证明不等式的几种方法范文

证明不等式的几种方法范文第1篇

作文结尾的几种方法文章的结尾和开头一样，没有固定的格式。但结尾的方法，并非是不可捉摸的，从许多人写作实践中，有不少写好结尾的经验和方法，可以借鉴，受到启发，从而开拓结尾的思路。下面介绍几种常用的结尾方法：

一、概括全文。如小学语文课文《美丽的小兴安岭》，用“小兴安岭是一座巨大的宝库，也是一座美丽的大花园”结尾。这个结尾概括了全文内容，给读者留下了非常鲜明的印象。

二、交代结果。如小学语文课文《找骆驼》的结尾：“商人听了 听了，照老人的指点一路找去，果然找到了走失的骆驼。”这就交代了事情的结果，从而结束全文。

三、写出感受，总结全文。如小学语文课文《马》，作者在记叙了他和弟弟一起赶着一匹拉了重载的马，在雨夜泥泞中赶走夜路的经过后，在结尾时写道：“我现在看到拉货车的马，还打心眼里感到亲切。真的，再也没有像马这样忠实的动物了。”最后一句，写出了感受，总结了全文。

四、篇末点题。如小学语文课文《心愿》，作者叙述他在巴黎的街道公园与一个法国小姑娘及他的爸爸、妈妈相遇的经过后，用这样一段话作为结尾：“一个普通的法国家庭——一对中年夫妇和一个天真的孩于，他们的心愿多么美好，多么纯真!人民的感情是朴素的，朴素的东西是最美的。修一座友谊的长桥，这是我们共同的心愿!”最后一句就是篇末点题。

五、表达感情和愿望。如小学语文课文《关怀》的结尾：“窗外阳光灿烂，菜花的香气一阵阵扑进教室来，春天这样美好，周总理这样关怀我们，我们感到又温暖，又幸福。”又如课文《十里长街送总理》的结尾：“„„灵车渐渐地远去了，终于消失在苍茫的夜色中了。人们还是面向灵车开去的方向，静静地站着，站着，好像在等待周总理回来。”

六、首尾呼应。这种结尾方法有多种形式，有的是用相同的句子呼应，如作文《各就各位，预备——》，用“各就各位，预备——”开头，记叙了参加体育测试，联想到学习和要为将来参加祖国建设作准备，最后又用“各就各位，预备——”结束全文。还有一种是开头设问，结尾回应开头的设问。如小学语文课文《海底世界》的开头是“你可知道，大海深处是怎样的吗?”结尾是“海底真是景色奇异、物产丰富的世界!”

七、给读者留下思考和回味的余地。最常见的是结尾用个省略号。用省略号结尾，可以促使读者去思考、回味，但使用的时候必须注意的是，文章本身要有可以给人深思、回味的内容，不能结尾时没话可写就随便来个省略号。

除以上这些结尾方法外，还有许多其他的结尾方法。对小学生来说，这些结尾方法在写事的时候可以灵活选用。不过，可不能生搬硬套。

常见的作文结尾：

1.自然式。事情结束了，文章也结尾了。如《麻雀》的结尾：“我急忙唤回我的猎狗，带着它走开了。”

2.照应式。结尾或点题，与文题遥相呼应;或与开头相照应，收拢全文。如《颐和园》的结尾是：“颐和园的景色可真美啊!”与开头：“北京的颐和园是个美丽的大公园”首尾照应，有力地突出了中心。

3.引申式。结尾或展开联想，由此及彼，由表及里，深化主题;

或总结提高，使主题得到升华。如《高大的皂荚树》的结尾：“想着，想着，我的心里，好像有一颗种子在生根、发芽„„”

4.抒情式。结尾直接抒发作者的感情，以引起读者的共鸣，从中受到感染，受到教育。如《再见了，亲人》的结尾：“再见了，亲人，我们的心永远跟你们在一起”。

5.评价式。结尾对人物或事物进行总结、评价，表达作者的看法，突出文章的中心。如《狼牙山五壮士》的结尾：“这是英雄的中国人民坚强不屈的声音，这声音惊天动地、气壮山河。”

给作文留一个意味深长的尾巴——作文结尾八式

2008年10月1日

俗话说：“编筐编篓，全在收口。”文章结尾十分重要，不能虎头蛇尾，也不可画蛇添足。结尾要言有尽而意无穷，要有余味耐咀嚼，更要让读者读完文章之后久久不能忘怀。

1.点睛式

用简洁或富有哲理的语句归纳总结，揭示中心，点明意义;或议论收束，突出主旨。2003年高考满分作文《放在远处品味》结尾——因此，当你正为一件事或一个问题绞尽脑汁时，不妨将其放远了品味，这时你会蓦然发现，距离并不重要，亲疏并非是牵绊， 绊，放远了的事物原来也别有一番天地!2004年高考优秀作文《相信自己，也要相信别人》结尾——“金无足赤，人无完人”，谁都不能夸口说自己是完美的，代表亘古不变的真理;但同时，也没有人一无是处，因此我们要相信自己，也相信别人。在“胸有成竹”时相信自己，在“迷茫怅然”时相信别人，让二者相互配合，相互补充，我们才会拥有精彩的人生。2005年高考某考生优秀作文《在细微中体味博大》结尾——书法、绘画、音乐这些细微的元素，构成了气势恢宏的中华五千年的博大文化。这种博大不是我们把细微的元素一一罗列出来所能涵盖的，我们需要进行文化的苦旅，在一枝一叶中品味文化的精彩，接受中华文化的洗礼和熏陶，使自身在人格上得到充实、磨炼和升华!这些作文的结尾都用非常简洁或者是深含哲理意味的语言来点明题旨，突出文章的中心，增强了论证力度，也增加了论证结构的完整性。

2.照应式

结尾照应文题，或照应开头，前后呼应，血脉贯通。照应式又可按具体表达方式分为两种。1.照应文题。2003年高考满分作文《勿以好恶论断之》结尾——勿以好恶论断之，也许你会发现，狗尾草也会开出美丽的花!结尾点题，文题照应，形成结构上的对称美，给人以清晰深刻的印象，紧扣题目，点明论点，收束有力。2.照应开头。2001年高考佳作《根》开头：“参天古树源于遒劲的根，挺拔翠松依赖于不屈的根，那么我们生存的根是什么呢?我认为应该是诚信。”此文结尾——不管你是什么人，不管你干什么事，不管你在哪里，守着你的根，守着炎黄子孙的根，守着我们的哪怕是唯一的拥有——诚信。文章前后照应，文气通畅，浑然一体。又如2005年高考佳作《别人的风景你的梦》开头引用了卞之琳的《断章》一诗，文章的结尾——记着，只有你装饰了别人的风景，别人才会装饰你的梦;你若想要别人来装饰你的梦，那么你要学会去装饰别人的风景。因为，这世界本就是和谐的一体，双赢的存在。此处结尾与开头遥相呼应，结构严谨。

3.引用式

用名言、俗语、警句、歌词和诗文结尾，收束有力，余音绕梁。2003年高考某考生优秀作文《不可靠，不可不靠》结尾——最后，“所有的感情在本性上都是好的，我们应避免的只是对它们的滥用和误用”。笛卡尔也告诉我们在认知事物时，应谨慎地基于理智，辅以情感，努力使感情的亲疏远近在认知事物的过程中发挥正面的作用。结尾引用了笛卡尔的名言，既是对前文的归纳总结，又进一步论证了论点，不仅同开头紧密照应，而且还水到渠成地点出了全文的中心论点，给人以鲜明、深刻的印象。用名言、警句、俗语等结尾，不仅是对文章整体上的一种提升，而且使得文章的哲理性加强，耐人寻味。

4.设问式

设问结尾，发人深思。2005年高考佳作《米卢与孔明》结尾——为何千年的文化积淀却让我们越发功利与目光短浅?为何我们在现代社会里沐浴着文明，却在心中滋长着狭隘?米卢与孔明，我们的对待又为何如此不公?我们是否也应该重新审视，该怎样对待忘记与铭记?某考生高考佳作《人生也是一张答卷》结尾——在人生这张大考卷上，问题看似简单，答案看似丰富多彩，但真要交出一份满意的答案，远非想象中那么简单。你会如何作答呢?2005年高考佳作《走不倦的人生》结尾——繁忙的人生中，快乐不少，痛苦不多。心态平了，道路自然平。虽然《潇洒走一回》早已退出了流行歌曲排行榜，但生活中，又何妨潇洒走一回呢?以上佳作都在文章的结尾采用设问的方式，不仅引起人们的深思，还会产生一种强烈的感染力，达到了较好的结尾效果。

5.抒情式

结尾抒情，能表达作者的情感，表明观点、态度，引起读者的共鸣，增强文章的感染力。2005年高考佳作《永远的苏武》结尾——

壮哉，那永远的苏武!伟哉，那震撼人心的忘记!奇哉，那惊天动地的铭记!雄哉，那一段忘记与铭记的千载颂歌!啊，我们永远的苏武!

以“壮哉”“伟哉”“奇哉”“雄哉”表达对苏武的敬仰赞美之情，有感染力。

2005年高考佳作《平凡成就伟大》结尾——

大地无语，那青松、鲜花、小草和浪花都在向我们招手，我们应时刻铭记：平凡也可成就伟大。2005年高考佳作《该忘记的与该铭记的》结尾——

让我们忘记该忘记的，铭记该铭记的吧!这是时代赋予我们的神圣使命。

2005年某考生高考优秀作文《菊花?烈酒》结尾——

忘记痛苦与仇恨，忘记一切不值得记忆的。铭记快乐与温馨的感情，铭记一切助你成功的基石与动力。擦亮你的双眼，摘一朵淡泊却幽香的菊花，喝一口浓烈却香醇的美酒，携一腔激情与感恩，你将会发现，生活原来如此精彩。

6.对比式

对比式结尾能在鲜明的对比中彰显文章主题。

2002年高考佳作《与永恒拔河》结尾——

在生命的天平上，有人选择个人的荣辱得失，但更有人选择个性的无碍释放、国家的繁荣太平、民族的坚贞气节。而往往是后面这些人，托起了生命的天平，紧握永恒的绳索，在生命与永恒的拔河中，探索永恒的答案。

7.反复式

相同语句反复出现，一唱三叹，回肠荡气。

2005年高考佳作《一路同行》结尾——

忘记与铭记一路同行，带来的是生活赠予的阅历和经验;忘记与铭记一路同行，带来的是人生美丽的收获和付出;忘记与铭记一路同行，这一路我们感到快乐和幸福!

8.后记式

结尾以后记的形式通过形象生动的比喻来倾诉情感，既文采飞扬，又显得含蓄而富有哲理。如《那鱼那鹰那人》后记——

鱼，终究离不开给予它生命之源的水。

鹰，终究离不开给予它希望之源的天空。

我，始终逃离不了父母和亲人朋友们用爱心编织而成的幸福网„„

结尾的方法还有很多，如：比喻式结尾，语言优美，意蕴隽永含蓄;逆转式结尾，结尾突然逆转，出人意料之外，又在情理之中„„

证明不等式的几种方法范文第2篇

第一桶金

一个人，一台电脑。如此简单。

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网络赚钱，一个人一台电脑，看似简单，其实内含玄机。

网络中赚钱的方法分很多种，这里给各位朋友总结几种傻瓜式的方法，适用于初学者。



第一：淘宝客

最简单的在淘宝网购物，大家都知道吧!如果你不知道如何通过淘宝购物，那么下面我说的方法可能你就很难听懂了。

淘宝是一个购物商城，由于各种产品的竞争性，生出了一个帮助“淘宝店主”做推广的专业网站“阿里妈妈”(百度搜索)。可以直接用你的支付宝账户绑定阿里妈妈的账号，然后就可以获取你的推广链接。也就是说：某人通过你发的推广链接购买了淘宝的产品，你就可以获取相应的佣金。佣金的额度从几元到几十元不等。做得好的，月入几千元是很简单的事情。  第二：可以利用广告联盟来赚钱。俗称CPA。 一些新出来的网游会在广告联盟那里寻求帮

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助，帮他们招揽用户，注册一个游戏账号获得一元左右的佣金，一般常见的是微博00

8、114广告联盟这两个联盟。一般可以利用一些美观的简单网站去吸引用户注册，然后你就可以获得相应的佣金，一般一天赚30-40元还是非常简单的。早期做CPA项目的都已经发家致富了。那么知道了方法，大家可以多多研究如何让更多人帮你注册游戏账号，获取佣金，这就联系到了“引流方法”【引流：“流”：就是人流量，浏览量，注册量。引流就是：吸引更多人给你注册账号，获取佣金。】 这是一个在家赚钱的人们都很喜欢的一个论坛，可以发布自己的疑问，我会定期回答各位的!百分百绿色论坛，全部免费，希望大家能喜欢!

 第三：利用信息不对称来做产品销售。(俗称，分类信息网赚)你现在去【58同城】【赶集网】【百姓网】搜索“二手手机”安卓智能机，一般应该有一些是价格在300-500元的。然后你去阿里巴巴(百度搜索)搜索“安卓智能机”找一些比较好看

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王尧----友情分享

的全屏手机，自己去【分类信息网】写上二手手机出售的信息，留下QQ号码，就说是外地出差，想要的必须要联系QQ等等说辞。如果有人想买，就可以通过快递货到付款的方式去出售，中间的差价从100-300不等。如果你有胆子做二手笔记本，利润达到1000的也很简单。

 感谢大家的阅读，希望大家能通过网络转到自己的第一桶金，然后我会在狼牙网赚论坛不断更新更多的学习教程供大家学习交流。我是王尧，和你一样，奋斗中的80后!

证明不等式的几种方法范文第3篇

作文结尾的几种方法文章的结尾和开头一样，没有固定的格式。但结尾的方法，并非是不可捉摸的，从许多人写作实践中，有不少写好结尾的经验和方法，可以借鉴，受到启发，从而开拓结尾的思路。下面介绍几种常用的结尾方法：

一、概括全文。如小学语文课文《美丽的小兴安岭》，用“小兴安岭是一座巨大的宝库，也是一座美丽的大花园”结尾。这个结尾概括了全文内容，给读者留下了非常鲜明的印象。

二、交代结果。如小学语文课文《找骆驼》的结尾：“商人听了 听了，照老人的指点一路找去，果然找到了走失的骆驼。”这就交代了事情的结果，从而结束全文。

三、写出感受，总结全文。如小学语文课文《马》，作者在记叙了他和弟弟一起赶着一匹拉了重载的马，在雨夜泥泞中赶走夜路的经过后，在结尾时写道：“我现在看到拉货车的马，还打心眼里感到亲切。真的，再也没有像马这样忠实的动物了。”最后一句，写出了感受，总结了全文。

四、篇末点题。如小学语文课文《心愿》，作者叙述他在巴黎的街道公园与一个法国小姑娘及他的爸爸、妈妈相遇的经过后，用这样一段话作为结尾：“一个普通的法国家庭——一对中年夫妇和一个天真的孩于，他们的心愿多么美好，多么纯真!人民的感情是朴素的，朴素的东西是最美的。修一座友谊的长桥，这是我们共同的心愿!”最后一句就是篇末点题。

五、表达感情和愿望。如小学语文课文《关怀》的结尾：“窗外阳光灿烂，菜花的香气一阵阵扑进教室来，春天这样美好，周总理这样关怀我们，我们感到又温暖，又幸福。”又如课文《十里长街送总理》的结尾：“„„灵车渐渐地远去了，终于消失在苍茫的夜色中了。人们还是面向灵车开去的方向，静静地站着，站着，好像在等待周总理回来。”

六、首尾呼应。这种结尾方法有多种形式，有的是用相同的句子呼应，如作文《各就各位，预备——》，用“各就各位，预备——”开头，记叙了参加体育测试，联想到学习和要为将来参加祖国建设作准备，最后又用“各就各位，预备——”结束全文。还有一种是开头设问，结尾回应开头的设问。如小学语文课文《海底世界》的开头是“你可知道，大海深处是怎样的吗?”结尾是“海底真是景色奇异、物产丰富的世界!”

七、给读者留下思考和回味的余地。最常见的是结尾用个省略号。用省略号结尾，可以促使读者去思考、回味，但使用的时候必须注意的是，文章本身要有可以给人深思、回味的内容，不能结尾时没话可写就随便来个省略号。

除以上这些结尾方法外，还有许多其他的结尾方法。对小学生来说，这些结尾方法在写事的时候可以灵活选用。不过，可不能生搬硬套。

常见的作文结尾：

1.自然式。事情结束了，文章也结尾了。如《麻雀》的结尾：“我急忙唤回我的猎狗，带着它走开了。”

2.照应式。结尾或点题，与文题遥相呼应;或与开头相照应，收拢全文。如《颐和园》的结尾是：“颐和园的景色可真美啊!”与开头：“北京的颐和园是个美丽的大公园”首尾照应，有力地突出了中心。

3.引申式。结尾或展开联想，由此及彼，由表及里，深化主题;

或总结提高，使主题得到升华。如《高大的皂荚树》的结尾：“想着，想着，我的心里，好像有一颗种子在生根、发芽„„”

4.抒情式。结尾直接抒发作者的感情，以引起读者的共鸣，从中受到感染，受到教育。如《再见了，亲人》的结尾：“再见了，亲人，我们的心永远跟你们在一起”。

5.评价式。结尾对人物或事物进行总结、评价，表达作者的看法，突出文章的中心。如《狼牙山五壮士》的结尾：“这是英雄的中国人民坚强不屈的声音，这声音惊天动地、气壮山河。”

给作文留一个意味深长的尾巴——作文结尾八式

2008年10月1日

俗话说：“编筐编篓，全在收口。”文章结尾十分重要，不能虎头蛇尾，也不可画蛇添足。结尾要言有尽而意无穷，要有余味耐咀嚼，更要让读者读完文章之后久久不能忘怀。

1.点睛式

用简洁或富有哲理的语句归纳总结，揭示中心，点明意义;或议论收束，突出主旨。2003年高考满分作文《放在远处品味》结尾——因此，当你正为一件事或一个问题绞尽脑汁时，不妨将其放远了品味，这时你会蓦然发现，距离并不重要，亲疏并非是牵绊， 绊，放远了的事物原来也别有一番天地!2004年高考优秀作文《相信自己，也要相信别人》结尾——“金无足赤，人无完人”，谁都不能夸口说自己是完美的，代表亘古不变的真理;但同时，也没有人一无是处，因此我们要相信自己，也相信别人。在“胸有成竹”时相信自己，在“迷茫怅然”时相信别人，让二者相互配合，相互补充，我们才会拥有精彩的人生。2005年高考某考生优秀作文《在细微中体味博大》结尾——书法、绘画、音乐这些细微的元素，构成了气势恢宏的中华五千年的博大文化。这种博大不是我们把细微的元素一一罗列出来所能涵盖的，我们需要进行文化的苦旅，在一枝一叶中品味文化的精彩，接受中华文化的洗礼和熏陶，使自身在人格上得到充实、磨炼和升华!这些作文的结尾都用非常简洁或者是深含哲理意味的语言来点明题旨，突出文章的中心，增强了论证力度，也增加了论证结构的完整性。

2.照应式

结尾照应文题，或照应开头，前后呼应，血脉贯通。照应式又可按具体表达方式分为两种。1.照应文题。2003年高考满分作文《勿以好恶论断之》结尾——勿以好恶论断之，也许你会发现，狗尾草也会开出美丽的花!结尾点题，文题照应，形成结构上的对称美，给人以清晰深刻的印象，紧扣题目，点明论点，收束有力。2.照应开头。2001年高考佳作《根》开头：“参天古树源于遒劲的根，挺拔翠松依赖于不屈的根，那么我们生存的根是什么呢?我认为应该是诚信。”此文结尾——不管你是什么人，不管你干什么事，不管你在哪里，守着你的根，守着炎黄子孙的根，守着我们的哪怕是唯一的拥有——诚信。文章前后照应，文气通畅，浑然一体。又如2005年高考佳作《别人的风景你的梦》开头引用了卞之琳的《断章》一诗，文章的结尾——记着，只有你装饰了别人的风景，别人才会装饰你的梦;你若想要别人来装饰你的梦，那么你要学会去装饰别人的风景。因为，这世界本就是和谐的一体，双赢的存在。此处结尾与开头遥相呼应，结构严谨。

3.引用式

用名言、俗语、警句、歌词和诗文结尾，收束有力，余音绕梁。2003年高考某考生优秀作文《不可靠，不可不靠》结尾——最后，“所有的感情在本性上都是好的，我们应避免的只是对它们的滥用和误用”。笛卡尔也告诉我们在认知事物时，应谨慎地基于理智，辅以情感，努力使感情的亲疏远近在认知事物的过程中发挥正面的作用。结尾引用了笛卡尔的名言，既是对前文的归纳总结，又进一步论证了论点，不仅同开头紧密照应，而且还水到渠成地点出了全文的中心论点，给人以鲜明、深刻的印象。用名言、警句、俗语等结尾，不仅是对文章整体上的一种提升，而且使得文章的哲理性加强，耐人寻味。

4.设问式

设问结尾，发人深思。2005年高考佳作《米卢与孔明》结尾——为何千年的文化积淀却让我们越发功利与目光短浅?为何我们在现代社会里沐浴着文明，却在心中滋长着狭隘?米卢与孔明，我们的对待又为何如此不公?我们是否也应该重新审视，该怎样对待忘记与铭记?某考生高考佳作《人生也是一张答卷》结尾——在人生这张大考卷上，问题看似简单，答案看似丰富多彩，但真要交出一份满意的答案，远非想象中那么简单。你会如何作答呢?2005年高考佳作《走不倦的人生》结尾——繁忙的人生中，快乐不少，痛苦不多。心态平了，道路自然平。虽然《潇洒走一回》早已退出了流行歌曲排行榜，但生活中，又何妨潇洒走一回呢?以上佳作都在文章的结尾采用设问的方式，不仅引起人们的深思，还会产生一种强烈的感染力，达到了较好的结尾效果。

5.抒情式

结尾抒情，能表达作者的情感，表明观点、态度，引起读者的共鸣，增强文章的感染力。2005年高考佳作《永远的苏武》结尾——

壮哉，那永远的苏武!伟哉，那震撼人心的忘记!奇哉，那惊天动地的铭记!雄哉，那一段忘记与铭记的千载颂歌!啊，我们永远的苏武!

以“壮哉”“伟哉”“奇哉”“雄哉”表达对苏武的敬仰赞美之情，有感染力。

2005年高考佳作《平凡成就伟大》结尾——

大地无语，那青松、鲜花、小草和浪花都在向我们招手，我们应时刻铭记：平凡也可成就伟大。2005年高考佳作《该忘记的与该铭记的》结尾——

让我们忘记该忘记的，铭记该铭记的吧!这是时代赋予我们的神圣使命。

2005年某考生高考优秀作文《菊花?烈酒》结尾——

忘记痛苦与仇恨，忘记一切不值得记忆的。铭记快乐与温馨的感情，铭记一切助你成功的基石与动力。擦亮你的双眼，摘一朵淡泊却幽香的菊花，喝一口浓烈却香醇的美酒，携一腔激情与感恩，你将会发现，生活原来如此精彩。

6.对比式

对比式结尾能在鲜明的对比中彰显文章主题。

2002年高考佳作《与永恒拔河》结尾——

在生命的天平上，有人选择个人的荣辱得失，但更有人选择个性的无碍释放、国家的繁荣太平、民族的坚贞气节。而往往是后面这些人，托起了生命的天平，紧握永恒的绳索，在生命与永恒的拔河中，探索永恒的答案。

7.反复式

相同语句反复出现，一唱三叹，回肠荡气。

2005年高考佳作《一路同行》结尾——

忘记与铭记一路同行，带来的是生活赠予的阅历和经验;忘记与铭记一路同行，带来的是人生美丽的收获和付出;忘记与铭记一路同行，这一路我们感到快乐和幸福!

8.后记式

结尾以后记的形式通过形象生动的比喻来倾诉情感，既文采飞扬，又显得含蓄而富有哲理。如《那鱼那鹰那人》后记——

鱼，终究离不开给予它生命之源的水。

鹰，终究离不开给予它希望之源的天空。

我，始终逃离不了父母和亲人朋友们用爱心编织而成的幸福网„„

结尾的方法还有很多，如：比喻式结尾，语言优美，意蕴隽永含蓄;逆转式结尾，结尾突然逆转，出人意料之外，又在情理之中„„

证明不等式的几种方法范文第4篇

一天里用5分钟到10分钟安静地坐一坐，什么也不要做，把精力集中到自己的感觉上。

放声大笑

当您发自内心地大笑时，体内引起压力的激素肾上腺素开始下降，免疫力增强。 倾听音乐

当你接受一项重大任务时，听听你喜欢的音乐，可以放松心情。

多想点美好的事情

抽一点时间，哪怕是5分钟，集中精神想想对你来说可亲的人或可喜的事，也可以构思一幅安静休假的画面。

走路散步

证明不等式的几种方法范文第5篇

步骤一：首先把不等式转化关于某变量x的函数，并且求出x的定义域。 步骤二：证明该变量x的函数在其定义域的单调关系。

步骤三：由步骤二可得出该不等式的极小值或极大值，进而求出最小值或最大值。

步骤四：利用最小值或最大值证该不等式是正确。

②利用求等比数列和的方法证明不等式成立。

③利用列式分解法来证明不等式成立(经常用于数列不等式)。

Ⅰ利用分子分母的列式分解法分解。类型应是分子是常数，分母是可由两个因子式的二元一次方程并且该两个因子式相减可得一个常数。通常类型如下：c/a(x+b1)(x+b2) = c/a * 1/(b2-b1) * [1/(x+b1) - 1/(x+b2)] Ⅱ利用根号和列式分解法来证明不等式的成立。

Ⅲ利用对数的性质来进行因式分解。例如ln[n/(n+1)] = ln(n)-ln(n+1); ④利用假说演绎法来证明不等式的成立。

步骤如下(假设有5分，一般都可拿3分)：

步骤一：假设该不等式成立。

步骤二：当n = 1 时，该不等式成立。(1分或2分)

步骤三：当n = k+1 时，把他代入左边的参数，再跟与 n = k的不

等式转换。从而验证当n = k+1 时，该不等式也成立。(3分或4分)

步骤四：综上所述，该不等式成立。(0分或1分)

⑤利用放缩法来证明不等式成立。下面有几种常见的关于放缩法的几种类型。 Ⅰ利用已有的列式分解法的知识进行放缩。

Ⅱ利用上述已知的条件进行放缩。

证明不等式的几种方法范文第6篇

一、一般思路

不等式证明的总体思路是比较不等式两边式子的大小,一般用比较法证明不等式.比较法证明不等式可分为差比法和商比法，它是不等式证明中最基本思路.明确作差、作商比较法证明不等式的依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握作差、作商后对差式、商式变形以及判断符号的重要方法，并在今后学习中继续积累方法.但比较法证明不等式主要运用了综合法和分析法. 利用题设和某些证明过的不等式作为基础，再利用不等式的性质推出欲证的不等式，称为综合法.思路是“由果索因”，即从题设条件或已知证明的结论﹑公式出发，逐步推理，得到欲证的不等式，这种方法条理清楚，易表述.

分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件,只要使不等式成立的条件已经具备,就断定不等式成立.思路是“执果索因”, 即从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一“充分”的条件,为此逐步往前追溯,一直追溯到已知便于探求解题思路.

二、典型方法分析

(1)放缩法

不等式的传递性，若A>B，B>C则A>C告诉我们要证明A>C时就可以先把A缩小B，再把B缩小为C，从而证明A>C;同样A放大为B，再把B放大为C，可以证明A

分析:注意观察不等式左边的形式,显然左边要比右边复杂,所以我们应选择从左到右来证明.先取有限项进行观察,从它们的规律分析进而得证.一般地,如果是分式就考虑放大(缩小)分子(分母).如本题就是利用放大分母

1n

=22n2nn12(nn1),每一项都可由此规律放大分母,从而易得证.但值得注意的是放大或缩小要适当. 证明:1n=22n2nn12(nn1)，

∴1312<2(2-1)，

2(32),

„„

1n11n2(n1n2),

<2(nn1).

121n以上各式相加，得1+所以原不等式成立.

+„<2n-1<2n.

【评注】利用分数的性质，可适当地增项﹑减项，运用放缩法证明[4]，但要注意放缩法要适度，否则不能同向传递.

例2 已知数列an,an=122334Ln(n1)

n(n1)(n1)2an<. 求证：22n(n1)是前n个自然数的和，与an比较只须缩小为12﹑2﹑3„„n即可.仿此把各项放大2﹑3﹑„„(n+1)所得结论过弱，只能放

n(n1)弃，于是转而联想到关系式n(n1)，右边的不等式证明，由此可证

2得.

证明 由于 分析: 注意到左边的式子an=122334n(n1) >122233n2 =1+2+3+„+n =n(n1) 22n1n(n1)<

22又由n(n1)3572n1有an=122334n(n1)<

22221(n1)

2<[1357(2n1)]22n(n1)(n1)2an<综上所述. 22

【评注】放缩法的基本思路: ab,bc,ac.[3]技巧与方法:(1) 适当添上

131或舍去某些项,例:(a)2(a)2;(2) 如果是分式则需放大或缩小分子

242或分母,如:11111 2放大缩小切记适度.k(k1)kk(k1)k1k(2) 判别式法

有些要证明的不等式，它的已知条件是一些等式，如果这些条件可以转化为一个含参数的一元二次方程式;或者要证明的不等式可以化为一个一元二次不等式，这时往往可以用判别式求证[2].

2xyz8x70例 已知x,y,z是实数，且满足条件22

yzyz6x60求证：1x9.

证明 由已知等式得：

yz=x28x7

(yz)2yz6x6 x28x7+6x-6=x2-2x+1=(x-1)2 于是y,z是方程t2(x1)t(x28x7)=0的两个实根 △=(x-1)2-4(x28x7)>0解得1x9.

【评注】本题可以将原方程组变形得到yz和yz的表达式,再把x看作常数写成关于t的一元二次方程，最后用判别式来求解.用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去. (3) 换元法

有些不等式可以把其中一些元素换成另一种元素，从而使条件之间的数量关系明朗化，便于解决问题[2].

1125例1 设a,bR且a+b=1.求证：(a)2(b)2.

ab2 证明： a+b=1可设：a=sin2,b=cos2

x2y2xy 又 则

2211(a)2(b)2

ab111(ab)2 2ab1112)=(sin2+cos2+2

2sincos2142125)(14)2=(1.

2sin2222例2 设a,b>0，求证：3a3b+3a3b23a. 证明：设3a3b=m,3a3bn,则m3n3=2a 于是要证的不等式等价于(mn)3<4(m3n3) 只要证：4(m3n3)-m33m2n3mn2n30 而3m3+3n33m2n3mn2 =3m2(mn)3n2(nm)

=3(m-n)(m2-n2)=3(m-n)2(m+n)>0 ∴(mn)34(m2n2) 成立. 【评注】本题巧用三角代换,使不等式的证明变得简捷明了.当所给的条件复杂,一个变量不易由另一变量表示时,可考虑三角代换,将两个变量都用一个参数表示. 换元法中最常用的是三角代换,三角代换法多用于条件不等式的证明[3].具体代换方法有: (1)若a2b21,可设acos,bsin(为参数); (2)若a2b21,可设arcos,brsin(为参数);

(3)对于1x2,x1,由cos1或sin1知，可设xcos或xsin; (4)若xyzxyz,由tanAtanBtanCtanAtanbtanC知,xtanA,y

tanB,ztanC.(ABC)

(4)函数法

有些不等式的证明可以借助于函数的一些性质,如单调性,函数的值域等进行证明. 例:求证:|x1x2xn||xn||x1||x2| 1|x1x2xn|1|x1|1|x2|1|xn|xx的形式,于是可以构造函数f(x)= 1x1x分析:要证不等式的每一项结构都是证明: 构造函数f(x)=

x 1xf(x1)f(x2)x1xx1x2 21x11x2(1x1)(1x2)当x1x20时,显然f(x1)f(x2) 所以函数f(x)当x0时是增函数

Q|x1x2Lxn||x1||x2|L|xn|

x1x2xn|xn|1 1|x1x2xn|1|x1|x2||xn|1|x1||x2||xn|

|xn||x1||x2|1|x1|1|x2|1|xn|

【评注】本题根据不等式的特点,构造辅助函数，将不等式的证明,转化为利 用函数增减性与极值来研究,是一种极好的方法.在构造函数证明不等式时,可用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等,将不等式问题转化为函数问题,利用函数性质来研究、解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力.