光子晶体带隙范文

2024-05-05

光子晶体带隙范文（精选7篇）

光子晶体带隙第1篇

光子晶体按光波导分为一维、二维和三维结构, 在应用上最具潜力的是可见光和红外波段的完全带隙的三维光子晶体, 但其制作工艺非常复杂。而二维光子晶体的制作比较简单, 实际的应用价值也很大, 正日益成为各国研究的热点。

本文利用平面波展开法 (PWM) 对二维光子晶体光波导的特性进行了理论分析, 并对其带隙结构及特性进行了研究。通过改变光子晶体的横截面和介质折射率差能够改变其能带结构, 这使得光子晶体的应用价值更高。

1 理论分析

平面波展开法 (plane wave expansion method:PWM) 是研究光子晶体带隙结构及特性的方法之一。是将电磁场以平面波的形式展开成麦克斯韦方程组, 求解这个本征方程的本征值就可以得到传播光子的本征频率。

假定所研究的光子晶体是无损、无源、非磁性的线性时不变系统, 则可以得到麦克斯韦方程组的表达式。

式中E和H分别为电场、磁场强度矢量, D为电位移矢量, 为介电常数, ω为光波的角频率, c为真空中的光速, 由 (1) 可得

根据布洛赫定理, 电磁场矢量用第一布里渊区的波矢量k和能级序号n来表示[1]:

其中, 是周期性矢量函数。

应用平面波展开法将场矢量进行傅里叶展开[2], 得:

其中, K=k+G, G是倒格矢量。将 (5) 代入 (2) 得到:

通过上式, 得到k-w的关系, 从而可以计算光子晶体的带隙结构。

2 光子带隙分析

二维光子晶体是指在二维空间各个方向上均有光子频率禁带的材料, 其典型结构是由许多介质棒均匀地平行排列而成。影响二维光子带隙结构的因素很多, 主要是横截面和介质折射率差。

2.1 横截面形状对光子带隙结构的影响

图1所示为二维光子带隙结构图, 该晶体由介质圆柱周期性排列而形成。从其带隙结构可以看出, T E波存在频率为0.3～0.4 8 (a/λ) 的光子禁带 (a为重复结构周期) , 在此范围内没用任何的T E波传播;TM波的禁带频率为0.86～0.95 (a/λ) 。

与圆柱截面的光子晶体相比, T E波多了一条频率为0.6～0.6 5 (a/λ) 的光子禁带。其光子禁带的范围明显加宽。可见, 通过变化介质棒横截面的形状就控制二维光子晶体带隙结构, 这一特点为光子晶体器件的设计带来巨大的发展空间。

2.2 介质折射率差对光子带隙结构的影响

改变晶体传输介质折射率差也可以改变其带隙结构。图2为介质圆柱在空气中排列而成的二维光子晶体的带隙结构图, 其折射率差为1.98 (介质圆柱与空气折射率的差值) 。

从其带隙结构图中可以发现, T E波存在一条频率为0.32～0.45 (a/λ) 的光子禁带, 宽度大约是0.13 (a/λ) 。改变晶体的折射率差为2.7 4 2, 其带隙结构如图3所示。

改变数值后, TE波禁带的范围是0.25～0.4 (a/λ) , 宽度大约是0.15 (a/λ) 。对比图4和5, 二维光子晶体的介质折射率差从1.9 8变为2.7 4 2, T E波禁带的宽度增加了0.02 (a/λ) 。通过以上的分析可知, 在其它条件不变的情况下, 改变光子晶体的介质折射率差可以改变其带隙结构, 当差值增大时, 光子禁带的宽度会增大

3 结语

本文采用平面波展开法分析了二维光子晶体的光学特性, 并通过数值模拟研究了光子晶体的带隙结构及特性, 总结了影响其禁带形成的因素。通过改变光子晶体的横截面和介质折射率差, 可以改变它的带隙结构和特性。光子晶体优越的光学特性使之成为光通信领域最有希望的基础材料之一。可以预见, 在不久的将来, 光子晶体在光开关、光放大、滤波器、偏振器、光传感等方面将有广泛的应用。

参考文献

[1]娄淑琴, 王智, 任国斌.具有复介电常量二维光子晶体的特性研究[J].光学学报, 2004, 24 (3) :313～317.

光子晶体带隙第2篇

一维光子晶体结构参数对禁带带隙的影响研究

采用平面波法(PWM)计算一维光子晶体的带隙结构.分别就构造一维光子晶体结构的高低折射膜层的介电常数及填充比(高折射膜层的厚度与晶体周期长度的比值)对禁带带隙宽度的影响作出分析.通过最小二乘曲线和曲面拟合得到带宽与介电常数或带宽与填充比的函数关系图,以确定最佳的禁带带宽,从而设计一维光子晶体的.周期结构.对高低折射膜层为GaAs/空气组成的一维光子晶体,介电常数比约为13/1,当填充比为0.16时,计算得禁带带宽为0.2564×2πc/Λ,禁带的中心频率为0.3478×2πc/Λ,与实验数据吻合.

作者：刘兵竺子民 LIU Bing ZHU Zi-min 作者单位：华中科技大学,光电子科学与技术学院,湖北,武汉,430074 刊名：应用光学 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF APPLIED OPTICS 年，卷(期)： 28(4) 分类号：O734.2 TN303-34 关键词：平面波法光子禁带带隙宽度最小二乘曲线和曲面拟合

可调一维光子晶体的带隙特性第3篇

光子晶体是由高低折射率材料在空间上作周期交替排列而得到的人工微结构,在其内部存在光子带隙,某些频率的光子在带隙中是禁止传播的,这是光子晶体特性之一。另外在光子晶体中引入缺陷,缺陷可以局域某些频率的光子,这就是光子局域。由于光子晶体具有光子带隙和光子局域以至能调节光子的运动状态的特点,使它在研究和未来的应用方面颇受青睐,现在人们对光子晶体的理论研究已经相当成熟,尤其是对一维光子晶体的研究,大部分是参照电子在半导体材料中的运动来解决光子在光子晶体中的传播的问题,因为光子和电子有类似的传播方程和性质。Ozaki[1]等在一维光子晶体中引入N液晶作为缺陷,通过外加电场改变液晶分子的取向导致其折射率改变,实现了光子晶体的调谐滤波作用,但对于N液晶分子取向的改变对光子晶体能带结构的影响没有进行具体的研究;Chen-Yang Liu[2,3]等在二维液晶中用向列相液晶做缺陷层制备出了可调谐的起偏器,在其研究过程中,液晶的分子指向矢的旋转角随外界电压的改变而改变,从而影响二维光子晶体的能带结构。本文在一维光子晶体中引入液晶缺陷,制备成可调一维光子晶体,研究其带隙的特性。

1 铁电液晶光电特性

铁电液晶具有层状结构,每个层上液晶分子与层面法线成θ角,且沿法线方向前进,分子指向矢在以2 θ为顶角的圆锥上旋转,形成螺旋结构[4,5,6]。垂直于分子长轴的永久偶极子也沿螺旋轴旋转,一个周期内各层的极化矢量相互抵消,在宏观上看液晶的自发极化为零。如果施加一个电场,则所有各层的极化适量的方向倾向与外电场一致,表现出宏观自发极化,也就是铁电液晶的折射率和介电常数等沿平行和垂直分子长轴方向具有各向异性,呈现出光学双折射现象,作用在液晶上的电场变化时,液晶分子取向易随之改变,导致液晶的光学双折射和透射率也容易随之改变[7,8]。

建立如图1所示坐标系,即z轴沿螺旋轴方向,高低折射率介质法方向为y轴,外加电场 $\vec{E}$ 在近晶层平面内并沿y轴方向,液晶的自发极化 $\vec{Ρ}$ 位于x-y平面内。当未加外电场时,液晶的总自发极化强度为零。在外加电场作用时,由于 $\vec{Ρ}$ 倾向于电场方向排列,液晶的总自极化强度不为零。从图可得到液晶的指向矢 $\vec{n}$ 和自发极化 $\vec{Ρ}$ 为:

$\begin{array}{l} \vec{n} = (\sin θ \cos φ, \sin θ \sin φ, \cos θ) (1) \\ \vec{Ρ} = (- Ρ \sin φ, Ρ \cos φ, 0) (2) \end{array}$

其中P是极化强度的大小,指向矢的方位角φ仅是z的函数。

设入射光为线偏振光,偏振方向沿液晶螺旋轴线(z轴)方向,则光在液晶中产生的双折射为:

$\begin{array}{l} Δ n = n (θ) - n_{o} = \\ \frac{n_{e} n_{o}}{\sqrt{n_{e}^{2} \sin^{2} θ + n_{o}^{2} \cos^{2} θ}} - n_{o} (3) \end{array}$

其中ne和no为液晶的非常光和寻常光折射率。

在小于临界电场的外电场作用下,铁电液晶的分子取向仍具有螺旋结构,可采用类似向列相液晶的方法来处理,将液晶分成许多层,则厚度为d的液晶层的传输矩阵[3]为:

$\begin{array}{l} J = [\begin{matrix} \cos Ψ_{d} & - \sin Ψ_{d} \\ \sin Ψ_{d} & \cos Ψ_{d} \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} c o s A - i (2 A)^{- 1} B s i n A & A^{- 1} Ψ_{d} s i n A \\ - A^{- 1} Ψ_{d} s i n A & c o s A + i (2 A)^{- 1} B s i n A \end{matrix}] (4) \end{array}$

式中,Ψd是液晶层总旋转角, $A = \sqrt{Ψ_{d}^{2} + (B / 2)^{2}}, B = 2 π d Δ n / λ, λ$ 是入射光波长。

2 带缺陷的一维光子晶体结构

设计的带液晶缺陷的光子晶体的结构是在光子晶体的中间抽掉材料1,这样就形成两个材料2的相向,再在两材料2的表面镀有导电薄膜E,加上间隔层形成液晶盒。在两个导电薄膜E上加上电压,将铁电液晶材料通过真空毛细管作用吸入腔内,它使整个光子晶体结构中的材料a层被铁电液晶(和导电薄膜)取代,铁电液晶作为一维光子晶体的缺陷层。液晶层两侧高低折射率介质1、2的折射率和厚度分别为n1、n2和d1、d2,它们满足关系n1d1=n2d2=λ0/4,λ0=1.55 μm为中心辐射波长,如图2所示。

光在带有液晶缺陷的光子晶体中传播的总传输矩阵等于液晶层的传输矩阵与其两侧介质的传输矩阵的乘积:

$\begin{array}{l} Μ = Μ_{1} J Μ_{2} = \\ (m_{1} m_{2})^{Ν} J (m_{2} m_{1})^{Ν} = [\begin{matrix} Μ_{11} & Μ_{12} \\ Μ_{21} & Μ_{22} \end{matrix}] (5) \end{array}$

对于在周期介质中传播的,由布洛赫定理可得[9]:

$k D = \cos^{- 1} [\frac{1}{2} (Μ_{11} + Μ_{22})] (6)$

式中k为布洛赫波数,D为上面设计的光子晶体的几何周期。

对已制备的光子晶体,其能带结构是固定的,但当缺陷的特性发生改变时,就会影响光子晶体的能带分布结构[10,11]。

3 数值模拟与讨论

考虑低频电场作用的情形E(t)=Eexp(iωt)。在低频下铁电液晶分子的运动完全能跟得上电场的变化,当电场较弱时,虽然液晶的螺距增大,但其分子的排列特点并没有改变,仍为螺旋结构,每个分子都位于倾斜角为θ(E)的锥形表面上,令:

$φ = q z + C e x p (i ω t) \sin (q z) (7)$

式中φ是液晶分子指向失的旋转角,q是在外加电场作用时铁电液晶的扭曲波数,对应的螺距为h=2π/q。用Matlab语言进行数值计算,得到φ与电压V的关系,这与Chen-Yang Liu[2,3]的结果很符合,见图3。

电压可以改变液晶分子指向矢的旋转角,所以在一维光子晶体中引入液晶作为缺陷层。通过改变外界电压可以影响光子晶体的能带结构,对(6)进行数值计算,使用的参数和参考文献[7]中的一样。首先我们可以计算出一维光子晶体的能带结构,见图4。然后在光子晶体中引入液晶缺陷,在液晶缺陷两边加上不同的电压,研究液晶缺陷对光子晶体的能带结构的影响,见图5。

对图4、图5进行比较,我们可得出,外界电压对一维光子晶体的能带结构有着明显的影响:

(1) 当在一维光子晶体中引入液晶缺陷时就产生了缺陷模,即图5(a)所示;但这个缺陷模式强度很小,原因是因为液晶分子的指向失是无序分布的,其旋转角度几乎可以看成是0°。

(2) 随着电压的增大,缺陷对光子晶体的能带结构的影响就比较明显,当电压为1 V时光子晶体的缺陷模强度明显变大,因为液晶分子在外界电压的作用下已经是有序的,其分子开旋转,即图5(b);当电压为2.5 V时原来缺陷模的强度变得更大,此时引人注意的是在原来缺陷模的左侧又出现了一个新的缺陷模式,这个新的缺陷模的强度比较小,原因是液晶分子旋转角度随着电压的增大而增大,即图5(c);当电压继续增大时,这个新的缺陷模式向右侧移动,即图5(d);当电压增大到一定时,在原来缺陷模的两侧都产生了缺陷模式,原因是液晶分子在外界比较大的电压下,更活跃,分子旋转角度更大,即图5(e)。

4 结论

在有限周期的一维光子晶体中引入铁电液晶作为缺陷层,在液晶层两侧加上外电场,制备成可调谐的一维光子晶体,当调节外电场的电压大小,铁电液晶分子取向也会跟着变化,进而影响一维光子晶体的能带结构。结果显示铁电液晶在外界电压的作用下对一维光子晶体的能带结构有着明显的影响,这种带缺陷的一维光子晶体通过调节外加电场来改变能带结构的方法与可调谐的光子晶体滤波器的原理是一样的[12],可以为研制高密度光通信用窄带多信道可调谐滤波器和光开关等提供直接的理论和实验基础。

参考文献

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[3]Liu Chenyang,Chen Lienwen.Tunable field sensitive polariz-er using hybrid conventional waveguides and photon crystalstructures with nematic liquid crystals[J].Optics Communica-tion,2005,256(1-3):114-122.

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[5]Ye C.Liquid crystal band-pass filter based on the optical rota-try dispersion effect[J].Applied Optics,2004,43(20):4 007-4 010.

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[8]钱祥忠.铁电液晶缺陷光子晶体调谐滤波器的设计[J].光子学报,2007,36(3):425-428.

[9]王维江,肖万能,周金运.光波在一维周期介质中传播的色散和反射[J].光子学报,2003,32(9):366-370.

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[11]王宏,欧阳征标,韩艳玲,等.含色散关系的一维光子晶体微腔的光学特性和模式调节[J].光学学报,2007,27(5):940-945.

一维光子晶体的带隙特性研究第4篇

1987年Yabnolovitch[1]在讨论如何抑制自发辐射时提出了光子晶体这一新概念,几乎同时,John[2]在讨论光子局域时也独立提出光子晶体的概念。光子晶体的最基本特征是具有光子带隙,带隙中没有任何光子态存在,频率落在光子带隙中的电磁波的自发辐射会被完全抑制(或者说频率落在带隙中的电磁波是禁止传播的),特别是对于具有完全带隙结构的光子晶体,所有方向的入射都会被全反射。光子晶体优越的光带隙性能决定了它广阔的应用前景,近年来,对光子晶体的理论与实验研究正在迅速发展。仅就一维光子晶体来说,用它制造的全方位高效反射镜、超低损耗波导、非线性光学二极管、光学开关、光学限幅器、二次谐波发生器、光子带边缘激光器等光学器件都已有报道[3,4,5],所以对光子晶体的带隙特性及规律进行全面透彻的分析是非常有价值和必要的。掌握了这些就可以根据自身的需要从不同的利用角度来设计光子晶体,以得到符合要求的带隙结构。本研究利用光学特征矩阵理论计算了一维光子晶体两介质的填充率、厚度的随机扰动对光子晶体带隙特性的影响,得出了一些有价值的规律,对一维光子晶体的实验制备具有一定的理论指导意义。

1 理论模型

对于一维光子晶体,可借助薄膜光学的方法对其进行计算。利用薄膜光学的特征矩阵[6]来研究一维光子晶体的带隙特性。一维光子晶体由多层膜组成,波长为λ的电磁波以角度θ0入射到薄膜上,在薄膜材料的左边是折射率为n0的空气层,假设第l层薄膜的电场和磁场切向分量分别为El、Hl,则第l+1层薄膜的电场和磁场切向分量可表示为:

$[\begin{array}{l} E_{l} \\ Η_{l} \end{array}] = Μ_{l} [\begin{array}{l} E_{l + 1} \\ Η_{l + 1} \end{array}] (1)$

这里Ml为第l层媒质的特征矩阵,它可表示为:

$Μ_{l} = [\begin{array}{l} \cos δ_{l} j \frac{\sin δ_{l}}{η_{l}} \\ j η_{l} \sin δ_{l} \cos δ_{l} \end{array}] (2)$

式中: $δ_{l} = \frac{2 π}{λ} n_{l} d_{l} \cos θ_{l} ‚ n_{l}$ 、dl为第l层媒质的折射率和厚度,

$η_{l} = {\begin{cases} n_{l} / \cos θ_{l} ‚ Τ Μ 波 \\ n_{l} \cos θ_{l}, Τ E 波 \end{cases} ‚ θ_{l}$

为第l层媒质中的折射角,它满足Snell折射定律,即nlsinθl=nl-1sinθl-1=Λ=n0sinθ0,λ为入射光在真空中的波长。当薄膜由k层组成时,其总的特征矩阵为:

$Μ = Π_{l = 1}^{k} Μ_{l} (3)$

如果将特征矩阵记为:

$Μ = [\begin{array}{l} m_{11} m_{12} \\ m_{21} m_{22} \end{array}] (4)$

则入射光的反射率R为:

$R = | \frac{m_{11} + η_{k + 1} m_{12} - η_{0}^{- 1} (m_{21} + η_{k + 1} m_{22})}{m_{11} + η_{k + 1} m_{12} + η_{0}^{- 1} (m_{21} + η_{k + 1} m_{22})} |^{2}$

(5)

透射率T为:

$Τ = \frac{4 Re (η_{k + 1} / η_{0})}{| m_{11} + η_{k + 1} m_{12} + η_{0}^{- 1} (m_{21} + η_{k + 1} m_{22}) |^{2}}$

(6)

吸收率A为:

A=1-R-T (7)

2 一维光子晶体的带隙特性分析

选取折射率分别为4.0和2.2的A、B两种材料组成一维光子晶体,分析光波垂直入射时一维光子晶体的填充率、随机扰动等因素变化对带隙的影响。

2.1 填充率对带隙的影响

对于一维二元光子晶体,填充率定义为d1/(d1+d2)=d1/d,其中d1和d2分别为单层介质A和B的厚度,d为一个周期的厚度。图1为计算得到的该一维光子晶体的带隙图。其中图1(a)横坐标为填充率,纵坐标为归一化频率,表示全向带隙随填充率的变化,图中的数字1、2、3、4分别表示光子晶体的第1带隙、第2带隙、第3带隙和第4带隙。图1(b)是带隙率图,用以直观地给出图1(a)中带隙率的情况,其中横坐标也为填充率,纵坐标为带隙率,表示带隙率随填充率的变化,图中的数字1、2、3、4与图1(a)中的数字对应,分别代表光子晶体的不同的带隙。

从图1中可以看出:(1)随着填充率的变化,各能级的带隙率变化,并且存在一个极大值,即填充率为一个特定值时能级的带隙率最大。图1(b)显示,在所给的参数条件下,当填充率为0.368时,第一能级全向带隙的带隙率达到最大值0.2739。同时注意到,传统光学薄膜设计中的1/4膜系并不能使带隙率达到最大值,在给定的参数条件下,1/4膜系的填充率约为0.355,第一能级全向带隙的带隙率为0.2734,比最大值略小。

(2)带隙级数越高,带隙率的变化幅度越小。从图1(b)可直观地看到,第一能级全向带隙的带隙率变化范围为0～0.2739(当填充率为0.368时取最大值),第二能级的带隙率的变化范围为0～0.1205(当填充率为0.624时取最大值);第三能级的带隙率变化范围为0～0.0691(当填充率为0.732时取最大值);第四能级的带隙率变化范围为0～0.0436(当填充率为0.792时取最大值)。

(3)全向带隙的出现要求填充率在一定范围内分布。如图1(a)所示,当填充率达到0.055时,第一能级的全向带隙才出现,当填充率超过0.939时全向带隙消失;而当填充率达到0.415时,第四能级的全向带隙才出现,填充率超过0.939时全向带隙消失。此现象可以从物理图像上直观地理解,当填充率趋于0或1时,一维光子晶体的周期结构趋于为高折射率材料或低折射率材料的单一材料分布,失去了结构的周期性,因此不存在周期性结构产生的全向带隙。从图1中还可以发现,只有第一能级的带隙是连续的,其它能级的带隙都会在一定填充率范围内消失,继续增大填充率,全向带隙才重新出现,而且能级越高,带隙越不连续。

2.2 厚度的随机扰动对带隙的影响

光子晶体是一种人工构建的功能材料,制备误差的存在使光子晶体不是严格意义上的周期性结构,即实际光子晶体的周期分布存在随机扰动。当随机扰动太大时,光子晶体甚至丧失结构的周期性,不再具有带隙特性,这是实际制备和应用时必须考虑的问题。下面以材料A、B组成的10周期的一维光子晶体为例,分析随机扰动对光子晶体光谱特性的影响。

图2为利用特征矩阵法计算得到的该一维光子晶体的反射谱。然后让计算机产生一组随机数组,作为光子晶体厚度的随机扰动。例如,当随机扰动为光子晶体单层厚度的0.1时,厚度参数为 $d (2 n) = d (2 n) \times (1 - 0.1 \times r a n d n (1, 2 n))$ ,其中n为二元光子晶体的周期数,相应的光子晶体反射光谱如图3所示。

与图2比较后发现,考虑随机扰动后光子晶体的光谱发生了一定的变化,带隙宽度有所减小,这主要表现在带隙的长波端位置向短波有所移动,而带隙的短波端位置几乎没有变化。带隙的长短波边缘的反射率都比未考虑随机扰动时高很多,未考虑随机扰动时,带隙的长短波边缘的反射率都是0,而考虑随机扰动时,对于8.5～12.5μm的带隙,其短波边的反射率达到了0.63,长波边的反射率达到了0.34。计算还发现,当随机扰动为光子晶体单层厚度的0.01时,光子晶体的光谱与不考虑随机扰动时相同。因此,当随机扰动很小时,不会影响光子晶体的光谱特性。

3 结论

(1)随着填充率的变化,各能级的带隙率变化,并且存在一个极大值,即填充率为一个特定值时能级的带隙率最大。

(2)带隙级数越高,带隙率的变化幅度越小。

(3)全向带隙的出现要求填充率在一定范围内分布。

厚度的随机扰动对光子带隙也有一定的影响。扰动程度不同,对光子带隙的影响也不一样。当随机扰动很小时,不会影响光子晶体的光谱特性。

参考文献

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[2] Sajeev John.Strong localization of photons in certain disor-dered dielectric superlattices[J].Phys Rev Lett,1987,58:2486

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[5] Benistyh,Weisbuch C,Olivier S,et al.Low-loss photonic-crystal andmonolithic in Pintegration:Bands,bend,lasers,filters[J].SPIE,2004,5360:119

光子晶体带隙第5篇

光子晶体的概念在1987年由Yablonovitch[1]和John[2]提出,因其具有效率高、信息容量大、响应能力快等优异性能而被广泛应用于各个领域,如光子晶体光纤[3]、光子晶体激光器、光子晶体波导[4]等。光子晶体是一种折射率在空间呈周期性变化的介电结构,其变化周期和光的波长为同一个数量级。由于具有特定频率的电磁波在光子晶体中被禁止传播,因此光子晶体也称光子带隙材料。光子晶体如此广泛的应用正是基于光子带隙的存在。

二维光子晶体更容易在可见光和红外频率范围内产生带隙,而且其结构简单、制备容易,并得到了广泛的应用,因此对二维光子晶体带隙的计算研究和设计具有重要意义。目前对光子晶体带隙计算的方法主要有平面波展开法、时域有限差分(FDTD)法、多极法、传输矩阵法和多重散射法等。最常用的方法有平面波展开法、FDTD法和多极法。本文主要介绍计算二维光子晶体带隙的各种方法及其研究现状。

1 二维光子晶体的计算方法及研究现状

1.1 平面波展开法

1.1.1 平面波展开法的理论推导

根据Mexwell[5]方程组可得到:

undefinedundefined

在周期结构中,由Bloch定理有:

undefined

式中:undefined,为格矢;undefinedk表示垂直于波矢undefined且平行于undefined的单位矢量;m1、m2为任意整数,undefined1、undefined2为周期结构格子的基矢。

将undefined(r)用平面波展开(考虑到·undefined,可令undefined。

undefined

其中:undefined,为倒格矢;eλ为垂直于undefined的2个方向矢量(λ=1,2);h1、h2为正整数,b1、b2为倒格子基矢。同理将ε-1(undefined)用平面波展开,undefined。由式(1)—(4)可得:

undefined

若取平面波的个数为n,则式(3)是一个典型的求解2n×2n矩阵特征值问题。求出矩阵的特征值和特征向量后,就可以得到光子晶体的能带结构以及本征电磁场在空间的分布。

1.1.2 平面波展开法应用举例和研究现状

(1) 在二维光子晶体中,采用三角结构能获得更大带隙,因此许多学者利用平面波展开法对这种结构进行了计算和设计。

卢纪丽等[6]用平面波展开法研究了三角晶格光子晶体波导的带隙特性,分析晶格常数为α=0.1mm的三角晶格硅介质柱二维光子晶体,通过数值计算可得到最大光子带隙。廖兴展等[7]用平面波展开法分析了三角形结构空芯PBG光子晶体光纤的带隙分布特性,结果表明带隙宽度随着填充系数的增加而增大,而且随着填充介质相对介电常数的增大,带隙宽度减小。随着光通讯在人们日常生活中起到的作用越来越大,对光子晶体光纤的研究也越来越热,以上结论为光子晶体光纤的研究提供了重要理论依据。米燕等[8]通过平面波展开法模拟了实验所用的空芯光子晶体光纤的带隙图,并与自制的空芯光子晶体光纤的透射谱进行对比,发现理论结果与实验结果较吻合。谭春华等[9]用平面波展开法计算了光子晶体的禁带结构,提出了一种调节液晶光子晶体光子带隙的方法,即通过外界光场控制所填充的向列相液晶分子的方向可以对这种二维三角形介质柱光子晶体的禁带结构进行调节。

(2) 除了三角形光子晶体结构,还可以利用平面波展开法来对其它结构形式的光子晶体进行设计。通过这些研究,为光子晶体的设计和制备提供了新思路。

M.Khatibi Moghadam等[10]利用平面波展开法在三角形绝缘空气棒中引入线缺陷,设计了一种光子晶体波导,它可以提供具有很大带宽的单模带。汪静丽等[11]采用平面波展开法处理了一种棋盘格子复式晶格的二维光子晶体,结果表明这种结构会产生完全光子带隙。杨毅彪等[12]采用平面波展开法模拟计算了由锗圆柱构成的Graphite格子二维光子晶体的带隙结构,并得到了使完全带隙最大化的结构参数。

(3) 除了对结构的设计,材料的适当选择也会增大光子晶体的带隙,如高折射率材料等。因此许多学者利用平面波展开法分析了材料对光子晶体带隙的影响。

Alexander Glushko等[13]用平面波展开法分析了二维光子晶体中三分量的引入对光子能带结构和系统态密度的影响,得到夹层间介电常数以及夹层厚度与带隙宽度的关系。Zhuang Fei等[14]利用平面波展开法计算了二维各向异性的三角晶格椭圆柱光子晶体的带隙,通过优化椭圆柱体的参数,发现在高低频区都有大带隙。汪冬燕等[15]用平面波展开法模拟计算了二维各向同性的GaAs、Si、Ge不同介质所组成的三角晶格光子晶体的带隙大小。D. Bernier等[16]用平面波展开法处理了平板光子晶体高折射率材料,解释了波长的变化可以引起强棱散射的现象。M.A. Ustyantsev等[17]在理论上研究了二维金属绝缘光子晶体绝缘背景层的影响,运用平面波展开法计算出了光子能带结构,结果表明能带结构向低频方向移动,并随着介电常数的增加而退化。以上结论为人们寻找尽可能高的介电常数作为背景材料制作光子晶体提供了理论依据。

1.1.3 平面波展开法的优缺点

一般情况下,用光子晶体的方程无法求出解析解,且由于电磁场的矢量特性,使数值模拟比较困难。然而由于光子间不存在相互作用,现在发展比较成熟的几种数值模拟方法都与实验取得了良好的一致性。尤其是平面波展开方法,在计算光子晶体能带结构中,其应用结构的周期性,将Maxwell方程从实空间变换到离散Fourier空间,并将能带计算简化成对本征值问题的求解,物理概念清晰,通用性强,是光子晶体理论分析方法中应用最早和最广的一种方法[18]。平面波展开法的缺点是收敛速度慢,且对于金属光子晶体带隙的计算存在缺陷。

1.2 时域有限差分法(FDTD法)

1.2.1 时域有限差分法的理论依据

由于光子晶体是一种典型的周期结构,采用时域有限差分(Finite-difference time-domain,FDTD)法可快速有效地分析光子晶体带隙。采用基本Yee元胞[19],将计算域空间进行网格划分。节点上的E、H场分量在空间和时间上交替排布,应用这种离散方式可以将含有时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程,并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。加入周期边界条件后,用FDTD分析1个周期单元就可得到周期结构的空间电磁场的分布。

在直角坐标系中:

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将式(6)—(8)写成离散式:

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Hundefined(iundefined

1.2.2 时域有限差分法应用举例和研究现状

(1) 由于FDTD法可以通过引入边界条件来分析1个周期单元中空间电磁场的分布,因此这种方法多用来设计光子晶体器件,如光子晶体光波导、滤波器等。

周建等[20]用FDTD法对一种具有周期性排列的氧化铝圆柱棒结构的二维光子晶体的红外吸收光谱特性进行了模拟研究,结果表明,该光子晶体在红外波段上存在光子带隙。李典典等[21]用FDTD法分析了二维光子晶体波导的传输特性,在计算机上模拟了光子晶体波导的原理。王身云等[22]将FDTD法用于二维光子晶体线缺陷特性研究,结果表明处于禁带内的电磁波能在线缺陷内传播,且在拐角处能耗较小,因而光子晶体波导具有拐弯角度大、损耗小、容易集成等优点。以上研究对于设计和生产全光光子晶体光波导具有重要意义。

刘少斌等[23]利用FDTD法分析了等离子体光子晶体,计算表明,在高频区域等离子体光子晶体出现类似一般光子晶体的光子带隙特性。宋健等[24]应用局部共形网格FDTD法研究含弯曲边界结构的微波光子晶体微带结构的电磁特性,结果表明,通过调节圆孔周期和半径可以影响和改变禁带的宽度和深度,由此可以设计出特定波长区域的微带滤波器。M.Djavid等[25]根据FDTD法利用光子集成电路环形共鸣器设计了一种新型的二维光子晶体滤波器,装置输出效率达到82%。F.Abdel Malek等[26]用FDTD法来研究光子晶体透镜的成像特性,结果表明,当2个光源的距离小于光波长时可以产生高分辨率图像。以上研究为设计和生产光子晶体滤波器提供了重要的理论依据。

(2) 除了利用FDTD法来计算和设计光子晶体器件,也可用其对光子晶体的结构进行研究。

A.Ciceka等[27]用FDTD法处理TM和TE波,发现二维光子晶体能带结构的动态改变可以被六角形非线性克尔空气介质棒所抑制,能带随着带隙数量的增加而发生红移,且一定程度上成线性关系。郑宏兴等[28]用FDTD法计算了非矩形光子晶体的带隙结构,将本征色散变量表达方法应用到非正交坐标系,提高了计算的准确性。汤炳书等[29]用FDTD法研究了二维正方介质柱组成的光子晶体传输函数,计算了若干情况下二维光子晶体的透射率与频率的关系。

(3) 应用FDTD法可以很好地解决金属光子晶体带隙的计算问题,弥补了其它计算方法的不足。

林宝勤等[30]运用FDTD法对二维金属型光子晶体的带隙特性进行了分析,实现了在金属柱面以及周期边界条件下,光子晶体单元内差分矩阵方程的建立。通过对所得差分矩阵行列式的特征方程进行求解,得出了不同周期边界条件下相应的本征频点,从而求得光子晶体的能带结构图。以上研究弥补了平面波展开方法对于金属型光子晶体计算的缺陷,对金属光子晶体的研究具有重要意义。

1.2.3 FDTD法优缺点

由于光子之间没有相互作用,由Maxwell方程得出的理论结果与实际情况较吻合。 FDTD法直接把含有时间变量的Maxwell旋度方程在Yee氏网格空间中转换为差分方程,然后在时间和空间轴上逐步推进求解,并最终求出空间场的分布。FDTD法可以有效地对光子晶体波导的传输特性、模场分布以及透射率进行分析研究。FDTD法输入脉冲1次即可计算出大频率范围内的结果,具有计算简便、通用性和适用性强、节约计算空间和存储空间等优点。缺点是精确度不高,虽然可以通过非正交坐标系递推得到改进,但是同时增大了计算难度。

2.3 其它光子晶体带隙计算方法

在光子晶体计算中除了常用的平面波展开方法和时域有限差分法外,还有如多极法、传输矩阵法等其他计算方法。

多极法由T. P. White[31]和B.T. Kuhlmey等[32]提出。模场可以展开成柱函数(Bessel函数)的形式,在第1个空气孔的内部,其纵向电场可以在极坐标系下展开为:

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(12)

在第1个空气孔近邻的介质中,其纵向电场可以表示为:

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ki⊥=(kundefinedn2i-β2)1/2 ,ke⊥=(kundefinednundefined-β2)1/2 (14)

式中:ni=1为空气的折射率,ne为其它材料的折射率,k0=2π/λ为自由空间的波数。磁场分量的表达式与此类似。在空气孔的边界面上,利用电磁场的边界条件可以得到关于a(l)m、b(l)m、c(l)m 的表达式,进一步通过β=neffk0求得PCF的基模有效折射率n。

利用这种方法可以根据设定的输入波长求得传播常数,实践证明这种方法非常适合PCF的损耗计算。因此多极法非常适合处理PCF问题,缺点是应用面窄。

传输矩阵法光子晶体材料的介电系数在空间中呈周期分布,设入射波为平面波,则第1层界面下方的电场和磁场的切向值为E1、H1,以此类推,第N层界面下方的电场和磁场的切向值为EN、HN。当光线穿过单层介质时,介质层入射面上的光波场与出射面的光波场之间的关系可用矩阵联系起来:

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根据电磁场的边值关系可得场关系,推导可解出光波在该光子晶体中传播时的反射系数(r)和透射系数(t):

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光学传输矩阵法思路清晰、推导简单,处理异质结构(多层光子晶体)带隙问题有明显效果。但是在二维光子晶体中计算复杂、难度高。

2 结语

通过评述二维光子晶体带隙的各种计算方法,发现目前常用算法的优缺点如下:

(1) 平面波展开方法是一种应用最为广泛的方法,具有概念清晰、通用性强等优点;但也有收敛速度慢、难于计算金属光子晶体等缺点。

(2) FDTD法具有运算简单、占用存储空间小、通用性强和输入脉冲1次计算就可算出大频率范围结果的优点;缺点是精确度低。

(3)利用多极法可以计算光子晶体光纤的色散、传输损耗等,是处理光子晶体光纤的重要理论工具;缺点是适用面窄。

(4) 传输矩阵法可以有效计算多层光子晶体的带隙特性;缺点是适用面窄,计算中对材料结构等因素考虑不足,计算二维光子晶体难度大。

通过总结和研究光子晶体带隙各种计算的方法优缺点,发现二维光子晶体带隙计算方法应具有如下发展趋势:

(1)平面波展开方法应用于理论的研究较多,为增加在实际中的应用,需在计算中增加更多的边界条件,这种方法将会被更多地应用于光子晶体器件的设计与生产指导。

(2)目前时域有限差分法多采用正交坐标系,而在实际情况中往往并非如此。由于这种方法的精确度不高,所以将非正交坐标系用于时域有限差分将是这种方法主要的发展趋势。

(3) 多极法由于对光信息传输中色散和损耗计算的有效性,非常适合光子晶体光纤的计算,广泛应用于光子晶体光波导器件中是其主要发展趋势。

综上所述,计算光子晶体带隙的方法各有优缺点,分别适用于不同结构、不同材料的光子晶体,因此在实际计算过程中,必须合理选择计算方法,如半导体二维光子晶体的计算可选用平面波展开法;二维金属光子晶体的计算可选用时域有限差分法;光子晶体光纤的计算可选用多极法;处理异质结构光子晶体带隙问题则多选用传输矩阵法。因此在实际应用与实验指导中,要根据不同的条件选择不同的计算方法或选择多种计算方法交叉使用。

摘要：二维光子晶体制备简单,且在可见光范围内更容易产生带隙,在光通信及新型光子器件设计等方面具有重要应用。但当前研究工作中理论计算对实验制备的指导作用明显不够,因此对二维光子晶体带隙的各种计算方法,如平面波展开法、FDTD法、多极法等进行了评述。发现各种方法各有优缺点,如平面波展开方法应用广泛、概念清晰,但收敛速度慢;时域有限差分法通用性适用性强、节约存储空间,但精确度低。通过评述总结出不同方法的适用范围及发展趋势。

光子晶体带隙第6篇

光子晶体是由S.John[1]和E.Yablonovich[2]等人于1987年提出来的一种新型光学材料, 主要具有光子带隙、光子局域和超光子效应等三大特性。光子带隙是光子晶体最根本的特性, 光子晶体的许多应用都是基于这一特性。影响光子晶体带隙的产生及大小的主要因素是其有效折射率neff, 一般是通过改变光子晶体介质柱的形状和大小、介质柱及背景的介电常数等, 来达到改变neff的目的。从理论上设计和寻找具有更宽带隙的光子晶体结构, 一直是该领域的重要研究方向之一, 常用的研究方法主要有平面波展开法、时域有限差分法和矩阵分析法。

本文采用平面波展开法, 对二维正方六边柱形光子晶体的带隙结构及其与介质柱的介电常数和占空比之间的关系, 进行了较详细的分析和讨论, 为二维正方六边柱形光子晶体的研究和设计打下了良好的基础。

1 平面波展开法

平面波展开法是光子晶体能带计算中用得较早和最多的方法。它是应用布洛赫定理, 把电磁波及随空间变化的介电函数的倒格矢空间以平面波的形式叠加展开, 将Maxwell方程组化成一个本征方程, 求解本征方程即可得到电磁波的本征频率, 从而得出光子能带结构。

基于平面波展开法的思想, 可以得出计算TE模和TM模能带的本征方程[3]:

其中, ε为介电常数为倒易空间内的二维矢量, 为第一布里渊区的波矢, c为光在真空中的传播速度, E为电场强度, H为磁场强度, δ为克罗宁函数, ω为本征频率。

这两个方程是计算光子晶体能带结构的基础。

2 二维正方六边柱形光子晶体的带隙结构

本文选取15×15的二维正方六边形光子晶体作为研究对象。晶格常数a=1μm;介质柱材料为Ga As (ε=13.6) , 其半径r定义为六边形的外接圆半径;背景材料为空气 (ε=1) 。占空比定义为f=2r/a=2r。其平面结构、晶胞单元如图1所示。

取占空比f=0.4, 根据方程 (1) 和 (2) , 可以计算出上述光子晶体的能带结构如图2所示 (纵坐标为归一化频率ωa/2πc) 。

由图2可知, 在TE模式下出现三条带隙, 其归一化频率位置分别为:0.06647-0.10845, 0.12595-0.18105, 0.19942-0.25802, 对应带宽分别为:0.04198, 0.05510, 0.05860;在TM模式下出现两条带隙, 位置分别为:0.12245-0.13061, 0.27755-0.28338, 对应带宽分别为:0.00816, 0.00683;另外, 存在一条完全带隙, 其位置为:0.12595-0.13061, 带宽为:0.00465。

与其他学者所研究的圆柱形介质柱二维正方光子晶体 (在相同条件下) 的能带结构相比[4], 二维正方六边柱形光子晶体的能带结构具有以下特点:TE模的带隙数目多, 且带隙较宽;TM模的带隙数目较少, 且带隙很窄;完全带隙的数目相同, 且宽度较宽。

3 占空比对带隙结构的影响

取介质柱介电常数ε=8.9, 背景材料为空气, 占空比取值范围为 (0, 1) , 最小间隔为0.1, 通过计算和分析, 可以得出二维正方六边形光子晶体最大带隙随占空比的变化关系, 即:无论是TE模, 还是TM模, 最大带隙与占空比的关系都呈现出了先增大, 后减小, 直至为零的变化趋势。TE模的带隙最大值发生在f=0.2附近, TM模的带隙最大值发生在f=0.8附近。

同时, 仅当f取0.3, 0.4, 0.5时, 存在完全带隙, 带隙位置分别为:0.24756-0.25673, 0.1914-0.19599, 0.16046-0.16189;带隙宽度分别为:0.00917, 0.00459, 0.00143。

4 介质柱介电常数对带隙结构的影响

取光子晶体的占空比f=0.4, 背景材料仍为空气, 介电常数取值范围为 (1, 10) , 最小间隔为0.1, 通过计算和分析, 同样可以得出二维正方六边形光子晶体最大带隙随介质柱介电常数的变化关系, 即:无论是TE模, 还是TM模, 最大带隙与介质柱介电常数的关系都呈现出了先增大, 后减小的变化趋势。TE模的带隙最大值发生在ε=3.8附近, TM模的带隙最大值发生在ε=4.9附近。

同时, 只有当ε>4.7, 且只在某些数值上, 才会出现完全带隙, 完全带隙的最大值发生在ε=8附近, 如表1所示。

5 结论

根据上述计算所得的有关数据和结果, 可以看出, 与以往有关的二维光子晶体相比, 本文所研究的二维正方六边柱形光子晶体具有更优越的带隙结构, 其TE模的带隙数目多, 且带隙较宽;完全带隙的数目较多, 宽度较大, 是一种很有发展前景的新型结构的光子晶体。

参考文献

[1]John S.Strong Localization of Photo in Certain Disordered Dielectric Superlattice[J].Phys Rev Lett, 1987, 58 (23) :2486-2489.

[2]Yablonovitch E.Inhibited Spontaneous Emission in Solid-state Physics and Electronics[J].Phys Rev Lett, 1987, 58 (20) :2059-2062.

[3]汤炳书, 戴丽莉.二维周期复合介质构成的光子晶体能带结构[J].吉首大学学报, 2001, 12.

光子晶体带隙第7篇

Terahertz(THz)wave[1],which lies between infrared and microwave in electromagnetic spectrum,with frequency ranging from 0.1 THz to 10 THz.THz researches have been developed rapidly for its unique characteristics and enormous application potential in recent years.At present,THz propagation uses mainly in free space,and it is to some extent difficult to control and guide,while Photonic Crystal(PCs)has attracted a grea deal of interest due to the low losses and flattened dispersion[2],and bears the potential to be transmission waveguide for THz wave.PCs is an artificial material[3,4],which is composed of varying refractive index photonic band gap comes from periodic structures in PCs.The larger the band gap is,the wider the frequency range can be utilized.

Previous work in 2D PCs is concentrated on circular holes and medium columns structure[5,6,7],discussing the influence of the dielectric constant and geometrical structure on bang gap.However,the researches on the ring-shaped air holes[8]are few.Experiment has found that the ring-shaped holes PCs structure saves more time by using photolithography method than circular holes,and there are other parameters for changing the band gap,such as ring outer radius,inner radius,and so on.The present paper mainly works on 2D triangular lattice photonic crystal with circular air holes and ring-shaped air holes.Based on PWM[9,10],the band gap map structure and complete band gap are simulated.Then,Transmission spectrum of ring-shaped structure is investigated.

1 Physical Model

The 2D PCs with circular air holes structure is depicted in Fig.1(a),air holes is arranged in the form of a triangular lattice with the lattice constant a of 150m,the background material with a dielectric constant 1εof16,the air holes with a dielectric constantε0 of 1.The 2D PCs with ring-shaped air holes structure is depicted in Fig.1(b),its structure can be seen as dielectric rods with the radius(inner radius)of r,the dielectric constant ofε2 inserts in triangle lattice air hole arrays with holes radius of R(outer radius)in Fig.1(a).The dielectric constan of dielectric rods is set at 16,it equals to the background material’s.

2 Results and Discussion

The band gap map of circular holes PCs as the hole radius varies is shown in Fig.2(a),there exists the band gap of TE and TM modes,the number and width as the holes radius varies,and three joints from radius R=59.2596m to 62.388 3m,61.575 6m to 63.526m and 61.575 6m to 75.268 6m for TE and TM modes,that radius range from 0.39a to 0.50a,there are three complete band gaps.Fig.2(b)reveals that the width of the firs complete band gap will be larger as the holes radius increases,and it can generate maximum complete band gap with 0.232 9 THz when radius,R at 73.480 8m(equals to 0.49a).Due to the larger complete band gap of circular holes PCs by increasing holes radius,this PCs is easy broken,it will be limited in the production.Next we will study the band gap characteristics of ring-shaped holes structure to find a new band gap widened method.

The complete band gap of ring-shaped holes PCs is shown in Fig.3.The results indicate for each fixed holes radius,the frequency of complete band gaps descends to vanishes,increases,then narrows as the inner radius increases,and has the larger complete band gap than circular holes’.For example,ring-shaped holes structure with outer radius R of 0.46a,inner radius r of 0.144a can get the complete band gap with 0.162 8 THz,while circular holes structure can only get 0.113 9 THz.When R of 0.47a,r of 0.133a,gap width can reach 0.169 8 THz,is 1.15times for 0.148 3 THz circular holes structure,is the largest complete gap in all the structure.So the optimal parameter with outer radius R of 0.47a,inner radius r of 0.133a for the ring-shaped holes PCs with triangular lattice in the paper.

3 Transmission Spectrum of Ring-shaped Holes Photonic Crystal by FDTD

This chapter we will study the transmission spectrum of ring-shaped holes PCs with outer radius of 0.47a inner radius of 0.14a,where a is the lattice constant of 150m;the perfectly matched layer(PML)[11]is used,the thickness of PLM layer is set at 12m,the excitation source issin(2πwt),the normalized frequency,w at 0.45so the THz wavelength(28)a/w=333m.

Assuming space stepΔx=Δy=λ/20;time step:

Transmission spectrum is shown in Fig.4,the horizontal axis is wavelength of THz wave,vertical axis is transmission rate.Fig.4(a)shows the wavelength from 310.069m to 416.759m corresponds to the frequency from 0.719 8 THz to 0.967 5 THz,the transmission rate of TE mode is 0;Fig.4(b)shows the wavelength from346.628m to 506.158m that frequency from 0.592 7 THz to 0.865 5 THz,the transmission rate of TM mode is0.TE and TM modes from frequency 0.719 8 THz to 0.865 5 THz(gap width is 0.145 7 THz)can not propagate through this THz PCs.The PCs is a filter itself,so ring-shaped holes PCs can be applied as super-bandstop THz filter efficiently.

4 Conclusions

Complete band gap of 2D triangular lattice PCs with circular air holes and ring-shaped air holes in THz range are studied.Based on background material dielectric constant and the lattice constant is invariable,the maxima complete band gap width and the corresponding big R/a value of the circular air holes PCs is got;Complete band gap of ring-shaped air holes PCs as the inner radius varies is investigated,it is larger than circular holes’whose the holes radius are same.The transmission spectrum study of ring-shaped holes PCs structure provides a theoretica basis for the designing band-stop filter in 0.719 80.865 5 THz.

摘要：采用平面波展开法研究了2D三角晶格空气孔型光子晶体的带隙结构和空气环型光子晶体的完全带隙。结果发现空气孔半径R从0.41a到0.49a之间变化时,空气孔型的完全带隙会越大;在同一空气孔半径(R=0.41a0.47a)下空气环型结构都能得到比空气孔结构更宽的完全带隙,得到最优参数R=0.47a,r=0.133a下的完全带隙为0.1698THz,是空气孔结构的1.15倍。使用时域有限差分法研究了空气环型结构的透射谱,根据计算结果设计了(0.71980.8655)THz波段的滤波器。

关键词：太赫兹波,平面波展开法,空气环型光子晶体,透射谱,时域有限差分法

参考文献

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[3] John S. Strong Localization of Photons in Certain Disordered Dielectric Superlattices [J]. Physical Review Letters (S0031-9007),1987,58(23):2486-2489.

[4] Yablonovitch E. Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics [J]. Physical Review Letters (S0031-9007),1987,58(20):2059-2062.

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[7] LIANG Lan-ju. Propagation Characteristic of 2D Triangular Lattice Photonic Crystal in THz Range [J]. Chinese Journal of Luminescence,2009,30(1):35-38.

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[10] HoK M,Chan C T,Soukoulis C M. Existence of a Photonic Gap in Periodic Dielectric Structures [J]. Physical Review Letters (S0031-9007),1990,65:3152.

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