逆向思维的例子范文

第一篇：逆向思维的例子范文

引导逆向思维,深化文章主题——《凡卡》一文的逆向思维教学设计

小语第十一册10课《凡卡》，主要写9岁的凡卡在城里当学徒，忍受不了连狗都不如的生活，写信给爷爷，哀求他带自己回去的事，揭露了沙皇统治下白俄时代穷孩子的悲惨命运。

文章最后写道：凡卡把一封没贴邮票，没有写清地址的信寄出去后，满怀希望做了一个甜美的梦梦见爷爷坐在炕上念他的信。这种结尾暗示凡卡的爷爷将收不到他的信，所以他的愿望只不过是个美丽的梦，是不可能实现的。

如果凡卡的爷爷收到了他的信，他的悲惨命运是否就可以改变了呢?为了深化主题，使学生更深刻了解文章的内容，我逆着文章思路，给同学们留了个想象性作业 ：凡卡的爷爷收到信以后

学生根据文章内容，展开丰富的想象。有的说：凡卡的爷爷收到信之后，非常伤心，恨不得立刻把凡卡带回来。可是，自己一日三餐都吃不饱，又怎能抚养凡卡呢?再说，城里那么远，自己连张车票都买不起。面对残酷的现实，他没有去带凡卡。凡卡在日夜翘盼之中被吝啬狠毒的老板夫妇折磨而死。还有的同学写道：凡卡的爷爷看了信之后伤心欲绝，总以为去城里当学徒可以改变一个命运，没想到凡卡更加孤单可怜。他不顾一切来到城里把心爱的小孙孙带了回来。可哪来生活来源呢?最后，爷孙俩都活活地饿死

通过这种逆向思维，深化了文章主题：不管爷爷是否收到信，凡卡的悲惨命运始终得不到改变。同时使学生更深刻地认识到，在白俄时代穷苦人民是没有生路的。通过和自身生活对比，激发了学生对资本主义社会的憎恨和对社会主义的热爱之情。

第二篇：培养孩子的逆向思维

常听商界大亨们说的一句话就是：逆势而思，顺势而为。 为什么要反过来从形势、势态去思考呢?与常规思维不同，逆向思维是反过来思考问题，是用绝大多数人没有想到的思维方式去思考问题。 那究竟什么是逆向思维呢?这种思维对我们有什么作用呢?

逆向思维也叫求异思维、反向思维或创新思维，是一种重要的思维方式;是一种对惯性思维已成定论的事物或观点反过来思考的思维方式。是打破常规的思维模式、方法，抛开固有的思维定式和方向，从相反的方向去探索、分析、判断并解决问题的思维方式就叫逆向思维。简而言之，逆向思维就是克服思维定势，从问题的相反方向进行思索，从而显露出新的思想的思维方式。逆向思维能力也可以称为求异思维能力或创新思维能力。

熟语有“反其道而行之”之说，孔子有“三思而后行”之道，这些都是古人最早运用逆向思维的写照。而今我们要准确地说是“反其道而思之”，因为先人已经早就告诉我们要先思而后行，三思而后行了，说的就是要人们从问题的对立面去思索，从问题的相反面进行探索，尤其是对于某些特殊问题，从结论往回推，从求解回到已知条件，倒过来思考，或许会使问题简单化，使解决它变得轻而易举，运用逆向思维去思考和处理问题，实际上就是以“出奇”去达到“制胜”。

小故事，大思维

我国古代有这样一个故事，一位母亲有两个儿子，大儿子开染布作坊，小儿子做雨伞生意。每天，这位老母亲都愁眉苦脸，下雨了，怕大儿子染的布没法晒干;天晴了，又怕小儿子做的伞没有人买。一位邻居开导她，叫她反过来想：雨天，小儿子的伞生意做得红火;晴天，大儿子染的布很快就能晒干。从那以后，老太太再也不发愁了，因为不管是下雨还是天晴，对她的儿子们都有好处!逆向思维使这位老母亲眉开眼笑了。

我们再看“司马光砸缸”的故事，小朋友落水了，常规的思维模式就是要把人救出来——“救人离水”，而孩子们自己是没有能力的，于是，面对这样的紧急情况，其他的孩子都走了，而只有司马光面对紧急险情，运用了逆向思维，果断地用石头把缸砸破了，把“救人离水”转换成了“破缸流水”，救了小伙伴性命。

因此，逆向思维的结果常常会令人大吃一惊，喜出望外，别有所得。甚至因此而有所发现，创造出惊天动地的奇迹来，这就是逆向思维和它的魅力。

而这种思维对我们作用有：

1、正向思维决定态度，逆向思维决定广度。如果孩子只接受到单向思维的训练，形成了一种固定的思维模式以后，思维灵活性就会明显降低。而逆向思维是一种可逆性思维，它既能把事物的本质从常人的习惯思维中反映出来，也能让你去关注一般人想不到的一面，通过分析和处理，把问题呈现出来。这样，就能帮助我们从顺向和逆向两个方面更全面、更灵活地去看问题、思考问题，从而提高对生活的适应能力。

2、单向思维反映常规和外部属性，双向思维反映特质及内在规律。在遇到问题时，我们思考问题一般都是单一的从事物的明显的外部特质来分析和解决问题，这叫单向思维，它只能反映出事物的局部。

具有逆向思维的人的有以下三大优势：

优势一：事半功倍，高效快捷。生活中自觉运用逆向思维的人，会将复杂问题简单化，从而使办事效率和效果成倍提高。

优势二：见解独到，出奇制胜。在日常生活中，按常规性的思维难以解决的问题，对于具有逆向思维的人则会独辟蹊径，发现到常人惯性思维注意不到的地方，有所建树，从而制胜于出人意料。

优势三：思考维度更广、更深。逆向思维的人会思考出多种解决问题的方法，并从中获得最佳方法和途径。

人们常常习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法，而逆向思维最大的价值就是它对人们认识的挑战，是对事物认识的不断深化，并由此而产生“原子弹爆炸”般的威力!

3~12岁是逆向思维发展的关键期

“光生七岁，凛然如成人……群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中，众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活。”司马光砸缸的事情是发生在他七岁那年，是什么原因让一个七岁的孩童就具有这般机警、沉着的思维呢?除了，他自幼“手不释书，至不知饥渴寒暑。”更为重要的是“闻讲《左氏春秋》，爱之，退为家人讲，即了其大指。”七岁时，他就能够熟练地背诵《左传》，并能把二百多年的历史梗概讲述得十分清楚了。

从司马光的成长经历中，我们可以了解到孩子逆向思维发展的基础首先是要具备自由阅读的能力，然后是逻辑推理能力的发展，这样，才能激发孩子逆向思维的良好发展。而作为父母，我们应当把握住3-6岁逆向思维发展的关键期，掌握正确的引导方法，让孩子的逻辑推理智能创造更多的奇迹。

训练孩子的逆向思维是很有必要的。发展逆向思维有助于宝宝在今后的学习和工作中更全面地思考问题，提高其对社会的适应性。所谓顺(正)向思维即单向思维，而逆向思维则是双向思维，它可以从正逆两个方面来揭示事物的特点及其规律。

所以，家长应多结合生活情境，为宝宝创造训练逆向思维的机会。让孩子知道思考问题和解决问题，完全可以从不同的角度入手。

(一)在孩子3岁以前，我们可以用以下的两个方法：

方法

一、用反义词和儿歌来训练孩子的逆向思维。 例如：

学说反义词

夏天热，冬天冷，

树儿高，草儿矮，

猴儿瘦，猪儿胖，

兔子快，乌龟慢，

大老虎，小老鼠，

你说东来我说西。

目标：丰富宝宝的词汇，帮助其理解反义词的意思，并学会将在日常生活中观察到的事物的本质特征加以归纳和总结。

跑跑曲

一大一小地上跑。

卡车大来摩托小;

一多一少天上跑，

飞机多来飞船少;

一长一短拉人跑，

火车汽车拉人跑;

分清大小和多少，

大家拍手笑一笑。

用这种对比句来学说反义词，不仅有丰富孩子的词汇的功能，更重要是它能培养孩子逆向思维的能力，这是训练逆向思维的一种很重要又简单的方法。在日常生活中，家长要多为孩子创造使用和学习反义词的机会。例如：“爸爸穿大鞋，宝宝穿小鞋”、“妈妈坐宽凳子，宝宝坐窄凳子”等。

方法

二、正反提问法。就是同样的结论，采用不同的发问方式引发孩子的自主思考。例如“谁会采蜜呀?”和“会采蜜的是谁呀?”这两个问题，一顺一逆，对于3-5岁的孩子来说，回答出“蜜蜂会采蜜”会容易一些，而要回答出“会采蜜的是蜜蜂”，则要看回答者的思维水准而定了。

(二)3岁以上的孩子，除了上面介绍的方法，在生活中还可以这样做：

方法

一、制造错误，让孩子找出错误，增强其自信心。这里有两个儿歌游戏旨在为大家抛砖引玉。

颠倒歌

机器猫，早早起，

戴上衣服，穿帽子，

扣好鞋带，系扣子;

妈妈催他把牙洗，

他说：不急不急，

月亮公公还没起!

聪明的孩子就是你，

说说哪儿有问题?

目标：促进宝宝逆向思维、空间想像力和短时记忆力的发展，提高宝宝专注力的质量和语言组织能力的水平，学会倾听。

希奇调

希奇希奇真希奇，

动物园里放大戏，

瘦猪胖猴来唱戏，

小虎大鼠来演戏，

高兔矮象扮夫妻，

你说希奇不希奇!

目标：通过提供错误的信息来刺激宝宝的大脑运转，提高其记忆力，让其思维变得更敏捷，并使其创造力和创新能力得到充分发挥。

方法

二、运用利弊分析法，让孩子自主选择并承担结果。就是针对同一观点通过对其好的地方和不好的地方分析，并发表自己的观点。例如不吃水果的好处有哪些?不好的地方呢?那你会怎么选择呢?在我们自己遇到育儿的困惑时，甚至可以把困惑说出来请孩子一起来参与出谋划策。如对于做事磨叽的孩子我们可以说：“哎呀，妈妈很想你做作业的时候，快一点，可真的不知道怎么才能让你快，怎么办啊?你看要是你动作快，早完成十分钟，就多了十分钟可以自由支配啊!”然后，跟孩子一起来计算并体验十分钟可以做些什么?

采用逆向思维，有许多成功的发明创造的例子。刀削铅笔，以前是：刀动笔不动;采用逆向思维后，笔动刀不动，于是就有了旋笔刀。人上楼梯，人动梯不动;采用逆向思维，梯动人不动，于是就有了电梯。

“逆向思维”，就是一种从反方面分析问题，进而提出与众不同的见解的议论方法。从思维上说，它是一种扩散性思维，是一种发散思维，是由一个起点或多个起点向外发散，而我们要做的就是培养孩子找出不同的起点的能力。它是培养孩子的创新能力，激励创新思维的最佳途径。

第三篇：高二历史的逆向思维学习法

历史是变迁的观察站。但通常因为我们习惯于定势思维而堵塞了自己洞悉的目光和创新的思路。下面给大家分享一些关于高二历史的逆向思维学习法，希望对大家有所帮助。

高二历史的逆向思维学习法

一、换位思考

所谓换位思考，就是将历史事件或历史现象正反两方面的特征全部或部分换位后进行思考。我们以学习"美国内战"为例。美国内战爆发的根本原因是美国独立后南北双方两种不同经济制度的矛盾。我们将南北双方换位，进行逆向设问：假如南方是资本主义工商业经济，北方是奴隶制种植园经济，那么南方能否允许北方奴隶的存在?答案显然是否定的。因为资本主义工商业经济需要市场、原料和自由劳动力，此其一。其二，北方取胜的主要原因是实力强大和人民支持。我们仍将南北双方换位后进行逆向设问：假如北方弱小、南方强大，那么北方还会取胜吗?答案仍然是肯定的，只是情况要更复杂，更因难些。因为资本主义经济顺应了历史发展的必然，北方取胜也是历史发展的必然。进而，我们还可以得出更深一层次的结论：任何逆历史潮流而动者，任何背离民心者，都逃脱不了失败的命运。

由上可知，凡是涉及历史事件双方的结论，以及对历史现象的必然性或偶然性的解析，我们都可以进行换位思考。同学们不妨多尝试一下，一定会有不少意外的收获。

二、换角度思考

换角度思考是指我们对历史事物在从常规的、角度思考之后，另辟蹊径从其他角度去思考。这既有利于探索历史事件和历史现象发生的多种因素，又符合历史创新思维的多维性特征。我们以学习"隋朝的大运河"为例。对大运河的开凿，常规思维一般从两个角度思考：一是它加强了南北交通，巩固了隋朝对全国的统治，促进了南北经济文化的交流以及运河沿岸城市的繁荣;二是它劳民伤财，地方官吏乘机勒索百姓，造成民怨沸腾，加上隋炀帝本人极尽奢华，政治腐败，最终导致隋朝灭亡。我们换角度设问：工程如此巨大，无疑要耗费巨额的财力和物力，假如随朝经济凋敝，国力贫弱，那么能凿成这条南北交通的大动脉吗?当然是不可能的。这就从反而证实了教材上的结论：隋朝经济繁荣。还有，在长达四五千里的复杂地理和水文环境下，巧妙借用天然河道和古运河通道，这不正好反映了那时的水利勘测和工程设计的高超水平，从而证明了我国劳动人民的聪明才智和巨大创造力吗?这一点也是教材上所没有的，但又是非常值得玩味的。

三、发散性逆向思考

所谓发散性思维，就是由一点到多点，由点及面，由此及彼，进行多向思维。而发散性逆向思考就是常规思维的发散性思考。它可以强化我们对某些知识点的认识、理解和记忆。我们再以学习"淝水之战"为例。淝水之战是经历了长期的分裂后，由前秦发动的统一战争。按照常规思维，大凡"统一战争"都是顺应了民心的，因为人民都厌恶战争，都渴望统一、安定、和平的生活环境，所以它应该得到广大人民的支持。可是前秦发动的"统一战争"为什么却遭到了人民的反对、不得民心呢?(这是前秦失败的根本原因)我们进行发散性逆向设问：人民为什么会反对"统一战争"呢?从前秦军队中士兵的构成来看，士兵大多是各族人民中强征而来的，他们受尽了民族压迫之苦，强烈地渴望摆脱前秦的统治。因而可以判断：人民决不是反对国家统一，而是反对由前秦来号令统一。民族矛盾的尖锐，使前秦并不具备统一全国的条件。当然也还有其他的原因，如秦军的指挥者在战术上失当，作为统帅，苻坚骄傲轻敌;秦军缺乏训练，战斗力不强等。我们继续作发散性逆向思考;根据当时的形势，从前秦的对手东晋入手，又可得出前秦失败的另一个原因，那就是江南经济迅速发展，社会秩序相对稳定，有抵御外敌入侵的能力。这样，前秦失败的原因就可总结出这五条来。同学们可联系所学史实来思考。

高二历史最有效的六先六后学习方法

1.先计划后学习

学习是一个系统工程，是由浅入深、由少到多、逐步深入的过程。只有订好计划再学习，学习才是有计划、有目的、有针对性的，才能克服学习中的盲目性、忙乱性。

2.先预习后听讲

预习是课前侦察，可打有准备之仗;其次，预习可使新旧知识联系，有利于掌握新知识;再次，预习可以克服听课的盲目性，提高学习效率;最后，预习可以使听课更专心，与老师配合更默契，从而提高自学能力。

3.先复习后做作业

复习是巩固、消化和深化学习内容的重要环节，回家后应把当天学的知识认真复习一遍，该记的记下来，该理解的理解透了，然后再做作业。做作业时，第一不要看书，第二不要问别人，第三要有时间限制，只有这样，作业才有实际价值。

4.先调整心态后参加考试

考试的心态非常重要，同样水平的孩子，以不同的心态走入考场就会有不同的结果。心态良好、斗志昂扬就会促进思维，临场发挥就好;心态不好、紧张焦虑就会抑制思维，临场发挥就不佳，所以考前一定要调整好心态。

5.先独立思考后请教别人

所谓学问，就是要又学又问。问是读书的钥匙，是思考的中介，是深钻的体现。当遇到学习上的困难时，应在自己思考的基础上求得别人帮助，但最好不要只问答案，而要共同探讨，以求开拓思路。

6.先打好基础后灵活思维

学习必须先打好基础，就是把书本上最基本的概念、定理、公式牢牢掌握，尤其是基本概念。如果概念不清楚，即使死记硬背了一些知识，那怕是很用功也是不中用的。当然，光打好基础还不行，还要灵活思维。要把书本上的知识经过自己的理解变成有血有肉的知识，能发挥，能运用，能创造。

高二历史学习方法有哪些

1.上课好好听讲。这是最基本也是最重要的，不管你有多么不喜欢历史这门课，多么不喜欢这个老师，多么想睡觉，都请认真听讲，不发呆不神游。现在很多老师上课都有PPT课件，可以把特别重要的课件拷回家，打印进行复习。

2.重视历史课本。老师可能出错，作业可能出错，网络可能出错。但课本绝对是对的(起码对于考试来说是这样)，一切依据都要去课本上寻找。考前一定要看书。看书要仔细，不要放过任何细节，但又要着眼于宏观。

3.关于历史错题本有没有必要，我是这样认为的：不同人适合不同的方法，没必要千篇一律。有些错题和年代和人物有关(也就是标准答案可以在书上找到，毫无争议的)值得记下来反复复习，但一些理解题，存在争议的就没必要了。最重要的是有了错题本一定要去看去复习。

4.认真完成历史作业，这也是非常基本的。一旦有错题，要及时订正，不懂要问，在书上把相关内容勾画出来考前复习。不建议一边做作业一边看书，考试你又看不了。不会的忘记的，先跳过去，做完后去历史书上找，划出来。

第四篇：高一历史的逆向思维学习方法

没有好的高一，必然没有好的高考;没有高一的危机感和紧迫感，就没有高三的从容自信!所以，高一的时候就要开始认真的学习了，下面小编给大家分享一些高一历史的逆向思维学习方法，希望能够帮助大家，欢迎阅读!

高一历史的逆向思维学习方法

一、换位思考

所谓换位思考，就是将历史事件或历史现象正反两方面的特征全部或部分换位后进行思考。我们以学习美国内战为例。美国内战爆发的根本原因是美国独立后南北双方两种不同经济制度的矛盾。我们将南北双方换位，进行逆向设问：假如南方是资本主义工商业经济，北方是奴隶制种植园经济，那么南方能否允许北方奴隶的存在?答案显然是否定的。因为资本主义工商业经济需要市场、原料和自由劳动力，此其一。其二，北方取胜的主要原因是实力强大和人民支持。我们仍将南北双方换位后进行逆向设问：假如北方弱小、南方强大，那么北方还会取胜吗?答案仍然是肯定的，只是情况要更复杂，更因难些。因为资本主义经济顺应了历史发展的必然，北方取胜也是历史发展的必然。进而，我们还可以得出更深一层次的结论：任何逆历史潮流而动者，任何背离民心者，都逃脱不了失败的命运。

由上可知，凡是涉及历史事件双方的结论，以及对历史现象的必然性或偶然性的解析，我们都可以进行换位思考。同学们不妨多尝试一下，一定会有不少意外的收获。

二、换角度思考

换角度思考是指我们对历史事物在从常规的、角度思考之后，另辟蹊径从其他角度去思考。这既有利于探索历史事件和历史现象发生的多种因素，又符合历史创新思维的多维性特征。我们以学习隋朝的大运河为例。对大运河的开凿，常规思维一般从两个角度思考：一是它加强了南北交通，巩固了隋朝对全国的统治，促进了南北经济文化的交流以及运河沿岸城市的繁荣;二是它劳民伤财，地方官吏乘机勒索百姓，造成民怨沸腾，加上隋炀帝本人极尽奢华，政治腐败，最终导致隋朝灭亡。我们换角度设问：工程如此巨大，无疑要耗费巨额的财力和物力，假如随朝经济凋敝，国力贫弱，那么能凿成这条南北交通的大动脉吗?当然是不可能的。这就从反而证实了教材上的结论：隋朝经济繁荣。还有，在长达四五千里的复杂地理和水文环境下，巧妙借用天然河道和古运河通道，这不正好反映了那时的水利勘测和工程设计的高超水平，从而证明了我国劳动人民的聪明才智和巨大创造力吗?这一点也是教材上所没有的，但又是非常值得玩味的。

三、发散性逆向思考

所谓发散性思维，就是由一点到多点，由点及面，由此及彼，进行多向思维。而发散性逆向思考就是常规思维的发散性思考。它可以强化我们对某些知识点的认识、理解和记忆。我们再以学习淝水之战为例。淝水之战是经历了长期的分裂后，由前秦发动的统一战争。按照常规思维，大凡统一战争都是顺应了民心的，因为人民都厌恶战争，都渴望统一、安定、和平的生活环境，所以它应该得到广大人民的支持。可是前秦发动的统一战争为什么却遭到了人民的反对、不得民心呢?(这是前秦失败的根本原因)我们进行发散性逆向设问：人民为什么会反对统一战争呢?从前秦军队中士兵的构成来看，士兵大多是各族人民中强征而来的，他们受尽了民族压迫之苦，强烈地渴望摆脱前秦的统治。因而可以判断：人民决不是反对国家统一，而是反对由前秦来号令统一。民族矛盾的尖锐，使前秦并不具备统一全国的条件。当然也还有其他的原因，如秦军的指挥者在战术上失当，作为统帅，苻坚骄傲轻敌;秦军缺乏训练，战斗力不强等。我们继续作发散性逆向思考;根据当时的形势，从前秦的对手东晋入手，又可得出前秦失败的另一个原因，那就是江南经济迅速发展，社会秩序相对稳定，有抵御外敌入侵的能力。这样，前秦失败的原因就可总结出这五条来。同学们可联系所学史实来思考。

高中历史复习方法

一、高中历史知识模块化、体系化，纵横相连，收放自如不妨尝试通过列表的形式，将高中历史三本必修和三本选修的全部知识(以目录为单位)罗列在一张以中国、外国为横轴，古代、近代、现代为纵轴，以政治、经济、文化为副轴的平面三维复式表(详见笔记篇历史部分的相关内容)。

二、多练选择，揣摩出题意图，靠近试题思路上面已经说到，近两年高考历史的考察方式是“以小见大，以点带面”的抽血式巡查。

三、规范答题，少说废话高中历史的二卷解答题与地理、政治还略有不同，大多是材料解析题。

材料解析题主要考察考生的信息提取能力，要求我们能够全面、准确、精炼地提取信息，并尽量简练、规范地表述。

高中历史知识点整理

第一、生产力决定生产关系，生产关系一定要适应生产力发展的需要，这便是高中历史唯物主义的一个基本规律。

生产力就是人们在劳动过程中形成的解决社会和自然之间矛盾的实际能力，是改造自然和影响自然并使之适应社会需要的客观物质力量。

第二、经济基础决定上层建筑，上层建筑要适应经济基础的需要，这是高中历史唯物主义的又一基本规律。

社会生产关系的总和，构成了社会经济基础。社会上层建筑指的就是建立在一定的经济基础之上的社会思想、观点，以及相应的制度、设施和组织的复杂体系。社会上层建筑对经济基础有着很大的反作用。适应于经济基础的上层建筑对社会发展起到推动作用，落后的或超前的社会上层建筑对社会发展起着阻碍作用。

第三、人民群众是创造历史的主人。

历史唯物主义认为，人民群众是历史的主人。个人在社会中是比较渺小的，只有当个人结合成群体，才能真正地发挥出社会主体的重大作用。即使是杰出人物，他们的作用再伟大，也只反映群众要求，依靠群众力量的基础上，才能对社会历史发挥一定的影响。

第四、历史是不断进步的。

任何历史人物、政党、团体、历史活动、制度、措施等都必须适应历史发展的潮流，违背历史发展潮流的必将灭亡。

第五篇：逆向思维在数学分析中的作用

摘 要

数学分析是数学殿堂的基石性学科,其内容的广泛性与深刻性包含着形式多样的数学思想与方法,而逆向思维在解决数学分析问题时别开生面.因此,本文就逆向思维在数学分析中作用进行初探. 本论文中,首先阐述逆向思维的内涵及其特征;其次将以数学分析为载体,选取逆向思维作为研究切入点,主要以举例子的形式叙述了逆向思维在数学分析中的具体作用.无论其深化定义、定理的理解,高效的强化解题,批判性命题验证,还是创新性数学品质,无不渗透出笔者最后总结性论述,即逆向思维在数学分析中具有举足轻重的地位. 二十一世纪的信息时代日新月异.数学思维无处不在,无时不有,而逆向思维就是在对数学文化素养的思想研究的基础上,提高数学新意,感受理性美誉,体会数学文化品位,这已成为国内外数学发展的重要趋势.

关键词:逆向思维,作用,数学分析,重要性

The function of reverse thought in mathematical

analysis

Abstract:Mathematical analysis is the cornerstone of the temple mathematical discipline,breadth and depth of its content contains a variety of mathematical ideas and methods,and the spectacular reverse thinking in solving mathematical analysis of the problem.Therefore,this paper analyzes the role of reverse thought in mathematics carried study.

In this thesis,first expounded the connotation and characteristics of reverse thought ,mathematical analysis will be followed by the carrier,select reverse thinking as a research starting point,mainly in the examples given in the form of reverse thought described in mathematical analysis of the specific role. Whether its deepening definitions,theorems understanding and efficient strengthen problem-solving,critical proposition verification,or innovative mathematical quality permeates the author concludes discourse, reverse thought plays a decisive role in the mathematical analysis.

Information era of the 21st century rapidly.Mathematical thinking is everywhere and at all times there , but the reverse thought is based on the study of mathematics literacy ideas on improving mathematical ideas, feelings rational reputation,experience culture grade math,which has become an important trend in the development of mathematics at home and abroad.

Keywords: reverse thought, function, mathematical analysis,important.

目 录

一、引言 ....................................................... 3

二、逆向思维内涵及特征 ......................................... 1

(一)逆向思维的内涵 ....................................... 1

(二)逆向思维的特征 ....................................... 1

三、逆向思维在数学分析中的重要性 ............................... 2

四、逆向思维在数学分析中四种作用 ............................... 3

(一)深化定义、定理理解 ................................... 3

(二)高效强化解题 ......................................... 6

(三)批判性命题验证 ...................................... 11

(四)创新性数学品质 ...................................... 15

五、结束语 .................................................... 15

六、参考文献 .................................................. 17

一、引言

司马光“砸缸救小孩”是一个古老而又优美的传说,机智的将常规的

“救人离水”转变成“让水离人”.他揭示了一个真理:逆向思维有时比正向思维更能高效解决实际问题,数学思维方法亦同.由于许多数学定义,数学公式,数学定理,数学运算以及解题过程均有可逆性,其作为可逆性理论为逆向思维提供理论依据.它不拘泥常规、常法、善于开拓、变异,极有利于打破旧框框的束缚,解放人们的思想,培养思维的灵活性,使主观能动性得以充分发挥,改变注入式数学思维应变能力不足的缺陷,产生认识上的新飞跃.这样,就能使学生在亲身的探索中,掌握数学分析知识间的内在联系,透彻地理解教材,巩固所学知识,并能培养学生探索能力,打破思维定势,激发学习兴趣,开阔知识视野.

二、逆向思维内涵及特征

(一)逆向思维的内涵

逆向思维又称反向思维,通俗地讲,就是在解决问题时,“一计不成，又生一计”,若把AB的连续思维看作正向联结,并称这个心理过程为正向思维,那么就把相反的连续BA看作为逆向联结,并称这一心理过程为逆向思维.逆向思考是思维向相反方向重建的过程.它是人们在研究过程中有意识地去做与习惯性思维方向完全相反的探索,就是站在对立角度上考虑、解剖问题,得到与公理、定理相悖的结论,或得到与条件相矛盾的结果,从反面达到解决问题的目的. 思维的可逆性,使人们在认识客观事物时,不仅可以顺向思考,而且可以逆向思考;不仅可以从正面看,而且可以从反面看;不仅可以从因到果,而且还能执果索因,正是这种逆向功能决定了逆向思维在创造活动中具有独特的作用.

(二)逆向思维的特征

爱因斯坦在论述自己科学活动时,曾多次提到“采取相反路线”,“反过来加以考虑”,即逆向思维,其具有以下本质特征: 普遍性:逆向思维在各种领域中都有其独到的适用性,由于对立统一规律是普遍适用的,而对立统一的形式又是多种多样,有一种对立统一形式就有一种逆向思维的角度. 怀疑性:逆向思维在某种程度上是以怀疑为手段,以扫除传统偏见和谬误,追求真理,发展科学为目的.

批判性:逆向思维是与正向思维相比较而言的,正向思维是指常规的、常识的、公认的或习惯的想法与做法.逆向思维则恰恰相反,是对传统、惯例、常识的反叛,是对常规的挑战,它能够克服思维定势,破除由经验和习惯造成的僵化的认识模式,要求多方位探究,有批判的吸收、有批判的选择、有批判的理解. 新颖性:循规蹈矩的思维和按传统方式解决问题虽然简单,但容易使思路僵化、刻板、摆脱不掉习惯的束缚,得到的往往是一些司空见惯的答案,其实,任何事物都具有多方面属性,由于受过去经验的影响,人们容易看到熟悉的一面,而对另一面却视而不见,逆向思维克服这一障碍,能够随机应变,触类旁通,不受某种固定的思维模式的局限,往往是出人意料,给人耳目一新的感觉. 创新性:逆向思维所追求的是创新和独到,它不满足于一般思维所研究的已知领域,主要注重于探求人类未知天地.将以前所未有的新角度、新观点去观察分析问题,思维方法创新独特,能够提出超常的想象.想别人所未想、求别人所未求、做别人所未做的事情. 深刻性:它表现为深入思考问题,细致分析问题,不放过任何蛛丝马迹来钻研探索复杂问题背后的本质属性. 此外,还有独特性、灵活性和探究性.[1]

三、逆向思维在数学分析中的重要性

逆向思维重要性之一:常规思维难以解决的问题,通过逆向思维却可能轻松破解. 逆向思维重要性之二:逆向思维会使你独辟蹊径,在别人没有注意到的地方有所发现,有所建树,从而制胜于出人意料. 逆向思维重要性之三:逆向思维会在多种解决问题的方法中获得最佳方法和途径. 逆向思维重要性之四:自觉运用逆向思维,会将复杂问题简单化,从而使效率和效果成倍提高. 逆向思维重要性之五:逆向思维可运用在各个领域. 逆向思维最可宝贵的价值,是它对人们认识的挑战,是对事物认识的不断深化,帮助我们克服正向思维中出现的困难,寻求新的思路,新的方法深化知识,开拓新的知识领域,在探索中敢于离径叛道,大胆立异,并由此而产

生“原子弹爆炸”般的威力.再遇到新问题时就不会只走“华山一条路”了,而是“水路不通走旱路,条条大道通罗马”,它是开拓型人才必备的思维品质.

四、逆向思维在数学分析中四种作用

(一)深化定义、定理理解

数学分析这门课程研究的对象是函数,所用的研究方法是极限方法,这种抽象又严谨的理论体系要求必须深度掌握数列极限的定义,为数学分析的继续学习打下坚实基础. 1.定义 设有数列an,a是有限常数,若对任意0,总存在正整数N,对任意正整数nN,有 ana, 则称数列an的极限是a(或a是数列an的极限)或数列an收敛于a (an是收敛数列),表为

limana或ana(n).

n数列an的极限是a,用逻辑符号可简要表为: limana0,NN,nN,有ana[2]

n思考 ①如何理解N不唯一? ②若0,N0,当nN时,an中有无穷多个项满足ana,是否limana? n1(1)n 首先,举反例说明并计算N不是唯一的.

n1(1)n虽然数列an1(1)n满足对0,N

2其次,分析数列当n2kN时(k为自然数),虽然an中有无穷多个项满足a2k0,但liman不存在. n

这样,即可对数列极限的N语言有了本质的认识和更精确的理解.[3]

函数极限与数列极限定义的不同,形式上的无关联性造成不可相互转化的假象,海涅定理恰恰证明了其本质的相通性,构建起函数极限与数列极限之间的桥梁,所以理解海涅定理的证明极其重要.而其充分性的证明则采取反证法(从命题的反面入手，通过合理论证找出矛盾,从而确认命题的真实性的一种间接证法,其基本依据是逻辑学中的矛盾与排中律,推知假设错误,故结论成立.其思维特点是逆向思维)推得. 2.海涅定理 limf(x)b对于任意数列an,ana且limana

xa n有limf(an)bn

分析 必要性,应用函数极限定义和数列极限定义可得极限limf(an)bn

充分性,因为在已知条件中,这样的数列an是任意的,当然是无限多的,所以从已知条件出发直接证明有limf(x)b是困难,运用反证法.

xa证明 必要性 已知limf(x)b,即0,0,x:0xaxa

有 f(x)b

n对于任意数列an,ana且limana,根据数列极限定义,对上述

0,NN,nN,有0ana 从而,nN,有f(an)b,即limf(an)b

n 充分性 应用反证法.假设limf(x)b,根据函数极限的否定叙述

xa 00,0,x:0xa

有 取 1,a1:0a1a1,有f(a1)b0,

11,a2:0a2a,有f(a2)b0,

22

.............. 

11,an:0ana,有f(an)b0， nn

.............. 于是，构造出一个数列an,ana,因为n 所以limanan

10(n) n显然，limf(an)b,与已知矛盾. n

著名的Lagrange中值定理的论证,其辅助函数的构造,即用分析法(从结论着手进行推证,推得符合条件或易证命题,推证的每一步均可逆,是原命题得证的一种逆向思维解题法)推得. 3.Lagrange中值定理

若函数f(x)满足下列条件: (1)在闭区间[a,b]上连续; (2)在开区间(a,b)可导. 则在开区间(a,b)内至少存在一点c,使 f(c)f(b)f(a).

ba分析 观察发现,Lagrange中值定理中的两个条件与Rolle定理中的前两个条件相同,当f(a)f(b)时,Lagrange中值定理就是我们所学过的Rolle定理.也就是说,Rolle定理是Lagrange中值定理的特例,基于这种关系,自然会想到是否能够引用Rolle定理去证明Lagrange中值定理的结论,如何利用Rolle定理,如何构造满足Rolle定理的辅助函数?观察图像

由拉格朗日中值定理结论f(c)斜率,故可设k

f(b)f(a),其右端是一个常数,即点c的

baf(b)f(a),则有f(b)f(a)k(ba),即

baf(b)kbf(a)ka,仔细观察上式的特点,不难发现一个能使F(a)F(b)的新函数:F(x)f(x)kx. 故,F(x)就是证明中所需要的辅助函数. 证明 令F(x)f(x)kx,其中 kf(b)f(a),由题设可知,F(x)在

ba

[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)F(b),即F(x)满足罗尔定理的全部条件,故在(a,b)内至少存在一点c,使得F(c)0, 即f(c)f(b)f(a),证毕.

ba

(二)高效强化解题

许多关于数学分析的计算、证明题,难以解决的是如何去观察和分析问题的条件与结论,如何寻找条件与结论之间的联系,如何证明才是正确的,而又怎么进行证明过程的论述,更为甚者不知如何才算证明完毕?此时,逆向思维就是解决数学分析问题一种行之有效的方法.

234例

一、证明:数列极限limn3nnn4 1n分析 若直接证明此数列极限为4,没有公式可以套用,此时可以考虑判断极限存在性的两个重要准则:两边夹定理和单调有界准则.这样我们把要证明的极限与存在准则有机地联系在一起,设所求数列为xn,目的是证明

xn4(n),那么,根据两边夹定理,需构造两个数列yn和zn,使ynxnzn,且共同极限为4,这样就转化为如何构造这两个数列yn、zn的问题.

4444z证明 设 yn,n33nnn1nnnn, 1n显然ynxnzn,且limynlimzn4,有4xn4

234 所以,limn3例

二、计算 ①limnnnn4 1nn(n1)(n2)(nn)

n ②limnn (a1) an分析 两题看似复杂,实则巧妙.①可转化为定积分定义形式,这类题目的特点是:先把极限转化为某一函数在区间0,1上的定积分,再把区间0,1进行等分,从而把求极限问题转化为求一个特定结构的和式极限.②可利用级数

收敛的必要条件(若级数un收敛,则limun0)来解决问题,二者均为逆

n1n向思维实例. 解 ①limnn(n1)(n2)(nn)12nlimn(1)(1)(1) nnnnnn1nk lim1

nk1n1kln(1)nk1n limenn

e01ln(1x)dxe2ln21

1nnn11 则级数n是收敛的

②由lim(n)nan1aa 根据收敛函数的必要条件, 则limnn0 na例

三、设a1c0,an1anc,证明:liman存在并求其值.[4]

n分析 用数学归纳法容易证明数列an是单调递增的,为找到an的上界,采用逆向推理方法,先设limana,代入递推关系式an1anc,得

na2ac,由于liman非负,因此an114c,从而对任何自然数n, 2必有an114cc1,然后用数学归纳法证明这一等式成立. 2证明 用归纳法证明数列an严格增加有上界,显然 当n1时,有a1a2,设nk时,有akak1,则akcak1c, 即akcak1c,有ak1ak2,即数列严格增加. 显然,当n1时,有a1cc1,设nk时，akc1，

则ak1cakcc1c2c1c1,即数列an有上界(上界是c1),根据公理,数列an收敛.

2设limana,已知an1can,有liman1climan,即a2ca. nnn2解得a(114c).由极限保号性，a不能是负数， 2(114c) 2则数列an的极限是a例

四、设函数f(x)在[0,)内二阶可导,且f(x)0,f(0)0,证 明:x10,x20,有fx1x2f(x1)f(x2).

分析 这是一道未知函数表达式,且仅给出函数导数性质的证明题. 首先,明确利用函数的单调性来证明函数不等式是一种基本方法,而证明函数的单调性又需要构造辅助函数,求导判断其增减性.其次,如何构造辅助函数?

欲证不等式fx1x2f(x1)f(x2),如题中所给出的两个具有任意性的x1和x2,将其中一个暂时固定,另一个自由变化,如:暂时固定x2,将x1改为x,令F(x)f(xx2)f(x)f(x2)作为辅助函数,求导得

F(x)f(xx2)f(x),由此很难判断该表达式是大于0还是小于0. 观察表达式f(xx2)f(x)，表示函数f(x)的导数在x与xx2两点处的函数值之差，联系Lagrange中值定理，有f(b)f(a)f(c)(ba)， 其中c(a,b),于是,有f(xx2)f(x)f(c)xx2x.此时,方可判断F(x)的增减性. 证明 令F(x)f(xx2)f(x)f(x2),其中x,x20, 求导得F(x)f(xx2)f(x) 又函数f(x)在[0,)内二阶可导，

导函数 F(x)f(xx2)f(x)在x,xx2上连续,在(x,xx2)内可导,根据Lagrange中值定理,至少存在一点c(x,xx2),使得

F(x)f(xx2)f(x)f(c)xx2xf(c)x20

F(x)在x,xx2上单调递减,从而有F(x)F(0) 即,f(xx2)f(x)f(0x2)f(0)f(x2). 由x的任意性,可将x换成x1,既得fx1x2f(x1)f(x2),其中

x10,x20. 分析 以下两道典型题若应用综合证法直接从已知条件去证明将会很难入手,此时考虑反证法,证明两题将会很显然. 例

五、设f(x)在a,b上连续,且f(x)0,证明:若f(x)dx0,则f(x)在

aba,b上恒等于零. 证明 反证法 假设f(x)在a,b上不恒等于零,则必x0a,b, 使f(x0)0不妨设f(x0)0,又f(x)在x0连续,由连续函数的局部保号性知,0,当xx0,x0a,b时,有f(x)0. 设f(x)在x0,x0上的最小值为m,则m0.由定积分的可加性及f(x)0,有f(x)dxabx0af(x)dxx0x0x0f(x)dxbx0f(x)dx

bx0x0f(x)dxx0mdx2m0

这与已知条件f(x)dx0矛盾,所以f(x)在a,b上恒等于零. a例

六、设f(x)在0,上连续,并且f(x)dx0,f(x)cosxdx0,试证明:

00在(0,)内至少存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0. 证明 假设f(x)在(0,)内无零点,则由介值定理知,f(x)在(0,)内不变号,与f(x)dx0矛盾,故至少存在1,使f(1)0; 0又若f(x)在(0,)内仅有一个零点1,则由介值定理及f(x)dx0知

0f(x)在区间(0,1)和(1,)内必异号,而cosxcos1在(0,1)和(1,)内也异号,于是f(x)(cosxcos1)不变号,从而f(x)(cosxcos1)dx0,

0矛盾. 所以,在(0,)内至少存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0. 例

七、计算曲面积分

I[Sxxxzxf()x3]dydz[f()y3]dzdx[f()z3]dxdy yyyyy其中S是球面x2y2z22Rz(方向为内侧),f(u)具有连续导数. 分析 本题被积函数复杂,正向计算实属曲面积分难题,但是可考虑尝试增加一面,再减去此面,应用奥—高公式(设V是R3中双侧闭曲面S所围成的xy型(同时既是yz型,又是zx型)有界闭体.若三元函数P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z)及其偏导数在包含V的区域上连续,则

PdydzQdzdxRdxdy(sVPQR)dxdydz,其中曲面S的外侧 xyz为正).看似加减面将问题复杂化,但是会使计算更为简便. 解 V为S所围成球体, 设p(x,y,z)xxxzxf()x3,q(x,y,z)f()y3,r(x,y,z)f()z3 yyyyyp1xxxf()2f()3x2 xyyyy则p(x,y,z),q(x,y,z),r(x,y,z)及

r1xqxx2f()3y2,f()3z2,在y0连续,

zyyyyy由奥——高公式,I3(x2y2z2)dxdydz,设

Vxrsincos,yrsinsin,zRrcos,(02,0,0rR)则(x,y,z)r2sin, (r,,)I3(x2y2z2)dxdydzV3dd(r22RrcosR2)r2sindr

0002RR5R33223(22R22)R5535

(三)批判性命题验证

心理学家盖耶说过:“谁不考虑尝试错误,不允许学生犯错误,就将错过富有成效的学习时刻.” 持批判性的态度,应用逆向思维真正理解命题的思想,消化命题,克服思维绝对化、表面化,彻底改变不求甚解的习惯. 例

八、若数列an、数列bn都是收敛数列,且存在自然数N,当nN时,有anbn,则limanlimbn. nn 若条件anbn改为anbn,其结论仍为limanlimbn

nn而不能断言limanlimbn[5] nn分析 若正向分析,则会无从下手,而举一反例来说明该命题不成立将轻而1111易举.如:,但是limlim0. nnnnnn 数学分析中,继了解极限后,应用极限方法研究,无论在理论上或是在应用中都常见的连续函数,进而研究一致连续,区分一致连续与连续的区别,真正地领会一致连续的本质及其与连续的关系,对后面的学习中遇到一致收敛、一致有界等概念也有重要作用. 一致连续是函数的整体性质,它反映了函数在区间上的更强的连续性,而连续是函数的局部性质,函数f(x)在区间I上一致连续则一定连续,反之不一定. 定理 f(x)在a,b内或a,b上一致连续f(x)在a,b内或a,b上连续. 这个定理的逆命题是不成立的. 分析 通过举一反例f(x)x2在0,上连续,但非一致连续. 取xnn1,xnn,n1,2,,当n时, xnxnn1n0 但是f(xn)f(xn)1

于是,取定差01,则无论取得多么小,当n足够大时, 那些xn与xn的差小于,但是函数数值之差不会小于0, 因此得出f(x)x2在0,上连续,但非一致连续.

拓展:[6]

定理1 设f(x)在有限开区间a,b上连续,则f(x)在a,b上一致连续的充要条件是limf(x)与limf(x)存在并有限. xaxb注:①若f(x)在有限开区间a,b上有连续的导函数,且limf(x)与xaxblimf(x)均存在且有限,可以推出limf(x)与limf(x)都存在并有限,因此xaxbf(x)在a,b上一致连续. ②当函数f(x)在区间 (,) 上连续,定理的必要性不再成立,如

f(x)x在(,)上一致连续,但在端点无极限,对于无穷区间充分

性仍然是对的. 定理2 设f(x)在区间[a,)上连续,则下列条件之一满足时f(x)在[a,)上一致连续. (I)limf(x)A(有限) x (II)若存在[a,)上一致连续函数(x),使得limf(x)(x)0

x (III)f(x)在区间[a,)上可导，并且导函数有界 (IV)f(x)在区间[a,)上满足Lipschitz条件 (V)f(x)在区间[a,)上单调有界. 定理3 若f(x)是区间(,)上的连续函数,若也是周期函数,则必一致连续.

2例

九、证明:若an收敛,则an也收敛,反之是否成立? n1n12分析 欲证an收敛,则an也收敛,这只需要用到比较判别法即可证得而欲证逆命题是否成立,则应从两方面考虑:一是证逆命题成立,一是证逆命题不成立,无论证哪方面,直接法都很难.于是,我们可以举反例去否定,这样会收到事半功倍之效. 证明 已知an收敛,则liman0,即01,NN,nN,有

n1n1n1n

an1,从而有anan,不妨设nN,有anan.

22设级数an与an的部分和分别是An和Bn.已知nN,有 2n1n1nnAnakakBn. 2k1k1已知级数an收敛,则limBnB(常数).显然数列An是单调增加有

n1n2上界(B就是它的一个上界).于是,数列An收敛,即an收敛.

n1112反之不成立,例如:级数()收敛,而级数却发散.

n1nn1n例

十、判断: ①若f(x)在点x0连续,则f(x)在x0连续; ②若f(x)在点x0连续,则f(x)在x0可导; ③若f(x)在点x0可积,则f(x)在x0可积; ④若多元函数在某点连续且偏导数存在,则函数在该点可微.

1,x0解 ①可以举出反例:设f(x),则f(x)在x00处连续,而

1,x0 f(x)在x00处不连续,所以错. ②可以举出反例:函数f(x)x在x0处连续,但是它在x0不可导,

1xsin,x0 同样,函数f(x),在x0连续,但是 x0,x0 不可导,所以错. ③可以举出反例:Dirichlet函数

1,当x为有理数 D(x),此函数的绝对值是可积的

0,当x为无理数

但是其本身并不可积,所以错.

0,(x,y)0 ④可以举出反例:f(x,y)x2y,在(0,0)点连续且偏导数

x2y2,(x,y)0 存在,但是,在(0,0)点不可微,所以错.

2z2z 定理 如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区

yxxy域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.[7]

该定理是说,在连续的条件下二阶混合偏导数与求导的次序无关.更一般 地,在连续的条件下,多元函数的高阶混合偏导数与求导的次序无关.而如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点是连续.这时,自然会想到一个问题:这个定理的逆命题是否成立?即是否有如下命题:

2z2z命题 如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内

yxxy存在且相等,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数连续. 分析 虽然易得一函数,使其两个二阶混合偏导数存在相等,并且连续(如

zexy),但是难得函数zf(x,y),使其两个二阶混合偏导数存在相等,却不连续.此时,可利用逆向思维的方式,先找到一个不连续的二元函数，如：xy22x2y2,xy0g(x,y), 0,x2y20这个分段函数在(0,0)点不连续. 可以把g(x,y)作为zf(x,y)的二阶混合偏导数，在通过微分的逆运算积分计算出zf(x,y). 再求zf(x,y)的偏导数时,是将一个变量看成常量,对另一个变量求导数,故我们可以通过先对x积分得 u(x,y)g(x,y)dxyln(x2y2)C1 2

再将x看成常量对y积分得

x2y2(x2y2)22 v(x,y)u(x,y)dyln(xy)C1yC2

44其中C1,C2为任意常数. 当任意常数C1,C2取不同的值时,就会得到不同的函数,这样的函数会有无穷多个. 考虑到求二阶混合偏导时,函数v(x,y)的后三项最终为0,所以不妨只取第一项,并补充定义其在(0,0)点的值为0,即有

(x2y2)ln(x2y2),x2y20, f(x,y) 40,x2y20.可以验证分段函数zf(x,y)在(0,0)点不连续,即命题不成立. 所以,该定理为充分条件,而不是必要条件.

(四)创新性数学品质

19世纪中叶,数学界长期认为对于一个区间上的任意连续函数,总认为存在可微点的直觉想象,但是1860年数学家魏尔斯特拉斯却极为精巧地构造了一可以被称为“数学中的艺术品”的反例:

3 f(x)ancos(bnx),其中0a1,ab1,b为奇数.

2n0这是一个在实数轴上点点连续点点不可微的函数,从而严格弄清楚了函数的连续性与可微性之间的关系,推翻了流行很长时间的谬误,可见反例在数学发展史中的重要地位.[8]反例就是逆向思维的一种表现形式,也就是说,逆向思维在数学发展史的崇高地位,这种发散性思维是创造性人才必备的一种思维品质.

五、结束语

从以上的例子我们看到,在数学分析学习中,将逆向思维解题方法进行适当的归类和分类.如考虑间接方法,考虑递推,考虑研究逆否命题,逆向应用公式,考虑问题的不可能性,反证法,分析法,复杂化等,可以开辟新的解题途径,避开繁杂的计算,使问题简化而得以顺利解决.这对优化学生的思

维结构,培养他们的创新能力大有裨益. 本文作者通过阅读大量有关逆向思维在数学分析中的作用文献,根据自己的学习、研究、理解、体会、分析,深刻体会到逆向思维是21世纪数学教学所提倡的思维模式.数学问题千变万化,解题方法灵活多样,虽然我们不可能归纳出题目的一切类型,更不可能找到解题的神方妙法,但是,人们在长期的解题实践中,总结了丰富的经验,寻找了一些更为科学、更为严谨的解题方法与技巧.逆向思维作为发散思维的一种,必将起到重要作用.我们应当自觉地运用逆向思维方法,创造更多的奇迹.本文简要的叙述,望为读者研究和学习数学分析中有关逆向思维问题提供一定的帮助.

六、参考文献

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