在给定的数域上, 把一个多项式分解成若干个不可约多项式的积的形式, 叫做多项式的分解因式。多项式的分解因式是一种重要的恒等变形, 在初等数学中有着广泛的应用。在初中代数中, 已经学习过提取公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法等基本方法。这些方法要根据多项式的结构特征灵活地加以应用。这里, 讨论几种分解因式的其他方法, 这里的因式分解都是在有理数域上进行的。
1 用待定系数法分解因式
用待定系数法分解因式, 就是按已知条件把原式假设为若干个因式的乘积, 使这些因式的乘积与原式组成恒等式, 求出各待定系数的值。
例1, 分解因式x4-x3-5x2-6x-4
解:设x4-x3-5x2-6x-4= (x2+ɑx+b) (x2+cx+d)
=x4+ (ɑ+c) x3+ (b+ɑc+d) x2+ (ɑd+bc) x+bd
例2, 分解因式2x2-7xy+3y2+5xz-5yz+2z2
解:这是一个关于x, y, z的二次齐次式, 注意到2x2-7xy+3y2= (2x-y) (x-3y) , 可设
2 用余数定理和综合除法分解因式
多项式f (x) 有因式x-ɑ的充要条件是f (ɑ) =0, ɑ就是 (x) 的一个有理根。求出f (x) 的有理根, 就能得到f (x) 的一次因式。这一方法的关键是如何寻找有理根。
【定理】设f (x) =ɑ0xn+ɑ1xn-1+…ɑn是一个整系数多项式。若有理数是f (x) 的一个根 (这里u和v是互素的整数) , 那么v整除f (x) 的最高次项系数ɑ0, 而u整除f (x) 的常数项ɑn。
例3, 分解因式f (x) =2x4+7x3-2x2-13x+6
解:因为f (x) 的最高次项系数2的因数是±1, ±2, 常数项6的因数是±1, ±2, ±3, ±6, 所以可能的有理数根是±1, ±2, ±3, ±6, 。∵f (1) =0, f (-1) =12∴1是f (x) 的根, -1不是。用综合除法, 经过逐次试除, 也是f (x) 的根, 其余不是。以2与-2为例:
∴f (x) =2x4+7x3-2x2-13x+6= (x-1) (x+2) (x+3) (2x-1)
3 利用行列式分解因式
被分解的多项式有时可表示成适当的行列式, 根据行列式的性质, 对行列式进行推演, 逐步化成因式乘积的形式。
例4, 分解因式x4+6x3+x2-24x-20
解:原式= (x2+6x+1) -4 (6x+5)
例5, 分解因式x2z+z2y+y2x-xz2-zy2-yx2
因式分解的问题形式多种多样, 解题时要多做试探, 灵活地运用各种方法, 才能顺利地解决问题。
参考文献
[1] 赵振威主编.中学数学教材教法[M].上海:华东师范大学出版社, 1999.[1]赵振威主编.中学数学教材教法[M].上海:华东师范大学出版社, 1999.
[2] 张禾瑞, 郝鈵新编.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 1999.[2]张禾瑞, 郝鈵新编.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 1999.