苏州大学高等数学竞赛范文

苏州大学高等数学竞赛范文第1篇

1)

解：因为

所以，原式

2)设，求。

解：因为

……

……

所以。

3)求，其中。

解：

4)求幂级数的和函数，并求级数的和。

解：设，则有

上式两边关于求导得。

二、（本题共16分）设为数列，为有限数，求证：

1)如果，则

2)如果存在正整数，使得，则。

证明：1)因为所以存在有。

对任意的，存在整数，当时有

又因为存在整数当有，所以取

当时有

这就证明。

2)设，则有

。

三、（本题共15分）设函数在闭区间上具有连续的三阶导数，且。

求证：在开区间内至少存在一点，使得。

证明：因为，在之间，

所以，

其中，

又因为在上连续在之间，由介值定理可得，存在使得。

四、（本题共15分）在平面上，有一条从点向右的射线，其线密度为。

在点处(其中)有一质量为的质点。求该射线对质点的引力。

解：用微元法计算，设此射线上一小段为，其上一点的坐标为，此小段对质点的引力方向为，大小为，由此可得该射线对质点的引力为

五、（本题共15分）设是由方程所确定的隐函数，且具有二阶连续偏导数。

求证：和。

证明：此题是错题。

六、（本题共15分）设函数连续，为常数，是单位球面。

记第一型曲面积分为。求证：

证明：当时，。

当不全为零时，用微元法证明。

用平面去

切球面，其中

设平面切球面所得半弦长，则

所切小环带展开后长为，宽为

苏州大学高等数学竞赛范文第2篇

摘要

随着月球探测任务的发展,未来月球探测考察目标将主要是 复杂地形特性的高科学价值区域。为了能够安全地在这些遍布岩石、 的区域内完成高精度软着陆，这就要求导航和控制系统具有较强的自主性和实时性。本文针对最终着陆段安全、精确的需求，对月球软着陆导航与控制方法进行较深入研究，主要内容包括：

首先，提出一种基于单帧图像信息的障碍检测方法。该方法根据着陆区内障碍成像的特点，通过匹配相应的阴影区与光照区完成对岩石、弹坑的检测，利用图像灰度方差对粗糙区域进行提取：在检测出故障信息的基础上，选取安全着陆点以保证软着陆任务的成功。

其次，给出一种基于矢量观测信息的自主光学导航方法。该方法利用光学相机和激光测距仪测量值构建着陆点相对着陆器的矢量信息，结合着陆器的姿态信息确定着陆器的位置。为了消除测量噪声带来的干扰，利用扩展Kalman滤波理论设计了导航滤波器。

再次，提出一种李雅普诺夫函数障碍规避制导方法。该方法通过对状态函数、危险地形势函数的设计，以满足平移过程中减低障碍威胁与精确定点着陆器，设计PWPF(调频调宽)调节器实现定推理等效变推力控制效果。

最后，针对采用变推力主发动机的月球着陆器，提出一种垂直软着陆控制方法。该方法采用标称控制与闭环控制相结合的方式，规划标称轨迹以保证着陆器到达着陆点时其下降速度、加速度亦为零，设计闭环控制器产生附加控制量消除初始偏差、着陆器质量变化的干扰，以保证着陆器沿标称轨迹到达着陆点。

本文分别对所提出的最终着陆段导航与控制方法进行数学仿真以验证个方法的可行性。仿真结果表明，本文多给出导航方法能够达到较高的性能指标，满足在危险区域实现高精度软着陆的需要。

关键词： 月球软着陆;自主导航与控制;障碍检测;规避制导;适量测量

一、问题重述

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。根据计划，嫦娥三号将在北京时间12月14号在月球表面实施软着陆。嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注焦点。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机是目前中国航天器上最大推力的发动机，能够产生1500N到7500N的可调节推力，进而对嫦娥三号实现精准控制。其比冲(即单位质量的推进剂产生的推力)为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。嫦娥三号将在近月点15公里处以抛物线下降，相对速度从每秒1.7公里逐渐降为零。整个过程大概需要十几分钟的时间。在距月面100米处时，嫦娥三号要进行短暂的悬停，扫描月面地形，避开障碍物，寻找着陆点。之后，嫦娥三号在反推火箭的作用下继续慢慢下降，直到离月面4米高时再度悬停。此时，关掉反冲发动机，探测器自由下落。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道;着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，分别为着陆准备轨道、主减速段、快速调整段、粗避障段、精避障段、缓速下降阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态;尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：

(1)确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。 (2)确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

(3)对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二、问题分析

对于问题一：

嫦娥三号从15公里左右的高度下降到月球表面，在这一过程中不考虑月球表面太阳风的影响，忽略月球的自转速度引起的科氏力的影响，由于下降时间比较短也不考虑太阳、地球对嫦娥三号的摄动影响，嫦娥三号水平速度要从1.692km/s降为0m/s由于3000m处时嫦娥三号已经基本位于着陆点上方，所以此时假设在3000m处的速度只存在竖直向下的速度而不存在水平分速度，因为降落减速时间比较短只有垂直于月面的方向运动才能实现，所以在确定着陆点位置和着陆轨迹时应当考虑燃料最优情况下推力最大，方向自由的方法即取F7500N建立主减速段动力学模型。

三、符号说明

四、模型假设

对于问题一：

忽略月球的自传和太阳、地球对嫦娥三号卫星的引力摄动 月球近似为一个质量均匀的标准球体 将嫦娥三号是为一个质点

主减速忽略动作调整所产生的燃料消耗段不考虑太阳风的影响

五、模型建立与求解

5.1问题一的建模与求解 解法一： 假设嫦娥三号在t时刻在远月点开始缓慢下降，在n时刻到达近月点，整个过程遵循开普勒第三定律，即

v00

在t时刻有：v12R1 R0R0R1r0 R0r1r2 其中v1：远月点速度

v2：近月点速度

R0：远月点月心距

R1：近月点月心距(已知月球的半径为1738千米)

R017381001838km

R11738151753km 在t1时刻处v2 k2R1 R0R0R1R00.512k0.488 R0R1利用能量平衡式求得近地点速度为

20.51249012()1.692km/s(沿切线方向) v2，比当地的环境速度17531.672km/s大vk0.0196km/s，径向速度vk0。

1同理解得v11.6139km/s(沿切线方向)

vri0

解得主减速段动力学模型的建立：

根据题意，在横向飞行的水平距离远远小于月球半径的平均值，所以可以将整个减速段过程简化为水平和竖直方向运动方程，根据牛顿第二定律、速度计算公式有：

axTx maytTymTxta

1.692km/s m0Qdt0Tyadt57m/s t0mQdt0tT22xTy27500N

v22atS

运用matlab编程解得S451810.4m; 其中 ax：水平方向加速度

ay：竖直方面加速度

a：月球表面重力加速度a Tx：推力的水平方向分力

Ty：推力的竖直方向分力

t:主减速段时间

S:嫦娥三号主减速段水平位移

Q:嫦娥三号发动机燃料秒消耗率

根据已知资料得到嫦娥三号着陆过程中纬度改变，经度基本不变，月球赤纬和地球纬度一样也分为南北各90个分度,又因为月球极区半径为1735.843km，所以每一个纬度的竖直高度差为19.2871

4g 6千米。 即近月点位置坐标为19.0464W,28.9989N海拔15km,远月点位置坐标为160.9536E,28.9989S海拔100km。

解法2:轨迹方程法。

众所周知,太阳系中的八大行星都在按照各自的椭圆轨道绕太阳进行公转,太阳位于椭圆的一个焦点上,行星的运动遵循开普勒三定律,笔者发现,在各类物理竞赛中,常会涉及到天体运动速度的计算,本文拟从能量和行星运动的轨迹方程两个不同的角度来探索行星在近日点和远日点的速度。

该解法的指导思想是对椭圆的轨迹方程求导,并结合一般曲线的曲率半径通式求出近日点和远日点的曲率半径表达式,然后利用万有引力提供向心力列方程求解。 如图1所示,椭圆的轨迹方程为

x2y221 5 2ba将5式变形为

a2x2b2y2a2b2 6

根据隐函数的求导法则将6式对x求导有

2a2x2b2yy0 7 即

a2xy2 8

by将7式再次对x求导得

2a22b2(yyyy)0 9 将8、9两式联立得

a2b2y2a4x2 10 y-43by根据曲率半径公式有 r(1y) 11 y122 将8、10、11式联立并将A点坐标A(0，a)代入可得A点的曲率半径为

b2RA 12

a根据椭圆的对称性,远日点B的曲率半径为

b2RBRA 13

a 由于在A、B两点行星运行速度方向与万有引力方向垂直,万有引力只改变速度方向,并不改变速度大小,故分别根据万有引力提供向心力得

GMmmvA 14 (ac)2RAGMmmvB 15 2(ac)RB将13至15式联立可得 22vAbGMbGM，vB acaaca

5.2问题二的建模与求解 模型一：动力学模型

典型的月球软着陆任务中,探测器一般首先发射到100km的环月停泊轨道,然后根据所选定的着陆位置,在合适的时间给着陆器一个有限脉冲,使得着陆器转入近月点(在着落位置附近)为15km,远月点为100km的月球椭圆轨道,这一阶段称为霍曼转移段。当着陆器运行到近月点时,制动发动机开始工作,其主要任务是抵消着陆器的初始动能和势能,使着陆器接触地面时,相对月面速度为零,即实现所谓的软着陆,这一阶段称为动力下降段。着陆器的大部分燃料都是消耗在此阶段,所以月球软着陆轨迹优化主要是针对动力下降段这一阶段。由于月球表面附近没有大气,所以在飞行器的动力学模型中没有大气阻力项。而且从15km左右的轨道高度软着陆到月球表面的时间比较短,一般在几百秒的范围内,所以诸如月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不计,所以这一过程可以在二体模型下描述。其示意图如图1所示,其中o为月球质心,x轴方向为由月心指向着陆器的初始位置,y轴方向为初始位置着陆器速度方向。

图 1 月球软着陆极坐标系

其动力学方程如下: rv 

v(F/m)sin/rr

22 ((F/m)cos2v)/r

mF/ISP

在上式中r为着陆器与月心距离,v为着陆器径向速度,为着陆器极角,为着陆器极角角速度,为月球引力常数,F着陆器制动发动机推力,m为着陆器质量,为制动发动机推力方向角,其定义为F与当地水平方向夹角,ISP为制动发动机比冲。根据动力下降段的起点位置可以确定动力学方程初始条件,由于起点处于霍曼转移轨道的近地点,故其初始条件为: r0rp

00

v00 01rprp(2ra) rarp其中rp和ra分别为霍曼转移段的近地点半径和远地点半径。

终端条件为实现软着陆, 即

rfR

vf0

f0

其中R为月球半径,终端条件中对终端极角f及终端时间tf无约束。

优化变量为制动发动机推力方向角(t) 。

优化的性能指标为在满足上述初始条件和终端条件的前提下, 使着陆过程中燃料消耗最少,即

Jm(t)dt

t0f设计主减速段制导控制律 2动力下降段燃料最优精确着陆问题描述 2.1 燃料最优精确着陆问题

着陆器运动方程：考虑采用变推力发动机情况，有

rv

.vga

(1)

aTmmaT..其中r[rhrxry]T，v[vhvxvy]T分别表示着陆器相对期望着陆点的位置和速度矢量;T为推力器提供的推力矢量，幅值为 T，对应控制加速度矢量 a;g为火星的重力加速度矢量，此处认为是常值;m为着陆器质量，对应推力器质量排除系数。 指标函数：考虑燃料消耗

min(m0mf)min0fTdt

(2) 边界条件：即初始条件和终端条件

r(0)r0,v(0)v0,m(0)m0,r(tf)v(tf)[000]

(3) 控制约束：考虑发动机一旦启动不能关闭，存在最大和最小推力约束

0T1TT

2(4) 状态约束：为避免在着陆前撞击到火星地表，需确保整个下降段位于火星地平面以上，即

rh0

(5) 进一步地，若着陆区域附近表面崎岖不平，仅仅确保地表约束不能满足需求时，可以考虑下降倾角约束，即将着陆器下降轨线约束到以着陆点为顶点的圆锥体内

2.2 等效后燃料最优精确着陆问题 定义等效变换变量

Ttrx2ry2rhtanalt

(6)

uaT

m

(7)

Tmzlnm等效着陆器运动方程： .r0I3..

yv00.00z其中p[uT0r0vI030z07*70ug0AcyBc(pg4)

(8) ],g4[gTT0]T

t指标函数：

min0f(t)dt

(9)

边界条件：同式(3)。

控制约束：由文献[10]可知，控制约束(4)可等效表示为

u1T1ez0[1(zz0)(zz0)2]T2ez0[1(zz0)]

(10) (11)

2状态约束：地表约束同式(5)，倾角约束(6)可等效表示为

T

Sycy0

(12)

其中

0100000S

0010000ctanalt

T000000

3. 燃料最优精确着陆问题的离散化及变换 3.1 等效燃料最优精确着陆问题的离散化

首先将整个飞行时间均分成 n 段(对应 n +1 个点) ，每段步长为t，离散化后的着陆器运动方程为：yk1AykB(pkg4)

其中AR77,BR74分别为离散系统的系统矩阵和输入矩阵

12AetAcI3tActAc

2tt112BetsAcBcdsesAcdsBctBctBct2Bc

0026其中I3为三阶单位阵。

有系统性质可知，整个控制时域内系统状态满足 y3Ay2Bp2g4A3y0A2Bp0g4ABp1g4Bp2g4ynAyn1Bpn1g4Any0An1Bp0g4ABpn2g4Bpn1g4y1Ay0Bp0g4y2Ay1Bp1g4A2y0ABp0g4Bpn2g4Bp1g4

为表达方便，令

y0p00A0yp1111A ,pp2 ，2A2 Yy2nyn7n11pn4n11nA7n1700B1AB223ABn1An则(15)可等价于

000B012ABBB0002 ABB003AABB0n1AABBA2BABBn7n14n1000000Yy0pg4

分别定义如下常值矩阵：

最终可得离散化后的燃料最优化问题如下： 指标函数：式(9)可表示为

边界条件：式(3)可表示为

控制约束：式(10)和式(11)分别可表示为

状态约束：式(5)和式(12)分别可表示为

含有 p个线性约束和 q个二阶锥约束的最优化问题的标准形式为 指标函数

min(Tx) 满足约束

DTxf0AxcibdinTiTi

(k=1,，n)

n*pp其中xR为待优化向量，R，线性约束参数DR,fR，二阶锥约束参数维数n(Ai,bi,ci,di)由相应约束确定

则式(17)～式(23)可最终转换为如下最优化问题： 指标函数：min(vpp) 满足：

初值约束:MxΨ0pMx(Ψ0y0)A0g4r0末值约束:MxΨ0pMx(Ψ0y0)A0g4控制约束:Murkpvrkp 控制上限:(vzΨkTTTTv0T0

0

T1vr)p1vTz(Φky0Akg4)z0,z0 z0kT2e 控制下限：

4数值仿真结果与分析本节以某火星着陆器为例，计算了典型初始条件下满足各种约束的燃料最优精确着陆轨迹。其中探测器各参数分别取为：m02000kg,g[3.711400]ms2,c2kms,T11.3kN,T213kN.。着陆器初始位置矢量r0= [1500, -600, 800] m，初始速度矢量v0= [-30, 10, 40]m/s，倾角alt=86°。二阶锥优化问题可以通过大量免费的优化工具求解，如 CSDP、DSDP、OpenOpt、SeDuMi、SDPA、SDPLR等。本文选用 SDPT3 进行计算，通过执行线性搜索确定燃料最优下降时间tf为 43s，图 1 给出了相应的最优着陆轨迹、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探测器质量变化曲线。

由优化结果可以看出，探测器在给定时间飞行并软着陆到指定位置，且在整个下降过程始终与火星地表保持一定的安全距离，验证了下降倾角约束的有效性。其推力幅值曲线呈现“最大-最小-最大”的最优控制形式，不过为了保持发动机始终处于点火状态，在中间段对应最小推力约束，这与文献中的分析结论一致。此外，通过利用如 TOMLAB 等商业最优控制软件进行复核计算，也验证了此计算结果的燃料最优性能。

*

图 1 给定初始条件下火星着陆器动力下降段燃料最优计算结果

需要注意到，此燃料最优轨迹的获取对着陆器的实时在线计算性能提出了较高的要求，经测试，无论使用何种优化工具，计算给定飞行任务时间的最优轨迹均需数秒，而全局最优则需要数十秒甚至更长，这在实际任务中是不允许的。因此，可行的方案是通过在地面计算大量的燃料最优轨迹，并寻找规律，选取关键路径点状态存储到着陆器计算机中，通过在线查表或者在利用对计算量要求较小的反馈制导律完成安全着陆任务。

因此，为了研究探测器燃料最优轨迹特性，选取相同的探测器参数，暂不考虑推力器最小幅值约束和倾斜角约束(但考虑地表约束)，固定初始高度为 1500m，初始位置水平方向从-8000m 到 8000m 内取值，分别选取各种不同的初始速度，可得燃料最优精确着陆轨迹簇如图 2 所示。

图 2 各种不同初始速度对应的火星着陆器动力下降段燃料最优轨迹簇

1) 对任意探测器初始位置，特定初始速度对应的燃料最优着陆轨迹在末端必然收敛到一个固定的近似圆锥体内。

2) 取决于探测器初始位置和速度的关系，燃料最优轨迹有两种形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要对应于期望着陆点位置水平距离较大情况。 3) 当探测器初始水平速度为零时，圆锥体轴线垂直于火星地表，所有最优轨线关于该轴线中心对称。 4) 初始速度的大小也直接影响到任务的可靠性，因此需要在超声速进入段和降落伞减速段将着陆器速度下降到合理范围内。

上述结论对上注探测器关键点的选取有着较强的指导意义，比如基于最优轨线的斜率对路径点合并、基于最优轨线簇的对称性对上注轨线进行等效延伸、或者尝试仅将 S 型和 C 型的转折点作为路径点等，这样可以大大降低探测器自主存储与计算需求，进而有效提升任务的可靠性。

2 重力转弯软着陆过程

对于最终着陆点，假设探测器的下降轨迹在一平面内，且月球引力场为垂直于月面XY的均匀引力场，引力加速度g沿-Z，如图1所示，制动推力方向沿探测器的本体轴z。重力转弯软着陆过程中探测器质心动力学方程可表示为

上式中各变量的物理意义如图1中所示，其中m>0为探测器质量;k>0为制动发动机比冲;u表示制动发动机的秒耗量

可通过一定的机构加以调节，故作为软着陆问题的控制变量。假定制动发动机的最大推力与初始质量比大于月面引力加速度，并且制动推进系统能够在一定的初始条件下将探测器停止月面上。

重力转弯过程中，探测器的高度、速度和姿态角度可由雷达高度表、多普勒雷达及惯性仪表测得。令软着陆初始条件探测器到达月面时速度减小到给定的值，故终端条件自由。

3 软着陆燃耗最优问题的描述 对于最终着陆段，可假设

为一小角度。由此可将系统方程(1)化简为

要设计制导律实现软着陆，就是使

着陆时间

对于月球软着陆的燃耗最优控制问题，其性能指标可表示为

对于系统(2)的软着陆过程，燃耗最优问题等价于着陆时间最优问题，性能指标为

在月球重力转弯软着陆过程中，如果存在一个推力控制程序将探测器从初始条件转移到终端条件，并使性能指标(3)或(4)式最大，则称这个推力程序为软着陆燃耗最优或时间最优制导律。 根据pontryagin极大值原理，系统的哈密顿函数及其对u的偏导数为

使哈密顿函数(5)式达到极大地控制输入u就是最优控制，科表示为。

如果存在一个有限区间

则最优控制u(t)取值不能由哈密顿函数确定。此时如果最优解存在，则称为奇异解，(8)式称为奇异条件。

最优制导问题的性质：1)对于自治系统(2)的时间最优控制问题，沿最优轨迹其哈密顿函数满足

将其对时间求导并将(2c)和(6c)式代入，得

另外，由于自由，根据横截条件有3)根据(6a)式，

。又由(9)式可得T(t)=0，

4)根据极大值原理，系统的状态变量和共轭变量都是时间的连续可微函数，将切换函数对时间求导，利用(2)，(6)式和性质2)得

4 软着陆最优控制中奇异条件的分析

对于月球重力转弯软着陆问题，最优制导律具有两个很好的性质。

定理一。月球重力转弯软着陆系统(2)的燃耗最优制导或时间最优制导问题不存在奇异条件。 证明。用反证法，假设存在奇异条件，则在某个闭区间设，并由(5)式得

。根据反正假将(10)式两边对时间求导，并将(2)和(6)式代入化简得性质2)，并考虑到或者情形1.得

下面证明这两种情形均与反证假设矛盾。 根据式

及性质2)可知

，由性质3)必有

根据

是时间t的斜率非零的线性函数，m和情形2.1)若定，根据横截条件有在区间内为常数。这与反证假设矛盾。

。下面再分三种情况进行分析。

又因为

不与此时由(6b)式有反证假设矛盾。2)若盾。3)

，与反证假设矛又

因

为

因此有成立，这与

此时(10)式在上根据定理一，重力转弯软着陆的最优制导律是一种开关(Bang-Bang)控制，只须控制发动机开关，不需要调节推力的大小。

定理2.对于月球重力转弯软着陆过程，其开关控制器的最优推力程序(7)最多进行一次切换。

证明。只要证明最多只在一个时间点成立即可。软着陆系统(2)在最优推力控制程序(7)的作用下，按最后轨迹降落。由性质3)知，为常数。根据性质4)，若严格单调，因而在上至多有一个零点，即至多进行一次切换;若，则上为常数。由定理1，5 软着陆最优开关制导律

不可能在任何区间上成立，故必有既没有切换点。

对于最优推力控制程序(7)，其切换函数中含有共轭变量，它是一个关于状态变量的稳式表达式。为实现实时制导，需求出关于状态变量的切换函数来。

根据定理一和定理二，重力转弯软着陆最优控制程序没有奇异值状态，并且在着陆过程中最多切换一次，其工作方式有4种：1)全开;2)全关;3)先开有关;4)先关后开。对于方式1)软着陆起始点即是开机点;方式2)，3)不能实现软着陆;最后一种是通常情况下的最优着陆方式，即探测器先做无制动下降，然后打开发动机软着陆到月面。 设开机时刻为到发动机工作时间为

式，在区间

内积分，并考虑

将(11)式中的对数按泰勒展开，忽略

并令

消掉T得到切换函数为

由切换函数(12)式可以看出，速度、位置的误差和制动发动机推动的将直接影响着陆的效果。一种方法是将终端高度从到达月面时实现软着陆设置为离月面还有几米时实现软着陆。另一种方法是考虑制动过程由一个主发动机和一组小推力发动机共同完成，通过调整开启的小发动机的数量，来实现变推力降落。具体地，令切换函数为

式中各符号的含义如图2所示

关机点可取为2m,可取为20m，

可取为1m/s。为实现着陆的最优性，减速度

取为

其中T如(12)式中所示，m0为探测器的初始质量。

图三为最优着陆过程与其改进方法按图2降落的次优着陆过程的对比图。由此图中可看出，改进方法提高了着陆的安全性，当探测器的初始质量mo=350kg，发动机着陆过程多消耗燃料2.2kg。

时，改进方法比最优

(a)

(b)

问题三

2 协方差分析方法的基本原理 对于如下非线性函数关系

yfx1,x2xn (1)

可以使用一阶泰勒级数展开对其进行线性化，有

yyfffx1xnx1xn (2) x1xn其中，x1xn为x1xn的高阶项。 从而得到线性化方程

yfxi (3) i1xin或表示为

YPX (4)

这里 P 是偏导数矩阵: Pif (5) xi若自变量x1xn是随机变量， 则线性化方程的函数y的协方差矩阵为：

EYYTEPXXTPTPEXXTPT(6) 即 CyPCXPT (7) 式中Cx是自变量的协方差矩阵;Cy是函数Y的协方差矩阵。

协方差矩阵中对角线元素是方差，非对角线元素为协方差。显然，只要求出传递矩阵 P ,便可确定源误差与欲求量误差之间的关系。若给定各种源误差，如发动机安装误差、敏感器测量误差或发动机推力和点火时间等误差时，便可以分析其对目标轨道误差的影响以及对控制系统精度的影响，进一步对各系统及元部件提出适当的精度要求。

3 计算向月飞行轨道误差的协方差迭代方程

考虑到轨道参数的误差之相对于轨道参数的标称值是小量，因此可以将轨道运动方程进行线性化，从而得到能够反映轨道参数偏差量的传播关系的误差方程。在应用双二体模型且在地球影响球范围内时，对轨道运动产生摄动影响的各项，如月球引力摄动、太阳引力摄动、大气阻力摄动和太阳光压摄动等对误差方程的影响很小，因此在误差方程中将它们忽略掉 。 反映轨道位置和速度误差的线性化方程如下：

vrg (8) vrrTur，其中u为地球引力常数。 式中 gr3rrrx2ry2rz2 (9)

写成状态方程形式：

0Irr (10) vG0vg式中 GT

r0Ir令FG0,Xv(11)

则式( 9 )变为

FX (12) X下面推导矩阵 F 的表达式：

guGTT3rrrruurrT33Trrrruuuur3333I3rrrrryzrxr(13)

式中 r x ， r y 和 r z 是探测器在地心惯性坐标系里的轨道位置坐标。 则Gu3T(Irr) (14) 332rrrx2rxryrxT2rrryrxryrzryrxryrrzrxrzryzrxrzryrz(15) 2rz

将式( 15 ) 、 ( 14 )代入( 10 ) ，得： 0002-urx(132) Fr3r3urxryr5v3urxrzr5

积分式(11)，得到： 0003urxryr520003urxrzr53urzryr5210000ry-u(13)32rr3urzryr5-urz(13)0r3r200100100(16)

0000

XteFtX0

(17) 式中

(Ft)2(Ft)3(Ft)4(Ft)neIFt2!3!4!n!

(18) iNtFi.()i!i0Ft取前 6 阶截断，即：

eFttiFi!

(19) i06i

得到计算误差方程的迭代方程：

XtiteFtXti

(20)

eFt相当于式(4)中的 P 阵，由于误差方程是时变方程，因此每一步迭代都需要重新计算 P 阵，计算 P 阵需要利用标称轨道参数数据。

进一步根据式(7)，得到协方差矩阵的迭代方程：

T

Ci1PCPiii

(21)

4 向月飞行轨道误差的协方差分析

引起轨道误差的误差源主要是导航误差，包括位 置 误 差 和 速 度 误 差 。 其 中 ： 位 置 误 差 ：rrx,ry,rz,rx,ry,rz分别为在地心惯性坐标系中 X 轴、Y 轴、Z 轴的分量。速度误差：vvx,vy,vz,vx,vy,vz分别是在地心惯性坐标系 X 轴、Y 轴、Z 轴的分量。 向月飞行轨道的初始轨道位置和速度误差由运载火箭的发射入轨精度决定，若探测器在飞行途中进行轨道修正，则经过轨道修正以后的轨道位置误差将由导航误差决定，速度误差将由姿态误差和制导误差决定。

上述误差决定了轨道误差协方差分析的计算初始条件，表 1 给出了在不进行中途轨道修正情况下，在地心惯性坐标系里，初始轨道位置误差和初始速度误差对轨道终点的位置和速度误差的影响。图 1 和图 2 给出了在算例三中探测器从近地轨道入轨点开始至进入月球轨道为止轨道位置的相应的轨道位置和速度总误差(3σ)的时间历程。

表 1 初始轨道位置和速度误差

对轨道终点误差的影响

图 1 轨道位置总误差时间历程(3σ)

图 2 速度总误差时间历程(3σ)

2 基于敏感系数矩阵的制导误差分析

在月球软着陆主制动段，影响制导精度的误差源主要有偏离标准飞行轨迹的初始条件误差和导航与控制传感器误差。初始条件误差由主制动段以前的任务决定，传感器误差则由导航系统和传感器本身决定。此外，影响制导精度的因素还包括月球自转、月球不规则摄动等误差，对它们的研究可单独进行，这里暂不做介绍。 2.1 误差模型建立

2.1.1 初始状态误差模型

记着陆器的实际初始状态为Xi，标准初始状态为Xn,则定义初始状态偏差xi为

xiXiXn

(7) 对于主制动段这一特定的飞行过程，这些偏差都是确定的;而针对整个月球探测任务，这些偏差就变得具有随机性。在本文中，假定xi 的所有元素均服从零均值高斯分布，相互不独立，其相关性取决于前一阶段任务的特性。 2.1.2 传感器误差模型

由于只研究误差对制导律的影响，所以这里假设需要测量的量均可由导航系统直接测得，误差大小

均考虑为典型误差值。由上一目设计的制导律可以看出，需要由导航与控制传感器测量的量主要为着陆器相对于着陆场坐标系的位置、速度和加速度。定义待测量量Q为

QX其估计值记为Q，则传感器误差定义为 YZUVWA

T

qQQ

(8) 那么，单个测量量的估计误差模型可用误差向量 q的第j ( j =1，2„7)个元素qj 来表示。由参考文献[5]可知，第 j个观测量的总估计误差qj 由以下四部分组成

~~- ~qjbsqjnstqtqQtqtQjt

(9) jjbcjnc

j100100~~~~~针对主制动这一特定操作阶段，上述四部分误差具有如下特性：

qjbc—第 j 个观测量的测量误差，恒为常值，其分布服从零均值高斯分布; qjbs—第 j 个观测量的刻度因素误差系数，恒为常值，其分布服从零均值高斯分布; qjnc—第 j 个观测量的随机误差，其为一高斯白噪声;

qjns

—第 j 个观测量的刻度因素随机误差系数，其为一高斯白噪声。

2.2 制导误差分析

由于采用闭环制导，制导控制系统对随机误差具有一定鲁棒性，所以本文将着重对初始偏差和类似于qjbc和qjbs这样的传感器常值误差进行仿真研究，分析它们对制导精度的影响。 2.2.1 误差分析系统建立

误差分析系统框图如图 1 所示，下面将对其结构进行分析。 ~~~~~~

图 1 误差分析系统结构图

图中所示初始状态偏差实际上是加在相应积分器中。

由前面的分析可知，观测量的实际输出值受到初始状态偏差、传感器测量误差以及传感器刻度因素误差的影响，故误差分析系统模拟程序的实际输入应包含以下几部分(以 X通道为例)：

XXxixbc~xbsX

(10) 100~~

其中，X为观测量的实际输出值， X 为标准值，xi 为初始状态偏差(只在初始时刻存在)，xbc 为传感器测量偏差，xbs为传感器刻度因素误差系数。由图 1 可以看出，为了更准确地表示传感器误差模型，这里考虑了传感器的动态性能，其传递函数设为一阶惯性环节11Ts，其中，T 为传感器时间常数，因传感器的不同而取不同值。

由误差分析系统结构框图可以看出，其输入量主要包括：标准初始状态向量、初始状态偏差、传感器测量误差、传感器刻度因素误差系数、传感器时间常数、期望终端状态;输出量为加入误差前后的仿真终端状态向量。 2.2.2 误差敏感系数矩阵求取

在有形如(7)式误差输入的情况下，首先根据图 1 生成一个模拟整个闭环制导控制系统的数字仿真程序， 然后运行该程序，对比程序输出即可得到误差敏感系数矩阵。具体运行过程如下：

第一步：将传感器误差设置为零，初始状态设置为标准值，运行模拟程序。这一步称为标准运行。 第二步： 将其中一个传感器误差设置为非零输入或者设置一个非标准初始状态，然后进行一系列运行。

第三步： 将第二步运行的系统输出和标准运行的系统输出进行比较即可确定各误差源的影响。 如X 通道标准初始偏差为xi，输入该误差前后， X 通道终端状态分别为X0 和X1，则 X 通道对标准初始偏差xi的敏感性可用(X1X0)/xi来反映。

通过这种方法， 可得到一组反映月球软着陆主制动段终端总误差向量pf和两个传感器误差向量~~~qbc、qbs以及初始状态偏差向量pi之间关系的误差敏感系数矩阵。由参考文献[6]可知，其相互关系可表示为

~~pfS1piS2qbcS3qbs(11)

其中，S

1、S2和S3分别表示相对于pi、qbc和qbs的误差敏感系数矩阵。

终端误差向量能用这种形式表示的假设条件是动力学的线性化必须在标准轨迹区域内。验证该假设条件的方法有两种： 扩大输入误差仿真法和复合仿真法， 这里略去其验证过程。 2.2.3 误差分析

假设导航系统采用常规惯性测量单元， 表 1 列出了其典型误差值， 其中， 位置误差能保持在10数量级， 速度在10数量级，加速度为 10g 数量级。 1-52~~

运用上述方法得到的敏感系数矩阵给出如下：

5.50210-3-4-3.850101.69210-3S1-38.36210-5.86010-4-3-2.57510-2.08010-4-1.05010-31.41810-11.40110-57.30110-5-1.00110-26.41110-53.24010-4-4.40710-2-2.57010-4-1.86210-3-5.58010-11.41010-57.90210-51.31210-55.71010-4-1.15710-38.10010-53.93610-21.73210-2-2.7431017.74610-1-4.02410-2-8.93910-23.21010-34.03010-31.23910-21.83310-2-2-18.742101.41410-1.19610-2-9.90110-3-2-2-2.69010-4.57710-6.81210-1-8.69510-2-5.2031002.11010-14.23510-16.17010-3-3.2811008.20210-2-5.76010-35.63310-1-3.4891022.4431014.401102-9.8331026.86410123.02010-9.85910-1-1.15410-3-40-3.13010-1.00010-1.37910-33.56010-4S2-2-3-5.402101.540101.04510-31.86410-3-34.77010-44.598109.99910-13.408100-7.21010-43.5041005.00010-55.64310-3-1.52710-19.36810-1-6.72110-1-1.30610-1-5.6314100-28.479103.73010-1S30-8.924104.61910-102.03310 -5.49410-1-3.53310-1-2.8101001.60010-31.69210-16.75510-18.99610-1-209510-12.47310-21.66410-1-1.0271007.16510-23.344100-1.1121008.61310-17.8521003.246100-1.6181003.54010-14.98210-17.67010-1-1.122100-2.397100-2.38010-1-3.650100-2.5631002.55610-1-4.29110-23.401100-1.88810-1-5.103100-3.23010-13.56610-12.25610-10-1-7.005109.93010A

1、A3:12.759

5 2,30.1297j2.1329 A2:11.552

2 2,30.6761j1.8978

由于数值仿真的起始点选为(1，0，-1)，靠近平衡点(1.5，0，-1.05)，仿真实验中混沌系统的基频w0=2.1329，基周期为为T0202.9443S。由前面的数值仿真实验知要使 Chua’s混沌系统保持其类随机性，仿真步长选在(0.0001，0.7)较为合适，用基周期来表达即为129940T015T0

,15T0内，综观三个连续混沌系统仿真步长的理论计算，我们可以统一选取15000T0这样即可以提高仿真运算速度，又可以使混沌吸引子的形状和类随机性不发生变化，这个选择范围也与通常连续混沌系统数值仿真步长的经验取值相吻合

六、模型结果及分析

七、结果分析

八、模型评价与改进方向

苏州大学高等数学竞赛范文第3篇

1 文科高等数学课开设中存在的问题

大学文科各专业, 近年来普遍开设了高等数学作为必修课, 对提高学生的数学水平和数学能力起到了一定作用。但是, 文科高等数学课基本上是理工类高等数学课的压缩和简化。它一方面试图把大量的基础的高等数学知识介绍给学生, 一方面又受课时较少的限制必须精简内容, 于是普遍采取了重结论不重证明, 重计算不重推理, 重知识不重思想的讲授方法。

文科学生为了应付考试也常以类似理科学生学习的方法去学习, 去复习。虽然较好的学生也能掌握不少高等数学知识, 但是在数学素质的提高上收效甚微。数学基础较差的文科学生, 只能是依葫芦画瓢, 勉强应付考试, 谈不到真正的理解和掌握, 更谈不到数学素质的提高。

2 文科高等数学课教学中的误区

2.1 文科学生的数学基础薄弱难于接受类似理科的教学方法

高等数学历来以其概念的高度抽象性、逻辑的严密性和推理的精确性而为人们所推崇。但这些特点要求学生具有一定的数学基础, 有数学思想和计算能力。高校招生规模的不断扩大, 使新生入学的基础差别相对增大, 而且大部分的数学基础也相对薄弱。学校的文理分科, 使得一些数学成绩不理想的学生选择了文科专业, 即文科生可以逃避自己的缺陷, 更不重视学好数学了。因此, 在大学中要求文科生学好起点更高的高等数学, 对他们来说无疑是雪上加霜, 使许多学生望而却步。

2.2 任教师资方面存在问题导致教学中出现教学误区

现在的学校基本没有专职的文科高等数学教师, 文科高等数学教师基本上是从理工科教师中抽调上课, 虽然都是教学经验丰富的教师, 但大部分教师对文科高等数学的教学工作不了解, 对文科数学的教法难把握, 简单地将文科高等数学的教学认为是理工科高等数学的一种“减”、“简”而成;同时, 教师讲解得过多, 学生自学得过少, 注入式的教学方法基本没有改变。授课教师大都习惯于给理科生讲授高等数学, 对文科生的数学底子、接受能力、抽象思维水平往往都估计得过高, 难以做到因材施教。教师对文科学生的专业了解甚少, 很难在教学中突出高数在专业中的应用, 从而让学生越学越觉得高等数学除了枯燥难学, 就是无用。如此培养出来的学生没有形成独立获取知识的能力, 没有为终身学习和继续发展奠定基础。

2.3 文科高等数学课程教材建设不完善

文科高等数学课的教学目的和要求是什么?应当包括哪些内容?这都尚有较大分歧。因此, 该课程没有通用的教学大纲, 适用教材也不多。开设该课的高校基本上是都是使用理工科高等数学教材, 略了文科学生学习高等数学的基础和接受能力。

因此, 在高校中开设文科高等数学需要从教学目标、教学方法、内容等方面实施对策和措施。如下:

2.3.1 要明确文科高等数学课程的教学目的和要求

根据文学学科的特点、作用和发展, 结合当今社会对人才的要求及文科学生将来要从事的工作来明确文科高等数学的目的和要求。

(1) 理解和掌握高等数学的基本内容、基本思想、基本方法和初步应用;

(2) 培养和加强文科学生的理性思维方式和能力, 提高文科学生的综合素质。因此, 需要高校以及任课教师转变观念, 提高认识, 在教学过程中贯彻执行。

2.3.2 文科高等数学教学应让学生以理解为主

由于文科学生我们不是培养数学研究者, 重要的是让他们掌握数学思想和数学思维方式。文科学生往往觉得高等数学不可理解, 难以接受, 许多学生容易产生畏难情绪。所以, 在教学中首先要改变这种状态, 使学生感到可以理解, 并且能轻松、愉快地完成这门课程的学习任务。一个语言贫乏、逻辑混乱的数学老师是不会被文科生接受和欢迎的。但是教师若能将数学语言尽量文学化、艺术化, 以致讲数学让人觉得讲诗一般, 定能大受文科专业的学生的欢迎。

2.3.3 根据文科生的特点, 改善教材内容改进

(1) 要选择通俗易懂的教材, 便于学生钻研教材。

(2) 要选择高数在本专业中具有应用内容适合学生的实际, 还需要教师在教学中对某些内容做较大的变动。

(3) 在文科数学概念的教学中, 可以删除过于繁琐的叙述, 用既准确又简单的描述代替。如微积分中极限的, 概念学生难以接受, 用通俗易懂的概念代替完全是可行的, 因为它不影响后面知识的学习。

(4) 数学概念是对实际问题的高度抽象和概括:即概念的形成过程是从具体到抽象。例如, 极限概念是微积分学中最重要的基础概念, 而且也是学生学习的重点和难点。在教学中, 就需要从数列极限的简单例题开始讲起, 再配合几何图形直观理解, 最后归纳概括出概念, 学生就较容易理解、接受。

所以在文科高等数学课堂教学中, 知识的讲解固然不能忽视, 作为对象的学生, 教师对基本理论, 教材中的重点难点讲解, 是必不可少的, 但是要给学生广阔的思维空间和考虑学生的接受能力。教师不能只停留在有限教材知识讲授上, 而应在教学中引导学生收集资料, 把课堂讲的有限知识与知识的无限接合起来的决心, 激发学生爱数学, 学数学的兴趣, 提高他们的数学意识。

摘要：本文主要论述文科高等数学课教学中存在的误区和问题, 并从教学目标、教学方法、教学要点等方面提出一些对策和措施。

关键词：文科高等数学,误区,对策,措施

参考文献

[1] 顾沛.文科数学的教学改革[J].中国大学教学, 2004 (8) .

[2] 张守波, 刘晓纲.关于文科高等数学教育的探讨[J].数学教育学报, 1996 (8) .

[3] 戴珍香.高校文科高等数学教学的认识和实践[J].高等数学研究, 2005 (1) .

[4] 李光华.从教育数学谈高等数学的教学方法[J].科技经济市场, 2006 (1) .

苏州大学高等数学竞赛范文第4篇

1 适当使用形象化思维来帮助灵活记忆和应用一些公式。

在高等数学的学习中, 必须对教材中复杂繁多的公式的记忆和运用是这门课程枯燥乏味的一个重要原因。如果只是一味的死记这些公式就更加增加了这门课程的枯燥性。对于这些复杂的公式要在理解的基础上灵活掌握, 形象地记忆。

例如:在定积分的应用中求平面图形的面积时, 给出平面图形面积计算公式

在利用这个公式解决此类型的问题时, 重点和难点就如何来确定被积函数, 也即是对于ϕ2 (x) -ϕ1 (x) (或ϕ2 (y) -ϕ1 (y) ) 来说, ϕ2 (x) 与1ϕ (x) (或ϕ2 (y) 与1ϕ (y) ) 哪一个函数作为减数, 哪一个函数作为被减数。对此, 我们可以把要求的平面图形形象地看成是上下放置 (或左右放置) 的, 作为被积函数的ϕ2 (x) -ϕ1 (x) (或ϕ2 (y) -ϕ1 (y) ) , 可以看作是位于上方的曲线函数ϕ2 (x) (或右方的曲线函数ϕ2 (y) ) 减去位于下方的曲线函数1ϕ (x) (或左方的曲线函数1ϕ (y) ) 。而对于一些复杂的不易确定函数曲线的上下 (或左右) 位置的平面图形, 我们可以形象地用垂直于x轴 (或y轴) 的直线自下而上 (或自左而右) 穿过此平面图形, 则先经过的就是位于下方 (或左方) 的函数曲线, 后经过的就是位于上方 (或右方) 的函数曲线。

这样, 在枯燥无趣的公式中增添形象化思维不仅使得这些重要公式轻轻松松的被牢记住, 而且运用起来也变得得心应手。对这些公式的记忆和理解就不再是学生的负担, 无形中就增添了学生学习的乐趣。

2 在讲课过程中介绍一些相关数学家的故事, 调动学生的学习兴趣, 激励他们进行科学创新的热情

在讲课过程中穿插一些有趣的数学小故事, 不仅能够活跃课堂气氛, 增加课程内容的趣味性, 而且能够激励同学们求知的欲望及向数学家们学习创新的热情。

譬如, 在讲牛顿-莱布尼茨公式时, 告诉同学们以此公式为基础的微积分是牛顿和莱布尼茨相互独立发明的, 而不是两人共同合作发明。然而, 当时有关微积分发明优先权的争论使得支持莱布尼茨的欧陆数学家和支持牛顿的英国数学家两派互相尖锐地攻击对方, 造成不和, 极大地影响了数学的发展。但后来事情得到澄清, 调查证实两人确实是相互独立地发明了微积分, 就发明时间而言, 牛顿早于莱布尼茨;就发表时间而言, 莱布尼茨早于牛顿。

在讲到微分方程中的常数变易法时, 告诉大家这是欧洲伟大的数学家拉格朗日发明的方法, 又称为拉格朗日常数变易法。拉格朗日19岁就已经被聘为都灵皇家炮兵学校教授, 拿破仑曾称赞他“是一座高耸在数学世界的金字塔”。

介绍这些知识既增添了数学内容的文艺性, 又极大地提高了同学们对数学学习的兴趣与积极性。

3 让学生明白数学其实是来源实际于生活, 又应用在实际生活中, 并不是凭空抽象的

不止一个同学问过我:老师, 高等数学总是用这么抽象难懂的语言来描述事物, 它到底和实际生活有什么关系, 我们学习它又究竟有什么用途呢?于是我给他们简述了一个有趣的小故事:美国普林斯顿大学、麻省理工学院、弗吉尼亚理工学院共同合作研究一个现象长达三年半, 就是研究猫附身伸出舌头喝盘子里的牛奶时为什么不会弄湿下巴的毛。猫的舌头一秒钟可以高速舔4次, 每次喝进0.1ml牛奶, 科学家们在三年半的时间里反复仔细地把猫喝奶的短片看了无数次, 终于算出了猫舌头出击的速度和每次卷舌头的频率之间的一个数学方程式, 再把猫舌的面积加进去, 就得到一个叫“佛罗德函数”的数学函数——一只猫每伸一次舌头添进多少牛奶, 与猫舌头面积和伸缩速度的关系。此后物理学家看片记录, 数学家分析数据, 终于推导出了一个流体力学新公式。通过这个小故事就让同学们自己意识到数学是从实际生活中抽象而来的, 只要留心且用心生活中处处皆“数学”。

而在讲到定积分的定义时, 也适时地通过介绍几何、物理及经济上的一些例子告诉他们这个定义也是从实际问题中抽象而得的, 并不是没有实际依据的。这就让同学们在轻松快乐的气氛中明白了数学来源于实际生活并抽象于实际生活的, 和实际生活有着密切的关系。

4 适当使用多媒体技术

传统的数学作为一种形式体系, 强调证明、推广、抽象等一系列推理方式。但随着计算机技术的迅猛发展及应用的普及数学的内涵得到了延伸, 产生了计算机数学, 数学实验也已经被人们高度重视并成为数学的重要组成部分, 多媒体技术在数学教学中得到广泛应用。利用多媒体课件教学可以节省课时, 加大课堂信息量, 使“板书”生动、清晰、形象, 具有强烈的表现力, 使数学概念的形成、图形的生成和发展具有可视性, 增加了教学内容的直观性, 并且还可以有效提高课堂教学效率, 极大程度地激发学生的学习热情和创新精神。但由于高等数学教学的特殊性, 使用多媒体要适度, 如学生过多地关注屏幕就会降低了课堂教学的感染力, 减少了师生之间的直接交流, 学生在课堂上思考的时间不足笔记困难, 易于疲劳等。因此, 要适当使用多媒体课件, 并且要同时进行一些必要的黑板板书。

5 鼓励学生参加数学建模。

数学建模是利用数学的理论知识抽象简化并分析和解决实际问题的一种非常重要的数学方法, 它是把数学理论与实际问题联系起来的桥梁。

由于数学建模并没有设定题目的标准答案, 这样可以从各方面发挥学生的创造性, 最大限度地激发出学生的潜能。数学建模真正做到了以学生为主, 能够培养学生团结协作的团队精神及主动探索的学习精神, 能够使他们提高利用数学分析问题和解决问题的能力, 并极大地提高他们对数学学习的兴趣和应用数学能力, 而且有利于学生在学习的过程中形成一个生动活泼的环境和气氛, 充分调动学生应用数学知识分析和解决实际问题的积极性。增强了学生学习数学的积极性和主动性, 在锻炼学生能力的同时, 使学生的素质不断得到提高。

摘要：高等数学是大学教学中的一门重要课程, 但它又被普遍认为是一门枯燥乏味的学科本文就如何增强高等数学在教学中的趣味性提出了几点建议。

关键词：高等数学,趣味性,数学建模

参考文献

[1] 吴传声.经济数学——微积分[M].北京:高等教育出版社, 2003.

苏州大学高等数学竞赛范文第5篇

高等数学是高校文科管理类和理工科非数学专业开设的一门非常重要的基础课程, 它不仅是学生学习后续课的重要基础而且对培养学生理性思维、创造意识、审美意识、应用意识等基本素质起到重要的作用。经过一学年的教学工作以及对学生高数学习效果的观察, 发现其中还存在许多问题: (1) 课堂上虽然纪律很好, 但却出现学生上课注意力不集中, 许多学生对老师提出的问题不能积极思考, 布置练习题不能及时完成的现象。 (2) 辅导答疑时间仅有个别同学提出问题。 (3) 课后作业雷同现象严重, 作业的准确率很高。 (4) 考试成绩不理想, 通过率很低。

2调查内容

(1) 调查目的为了更深入了解学生学习高等数学的具体情况, 改进教学方法, 提高教学质量, 使学生尽可能轻松愉快的学习高等数学, 我们对我校大一学生进行了一次问卷调查。

(2) 调查对象。随机抽取了高新学院2007级经管类学生63名和理工类学生67名。

(3) 调查方法。问卷式调查。

(4) 调查结果。本次调查共发放问卷130份, 回收问卷122份, 回收率93.8%。

3调查分析

通过对回收问卷逐项统计, 可以看到当前我校学生高等数学学习的现状。

(1) 对学生数学基础和学习高等数学的兴趣调查。调查结果显示, 高考成绩在120~150分之间的仅有7%, 90~120分的有61%, 90分以下的有32%;40%的学生对数学的兴趣很大或者比较大, 60%的学生对数学的兴趣一般或者没有。这说明: (1) 学生数学基础比较差, 仅有少部分学生具有较强的计算能力、数学思维能力和综合分析问题的能力。基础的数学知识, 是知识和能力再生产的原料, 所以数学基础知识的缺乏会对后续学习更高层次的数学知识带来很大的障碍。 (2) 学生对数学兴趣不高。爱因斯坦曾经说过“兴趣是最好的老师”, 是推动激励学习最有效的动力。由此可见, 学生对数学兴趣不大是导致高等数学成绩普遍不高的一个重要因素。

(2) 对高等数学教材适应性的调查。调查结果显示, “你认为在现用教材的要求下, 高等数学的学习”有2%学生认为很简单, 29%学生认为比较简单, 60%学生认为比较难, 9%学生认为很难;“你觉得在高等数学学习中对基本概念的理解是”, 有5%学生认为很简单, 35%学生认为比较简单, 51%学生认为比较难, 9%学生认为很难;“你觉得在高等数学学习中对基本运算的掌握是”, 有5%学生认为很简单, 54%学生认为比较简单, 39%学生认为比较难, 2%学生认为很难。这三个问题的调查结果显示现在使用的教材对大多数学生来说比较难, 不适应现有学生的认知水平, 从而极大的挫伤了学生学习的积极性。

(3) 对学生数学学习态度的调查。调查结果显示, “课堂上, 你对老师的提问是”38%学生选择积极思考, 37%的学生选择与同学讨论, 25%的学生不思考;“你的作业完成情况”有36%学生独立完成, 48%学生帮助完成, 16%学生抄袭;“课后, 你对当天所学的数学知识能否及时复习?”仅有12%的学生每天复习1小时以上, 61%的学生偶尔复习时间不定, 27%的学生几乎不复习。这说明: (1) 有75%的学生在课堂上是积极的、是在思考问题的, 但仍有1/4的学生从不思考。通过个别访谈了解到这些学生不思考的原因主要是:一部分学生很聪明但思想散漫、懒惰、贪玩, 学习过程中不愿作为、不肯作为。还有一部分学生想学但基础太差, 对高中的许多数学知识都没学懂, 所以高数对于他们来说更是难上加难。 (2) 课后作业大部分学生都能按时完成, 但能真正通过自己独立思考完成的人很少, 有几乎2/3学生是靠与其他同学讨论或直接抄袭完成的, 名义上是讨论交流, 实质上几乎照搬别人完成的。 (3) 大部分学生不能够课后及时复习高数, 甚至于学生错误的把学好数学的希望完全寄托在老师身上。

(4) 对学生数学学习方法的调查。调查结果显示, “在数学学习中, 你遇到不会的问题你是如何处理的?”有7%的学生及时问老师, 65%的学生及时与同学交流, 18%的学生反复思考, 不轻言放弃, 直到弄懂为止, 10%的学生觉得自己不可能解答出, 放弃这道题;“课余时间, 你是否经常看高等数学方面的辅导书?”仅有3%的学生经常看, 51%的学生偶尔看, 46%的学生从来不看。这表明: (1) 不少学生缺乏自学能力, 独立思考能力和意志力。 (2) 学生缺乏有效的学习方法, 还没有学会学习。在高等数学的学习中沿用死记硬背的方法, 所学内容不能融会贯通, 对挫折承受力差, 有严重的自卑感。

(5) 对学生数学学习能力的调查。调查结果显示, “你是否觉得听懂了老师的讲课, 自己做却总是做不出来?”有41%的学生选择是, 47%的学生选择有时是, 12%的学生择不是;“你觉得在数学学习过程中自己欠缺哪方面的能力?”有35%的学生缺乏逻辑思维能力, 42%的学生欠缺分析能力, 42%的学生缺乏创新能力。这表明: (1) 大部分学生的理解力差, 仅是表面听懂了, 实质上对老师所讲的知识没有理解透彻, 不能够举一反三。 (2) 有相当一部分学生数学能力差, 这一点也充分体现在考试中。由于参加考试的学生都是非数学专业, 因此根据学科特点考试题中计算题、解答题稍多证明题较少。学生计算的准确率较低, 很少有学生步骤和答案完全正确的。证明题往往是拉开层次的题, 综合性较强, 所以得分率更是低。

(6) 对数学教师课堂教学的调查。通过学期末的学评教活动以及两道简述题的问卷, 调查结果显示, “你认为你的高数老师应注意什么, 才能满足大多数同学的要求?”“谈谈你理想中的数学课堂状况。”大部分学生对高数教师教学是认可的, 但也提出了一些诚恳的意见:课堂上要营造快乐的学习气氛, 多注意与学生的互动交流讨论, 师生打成一片, 使同学们的思想能够让老师知道;应注意讲题的方式教法新颖, 因材施教针对不同层次学生采取不同教法;应注意学生的数学基础及接受能力。

摘要：为了更深入了解独立学院学生学习高等数学的具体情况, 从而改进教学方法、提高教学质量, 使学生尽可能轻松愉快的学习高等数学, 对我院大一学生进行了问卷调查。通过问卷调查, 了解和掌握学生的学习动态, 分析了学生的学习状况, 有针对性地提出了高等数学教与学存在的问题和解决办法。

关键词：高等数学,学习现状,调查分析,教学

参考文献

[1] 张大均.教育心理学[M].人民教育出版社, 2004, 4.

[2] 罗增儒, 李文铭[M].陕西师范大学出版社, 2006, 12.

[3] 朱惠健, 金健.关于高等数学学习状况的调查分析[J].常熟理工学院学报, 2005, 11 (19) :6.

苏州大学高等数学竞赛范文第6篇

摘 要：随着高中数学课程改革的不断进行，本文就高等数学与高中数学的衔接问题展开讨论，由两者之间的区别进行一个过渡，总结两者在衔接中存在的问题，最终提出相应的解决策略，希望能够为数学界更完美的发展提供参考。

关键词：高等数学；高中数学；教学内容；衔接

高等数学这门课程在各理工大学中的开设具有十分重要的意义，可以让学生对数学知识的掌握更加的牢靠，对数学的中心思想理解的更加深刻，同时高等数学也是一个基础课程。近年来，越来越多的大学生反映学习的枯燥无味，要想平稳地达到教学指标，必须提高高等数学和高中数学之间的衔接。

一、认清高等数学与高中数学之间的区别

（一）高等数学与高中数学从教学内容上存在差别。高等教学教育，老师只是一个引导者，介绍知识及解决问题的方法，教学进度比较快，严格按照进度进行，每节课都有规定的量。

（二）高等数学与高中数学在思想上存在差异。高中数学是专门与高考制度和课程改革理念相呼应的，其教材反映学生的内心特征，是以教师为主导，仅对知识本身进行灌输式教学的局限思想。而高等教学更注重对数学理论进行探究，对数学定理和原理进行论证。

（三）高等数学与高中数学的教学目标存在差异。高中学生学习的目标是为了应对高考，能够牢记数学课本的基础知识并应用到数学试题的计算和解答当中是每一个学生的最终目标。而高等教学更加注重学生的创新和实际运用能力。利用高等数学解决生活的实际问题是高等数学的核心目标。

二、高等数学与高中数学衔接的阻碍

（一）高等数学与高中数学存在脱节问题

1. 教学内容的脱节。随着高中新课程的改革，高中的数学教学内容和基本教学理念都有了很大的改变，由于高校的改革是相对独立的，所以不免滞后于前者，再加上两者缺乏教学内容的交流，脱节问题自然而然就会出现。

2. 教学难度的脱节。高等数学对理论性的要求是相当强的，对知识概念必须进行内在的探究，而高中数学的学习和运用都是比较简单的，理论论证的方法不专业，抽象思维的练习也不够。

3. 教学方式和学习方式的脱节。高中教师的教学方式是典型的应试教育模式，教学进度慢，课堂信息量小，知识点讲解细致。而高等数学的教学方式侧重于对学生综合运用能力和实际操作能力的培养，教师只起到引导作用。

（二）高等教学与高中教学环境存在差异。高中时期，必须有一个明确的目标，数学这门课程更是不能放弃的，相对封闭的学习环境和充满无形压力的学习氛围使学生拥有较高的学习积极性。而大学里开放和自由的环境使学生自学的时间变得比较多，自我的压力和约束力以及与教师的交流也越来越少，学生的思想变得松懈，挂科变成了一件普遍的事情。

（三）高等数学与高中数学存在重复问题。高等数学与高中数学有部分教学内容存在重复的问题。教师讲解不当，不仅浪费了有限的教学时间，还会导致学生产生了烦躁的情绪。相反的一部分虽然在高中出现过，但却需要更深的推证和论述，用更高的观点阐释，往往却不能被严格对待。

三、完善高等数学与高中数学教学衔接的对策

（一）完善高中数学教学的方式。高中数学的教学不应当以应试为唯一目標，要注重培养学生的主动学习能力，激发学生对数学的兴趣和积极性。教师不要步步带领，要结合现代先进的学习软件让学生融入科技的场景学习之中。在教学过程中，采用案例教学方法，可以更好的带动学生主动思考问题，更有效的提高学生积极解决问题的能力。

（二）做好教学进度的过渡。教育心理学研究表明：学生由原来习惯性的教学方式过渡到一种新的教学方式，需要一定时间[5]。如若从一开始开始就进行大幅度的快速教学，学生无法很好的进行适应。所以，大学教师在初始阶段必须进行适当的、缓慢的教学进度，随着学生的适当再逐渐加快，从学生的适应期过渡到正常期，才是真正有效的教学制度。

（三）注重新课程改革的引入。高校的教师要想与高中数学教学制度衔接，必须主动的去了解如今高中数学的内容，从而做到因材施教。在高等数学教学的课程计划制定时，要结合一切实际的情况。在全面了解高中数学知识的作用和内在联系的基础上，注重系旧引新，从而制定出最有效的教材。

（四）加强实际的教学应用。通过实际的应用活动不仅能对学生的知识点进行有效巩固，而且还会使学生对数学的学习产生更深厚的兴趣和积极性。因此在教师的教学中，大量的生活题材是必不可少的。在此，作者认为，可以在每个学年的学习中设置1-2个月的实习，相信这对于学生以后的培训和就业都会起到巨大的作用。

结语

高等数学教育与高中数学教育是密不可分的，高中数学教育是高等数学教育的基础，高等数学教育是高中数学教育的深化。做好高等数学与高中数学的衔接是数学教学的核心。这就要求必须做好高中数学教学到高等数学教学的有效过渡，为此后社会性人才的培养奠定基础。

[参考文献]

[1] 宋娟.高等数学与高中数学的衔接与区别[J].湖北经济学院学

报，2011，10（8）.

[2] 史艳华，王芬玲.高等数学与高中数学的衔接问题探讨[J].教

育与职业，2013，20.

[3] 沈静，李凌，张舒.高等数学与高中数学教学内容衔接问题的

研究[J].现中国西部科技，2013，11（12）.

[4] 庞轶文.浅析高中数学与高等数学教学的衔接[J].中国电子商

务，2014，1.

[5] 王继红.浅议高等数学与高中数学的衔接[J].投资与合作，

2011，4.