Ta1b(1,0,0)3311是实正交矩阵，且，向量，证明线性方程组Axb有唯一解xb。

东 北 大 学 期 末 考 试 试 卷2008-2009学年第1学期：线性代数

一、单项选择题(本题4小题，每小题3分，共12分;在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题中括号内)

1、设A,B都是n阶非零矩阵，且ABO，则必有( ). (A)AO或BO; (B) ABO;(C) A0或B0 ; (D) AB0.

2、设A是n阶矩阵，A0An1，A是A的伴随矩阵，则

An*

A*=( )

(A) 1; (B) ;(C)

; (D) A.

3、n阶矩阵A具有n个不同的特征值，是A与对角矩阵相似的( )

A 充分必要条件B充分但非必要条件C 必要但非充分条件D既非充分也非必要条件.

4、设A是mn阶矩阵，B是nm阶矩阵，则齐次线性方程组(AB)x0( ) A当nm时仅有零解B当nm时必有非零解C当mn时仅有零解D当mn时必有非零解

二、填空(本题6个小题，每小题3分，共18分;将正确的答案填在题中括号内)

1、设4阶矩阵A(,2,3,4)，B(,2,3,4)，其中,,2,3,4,均为 4维列向量，已知A4，B1，则AB ( ). 11111111AA511111111， 则 

2、设



3、设P[ij(k)]表示把n阶单位矩阵的第j行的k倍加到第i行的得到的初等矩阵，则(P[ij(k)])1=()..

222f(x,x,x)3x3x9x10x1x212x1x312x2x3的秩是( ). 12312

34、已知二次型00B00

5、设矩阵003001020022，矩阵A与B相似，则R(AE)R(A3E)( )

1(A2)

16、设2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵3有一个特征值等于( ).

423A110123，求矩阵B n

三、(10)设阶矩阵A与B满足条件ABA2B，已知矩阵

1333332333Dn33333333433333nx1x2kx34,2x1kx2x3k,xx2x431

2四、(10分)计算行列式

五、(12分)已知线性方程组

问k为何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解? 并求出有无穷多解时的通解.

123，

六、(12分)(1)设向量组1,2,3线性无关，证明向量组1,2,3TTTT(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),,1,0)， 234(2,1也线性无关. (2)设1试判断该向量组的线性相关性，并给出其一个极大线性无关组。

七、(10分)设AR，记(1) S(A)是Rn×nn×nS(A)B:BRn×n，AB0，证明：

的一个子空间;(2) 设秩(A)r，求S(A)的一组基和维数.

222f3x3x6x8x1x24x1x34x2x3 12

3八、(16分)用正交变换化二次型

线性代数教材范文第4篇

1 重视概念教学, 培养抽象思维能力

《线性代数》是以一系列概念为基础的, 其抽象程度往往高于其他学科, 因此学生对这种高度抽象的概念望而生畏。教师在教学过程中, 一方面, 让学生了解概念的产生背景来减弱概念的抽象程度。如在讲行列式定义时, 是利用消元法来求解二元线性方程组, 把其解用二阶行列式表示成容易记忆的形式, 通过分析概括, 给出了n阶行列式定义。另一方面, 我们可以通过对比、比较来加深学生对概念的理解掌握。例如在实数运算系统中, 若有方程ax=ay且a≠0, 则它必有x=y, 称之为乘法消去律。但是在矩阵运算系统中乘法消去律不再成立。

例1:“若矩阵A满足A2=E, 则A=±E (其中E为单位矩阵) ”这一结论是否正确?

经过分析, 我们可以知道

2 重视建构知识点关联, 培养逻辑推理能力

《线性代数》内容多, 主要包括行列式、矩阵、线性方程组、向量的线性相关性和二次型等主要内容, 但是课时却较少, 因此要在规定的时间内讲完所有内容, 就必须分清主次。整个《线性代数》实质是围绕矩阵展开的, 重点是矩阵的秩, 主要工具是矩阵的初等变换, 利用矩阵的初等变换可以求矩阵的逆矩阵、矩阵的秩, 解线性方程组等。因此我们一定要把握好这个中心, 循序渐进, 把主要内容贯串起来。我们以下面这组题目为例进行分析。

a取何值时只有零解?a取何值时有非零解?且用通解表示非零解。

(4) 已知四元向量

问a取何值时, 1α, α2, α3, α4线性无关?问a取何值时, 1α, α2, α3, α4线性相关?当1α, α2, α3, α4线性相关时, α4能否经1α, α2, α3线性表出?α3能否经1α, α2, α3线性表出?能线性表出的, 请写出表达式。

(5) 1α, α2, α3, α4如 (4) 题所设, 讨论1α, α2, α3, α4的秩, 且写出一个极大无关组。

以上五题, 表面上看似是不同形式的题目, 考察的分别是行列式、矩阵、方程组和向量组的线性相关性方面, 仔细分析后可以看出, 这组题核心是第 (2) 题, 其它题均可以由它演化而得, 实质是基于同一问题—矩阵的秩。又如矩阵之间存在一些关系, 例如等价关系、相似关系、合同关系和正交变换关系等, 学完之后就应该对这些关系作一下比较, 弄清它们之间的区别和联系。因此对于《线性代数》的教学, 教师应该适时引导学生建构知识点关联, 既可以提高学生的逻辑思维能力, 同时又可以掌握所学主要知识点。

3 利用具体实例, 调动学生学习的主动性

由于《线性代数》自身的特点, 学生在学习过程中经常会感到枯燥无味, 虽然我们一开始就强调其重要性, 是其它后续课程的基础, 但是很多学生不知道《线性代数》在哪方面可用, 在学习过程中缺乏动力。因此, 在教学中我们要尽可能地把数学建模的相关部分内容融入到课程的教授过程, 把讲授的内容知识应用到学生所熟悉的现实问题中, 培养学生应用数学知识解决具体问题的能力, 提高学生学习《线性代数》的兴趣, 同时也可以提高抽象思维能力。例如对于经济管理等方向的学生, 投入产出数学模型就是一个很好的具体实例。又如, R3中3个向量α, β, γ组成的向量组A来说, 向量组A线性相关的几何直观是α, β, γ在同一平面上。这样可以提高学生的学习兴趣, 提高实际应用能力。

4 增加考研题目, 提高求知欲

在教学过程中, 适当增加一些近年来的考研题目作为例题或课后习题, 以典型题为例分析, 让学生明白考研题并不可怕, 是我们运用所学知识很容易就可以解决的。这样不仅有助于对知识的掌握, 还可以提高学生的求知欲和综合分析能力, 继而增强他们学好《线性代数》的信心, 达到良好的学习效果。

总之, 在《线性代数》课程的教学过程中, 教师要根据学生的实际情况, 采用各种教学手段, 激发学生的学习兴趣, 使学生较好地理解课本知识, 提高他们的抽象思维能力和逻辑推理能力。

摘要：《线性代数》是工科院校普遍开设的一门重要基础课程, 内容具有高度抽象性, 对于培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力等有着重要作用。本文从重视概念教学、建构知识点关联、与实际结合等方面浅谈在线性代数教学过程中的体会。

关键词：线性代数,教学,思维能力

参考文献

[1] 陈维新.线性代数 (第2版) [M].北京:科学出版社, 2007.

线性代数教材范文第5篇

其中i、ϕ (r+s) 为所有r+s级置换形成的集合;ii、σ∈ϕ (r+s) 表示σ取遍ϕ (r+s) 中所有的r+s级置换;为置换σ的符号因子, 其中τ (σ) 是置换σ的逆序数。

依行列式值的沿多行 (列) 展开的定理得:取定A中的某k行后, A等于含于此k行的所有k阶子式与其代数余子式的乘积之和, 数学表达式为:

2 由行列式值的定义证明其值沿多行 (列) 展开的定理即:用 (1) 证明 (2)

其中N1[σ (i) ]为新排列中在元素右面的所有比σ1 (i) 大的元素的个数, 上式右端等号成立的理由在于新排列在置换σ1作用下的两个特征;

根据 (3) 、 (4) 可将上式变为:

摘要：本文的重点是对行列式亦有沿多行 (列) 展开的求值方法的证明。对此法来说一般人只会用之, 不知其证明, 甚至对数学要求较高的物理学院在《线性代数》中忽略其证明。