数形结合小学数学应用范文第1篇
华罗庚先生说过:数缺形时少直观, 形少数时难入微, 数形结合百般好, 隔裂分家万事休。数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一, 是数学发展中的内在因素, 数形结合贯穿于数学发展中的一条主线, 使数学在实践中和应用更加广泛和深远。一方面, 借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化, 给人以直观感;另一方面, 将图形问题转化为代数问题, 可以获得准确的结论。“数”与“形”的信息转换, 相互渗透, 不仅使解题简捷明快, 还开拓思路, 为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。
数形结合思想也是基本的数学思想方法, 在中学教学中合理应用数形结合可以使学生加深对数学知识的理解, 培养学生良好的思维习惯, 提高学生的解题能力。
2 数形结合思想在解题中的应用举例
运用数形结合思想分析解决问题时, 要遵循三个原则: (1) 等价性原则; (2) 双方性原则; (3) 简单性原则。
数形结合应用广泛, 不仅在解决选择题、填空题显示出它的优越性, 而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果;数形结合的重点是研究“以形助数”, 但在解析几何, 向量中主要是“以数解形”;近年高考试题中都有关于数形结合思想方法的考查, 且占比例较大。
2.1 用函数图象解决有关问题 (如方程、不等式等问题)
例1.在等差数{a n}列中a1=25, S9=S17, 问此数列前几项和最大?
分析:此题解法较多, 利用二次函数图像, 即“数形结合”方法较简便。
∴Sn的图像开口向下的抛物线上一群孤立的点, 最高点的横坐标为最大。
2.2 用三角函数图象和三角形与三角函数的结合
例2.计算:
分析:初看无法把此代数问题几何化, 但将其正确地进行恒等变形, 便能应用熟知的数学模型构造出巧妙的几何图形来, 充分体现了以形辅数的作用。
原式
此时可构造一个外接圆直径为1的∆ABC, 300, 700, 800分别为其内角度数, 则根据正、余弦定理可得, 原式
变式: (2009年上海卷理11题) 。当0≤x≤1时, 不等式成立, 则实数k的取值范围是________。如图1所示。
分析:作出的图象, 要使不等式成立, 由图可知须k≤1。
2.3 用直线、曲线的关性质来进行数研究
例3.求函数的最小值。
分析:考察式子特点, 从代数的角度求解, 学生的思维受阻, 这时利用数形结合为转化手段, 引导学生探索代数背后的几何背景, 巧用两点间距离公式, 可化为
令A (0, 1) , B (2, 2) , P (x, 0) , 则问题转化为在X轴上求一点P, 使|PA|+|PB|有最小值。如图, 由于AB在X轴同侧, 故取A关于X轴的对称点C (, 0-) 1, 故 (|PA|+|PB
2.4 用韦恩图与数轴来研究集合及其运算问题
例4.设集合A, B, C (如图2) 。
满足A∪B∪C={3, 2, 1}, 且B和C没有公共元素, A和C只有一个公共元素, 则满足条件A, B, C共有 () 。
分析:作出满足题意的韦恩图, A和C只有一个公共元素, 则有3C1种, 由图可知, 图中还有四个区域, 还有两个元素, 则每个区域有2个选择, 共有24=16种。满足条件A, B, C共有163C1=48, 故选B。
(2009年上海卷理) 已知集合A={x|x≤1}, B={x|x≥a}, 且A∪B=R, 则实数a的取值范围是________。
【答案】a≤1, 因为A∪B=R, 画数轴可知:数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系, 既分析其代数意义又揭示其几何直观, 使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象、巧妙、和谐地结合在一起。在中学数学学习和解题过程中, 要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径, 制定解题方案, 养成数形结合的习惯解题先想图, 以图助数。用好数形结合的方法, 能起到事半功倍的效果。
摘要：数形结合是根据数学问题的条件与结论间的内在联系, 既分析其代数含义, 又揭示其几何意义, 使数量关系和空间形式巧妙结合并寻找解题途径, 使问题得到解决, 它包含“以形助数”和“以数辅形”两个侧面。从而把抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 使抽象思维与形象思维结合, 使复杂问题简单化, 抽象问题具体化。
关键词：数形结合,中学数学,解析
参考文献
[1] 张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京大学出版社.
[2] 李长斌.利用数形结合解决数学问题初探[J].消费导刊, 教育时空, 2008, 8.
数形结合小学数学应用范文第2篇
数形结合在小学数学中的运用
数形结合是数学中重要思想方法之一。它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。数形结合思想----就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。
赞科夫说:“教会学生思考,这对学生来说,是一生中最有价值的本钱”,而要教会学生思考,实质是要教会学生掌握数学的思想方法。常用的数学思想方法有很多,而数形结合思想具有数学学科的鲜明特点,是解决许多数学问题的有效思想。将抽象的数量关系形象化，具有直观性强，易理解、易接受的特点。将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，并且使知识的理解更加深刻明了。
数形结合小学数学应用范文第3篇
1小学数学教学中应用“数形结合”思想的意义
小学生在数学学习的过程中由于受到自身认知能力与思维理解能力的限制, 一般在学习中会很快产生厌烦心理, 最终产生厌学, 导致在数学学习的道路上误入歧途, 越走越远。 因此, 在这一教学背景下, 就衍生出数形结合思想, 这一思想是将复杂而抽象的数量关系转化为较为直观的图形进行分析和解决数学问题, 从而降低数学问题的难度, 并且还能够帮助学生理解题目中的数量关系, 激发其学习数学知识的兴趣。 现阶段, 数形思想已经成为一种较强常见的小学数学教学方法, 通过数与形之间的有效转化, 培养小学生的逻辑思维与抽象思维能力, 并且与形象思维相结合。 为了能够有效引导学生学习理解数学知识, 在数学教学中可以通过属性结合思想的方式, 将抽象的数学知识变得具象化, 从而加深学生对相关知识点的理解与记忆功能。 比如说学生在进行异分母加减法的学习中, 可以通过直观的图形实例让学生明白通分的意义, 然后引导学生在计算环节养成通分的习惯, 使其掌握正确的异分母计算法则, 当讲解重叠问题的时候, 也可以采用数形结合的方式进行授课, 比如说某班级中有9 人喜欢玩篮球, 8 人喜欢玩足球, 都喜欢的有5 人, 问这个班有多少人。 然后引导学生使用数形结合的思想将问题变得具象化, 从而更好的理解重叠部分的意义。通过学习使用韦恩图, 将更加有效的使问题的中心浮现出来, 有助于学生快速分析、解决问题, 提高学生的解题能力, 强化课堂教学成果。
2小学数学教学中应用数形结合思想的策略
2.1 对数学概念学习的运用
教师在进行小数意义的讲解的时候, 就可以通过多媒体课件帮助学生掌握相关概念的知识要点, 使学生更加深入的了解知识点。 比如说学习1/10 米=0.1 米的时候, 就可以通过放大教学直尺的图案, 让学生找到其中的一段。 然后引导学生任意找出0.1 的长度, 从而使学生明白这是指一米的十分之一, 而不是所谓的0~0.1 米。 然后在让学生一米内有多少个0.4 米、0.6 米的方式引导学生加以思考, 然后追问学生这里面有多少个0.1米等方式让学生亲自动手、动脑将数字与图形巧妙的结合在一起。 从而强化学生对相关概念的理解, 提高学生对小数的认知程度, 帮助学生在其脑海中建立全新的小数概念, 使学生能够达到活学活用的效果, 从而达到理想的教学目的。
2.2 引导学生掌握计算方法及计算原理
属性结合思想的运用主要是通过将算式形象化、具体化的方式帮助学生更好的理解相关计算概念的原理, 从而达到熟练掌握应用计算方法的目的。 比如说, 某个砌墙工人每小时可以完成墙体的1/2, 问这个工人在1/4 小时内可以完成这个墙体的几分之一。 然后在教学中可以采取具体的步骤进行引导:首先让学生通过自己对问题的理解用图形将1/2*1/4 这个算式表示出来, 然后学生进行组间交流, 并将自己理解的图形表示方式展示出来, 进而展现自己对相关问题的理解效果, 然后通过全班交流讨论与点评的方式进行综合研究, 最终由教师指正错误, 进行讲解。 总的来说, 在进行数学教学的过程中, 通过算式图形化、具象化的方式将有效的使学生将图形与算式的概念联系到一起, 从而提高学生对算式的理解与表达能力, 强化学生对数学原理的理解程度, 从而让学生能够灵活的运用相关计算方法、法则, 达到预期的教学效果。
2.3 针对问题表述准确找到解题切入点
将数形结合的思想引入到数学教学当中, 引导学生利用该思想通过写、画、算的方式激发自己的思维, 从而寻找到准确的问题切入点, 最终找到问题的答案, 达到教学的预期效果。 比如, [ (25+x) ×2-11]÷9=5, 求x。 一些学生在看到这个题目时, 觉得计算比较复杂, 不知道从何下手, 产生畏难情绪。 而如果采用逆向思维预算方法, 根据数形结合思想, 画出推理图, 5×9=45+11=56÷2=28-25=3, 从而很快解答该题目, 促进学习效率提升。
2.4 对数学教学中的重点难点进行突破
数学知识往往比较抽象复杂, 其中的重点以及难点问题更是如此。 如果教师在授课时采用较为直接的推理方法, 学生可能难以对其进行充分的理解, 但是如果应用数形结合解题思想必然会达到出其不意的教学效果。 比如说教师在进行分数、百分数等问题的讲解过程中, 通过数形结合解题思想就可以有效的对这些类型的问题进行解答, 其讲解的效果也必然十分的到位。 不仅如此, 通过数形结合对问题进行直观形象的表达, 将有助于对问题中各种数量之间的关系进行表示, 从而达到学生快速理解、求解的效果。 让学生在问题的解答中变得轻松便捷, 从而激发学生对数学知识的学习兴趣, 更好的掌握各级数量之间的联系。 然后通过自己的总结, 寻找到符合自己的便捷解题方法, 达到课堂教学的最终效果。 提升学生学习小学数学的学习效率, 强化学生学习数学知识的信心与热情。
3结语
综上所述, 在进行小学数学的教学中采用数形结合教学思想, 将有助于提高教学的实际效果。 教师在重视数形结合思想进行教学之后, 通过采取与之相对应的教学对策将有效的激发学生的学习兴趣, 提升学生对问题的解读能力, 进而达到或超过预期教学目的, 取得优异的教学效果。
摘要：数学教育教学工作的开展是一项十分艰巨的任务, 做好小学数学教学将有助于为学生打下坚实的基础, 为学生的未来发展奠定良好的根基。所以, 将数型结合思想应用与小学数学的教学中, 制定行之有效的教学对策, 针对数学概念、重点难点进行教学, 将有助于提高学生对问题的理解能力与相关解题技能的运用效果, 从而提高小学数学教学的效率。
关键词：小学数学,数形结合,原理运用
参考文献
[1] 范璐璐.解析数学思想、数学活动与小学数学教学[J].才智, 2014年06期.
[2] 王淑萍.利用数形结合思想, 提高学生的联想能力[J].江苏教育学院学报, 2012年02期.
数形结合小学数学应用范文第4篇
摘要：在小学数学教学中，运用数形结合思想进行教学，有助于小学生更好地学习，促进学生的有意义识记，顺利解决数学问题。“以形助数”作为数形结合思想的一种，在小学数学教材中的运用并不鲜见，无论是数与代数、图形与几何还是统计与概率、综合与实践等教学内容，都能运用“以形助数”思想辅助教学。
关键词：小学数学;数形结合;以形助数
一、数形结合思想的内涵及其在小学数学教学中的运用意义
在课堂教学中，教师要坚持以学生为主体，教师为主导，在讲授知识的同时更要充分发挥学生的主观能动性，使得学生在思考与探究、合作与交流的过程中，能够形成良好的数学思维、获得基本的数学活动经验、理解和掌握基本的数学知识与技能。这是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下文简称《课标》）所体现的课程理念，除此之外，《课标》在课程总目标中提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”由此可以看出，《课标》从课程理念到课程目标，都强调数学教学并不是简单地传授相关数学知识，它更注重于学生思维的锻炼，讲究培养学生的数学思想和引导学生掌握数学方法。
学生的心理发展具有一定的方向性和顺序性，阶段与阶段之间是不可逾越的。处于学龄初期的学生以具体形象思维为主，到了四年级，学生的思维虽逐渐以抽象逻辑思维为主导，但是，其抽象逻辑思维仍然需要具体形象思维的支撑;而总的来说，数学这一门课程的知识较为抽象。这样，数学课程知识的抽象性与小学生的具体形象思维就构成了一对矛盾。如何解决这一矛盾，让学生学习数学时不那么吃力？“数形结合思想”的运用能有效解决这一现实问题，它能让复杂的知识简单化，让抽象的知识形象化，促进学生更好地理解问题表征，从而顺利地解决数学问题。
数形结合一般包含“以数解形”“以形助数”两个方面，是指将抽象的数量关系与直观的图形结构巧妙地结合起来，达到抽象问题具体化、复杂问题简单化，以实现优化解题途径的目的。
如何将数形结合思想渗透在小学数学教学中，以有效培养学生的数形结合思想，让其自觉地运用在数学问题解决中？笔者认为，要达到这个目的，数学教师就必须将数形结合思想的运用贯穿于教学的始终，无论是数与代数、图形与几何还是统计与概率、综合与实践等教学内容，都要有意识地渗透数形结合思想。现笔者结合自身实践，谈谈如何将数形结合思想中的“以形助数”运用在小学数学教学中。
二、数形结合思想在小学数学教学中的运用
（一）数与代数
在四年级上册第1课“大数的认识”中的“1亿有多大”的教学时，若教师直接采用语言传授的教学方法，则无法让学生直观地感受“1亿”到底有多大。为此，笔者先把学生分成3组，第1组探究我校的课室一般能容纳多少人，要容纳1亿个人需要多少间这样的课室;第2组探究我们所用的一本数学教科书有多重，要有多少本这样的数学教科书才能有1亿克;第三组测量学校的升旗杆有多高，要有多少根这样的升旗杆才能有1亿米高。
任务分配下去后，学生饶有兴趣地积极行动起来。经过探究合作与交流，第1组学生探究出1间课室约能容纳100个人，需要100万间课室才能容纳完1亿人;第2组学生测量出一本数学教科书大概150克，大约需要67万本这样的教科书才能达到1亿克;第3组学生测量出学校的升旗杆为12米高，大约需要833万根这样的升旗杆才能有1亿米高。看着这一组庞大的数据，学生纷纷发出感叹声。
在活动探究中，笔者利用“以形助数”的思想，巧妙地把抽象的大数“1亿”转换成具体的事物——课室、教科书、升旗杆。这样一来，不但能顺利地让学生直观感受“1亿”这个数到底有多大，还能让学生在探究过程中习得合作精神和实践能力。
（二）图形与几何
五年级上册第6课的教学内容为“多边形的面积”，主要涉及了平行四边形、三角形、梯形以及组合图形的面积计算。在实际教学过程中，笔者发现，很多学生容易混淆面積公式，特别是教材安排了平行四边形面积的内容后紧跟着三角形面积的内容，在做题的时候，学生要么忘记除以2，要么多了一个除以2。这就证明学生还未真正理解多边形的面积公式，只是死记硬背。
平行四边形的面积公式为S=ah，三角形的面积公式为S=ah÷2，为了让学生牢牢掌握这两个多边形的面积公式，笔者借助图形的分解，帮助学生理解平行四边形与三角形之间的联系。
首先，笔者出示了四个三角形，并问学生：哪两个三角形能拼成平行四边形？这两个三角形有什么关系？
学生很快就发现第1个和第4个三角形能拼成平行四边形，而且这两个三角形是完全相同的。
此时，笔者追问：三角形的底和高与拼成的平行四边形的底和高存在什么关系呢？每个三角形的面积与拼成的平行四边形又有什么关系呢？学生也很快就能得出：拼出的平行四边形的底和高等于三角形的底和高，每个三角形的面积等于平行四边形面积的一半。最后，笔者做简单的总结：也就是说，三角形的面积=平行四边形的面积÷2。
在这一教学过程中，笔者仍利用了“以形助数”的思想，借助图形的分解与结合，让学生理解为什么三角形的面积公式要除以2。经历了这一过程，学生便能对三角形面积公式进行有意义的识记，有效地避免了与平行四边形的面积公式相混淆。
（三）统计与概率
统计与概率这一教学内容本身就是“以形助数”思想的体现，如五年级下册第7课“折线统计图”这一教学内容将复杂、变化的数字以折线图的形式表现出来，能让人直观地看到数据的变化。如下图，将2006年至2011年中国青少年机器人参赛队伍做成折现统计图，能直观地获取2007年参赛队伍最少、2011年参赛队伍最少，从2009年开始参赛队伍逐年增多等信息。
（四）综合与实践
部编版数学教材从二年级开始增加了“数学广角”模块，也就是“综合与实践”这一内容，目的在于让学生认识到，实际生活中蕴藏着丰富的数学知识，引导学生积极地尝试从数学的角度出发，运用所学的数学知识以及数学方法解决在实际生活中遇到的问题。
五年级上册的数学广角内容为“植树问题”。植树问题主要涉及三种植树方法：两端都植树、一端植树、两端都不植树。不同的植树方法有不同的计算方法，为了让学生理解三种不同的植树方法并寻得其中规律，笔者结合图形进行授课。
首先，笔者出示了下图，并要求学生根据图片完成下表。
完成后，笔者提问学生是否发现什么规律。学生很快便能发现，两端植树的方法，间隔数比棵树少1;一端植树的方法，间隔数与棵树相等;两端不植树的方法，间隔数比棵树多1。
最后，笔者与学生一起总结“植树问题”的规律：两端都植树时，棵树=距离÷间隔数+1;一端植树时，棵树=距离÷间隔数;两端都不植树时，棵树=距离÷间隔数一1。
在这一教学中，教师并不是生硬地将植树问题的规律直接灌输给学生，而是结合图画，逐步引导学生发现其中规律，加深了学生对植树问题的理解。
美国图论学者哈里认为：“千言万语不如一张图。”华罗庚说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非;切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”从这可见，在小学数学教学中，渗透“以形助数”的思想，有助于以具体形象思维为主的小学生更好地理解相对抽象的数学知识，巩固教学效果。
数形结合小学数学应用范文第5篇
摘要：数形结合思想是学生在进行数学知识认知中最为重要的思想之一，对提高学生的问题解答能力，发展学生的数学综合素质中具有积极意义。而从实际的数学课程教学中我们可以看出，存在部分课堂中教师无法将数形结合思想有效应用在数学课堂中的现象，基于此，笔者从自身知识讲解经验出发，提出数形结合思想应用在概念教学、习题解答和复习环节的策略，浅谈如何将数形结合思想与初中数学课程的教学相结合。
关键词：数形结合;初中数学;概念;习题
在开展初中数学课程的教学时，教师有意识地将数形结合的思想渗透在课堂中，能够帮助学生将抽象的数学理论与具体的图像相结合，从而加深对数学知识的理解和记忆，提高数学课程的讲解质量。那么在实际进行数学知识讲解的过程中，教师应当如何针对学科的特点，以及数形结合思想的内容，优化教学策略，落实数形结合思想在数学课堂中的渗透呢？
一、应用概念教学，加深学生理解
数学概念是学生进行数学知识学习的基础，学生只有掌握了基础的数学概念，才能够明确公式当中的每一符号所指代的意义，以及数学的本质。但是，在数学教材当中所呈现出的数学概念，大多是以抽象文字为主，学生由于自身的理解能力有限，很難直接将数学抽象概念与直观的图像相联系，从而降低学生进行数学概念学习的效果。而现代教育技术的发展，使得教师在对学生进行数学概念的教学中，能够将原本单调的文字进行直观转化，从而让学生在动态、抽象的数学概念呈现形式中，深化自身的理解。
例如，在对学生进行“相交线”的概念教学中，教师就可以利用多媒体中的图片展示功能，向学生介绍其中的“相交线”“邻补角”“对顶角”等概念，促进学生提高对本节课概念的认识。在课堂中，教师先应用纯文字的形式，向学生展示什么是“相交线”“邻补角”“对顶角”等，让学生从理论上对这些概念有一个初步的认识。随后，教师借由图片，向学生直观展示两条在同一平面上的相交线，并借助相交线中的各个角对学生进一步解说“对顶角”和“邻补角”的概念，引导学生完成对本节课概念的学习。
显而易见，在开展初中数学课程的教学中，教师能够以现代教育资源为媒介，促进学生进行数学概念的学习，提高概念教学的效果。
二、应用习题解答，提高解题效果
“习题”是数学课堂中不可或缺的存在，在开展教学工作的过程中，学生能够通过习题的解答，检验自身对数学知识的掌握情况，教师也可以通过学生的习题解答情况，获得教学的反馈。而在实践教学中，教师也可以利用数形结合的思想，让学生对习题当中的内容进行整理，从而提高学生进行习题解答的效率，发展学生的解题能力。
例如，在“全等三角形”的教学中，教师就可以借助图形，帮助学生进行习题的解答。为了检验学生对本节课知识的掌握情况，教师向学生提出“有一三角形ABC，AB=AC延长AC到点F，过F点做线段FE交AB与点E，交BC于点D，且BE=CF，证明DE=DF。”等习题，单纯让学生就题目当中的叙述进行解答，势必会降低学生的解答效果，学生也没有解题的头绪，而教师让学生根据习题进行绘图，则能够将原本繁琐的习题内容，以直观的图画进行展示，从而提高解答的效果。
可见，在对学生进行数学知识的讲解中，教师能够利用绘图的形式，为学生找到解题的突破口，从而提高学生进行习题解答的能力。
三、应用复习环节，构建数学体系
“复习”是课堂教学的最终环节，学生通过复习环节能够加深对数学知识的记忆，构建整体数学观。而在将数形结合的思想渗透在初中数学课堂中，教师也可以利用“思维导图”的形式，辅助学生进行数学知识的复习，让学生在刻画思维导图中，构建整体数学知识体系，从而提高对数学课程的认知效果。
例如，在对学生讲解“二次函数的图像和性质”的数学知识后，教师就可以利用思维导图的形式，促进学生进行数学知识的复习。在课堂中，教师先让学生从“二次函数”的中心词出发，延伸出“概念”“表达形式”“性质”“图像”等支路，随后，教师引导学生根据每一支路的主题进行之后内容的填充，促进学生在构建思维导图的过程中，能够深化对本节课数学知识的记忆和理解，构建有关二次函数知识的数学体系。
可见，在引导学生进行数学知识的的复习中，教师能够利用思维导图的形式，促进数形结合思想在数学课堂中的渗透，从而逐步提高学生复习的效果。
总而言之，数形结合的思想在初中数学课程的教学中具有重要意义，但是，真正有效地应用数学结合的思想，促进数学知识的教学，却不是在一节数学课的教学中就可以实现的，而是一个逐渐积累的过程。因此，在之后开展初中数学课程的教学中，教师应当继续学习数形结合思想的内涵，结合学生对数学知识的认知特点，不断找寻数形结合思想与数学知识中的结合点，从而促进学生在应用数形结合思想中更快速地理解数学知识，提高认知的效果。
参考文献
[1]张志伟.数形结合的解题思想在初中数学中的运用[J].读与写（教育教学刊），2017，14（11）：81-82.
[2]王美霞，赵平丽.数形结合思想在初中数学教学中的实践[J].学周刊，2017（35）：112-113.
数形结合小学数学应用范文第6篇
“数与形是数学中的两个最古老 ,也是最基本的研究对象 , 它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分, 数与形是有联系的, 这个联系称之为数形结合, 或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。将这两个方面巧妙的结合起来,更容易反应事物的本质。数形结合是数学解题中常用的思想方法, 数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征, 对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转换;第三是正确确定参数的取值范围。
转换数与形有三条途径:(1)通过坐标系的建立,引入数量化静为动,以动求解;(2)转化,在通过分析数与式的结构特点, 把问题转化到另一个角度来考虑;(3)构造,比如构造一个几何图形,构造一个函数,构造一个图表等。
运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法。“由形化数”:就是借助所给的图形,仔细观察研究,提出图中蕴含的数量关系,反应几何图形的内在属性。“由数化形”:就是根据题设条件正确绘制相应的图形, 使图形能充分反映出他们相应的数量关系,提示出数与式的本质特征;“数形转换”:就是根据“数”与“形”既对立,又统一的特征 ,观察图形的形状 ,分析数与式的结构,引起联想,适时将它们相互转换,化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
2利用数形结合思想巧解初等数学问题
2.1利用数形结合思想解代数问题
代数问题往往是比较抽象的, 若借助图形则可以直观的研究该问题, 并且可以简化计算过程。代数中常利用数形结合思想解向量问题、函数问题、方程问题以及不等式问题。
以利用数形结合思想解函数问题和方程问题为例。
借助于图像研究函数的性质是一种常用的方法, 函数图像的几何特征与数量特征紧密结合, 体现了数形结合的特征与方法,运用这种数形结合的思想有助于理解题意,探求解题思路, 检验解题的结果。
2.2利用数形结合解函数方程根的问题
例1:已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=?
分析:此题并没有告知f(x)的具体解析式,我们也无法根据已知条件求出。从而我们考虑画出f(x)的图像,方程f(x)= m(m>0)的根,即是直线y=m(m>0)与函数f(x)的图像交点的横坐标。
因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),即f(x-4)= f(-x),所以函数关于直线x=2对称且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x) 知f(x-8)=f(x),即函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x) 在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数。如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不防设x1
对于抽象函数, 我们常常需要根据已知条件画出函数的大致图像,寻求解题思路。巧妙的利用数形结合,可以让复杂的题目简单化,明朗化。
2.3利用数形结合解函数单调区间问题
例2:确定函数 的单调区间。
画出函数的草图,由图像可知,函数的单调递增区间为 (-∞,0],[1,+∞),函数的单调递减区间为[0,1]。
2.4.利用数形结合思想解方程问题
例3:ɑ为何值时, 方程2ɑ2x2+2ɑx+1-ɑ2=0的两根在 (-1,1) 之内。
分析:显然ɑ2≠0,我们可以从已知方程联想到相应的二次函数y=2ɑ2x2+2ɑx+1-ɑ2的图像与x轴的两个交点在 (-1,1)之间。为此,我们大致画出该二次函数的图像,如图所示。
为满足要求,则必需满足条件:
从而可解得ɑ的取值范围为
2.5利用数形结合思想解几何问题
有些较难的几何证明题,学生看到后往往眼花缭乱,无从下手,此时借助于代数的方法,可较快地寻求到解题途径。
以利用数形结合思想解平面几何问题为例。
例4:过正方形ABCD定点C任作一直线与AB、AD的延长线分别交于E、F。求证:AE+AF≥4AB
分析:这是形的问题,但直接从形入手较难解决,如将结论变为:
(AE+AF)2≥4AB(AE+AF)
并从其形式联想一元二次方程根的判别式,转换为数的问题就容易解决了。
设AB=ɑ,AE=m,AF=n,连接AC
由 S△AEF=S△AEC+S△AFC得 m×n=ɑ(m+n)
设m+n=p,则mn=ɑp故m、n是方程x2-px+ɑp=0的两实根。
因为m、n为实数,且p>0,由△≥0得p≥4ɑ
即AE+AF≥4AB
上述实例无不体现“数”与“形”的结合,互相渗透。把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合,使代数问题、几何问题互相转化,使抽象思维和形象思维有机结合;使数量关系和空间形式巧妙结合,以寻找解题思路,使问题得以解决。当然,要灵活运用数形结合的思想方法,就要熟悉某些图形背景,熟悉有关数学式中各参数的几何意义,建立结合图形思考问题的习惯,在学习中不断摸索,积累经验,加深和加强对数形结合思想方法的理解和运用。数形结合思想在初等数学的思想方法中占有非常重要的地位,应用数形结合思想解决数学问题是一种享受,数学的美得到了更充分的展现。
3数形结合思想方法在应用时应注意的问题
在解题时,有时把数转化为形,以形直观地表达数来解决, 往往使复杂问题简单化、抽象问题具体化。同时也发现一个普遍的问题:一些能用“数形结合”巧解的题目,在自己做题时却想不到用“数形结合”,等老师提示后才恍然大悟,但下次再碰到却还是想不到要用“数形结合”。那么就要注意如下几个问题。
3.1注意图像延伸趋势
例5: 判断命题:“当ɑ>1时, 关于x的方程ɑx=logɑx无实解。”
错解:在同一坐标系中分别作出函数y=ɑx及y=logɑx的图象 (ɑ>1),可见它们没有公共点,所以方程无实解,命题正确。
分析: 实际上对不同的实数ɑ,y=ɑx和y=logɑx的图像的延伸趋势不同。例如当ɑ=2时,方程无实数解;而当 时,x=2是方程的解。说明两图像向上延伸时,一定相交,交点在直线y= x上。
3.2注意图像伸展“速度”
例6:比较2n与n2的大小,其中n≥2,且n∈N·。
错解:在同一坐标系中分别作出函数y=2x及y=x2的图像。
由图可知,两图像有一个公共点。
当 x=2 时,2x=x2
当 x>2 时,2x
∴当x=2时,2n=n2;
当 x>2,且 n∈N·时,2n<2n;。
分析:事实上,当n=4时,2n=n2;当 n=5 时,2n>n2
错因:没有充分注意到两个图像在x≥2时的递增“速度”! 要比较两个图像的递增速度,确实很难由图像直观而得。本题可以先猜想,后用数学归纳法证明。
本题的正确答案是:
当n=2、4时,2n=n2;
当n=3时,2n
当 n≥5 时,n∈N·时,2n>n2。
4结语
数形结合思想是数学思想的一个重要组成部分, 它不仅在数学解题中有着强大的功能, 更在数学教学中发挥着巨大的作用。“形”的直观与“数”的精确相辅相成,能优化解题,化解难点知识,学生易于理解接受。
但每一种数学方法的使用都有其逻辑依据、适用范围以及步骤、细节,超出了一定的适用范围,就会出现错误。因此要一分为二地认识数形结合的思想方法。首先体现在自身使用时的局限性:首先,在数形结合思想方法的应用过程中,有些图形问题用数式处理,运算量很大,而用图形处理则直观、形象、简洁,这会使学生渐渐认为图形是万能的,这种定向思维追求过头,形成一种思维定势,有时会束缚思维的扩散,只知其一不知其二,甚至以点代面;其次,数式问题不一定存在简捷的图形背景,数形转化的通道常常很狭窄,技巧性较高,将数式转化为图形对学生来说是难点;最后,在数形结合的使用过程中还要注意考虑一些细节问题,如图形描绘显然不能达到百分百的精确,特别是较为复杂的图形,稍不小心,图形给人造成的错觉,就容易将我们局限在几何圈子里,难以完全把握住它的规律而造成误解。还有在式、形的相互转化过程中,图形是否存在,若存在又是否是等价的。
另外数形结合的思想不能独立于数学知识和其它数学思想方法之外。同一数学内容可能蕴含着几种不同的数学思想方法, 同一数学思想又常常分布在不同的数学知识之中。数学思想方法彼此间并非孤立,有时将它们结合起来,多管齐下,效果更好、更快。
摘要：数形结合是初等数学中一种基本又十分重要的思想方法,常常能为解决有关初等数学问题提供一条捷径。而数与形的相互转换,相互渗透,使得某些抽象的数学问题直观化、生动化,变抽象思维为形象思维。数缺少形时少了直观,形缺少数时难入微。本文简要介绍了数形结合的概念以及在初等数学中的作用与地位,又从向量、函数、方程、不等式、集合、几何等几个方面通过具体问题来讨论了巧妙利用数形结合思想解决初等数学问题。