首先说明多项式数列。数列可用离散函表达即:
自变量只取数轴上整数, 故图像是离散点。对f进行限制:f (n) 为n的多项式, 以左式为通项的数列, 都可用下法解决前n项和的求解即:
微分、积分互逆, 微分是连续函数某点因变量的无穷小增量, 积分是对连续变量无穷小增量的求和。这是先定义求无穷小增量的导数运算, 取逆得无穷小增量的求和运算 (积分) , 当然可定义一种求有限增量的运算, 取逆得有限增量的求和运算。
1 定义有限增量之比
1.1 割数的定义
导数是连续函数切线斜率的表达即因变量、自变量微分比, 由导数定义知它是对∆y/∆x取极限得到的, 我们保留∆y/∆x不取极限, 令∆x=k, 得自变量隔k的割线斜率。
对象函数是 (2) 式, 自变量n的间隔取k, 用na表待求的斜率即:
此为Sn=f (n) 割线的斜率。
上式即 (2) 式的因变量、自变量的有限增量比, 称割数。
1.2 割数公式
微分变为积分的关键在于求导公式变为积分公式, 使积分简单易行。下仿求导公式来导多项式数列的割数公式。
在推多项式数列的割数公式前先定义多项式数列的规范型即:
Sn=F (n) ={n (n+k) (n+2k) L[n+ (m+1) k]}/ (m+2) (m为任意整数) (4)
例如:Sn=n, Sn=[n (n+k) ]/2, Sn=[n (n+k) (n+2k) ]/3L均是规范型。
在有了多项式数列的规范型 (4) 后, 只要解决: (1) 证明多项式线性组合的割数等于多项式割数的线性组合; (2) 任意多项式数列均可表示为规范型多项式数列的线性组合; (3) 推导出规范型的割数公式。
首先解决问题一:
存在S、n=且F、 (n有) RTn=G (n) an=∆F/∆n bn=∆G/∆nn=αSn±βTn
证明cn=∆R/∆n=αan±βbn
证明:nc=∆R/∆n={[αF (n) ±βG (n) ]-[αF (n-k) ±βG (n-k) ]}/k=α{[F (n) -F (n-k) ]/k}±β{[G (n) -G (n-k) ]/k}=αan±βbn证毕。
其次解决问题二:此其实是用给定的多项式数列构造规范型数列的初等变换, 举例加以说明:
最后解决问题三:
Sn=F (n) ={n (n+k) (n+2k) L[n+ (m+1) k]}/ (m+2) 将n用代n-替k且代入左式得:
F (n-k) = (n-k) n (n+k) … (n+mk) / (m+2) 将左式与上式带入 (3) 式得:
为规范型的割数表达。至此我们有了多项式数列的割数概念和求任意多项式数列割数的方法。仍以 (5) 为例:由于、n的割数是n、1, 将二者代入 (5) 得n2的割数为
2 将求割数取逆导求和运算
2.1 名称的变化
为方便数列的名称变一下, 由求和、求割数互逆知此时条件数列为 (1) , (2) 是待求数列, 称 (1) 为 (2) 的割数列, (2) 为 (1) 的求和数列。
2.2 割数列标准型的定义
为割数列的标准型, 这样割数列的标准型是与求和数列 (2) 的规范型是对应的。
2.3 求和公式
这步将由求和数列推割数列的公式取逆, 导由割数列推求和数列的公式。
有了割数列的标准型 (7) 后, 我们只要解决: (1) 证明多项式数列线性组合的求和数列等于多项式求和数列的线性组合; (2) 任意多项式数列均可表示为标准型多项式数列的线性组合; (3) 导出标准型割数数列的求和数列公式。
首先解决问题一:
存在S、n=且F、 (n有) cTn=G (n) an=∆F/∆n bn=∆G/∆nn=αan±βbn
若已知c则n=证∆明R/∆n, Rn=αSn±βTn
证明:cn=αan±βbn=α{[F (n) -F (n-k) ]/k}±β{[G (n) -G (n-k) ]/k}={[αF (n) ±βG (n) ]-[αF (n-k) ±βG (n-k) ]}/k=∆R/∆n由 (4) Rn=αSn±βTn证毕。
其次解决问题二:
此仍是初等变换, 以an=n2为例:
最后解决问题三:在 (6) 中可找到答案即 (7) 式中标准型割数列的求和数列为 (4) 中规范型数列。
3 求和步骤
由割数定义 (3) 式得:
将 (9) 、 (10) 、 (11) 、 (12) 叠加得:
为要求的求和公式, ap是初始项, na是末项。上式为求和公式, 以 (8) 例说明求和步骤:A:将an=n2化为标准型的线性组合, 由 (8) 知上式的标准型的线性组合。B:依割数列标准型与求和数列规范型的对应将 (8) 中标准型割数列化为规范型求和数列:
此相当于微积分中求不定积分, 综合 (13) 、 (15) 得 (14) 例中的若干项的和。
下求最经典的, 需使 (13) 、 (15) 中的可得:
Sn=F (n) -F (0) =n (n+1) (n+2) /3-n (n+1) /2=n (n+1) (2n+1) /6 (16)
4 与经典方法的不同
由 (13) 可看出与经典方法相比此法优点是:此法可以解决相隔k项的求和问题, 如奇数项求和:Sn=a1+a3+L+a2l+1;可用于定义于整个数轴上的所有整数的离散数列。
摘要：目前的数列求和, 方法很散乱, 不易掌握。本文将要介绍求多项求和式数列的若干项和的一种系统方法, 根本上改变这种局面。
关键词：多项式数列,割数,求和