数学例题教学范文

数学例题教学范文第1篇

小学数学教学网：小学数学公式大全之计算公式

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导读：

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数量关系式:

1、 每份数×份数=总数

总数÷每份数=份数

总数÷份数=每份数

2、 1倍数×倍数=几倍数 几倍数÷1倍数=倍数

几倍数÷倍数=1倍数

3、 速度×时间=路程

路程÷速度=时间

路程÷时间=速度

4、 单价×数量=总价

总价÷单价=数量

总价÷数量=单价

5、 工作效率×工作时间=工作总量

工作总量÷工作效率=工作时间

工作总量÷工作时间=工作效率

6、 加数+加数=和

和-一个加数=另一个加数

7、 被减数-减数=差

被减数-差=减数

差+减数=被减数

8、 因数×因数=积

积÷一个因数=另一个因数

9、 被除数÷除数=商

被除数÷商=除数

商×除数=被除数

****************************************************** 和差问题的公式

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本文由培优智能小学数学教学网http:/// 为您整理 (和+差)÷2=大数

(和-差)÷2=小数

和倍问题

和÷(倍数-1)=小数

小数×倍数=大数

(或者 和-小数=大数) 差倍问题

差÷(倍数-1)=小数

小数×倍数=大数

(或 小数+差=大数)

****************************************************** 植树问题: 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数=段数+1=全长÷株距-1 全长=株距×(株数-1) 株距=全长÷(株数-1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 培优智能一直关注您的学习，欢迎访问中国最专业的

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本文由培优智能小学数学教学网http:/// 为您整理 株数=段数=全长÷株距 全长=株距×株数 株距=全长÷株数

⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数=段数-1=全长÷株距-1 全长=株距×(株数+1) 株距=全长÷(株数+1)

2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数=段数=全长÷株距 全长=株距×株数 株距=全长÷株数

****************************************************** 盈亏问题

(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数 (大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数 (大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数

****************************************************** 相遇问题

相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间

****************************************************** 追及问题

追及距离=速度差×追及时间 追及时间=追及距离÷速度差

速度差=追及距离÷追及时间

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本文由培优智能小学数学教学网http:/// 为您整理 ****************************************************** 流水问题

顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度-水流速度 静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2 水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2 ****************************************************** 浓度问题: 溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度 溶液的重量×浓度=溶质的重量 溶质的重量÷浓度=溶液的重量

****************************************************** 利润与折扣问题: 利润=售出价-成本

利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100% 涨跌金额=本金×涨跌百分比

折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1) 利息=本金×利率×时间

税后利息=本金×利率×时间×(1-20%) ****************************************************** 面积，体积换算

(1)1公里=1千米

1千米=1000米

1米=10分米

1分米=10厘米

1厘米=10毫米

(2)1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米

1平方厘米=100平方毫米

(3)1立方米=1000立方分米

1立方分米=1000立方厘米

1立方厘米=1000立方毫米

(4)1公顷=10000平方米

1亩=666.666平方米

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本文由培优智能小学数学教学网http:/// 为您整理 (5)1升=1立方分米=1000毫升 1毫升=1立方厘米

****************************************************** 重量换算: 1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤

****************************************************** 人民币单位换算 1元=10角 1角=10分 1元=100分

****************************************************** 时间单位换算: 1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:1/3/5/7/8/10/12月 小月(30天)的有:4/6/9/11月 平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒

数学例题教学范文第2篇

知识点：

1. (1)若a,bR，则ab2ab

ab时取“=”) 22(2)若a,bR，则abab222(当且仅当

2. (1)若a,bR*，则

ab时取“=”) ab2(2)若a,bR，则ab2ab *ab (当且仅当

ab(3)若a,bR，则ab) (当且仅当ab时取“=”

2*

23.若x0，则x

若x0，则x1x

1x) 2 (当且仅当x1时取“=”2 (当且仅当x1时取“=”)

若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”)

xxx

4.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”)若ab0，则

ba

a

b2即a

bb

a2或

2ab2ba() -2当且仅当ab时取“=”5.若a,bR，则(

注意： ab2)2ab2(当且仅当ab时取“=”)

(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，

当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用

应用一：求最值

例：求下列函数的值域

(1)y=3x 2+

12x 21(2)y=x+ x

解：(1)y=3x 2+1

2x 2 ≥23x 2·12x 2=6∴值域为[6 ，+∞)

1(2)当x>0时，y=x ≥2x1x·=2; x

11

当x<0时， y=x+= -(- x-)≤-

2xx∴值域为(-∞，-2]∪[2，+∞)

解题技巧

技巧一：凑项

例已知x

54x·=-2 x

，求函数y

4x2

14x5

的最大值。

解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)要进行拆、凑项，

x

54,54x0，y4x2

4x5

不是常数，所以对4x

21

54x

4x554x

231 

3

当且仅当54x

154x

，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。

技巧二：凑系数 例： 当时，求yx(82x

)的最大值。 解析：由

知，

，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，

此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将

yx

(82x)凑上一个系数即可。

当

，即x=2时取等号当x=2时，yx(82x)的最大值为8。

32

变式：设0x，求函数y4x(32x)的最大值。

2x32x9

解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2

222

当且仅当2x32x,即x

技巧三： 分离 技巧四：换元 例：求y

x7x10

x

13

0,时等号成立。 42

(x1)的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离。

当

,即

时

,y59(当且仅当x=1时取“=”号)。

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x+1，化简原式在分离求最值。 y

(t1)7(t1)+10

t

=

t5t4

t

t4t

5

当,即t=时

,y59(当t=2即x=1时取“=”号)。

例：求函数y

的值域。

t(

t2)，则y

1t

1t

t

1t

(t2)

因t0,t1，但t因为yt

1t

解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

52

在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y

5



。

所以，所求函数的值域为,。

2

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 例：已知x0,y0，且

1x9y

1x

1，求xy的最小值。

9y

1x

9

xyy

12故

错.解.：x0,y0，且

1，

xy



xymin

12 。

等号成立条件

是xy，在

错因：解法中

两次连用均值不等式，在xy1x

9y

1x



9y

即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，

在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

19y9x正解：x0,y0,191，xyxy1061016

xy

xy

xy

当且仅当技巧七

yx



9xy

时，上式等号成立，又

1x



9y

1，可得x4,y12时， xymin16 。

例：已知x，y为正实数，且x =1，求1+y 2 的最大值.2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

221+y中y前面的系数为，x

y 2

a 2+b 2

。

1+y 22· =2

同时还应化简1+y 2 =x

x·

1y 2

+22

1y 2

+分别看成两个因式： 22x 2+(

1y 2

+ )22222

x 2+ =

y 22+

下面将x，

x·

1y 2

+ ≤22

=即x

1+y 2 =2 ·x

1y 23+≤224技巧八：

已知a，b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y=的最小值.

ab

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的;二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

30-2b-2 b 2+30b

法一：a=，ab=·b=

b+1b+1b+1由a>0得，0

∴ ab≤18∴ y≥

118

当且仅当t=4，即b=3，a=6时，等号成立。

2 ab

-2t 2+34t-31

1616

=-2(t+)+34∵t+ ≥2

16

t·

30-2b

tttt

法二：由已知得：30-ab=a+2b∵ a+2b≥22 ab∴ 30-ab≥2令u=ab则u2+22 u-30≤0， -5∴

2 ≤u≤3

ab≤32 ，ab≤18，∴y≥

ab2

18

ab(a,bR)的应用、不等式的解法及运算能力;②



点评：①本题考查不等式





如何由已知不等式aba2b30(a,

bR)出发求得ab

的范围，关键是寻找到

ab与ab之间的关系，由此想到不等式

ab

2ab(a,bR)，这样将已知条件转换



为含ab的不等式，进而解得ab的范围

.技巧

九、取平方

例:

求函数y



12x

52)的最大值。

解析：注意到2x1与52x的和为定值。

y

44(2x

1)(52x)8

又y0，所以0y当且仅当2x1=52x，即x

32

时取等号。故ymax。

应用二：利用均值不等式证明不等式

例：已知a、b、cR，且

abc1。求证：



111

1118 abc

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111abc，可由此变形入手。

a

a

a

a

解：a、b、cR，abc1。



1a

1

1aa



bca



a

。同理

1b

1

b

，

1c

1

c

1111。当且仅当时取等号。 abc1118

3abcabc

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y0且

1x9y

1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

解：令xyk,x0,y0,

10k

3k

1x



9y

1，

xykx



9x9yky

1.

10k



ykx



9xky

1

12

。k16 ，m,16

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若

ab1,P

lgalgb,Q

12

(lgalgb),Rlg(

ab2

)，则P,Q,R的大小关系

是.

分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0

Q

12

(lgalgb)

ab2

)lg

lgalgbp

12

lgabQ∴R>Q>P。

数学例题教学范文第3篇

学生对圆并不陌生，生活中这个完美的曲边图形几乎处处可见，全部学生都能从若干个平面图形中挑出圆。学生看到的圆一般都是静态的，而圆的本质特点是到定点距离等于定长的点的轨迹，是动点的轨迹，这和直边图形有着本质的区别。要想让学生感悟圆的图形性质特征，就需要让学生看到动点，看到圆“动态生成”的过程——点动成线。圆是由一条封闭曲线围成的图形，它的特征主要体现在隐形的线段——半径和隐形的点——圆心上。

二、充分发挥学生的动手操作能力，动手学数学。

教师在学习的过程中应时刻关注学生的发展，尊重学生的选择，充分体现学生的主体性。新课标指出：“学生是学习的主人”，教师要“向学生提供充分从事数学活动的机会”。对圆的认识我的设计是从画圆开始。首先让学生利用手中的工具尝试自己画圆，然后展示所画的圆并说说用什么画的，重点放在用圆规规范画圆上。利用投影，先展示学生用圆规画圆的过程，然后让其他学生补充用圆规画圆的过程中需要注意的事项，使学生明确画圆时的定点、定长。这样的设计目的是让学生初步感知画圆可以利用手中的现有圆形物体来描画，也可以用圆规画出更规范的圆。

三、创设开放的生活情境，展现学生的不同思维。

每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能，但是学生个体之间存在着一定的差异，这是必然的。学生在生活经验、认知特点、思维方式等方面的差异要求教师要适当创设开放性的问题情境，使学生能从不同的角度进行思考和探索。本节课几处开放性的设问都为学生创造了机会，使其不同思维都能在课堂中闪光。例如在解决“为什么车轮做成圆的”这一问题时，学生就展现出了不同的思维水平。绝大部分学生可以发现在同一圆内所有半径相等。学生用量的方法量出多条半径的长度，从而推断出所有的半径都相等。

四、利用多媒体调动学生的积极性。

利用多媒体的动画演示，学生不仅认识了圆的各部分名称，学会了画圆、而且掌握了圆的特征，半径直径之间的相互关系，更重要的是通过学生的主动探究过程，使学生从知识的积累和能力的发展走向素质的提高;使学生学会了从不同角度来思考问题，创造性思维得到了培养和发展。

这节课也出现了一些问题，一是没有给学生充分的时间探索圆的特性，二是学生在动手操作上还有许多的问题，另外，在动画制作上差距很大。

数学例题教学范文第4篇

1 例题的提出时间要及时、合理

下面以讲代数插值多项式这一节为例, 来谈一下对于例题在讲课过程的应用及作用。在讲代数插值多项式时, 有三部分的内容:插值多项式的定义;插值多项式的存在唯一性;插值多项式的求法。

定义1:

设函数y=f (x) 在区间[a, b]上有定义, 且f (x) 已知在点a≤x0

则称nP (x) 为函数y=f (x) 的n次插值多项式, 称x0, x 1, L, xn为插值条件, 称 (1) 为插值条件。

接下来应该讲插值多项式nP (x) 的存在唯一性及插值多项式nP (x) 的求法。

其实在介绍完插值多项式的定义后, 可直接给出一个插值多项式的例子, 这样既有助于学生理解插值多项式的定义, 又可引导学生考虑求插值多项式的方法, 同时过程中也渗透了插值多项式存在唯一性的证明。例如, 在讲完定义1后, 我们给出下面的例题。

例1:已知函数y=ln x, 且已知Ln11=2.3979,

求y=ln x的二次插值多项式。

解:设所求的二次插值多项式为

由插值多项式的定义, 2P (x) 满足插值条件:

即

如果由 (2) 求出a0, a1, a2, 则插值多项式2P (x) 就求出来了。问题是能不能由方程组 (2) 解出a0, a1, a2, 即方程组 (2) 有没有解?如果有解, 这组解是不是唯一的?

由非齐次线形方程组解的理论知, 如果系数行列式不等于零, 则方程组存在唯一的解。

而方程组 (2) 的系数行列式为:

D为范德蒙行列式, 因此:

D= (12-11) (13-12) (13-11) ≠0。

所以由 (2) , 利用克莱姆法则, 可求出唯一的一组解a0, a1, a2。即存在唯一的插值多项式2P (x) 。

由此例题的讲解过程, 可以看出, 首先大家能够深刻理解插值多项式的定义, 掌握插值节点和插值条件的定义;同时提出了求解插值多项式的方法:先写出插值多项式的形式, 然后由插值条件列方程组, 解方程组可确定出插值多项式。在求解插值多项式的系数a0, a1, a2的时候, 涉及到了插值多项式的存在唯一性的问题, 即由方程组能否解出唯一的一组解a0, a1, a2。这对于后面两个问题 (插值多项式的存在唯一性和插值多项式的求法) 的讨论作了很好的铺垫和启发。

2 例题的选取应该难易合适, 并应与所讲解的问题密切相关

如果例题是为理论理解或算法理解而设置的, 则例题应选取简单一些的;如果例题的选取是为了启发学生的进一步深刻思考的, 则例题应选取稍微有点难度的。并且注意选取的例子应避免计算复杂。

例如, 在讲完牛顿插值多项式的算法后, 为了让学生掌握牛顿多项式的构造方法, 举例如下。

例2:已知x=1, 2, 3, 4对应的函数值为f (x) =1, 2, 6, 12, 求函数y=f (x) 的三次牛顿插值多项式。

解:由牛顿插值多项式的公式, 得:

计算N3 (x) 需首先构造差商表计算f[x0, x1], f[x0, x1, x2], f[x0, x1, x2, x3], 构造差商表如下 (见表1) 。

所以, 所求的牛顿插值多项式为

此例题的特点是题目计较简单, 但是紧扣所讲解的内容, 即牛顿插值多项式的求法。这样利于学生掌握牛顿插值多项式的计算, 并且此例子给出的数据的计算简单, 这样不会使时间浪费到计算中, 而便于学生对算法的理解和掌握。

而在学生们充分掌握Lagerange插值多项式的算法之后, 可以举出稍微有难度的例题, 以拓宽学生的思路, 锻炼学生的思维能力。

例3:已知函数y=f (x) 在x0=0, x1=1, x2=2处的函数值分别为1, 2, 3, 且已知f′ (0) =-1。求函数y=f (x) 的三次插值多项式H3 (x) , 使其满足插值条件H (x i) =f (x i) , i=0, 1, 2且H′ (0) =f′ (0) 。

本例题提出的插值问题与讲的Lag-range插值问题不同之处在于, 它不仅要求在插值节点处满足函数值插值, 而且要求满足导数值插值。此时插值多项式H3 (x) 的构造与Lagrange插值多项式的构造方法非常类似, 即构造插值基函数, 而插值基函数的构造方法与构造Lagrange插值基函数的思路一致。

例3:可以拓宽学生的思路, 让学生在掌握了Lagrange插值多项式的基础上, 思考利用类似的思路去构造别的类型的插值多项式, 例3的问题, 实际上是Hermite插值问题。这个例题, 因为有一定难度, 所以在学生充分掌握了Lagrange插值多项式的算法之后提出此例题, 比较合理。

3 例题的讲解过程要善于启发学生, 锻炼学生的思考能力

在讲解例题, 要善于启发学生, 让他们跟自己刚刚学过的知识相联系, 一步一步地引导学生自己思考解决问题。

例如, 在讲解例1时, 学生肯定自己能够将二次多项式2P (x) 的形式假设出来, 即设P2 (x) =a0+a1 x+a2 x2。下面就让学生思考从什么地方入手求出a0, a1, a2来?

这时学生便会思考找条件, 由于前面刚介绍了插值多项式的定义, 因此, 学生会想到利用插值条件来求a0, a1, a2。这样便得到了方程组 (2) 。接着, 让学生思考由方程组 (2) 能否求出a0, a1, a2?即方程组 (2) 时候有解?

学生此时会联系高等数学中学到的线性非齐次方程组的解的理论, 想到若方程组 (2) 的系数行列式不等于零, 则方程组有唯一的解。这样证明了二次插值多项式2P (x) 是存在的并且是唯一的。

解出了a0, a1, a2, 插值多项式2P (x) 便求出来了。

这时, 可以给学生提出思考题:证明满足插值条件 (1) 的n次插值多项式是存在唯一的。这个问题是插值多项式这节课的第二个内容, 而这个内容, 在例1的启发下, 学生自己就可以证明出来, 这样可以充分锻炼学生的思维能力。

由上面的过程我们可以看出, 在例题的讲解过程中, 一定要充分发挥学生的积极性, 充分锻炼学生的想象力和思维能力。

4 结语

总之, 例题是数学这门课程讲解过程中非常关键的一环, 恰当例题的选取、适时例题的插入及适当的例题讲解方法对学生理解知识、掌握知识、融会贯通知识有着非常重要的作用。特别是启发式的讲解方法可以锻炼学生的思维能力与创新能力。

摘要：讲授例题是数学教学中一个重要的组成部分, 讲解例题的过程是理论和方法应用的过程。通过例题的讲解, 可以让学生掌握解题的技巧, 锻炼学生分析问题、解决问题的能力。本文从何时提出例题, 如何选取例题以及如何讲解例题这三个方面的来讨论例题的讲课中的应用。并提出可以利用启发式方法来讲解例题, 锻炼学生的思维能力和创新能力。

关键词：例题讲解,数学教学,启发式教学

参考文献

[1] 易大义, 沈云宝, 李有法.计算方法 (第二版) [M].杭州:浙江大学出版社, 2007.

数学例题教学范文第5篇

选题目的：让学生学会从从实际的工具中抽象出具体的杠杆模型，并能确定杠杆的几个要素.

分析与解答：杠杆的动力和阻力指的都是杠杆受到的力，所以动力是手指对筷子的作用力，阻力是菜对筷子的作用力.确定筷子这个杠杆动力臂和阻力臂的关系，需要找到支点，支点在筷子的上端，动力臂小于阻力臂，筷子是一个费力杠杆.