高等方法求函数最值

高等方法求函数最值（精选8篇）

高等方法求函数最值 第1篇

例1若f (x) =cos4x-2sinxcosx-sin4x。 (1) 求f (x) 的最小正周期。 (2) 若 , 求f (x) 的最大值、最小值。

解: , 所以f (x) 的最小正周期 。

(2) 因为 , 所以 。

当 时, 取得最大值姨22;

当2x+π4=π时, cos (2x+π4) 取得最小值-1。

所以f (x) 在 最大值为1, 最小值为 。

例2已知函数 , x∈R。求当取最大值时, 自变量X的集合?该函数图像可由 经过怎样的变换得到?

题型2利用配方法或换元法把三角函数的最值转化为二次函数的最值。 (注意区分有限制条件和无限制条件两种类型以及隐含条件的挖掘)

例3已知函数f (x) =2sinθcosθ+sinθ-cosθ (0≤θ≤π) , 求函数Y的最值。

解:令 , 因为 , 所以 。

则t2=1-2sinxcosx, 2sinxcosx=1-t2, 。

当 时, f (x) 的最大值为5/4,

当t=-1时, f (x) 的最小值为-1。

例4设函数 的最大值为1, 求a的值。

令t=cosx, 则t∈[0, 1],

分情况讨论:

(1) 当a<0时, f (x) 的最大值为1, a无解;

(2) 当0

(3) 当a>2时, f (x) 的最大值为1, a无解。

综上所述: 。

偏导数求二元函数最值 第2篇

用偏导数可以求多元函数的极值及最值，不过要比一元函数复杂很多。

这个在高等数学教材里都有，极值求法与一元函数类似。不过极值点的判断要比一元函数复杂很多。

求闭区域上的最值要更麻烦一些。为什么呢？你可以回忆一下闭区间上一元函数的最值，我们做法是先求极值，再与端点的函数值比大小。但多元函数就麻烦了，因为一元函数的区间端点只有两个值，可以全求出来比就行了。但多元函数闭区域的边界是无穷多个值，不可能全求出来了，因此边界上我们还需要再求最大最小值，这个叫做条件最值。

高考求函数最值的常用方法 第3篇

一、定义法

函数最值的定义:一般地, 设函数y=f (x) 的定义域为I, 如果存在实数M, 满足:①对任意x∈I, 都有f (x) ≤M, ②存在x0∈I, 使得f (x0) =M, 则称M为函数y=f (x) 的最大值;如果存在实数N, 满足:①对任意x∈I, 都有f (x) ≥N, ②存在x0∈I, 使得f (x0) =N, 则称N为函数y=f (x) 的最小值.我们直接利用函数最值的定义, 可以判断函数最值的相关问题.

例1 设函数f (x) 的定义域为R, 有下列三个命题:

①若存在常数M, 使得对任意x∈R, 有f (x) ≤M, 则M是函数f (x) 的最大值;

②若存在x0∈R, 使得对任意x∈R, 且x≠x0, 有f (x)

③若存在x0∈R, 使得对任意x∈R, 有f (x) ≤f (x0) , 则f (x0) 是函数f (x) 的最大值.

这些命题中, 真命题的个数是 ( ) .

A.0 B.1 C.2 D.3

解析 根据函数最大值的定义知, ①是假命题:虽然满足最大值定义中的任意性, 但不满足存在性, 故①错误.②、③正确:实质上, 它们是等价命题, 都满足最值定义中的两个条件.故选C.

点评 利用定义解决函数最值的相关问题时, 其重要的一点就是要把握定义的内涵, 准确地加以应用.需要注意的是:函数一定有值域, 但不一定有最值, 如函数undefined的值域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) , 但它没有最大值, 也没有最小值.

二、配方法

配方法是求二次函数最值的基本方法, 如F (x) =af2 (x) +bf (x) +c的函数的最值问题, 可以考虑用配方法.

例2 已知函数y= (ex-a) 2+ (e-x-a) 2 (a∈R, a≠0) , 求函数y的最小值.

分析 将函数表达式按ex+e-x配方, 转化为关于变量ex+e-x的二次函数.

解析y= (ex-a) 2+ (e-x-a) 2= (ex+e-x) 2-2a (ex+e-x) +2a2-2.

令t=ex+e-x, f (t) =t2-2at+2a2-2.∵t≥2,

∴f (t) =t2-2at+2a2-2= (t-a) 2+a2-2的定义域为[2, +∞) .

∵抛物线y=f (t) 的对称轴为t=a,

∴当a≤2且a≠0时, ymin=f (2) =2 (a-1) 2;

当a>2时, ymin=f (a) =a2-2.

点评 利用二次函数的性质求最值, 要特别注意自变量的取值范围, 同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系.如本题化为含参数的二次函数后, 求解最值时要细心区分“对称轴与区间的位置关系”, 然后再根据不同情况分类解决.

三、不等式法

利用不等式法求解函数最值, 主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法.常常使用的基本不等式有以下几种:a2+b2≥2ab (a, b为实数) , undefined为实数) .

例3 设x, y, z为正实数, x-2y+3z=0, 则undefined的最小值为____.

分析 先利用条件将三元函数化为二元函数, 再利用基本不等式求得最值.

undefined

又 x, z为正实数,

∴由基本不等式, 得undefined,

当且仅当x=3z时取“=”.

故undefined的最小值为3.故填3.

点评 本题是三元分式函数的最值问题, 一般地, 可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决.在利用均值不等式法求函数最值时, 必须注意“一正二定三相等”, 特别是“三相等”, 是我们易忽略的地方, 容易产生失误.

四、函数单调性法

先确定函数在给定区间上的单调性, 然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种求解方法在高考中是必考的, 且多在解答题的某一问中出现.

例4 设a>1, 函数f (x) =logax在区间[a, 2a]上的最大值与最小值之差为undefined, 则a=____.

分析 先判断函数在指定区间上的单调性, 再求出函数的最值, 然后利用条件求得参数a的值.

解析 ∵a>1,

∴函数f (x) =logax在区间[a, 2a]上是增函数,

∴函数在区间[a, 2a]上的最大值与最小值分别为loga2a, logaa=1.

undefined

点评 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性.这一点处理好了, 以下的问题就容易了.一般而言, 对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m, n]上的最值:若函数f (x) 在[m, n]上单调递增, 则f (x) min=f (m) , f (x) max=f (n) ;若函数f (x) 在[m, n]上单调递减, 则f (x) min=f (n) , f (x) max=f (m) ;若函数f (x) 在[m, n]上不单调, 但在其分成的几个子区间上是单调的, 则可以采用分段函数求最值的方法处理.

五、导数法

设函数f (x) 在区间[a, b]上连续, 在区间 (a, b) 内可导, 则f (x) 在[a, b]上的最大值和最小值应为f (x) 在 (a, b) 内的各极值与f (a) 、f (b) 中的最大值和最小值.利用这种方法求函数最值的方法就是导数法.

例5 函数f (x) =x3-3x+1在闭区间[-3, 0]上的最大值、最小值分别是____.

分析 先求闭区间上的函数的极值, 再与端点函数值比较大小, 确定最值.

解析 ∵f′ (x) =3x2-3,

∴令f′ (x) =0, 得x=-1, x=1 (舍) .

又 ∵f (-3) =-17, f (-1) =3, f (0) =1, 比较得f (x) 的最大值为3, 最小值为-17.故填3, -17.

点评 (1) 利用导数法求函数最值的三个步骤:第一, 求函数在 (a, b) 内的极值.第二, 求函数在端点的函数值f (a) , f (b) .第三, 比较上述极值与端点函数值的大小, 即得函数的最值. (2) 函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得:导数为零的点、导数不存在的点及其端点.

摘要：函数最值问题是高中数学的重要内容之一, 也是高考重点考查的知识点, 是新课标高考的一个重要的热点问题, 在新课标高考中占有极其重要的地位.

求二元函数最值常用的十种方法 第4篇

一、化为一元函数法

将二元函数通过消元转化为一元函数,然后根据其特征采用相应的最值方法而获解.常用的消元(或减元)方法,是利用两变量间的相依关系,将其中一个变量用另一个变量表示,如y=g(x),将其代入目标函数f(x,y),即可得到一元函数f(x,g(x)).

例1设P是椭圆+y2=1(a>1)短轴的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值.

分析:设点Q(x,y),则目标函数|PQ|=f(x,y)为二元函数,可利用点Q在椭圆上,其坐标满足椭圆方程,将x(或y)用y(或x)表示,而使目标函数化为一元函数.

解:设Q(x,y),P(0,1),则

因为Q在椭圆+y2=1上,

所以

所以

因为|y|≤1,a>1,所以若a≥,则≤1,故当y=时,|PQ|max=

若1

评注:本题系条件最值,且约束条件隐含于点P在椭圆上,故需挖掘出自变量y的取值范围[-1,1].

二、均值不等式法

利用均值不等式,关键是要注意三个条件:“正、定、等”,缺一不可.当不满足这三个条件时,可通过“拆、拼、凑”的变换实现之.要注意多次使用均值不等式时,必须保证几个等号同时成立.

例2已知(c+1)x-y-4=0,求z=log2(cx+y)+log2(x-2y)的最大值及此时x、y的值.这里2c+1>0.

分析:利用对数运算将目标函数和化积;利用对数性质找正值;利用已知条件凑定值.

由真数的条件知cx+y>0,x-2y>0.

又由(c+1)x-y-4=0,知(cx+y)+(x-2y)=4为定值,所以

当且仅当cx+y=x-2y=2时,上式等号成立,

由此解得

三、换元法

把题目中的某些代数式看成一个新的未知数(变元)来实现变量替换,然后由新元的取值范围推得原函数的取值范围,从而使问题获解.

例3已知求的最值.

分析:将lg、lg分别换元为A、B,则目标函数可化为f(A,B),借助A、B范围而获解.

解:由题设,得

则

所以

则

即

所以

四、三角代换法

通过三角代换把二元函数转化为三角函数,而三角函数的最值易求.为此,掌握一些常用的三角代换是有好处的,如已知x2+y2=a2时,可作代换x=acosθ、y=asinθ;已知x,y∈R+且x-y=1,可作代换x=sec2θ,y=tan2θ;….可根据被代换式的结构特征,利用三角函数性质,因题制宜,恰当代换.

例4已知x,y∈R+,且x+y=1,求(x+)(y+)的最小值.

分析:由x,y∈R+且x+y=1,联想sin2θ+cos2θ=1,则可作代换.

解:设x=cos2θ,y=sin2θ(0<θ<),则

当且仅当时,上式等号成立.

所以当x=y=时,(x+)(y+)有最小值.

五、整体代换法

在有些问题中,把某个式子(通常是具有某种特征或为定值的式子)看作整体,对目标函数进行代换,会使求解过程快捷.

例5函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(-2,-1),若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,求的最小值.

分析:由题设易得2m+n=1,巧用“1”对目标函数进行整体代换,立刻获解.

解:由函数y=loga(x+3)-1的图象恒过定点A(-2,-1),且点A在直线mx+ny+1=0上,得2m+n=1.

又因为mn>-0,

当且仅当,即m=,亦即m=,n=时,上式等号成立,此刻()min=8.

评注:本题是已知x>0,y>0,a>0,b>0且=1,求x+y的最小值问题的一个特例,巧用“1”进行整体代换,可简捷获解.

六、线性规划法

对于线性或非线性的目标函数,当它们具有一定几何意义时,常可用线性规划的思想方法求最值.特别是在高考中,重视数学知识、方法“迁移”能力考查的情况下,有些看似与线性规划无关的最值问题,运用知识迁移,则可用线性规划法来解.

例6设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为__.

分析:由题目的条件信息和目标信息,联系线性规划知识和思想方法,可将已知条件转化为关于a1、d的线性约束条件,a4转化为以a1、d为变元的目标函数,于是就容易获解.

解:在图1的坐标2 a1+3d=5d系,a1 Od中分别作出直线2a1+3d=5和a1+2d=3,得可行域与交点(1,1).

目标函数为a4=a1+3d,平行移动直线a1+3d=0过点(1,1)时,即a1=d=1时,a4有最大值1+3×1=4.

评注:这里将(a1,d)看成(x,y),a4看成z,这就回归到一般的线性规划问题而不感到异常.这是一道设计独特,能力立意高,并涉及知识网络交汇的好题,所给解法显然优于常规解法.

七、向量法

有些二元函数的最值问题,可通过构造向量转化目标函数,运用向量的有关运算而简捷获解.

例7已知a>0,b>0,a+b=1,求+的最小值.

解:设向量m=(),n=(),由m·n≤|m||n|,得

即

从而,得≥4.

所以

评注:由向量的数量积得-|m·n|≤m·n≤丨m||n|,即|m·n|≤|m||n|(当且仅当向量m、n共线时取等号),用这些公式求最值和证明不等式都是非常方便的.当然本题用整体代换法也很容易获解.

八、数形结合法

数形结合是中学数学中最重要的思想方法之一,应用极为广泛,当然,它在求二元函数最值问题中也发挥着重要作用.此法的关键是挖掘问题条件与结论的几何背景.

例8设00,求S=(u-v)2+()2的最小值.

分析:目标函数的几何意义,是求两动点P(u,)、Q(v,)间距离平方的最小值,而点P、Q又分别在不同的曲线上,于是使用数形结合则可直观快捷获解.

解:设P(u,)、Q(v,),则点P、Q的轨迹方程分别为x2+y2=2(00),在同一直角坐标系中分别作出这两条曲线,如图2.

当且仅当v2=即v=3时取等号,此时

因为,

所以

故当v=3,u=1时,

评注:本题若用代数法,就难以入手;转化为两点间距离,则显而易见.

九、柯西不等式法

设ai、bi(i=1,2,…,n)都为实数,则(+)()≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当ai=kbi(i=1,2,…,n)时等号成立.这就是著名的柯西不等式.该不等式及其变形不仅在证明不等式时有重要应用,而且在求多元函数最值问题中也发挥着巨大作用.

例9设x>1,y>1,求的最小值.

解:因x>1,y>1,则x-1>0,y-1>0,故可设,b2=,由柯西不等式,得

当且仅当x=y=2时等号成立.

十、切线法

二元函数常常联系二次曲线,因此与其有关的最值问题,利用二次曲线的切线容易获解.

例10在抛物线C:y=-x2上求一点,使它到直线l:4x+3y-8=0的距离最短,并求出此最短距离.

分析:当l平行移动与曲线C相切时切点即所求.

解:设和l平行的直线与抛物线C相切于点P(x0,y0),则

所以

即P).于是得P()到直线l:4x+3y-8=0的距离

所以抛物线C上的点()到直线l的距离最短为.

评注:本题也可用判别式法求出与l平行且与抛物线相切的直线l'的方程,再求l、l'间距离及切点坐标,但采用导数法比较容易.

三角函数求最值策略 第5篇

三角函数最值求解的主导方向是化为“单一” (即同名同角) 三角函数求最值, 同时要注意三角函数值范围及角范围条件的约束作用.现就常见的几种类型作一归类.

—、二次函数法

当求最值的三角函数化为形如二次函数形式的三角函数时, 常利用配方这一二次函数法来求得.

【例1】 函数$y=1+4\cos x-4\sin {}^{2}x(-\frac{2\text{π}}{3}\le x\le \frac{3\text{π}}{4})$的值域是 ( ) .

$\begin{array}{l}\text{A}.[0,8]\text{B}.[-4,5]\\ \text{C}.[-3,5]\text{D}.[-3,2\sqrt{2}-1]\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{解}:y=1+4\cos x-4\sin {}^{2}x\\ =1+4\cos x-4(1-\cos {}^{2}x)\\ =4\cos {}^{2}x+4\cos x-3\\ =4(\cos x+\frac{1}{2}){}^2-4.\\ \because -\frac{2\text{π}}{3}\le x\le \frac{3\text{π}}{4}‚\therefore -\frac{\sqrt{2}}{2}\le \cos x\le 1.\end{array}$

根据最值在区间端点及顶点确定知:

$\cos x=-\frac{1}{2}$时, ymin=-4;

cosx=1时, ymax=5.

∴值域为[-4, 5].选B.

二、应用公式法

在三角函数求最值中, 若题目可转化为asinx+bcosx形式, 则可利用基本公式$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a{}^2+b{}^2}\cdot \sin (x+\phi )(\tan \phi =\frac{b}{a})$转化为“同名”三角函数再求最值.

【例2】 当$-\frac{\text{π}}{2}\le x\le \frac{\text{π}}{2}$时, 求函数$f(x)=\sin x+\sqrt{3}\text{c}\text{o}\text{s}x\text{的}$最大值与最小值之和.

$\begin{array}{l}\text{解}:f(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{1{}^2+3}\sin (x+\frac{\text{π}}{3})=2\sin (x+\frac{\text{π}}{3}).\\ \because -\frac{\text{π}}{2}\le x\le \frac{\text{π}}{2}‚\therefore -\frac{\text{π}}{6}\le x+\frac{\text{π}}{3}\le \frac{5\text{π}}{6}‚\\ \therefore -\frac{1}{2}\le \sin (x+\frac{\text{π}}{3})\le 1.\\ \therefore f(x){}_{\max }=2‚f(x){}_{\min }=-1.\\ \therefore -1+2=1.\end{array}$

【例3】 求$y=\frac{2-\text{s}\text{i}\text{n}x}{2-\text{c}\text{o}\text{s}x}$的最大值和最小值.

$\begin{array}{l}\text{解}:\text{由}\text{题}\text{可}\text{得}2y-y\cos x=2-\sin x‚\\ \therefore \sin x-y\cos x=2-2y.\\ \therefore \sin (x+\phi )=\frac{2-2y}{\sqrt{1+y{}^2}}(\tan \phi =-y).\\ \therefore \frac{|2-2y|}{\sqrt{1+y{}^2}}\le 1.\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{由}\text{此}\text{解}\text{得}\frac{4-\sqrt{7}}{3}\le y\le \frac{4+\sqrt{7}}{3}.\\ \therefore y{}_{\min }=\frac{4-\sqrt{7}}{3},y{}_{\max }=\frac{4+\sqrt{7}}{3}.\end{array}$

三、降幂升角法

降幂升角是通过把高于二次或三次的三角函数利用降幂公式 (如二倍角公式逆用) 降低次数, 再利用和积互化或差积互化公式化为“单一”三角函数.

【例4】 已知函数$y=2\cos {}^{2}x+6\sin x\cos x+4\cos (x+\frac{\text{π}}{4})\cos (x-\frac{\text{π}}{4})‚x\in [0,\frac{\text{π}}{4}]$, 求此函数的最值.

$\begin{array}{l}\text{解}:y=1+\cos 2x+3\sin 2x+2(\cos 2x+\cos \frac{\text{π}}{2})\\ =3(\cos 2x+\sin 2x)+1\\ =3\sqrt{2}\sin (2x+\frac{\text{π}}{4})+1‚\\ \because 0\le x\le \frac{\text{π}}{4},\therefore \frac{\text{π}}{4}\le 2x+\frac{\text{π}}{4}\le \frac{3\text{π}}{4}.\\ \therefore \frac{\sqrt{2}}{2}\le \sin (2x+\frac{\text{π}}{4})\le 1.\end{array}$

当$x=\frac{\text{π}}{8}$时, $y{}_{\max }=3\sqrt{2}+1;$

当$x=\frac{\text{π}}{4}$或x=0时, ymin=4.

四、换元法

换元法的目的是简化表示形式, 在借助常见形式的特征达到解题的目的.

【例5】 求函数$y=\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x\text{c}\text{o}\text{s}x}{1+\text{s}\text{i}\text{n}x+\text{c}\text{o}\text{s}x}$的最小值.

解:令sinx+cosx=t, 两边平方后整理得

$\begin{array}{l}\sin x\cos x=\frac{t{}^2-1}{2}.\\ \therefore y=\frac{\frac{t{}^2-1}{2}}{1+t}=\frac{1}{2}(t-1).\end{array}$

由$t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\text{π}}{4}),$

$\begin{array}{l}\text{且}-1\le \sin (x+\frac{\text{π}}{4})\le 1‚\\ \therefore -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\end{array}$

.又由1+sinx+cosx≠0得

$\begin{array}{l}t\ne -1‚\\ \therefore t=-\sqrt{2}\end{array}$

时, $y{}_{\min }=-\frac{1}{2}(\sqrt{2}+1).$

五、构造函数法

通过所给条件重新建立新函数, 是解决一类求最值问题常考虑的方法.

【例6】 已知3sin2α+2sin2β=5sinα, α、β∈R, 求cos2α+cos2β的取值范围.

分析:考虑到cos2α+cos2β的整体的取值, 所以建立以cos2α+cos2β为函数的函数关系, 这样化为同名同角三角函数求值的问题求解较简便.

$\begin{array}{l}\text{解}:\because 3\sin {}^2\alpha +2\sin {}^2\beta =5\sin \alpha ‚\\ \therefore 3(1-\cos {}^2\alpha )+2(1-\cos {}^2\beta )=5\sin \alpha .\\ \therefore -3\cos {}^2\alpha -2\cos {}^2\beta =5\sin \alpha -5.\\ \therefore \cos {}^2\alpha +\cos {}^2\beta =\frac{\cos {}^2\alpha +5\sin \alpha -5}{-2}‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{即}\cos {}^2\alpha +\cos {}^2\beta =\frac{1}{2}\sin {}^2\alpha -\frac{5}{2}\sin \alpha +2\\ =\frac{1}{2}(\sin \alpha -\frac{5}{2}){}^2-\frac{9}{8}.\end{array}$

又2sin2β=5sinα-3sin2α,

∴0≤5sinα-3sin2α≤2.

由此解得$0\le \sin \alpha \le \frac{2}{3}$或sinα=1.

当sinα=0时, cos2α+cos2β=2;

当$\sin \alpha =\frac{2}{3}$时, $\cos {}^2\alpha +\cos {}^2\beta =\frac{5}{9}$;

当sinα=1时, cos2α+cos2β=0.

有关三角函数求最值的解法 第6篇

一、可将函数式化为y=Asin (ωx+φ) +b的形式, 利用正、余弦函数的有界性来求解。正弦和余弦函数的有界性是指|sinx|≤1和|cosx|≤1, 在中学数学教学中有时利用正、余弦函数的这个性质来研究问题可化繁为简, 化难为易, 它不仅在三角中, 而且在其他中学数学课程中都有广泛的应用。

例1求函数的值域。

解:原式可化为ysinx+cosx=2, 引入辅助角φ,

∴函数的值域为

点评:形如的函数根据正余弦函数的有界性, 即可用分析法求最值, 还可用“不等式”法或“数形结合”法。上述是利用了三角函数的有界性, 转化为以y为变量的不等式, 是解决这类题的最佳方法。

例2求的值域。

解:由题将分母作为一整体, 考虑分离变量的方法, 作如下变形:

点评:本题采用了分离变量的方法求解, 特别要注意求倒数范围应注意分母不等于零。当然本题也利用了三角函数的有界性解答。

二、转化为二次函数

例3已知, 求si ny-cos2x的最大值与最小值。

解:由题得

当时, 最小值为

当时, 最大值为。

点评:形如y=asin2x+bsi nx+c, 设t=si nx, 化为二次函数y=at2+bt+c在t∈[-1, 1]上的最值求之。本题中易忽视si ny的有界性而用-1≤sinx≤1的条件出错。

三、换元法是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量, 以便问题得以解决的一种数学方法。在学习中常使用的换元有代数换元和三角换元, 我们可根据具体问题及题目的形式去灵活选择换元的方法, 以便将复杂的最值问题转化为简单的最值问题, 从而求原函数的最值。三角中的换元通常有局部换元与整体换元。形如y=sinx+sinx·cosx+cosx类型往往通过局部替换把三角问题转化为代数问题进行讨论, 达到化繁为简、化难为易的目的, 从而求解。而整体替换即把已知或待求式作为一个整体进行替换, 转化原问题的结构, 简化解题的过程。

例4求函数y= (sinx-2) (cosx-2) 的最大值与最小值。

解:y=sinxcosx-2 (sinx+cosx) +4

点评:sinα+cosα, sinα-cosα, sinα·cosα这三者之间有着相互制约, 不可分割的密切联系。sinαcosα是纽带, 三者之间知其一, 可求其二。令t=sinα+cosα换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值, 但一定注意其中间变量的取值范围。

例5已知cosx+cosy=1, 求sinx+si ny的范围。

解:设t=sinx+siny, 将两式两边平方得

两式相加得

又-1≤cos (x-y) ≤1, 得

点评:此类题已知量与未知量没有直接联系, 将待求式作为一个整体与已知建立关系。

四、利用函数的单调性。形如, 要结合-1≤sinx≤1的范围与该函数的单调性解题, 也可借助均值不等式。此类题较常见, 学生易解决。又形如 (x给定范围) , 和题型一相似, 但由于有范围限制, 所以利用单调性求最值。

例6如图, 某地有三家工厂, 分别位于矩形ABCD的两个顶点A, B及CD的中点P处。AB=20km, BC=10km。为了处理这三家工厂的污水, 现要在该矩形区域上 (含边界) 且与A, B等距的一点O处, 建造一个污水处理厂, 并铺设三条排污管道AO, BO, PO。记排污管道的总长度为ykm。设∠BAO=θ (rad) , 将y表示成θ的函数, 确定污水处理厂的位置, 使铺设的污水管道的总长度最短。

解:易知

令y'=0得

因为, 故。

当时, y'<0;当时, y'>0,

所以函数y在时取得极小值, 这个极小值就是函数y在[0, ]上的最小值。

点评:本题将函数、三角、导数等知识融合在一起, 在数学与现实问题的联系中考查学生解决问题的能力, 解决方法主要是求导得出函数的单调性。

巧用数形结合求函数的最值 第7篇

数学家华罗庚曾经说过:“数缺形时欠直观,形离数时难入微.”在数学解题过程中巧妙地利用数形结合的思想方法,使数形相互结合,相互渗透,问题便能迎刃而解.

求函数最值的方法很多,但若能通过数形转化,构造几何图形,以形助数,常常可以达到事半功倍的效果.下面举例说明.

例1 已知x+y=1,求x2+y2的最小值.

解因为x2+y2表示点P(x,y)到原点O(0,0)距离的平方,所以问题转化为求直线x+y=1上点P(x,y)到原点O(0,0)距离平方的最小值,这个最小值即原点O(0,0)到直线x+y=1的距离的平方(如图1).

例2 设,求y的最小值.

解将y变形为

则y表示x轴上点P(x,0)到点A(5,1),B(1,-2)距离的和(如图2).又A,B在x轴的两侧,故所求最小值为|AB|=5.

例3 求函数的最值.

分析 考虑到,构造几何图形.

解 令,则有,其图形是椭圆在第一象限的部分.又由y=u+v知v=-u+y表示直线,y为其在v轴上的截距(如图3).因为直线与椭圆部分有公共点,所以当且仅当直线与椭圆部分相切时,y最大.由判别式法求得的最大值是3;当且仅当v=-u+y过点()时,的最小值是.

例4已知x,y∈R且x2+y2=1,求的最值.

解因为表示过点P(x,y)与点A(-2,-1)的直线AP的斜率,所以问题转化为求圆x2+y2=1上的点P(x,y)与点A(-2,-1)所连直线AP的斜率的最值,而当直线与圆相切时有最值(如图4).

设,则直线AP的方程是:y+1=k(x+2).因直线与圆相切,所以圆心到直线AP的距离等于1,由点到直线的距离公式得,解得k=0,.

所以的最大值是,最小值是0.

参考文献

利用二次型求一类多元函数的最值 第8篇

二次型作为线性代数中最重要的内容之一, 一直以来都是学界研究的焦点问题。二次型理论的研究最早可追溯至18世纪, 当时学者们为了解决几何学中二次曲线和二次曲面的分类问题, 并将其化为标准型, 决定重新划分坐标轴, 以简化方程, 提高运算效率。目前, 二次型理论已被广泛应用至各个学科领域, 如工程学、物理学、化学、分子力学等, 并取得了一系列进展。本文主要介绍了二次型的基本概念, 并通过示例分析, 研究了二次型在一类多元函数最值求解中的应用。

2 二次型基本概念

定义2.1称f (x1, x2, …, xn) =x′Ax为二次型, 也称上式为二次型的矩阵形式, 称A为二次型的矩阵, 称A的秩为二次型f的秩。

3 在求一类多元函数中的应用

3.1 当A半正定时

(1) 若r=n, 则f存在最小值。

(2) 若r<n, 一次项所含新变数都出现在平方项中, f有最小值。

(3) 若r>n, 一次项所含新变数至少有一个不出现在平方项中, f不存在最值。

3.2 当A半负定时

(1) 若r=n, f存在最大值。

(2) 若r<n, 一次项所含新变数都出现在平方项中, f有最大值。

(3) 若r>n, 一次项所含新变数至少有一个不出现在平方项中, f不存在最值。

3.3 A不定, f没有最值

证明: (1) 令X= (x1, x2, …, xn) ′, A= (aij) n×n, B= (b1, b2, …, bn) , 将f改写为:X′AX+2BX (3.1)

a当r=n, P′AP=En, 此时 (3.2) 变为:

当yi=-ci (i=1, 2, 3, …, n) 时等号成立, 这时将yi=-ci代入X=PY得唯一X的解, 即所得最值。

当一次项所含新字母都在平方项里出现, 至少有cr+1=cr+2=…=cn=0, (3.3) 可变为r个数的完全平方数与一个常数之和, 有最小值。

c一次项所包含的新字母中, 至少有一个不在平方项当中, cr+1, cr+2, …, cn中最少有一个不等于零, 不妨假设cr+1>0, 这时 (3.3) 变成,

令y1=…=yr=yr+2=…=yn=0, yr+1取负值, 但绝对值很大, 上式的数值很小, 没有最小值;当yr+1取正值, 但绝对值很大, 上式的数值会很大, 没有最大值。

(2) A半负定, -A=- (-aij) n半正定, 利用 (1) 可以得到 (2) 的结论。

令y2=…=yn=0, y1为任意的数, 上式的数值大于任何正数, 不存在最大值。令y1=…=yr=yr+2=…=yn=0, yr+1等于任何大数, 上式的数值小于任意给定的负数, 没有最小值。

4 示例讨论

解将上式的矩阵A写出, 对A作合同变换得到

我们可以看到上述矩形阵中, 主对角线的位置有一个零, 而对角线上其余的非零数字均为正数, 由此可知A半正定矩阵, 而是否存在极值, 则需经过一系列替换后方能确定。作线性替换X=PY, 此时原多项式中二次齐次项目部分就变为一次项部分为2y1+2y2-2y3。所含字母y1, y2, y3均在平方中出现, 属于定理3.1中的情况, 存在最小值。对变换后的多项式配方, 得

参考文献