教学注记范文（精选10篇）
教学注记 第1篇
《数学分析》是信息与计算科学专业的一门重要基础课, 不定积分、定积分、广义积分与微元法是该门课程的内容.对这四个内容的理解与把握程度, 直接影响到后面的教学:把握得当, 将使学生对该门课程产生兴趣、提高了学生分析、解决问题的能力与手段;把握不当, 将使学生对该门课程感到茫然而不知所措, 只能是机械地画葫芦, 对提升学生能力没有起到任何作用.因此, 让学生对这些定义与它们数学表示符号的准确理解是非常有重要的.
一、不定积分的教学研究状况以及应注意的问题
对不定积分的教学研究一直受到学者们的重视.刘光提出了在不定积分教学中, 通过改进教学理念和方法, 正确引导学生学习和思考;蒋红英在不定积分的教学中, 针对不定积分的概念及计算问题, 归纳出解决不定积分应注意的几个问题, 着重讨论了不定积分中的常数C的问题;相秀芬通过实例研究了第二换元积分法中, 使用三角代换对夹角范围的限制没有缩小被积函数的定义域的范围;郑镇汉研究了在不定积分计算过程中不能忽视区间.所有上面的这些对促进不定积分的教学都起到了促进的作用;但关于不定积分的符号的整体性研究说明不多见, 而多年的教学发现, 这点对于数学的严谨性与提高学生的分析能力很重要, 因此对这方面的教学研究具有实际意义.
不定积分教学中应注意不定积分符号的整体性.
不定积分的定义是:对于一个函数f (x) , x∈I, 如果存在函数F (x) , 使得F′ (x) =f (x) , x∈I, 则称F (x) 是f (x) 的一个原函数.通过证明可得到, 这时f (x) 的任意一个原函数都可写为F (x) +C.函数f (x) 在区间Ⅰ上的全体原函数称为f (x) 在Ⅰ上的不定积分, 记作∫f (x) dx.
因此符号∫f (x) dx是一个整体符号, 表示的意义就是f (x) 的全体原函数, 是不能拆开的.但在利用换元法的计算不定积分时, 却给学生一个印象, 这些符号可以拆开.例如,
∫cos2x· (2x) ′dx=∫sin2xd (2x) =cos2x+C.
从这里学生认为积分符号中f (x) dx是表示f (x) 与dx的乘积.其实这是一个错误的认识.产生这样错误的认识是因为对换元积分公式掌握不牢.
换元积分公式为:若∫f (u) du=G (u) +C, 则
∫f (φ (x) ) φ′ (x) dx=G (φ (x) ) +C.
为方便运算与记忆, 通常公式写为
∫f (φ (x) ) φ′ (x) dx=∫f (φ (x) ) dφ (x) =G (φ (x) ) +C.
因此, 在不定积分中, 把∫f (φ (x) ) φ′ (x) dx写成为
∫f (φ (x) ) dφ (x) 是一个形式, 是为了方便记忆与运算.
对这一点内容强调与注意, 对培养学生严谨与对后面知识的正确理解是很重要的.
二、定积分的教学研究状况以及应注意的问题
定积分的引入实质就是一种分析解决问题方法的质的飞跃, 对该定义讲解的程度对学生将影响一生.因此, 对该定义的教学倍受关注.张景中提出了定积分的一个不依赖极限概念的新的定义, 新的定义比黎曼积分的定义更为简单并且更容易掌握;陈延德分析了定积分定义中的任意分割与任意取点的必要性及其灵活应用;徐龙封提出在教学过程, 必须重视定积分的定义和本质、微元法的原理和微元的计算、微元的精确性和以直代曲的取直方式等关键性问题.这些对定积分的教学起到好的作用, 但关于定积分的引入过程教学、定义的引导、符号的表示、牛顿公式的说明等的研究, 还很少涉及;因此对这些问题分析与研究, 有现实意义.
1.定积分引入应注意的问题
定积分定义的引入, 应以问题提出, 给出一些特殊的图形, 计算它们的面积;接着给出曲边梯形的面积问题, 引导学生对该梯形面积的计算.学生得到无法计算该图形面积, 然后启发学生先计算面积的近似值, 学生提出把它看作一个矩形, 这样做有误差, 教师进一步提出是否有什么改进的策略使计算可以更精确一些, 可以分割成小一点的曲边梯形, 一步步引入, 最后分析得出曲边梯形的面积为:
undefinedundefinedf (ξi) Δxi.
然后以物理上的变力做功的问题为例子, 得到变力做功的大小为
undefinedundefinedF (ξi) Δxi.
通过这两个例子指出, 很多问题按以上的方法, 最终转化为计算undefinedundefinedf (ξi) Δxi.接着通过系统的分析, 引入分割、分割的模等概念, 以上的极限写为undefinedundefinedf (ξi) Δxi.最后指出分割、求和、取极限是分析、解决问题的一种非常有效的方法, 并结合极限的定义, 由学生写出定积分的ε语言.通过这样的教学对提升学生的创新能力是非常有帮助的.
2.定积分符号表示应注意的
函数y=f (x) 在[a, b]上的定积分是指极限
undefinedundefinedf (ξi) Δxi, 即∫undefinedundefinedundefinedf (ξi) Δxi.
一定要强调, 这个极限用符号∫undefinedf (x) dx来记, 而且是把区间的左端点作为下限, 区间的右端点作为上限, 这样强调有必要.多年教学体会, 如果这里不强调记号, 则对后面的第一型曲线积分、第二型曲线积分的积分限的确定很难讲清楚;而且学生一旦形成不注意严密, 在不是很清楚的情况下, 总是采用照样画葫芦的学习, 这样的学习对学生将起不到提高能力的作用.
3.定积分计算公式应注意的
定积分的牛顿—莱布尼茨计算公式为
∫undefinedf (x) dx=undefined
这里在f (x) 可积的情况下, F (x) 必须满足: (1) 除有限个点外均有F′ (x) =f (x) ; (2) F (x) 必须在[a, b]上连续.这些条件是非常重要的.学生刚开始学时, 总是按公式不加考虑地计算, 出了问题后, 又总是百思不得其解, 这样很容易产生厌烦情绪.
例如,
undefined
显然F (x) 除点0外, 都有F′ (x) =x.若这时利用牛顿公式
∫undefinedxdx=undefinedundefined
这个答案是错的, 这是因为F (x) 在[0, 1]不连续.所以在利用牛顿—莱布尼茨公式时, 不能用这个F (x) , 应该找一个连续的.如取undefined, 因此∫undefinedundefined.类似这样的问题在被积函数比较复杂时是经常碰到的, 而若教师在没有强调的情况下, 以后学生是很容易出错的.
三、广义积分教学的研究现状及其应注意的问题
广义积分是由于定积分在解决实际问题时所具有的缺陷而提出的一种解决办法.定积分一定要求被积函数是有界的, 同时积分区间也要求是有限时才有意义.而这样的限制, 使得定积分在实际中的应用受到了限制.有些情况如被积函数无界或者积分区间无限时也有解, 但却无法用定积分来处理.因此, 这就要求突破定积分的定义, 提出一种新的解决方案, 这就是广义积分.对广义积分教学的研究一直受到学者的重视, 王荣乾对现行不规范的广义积分的定义进行了研究, 提出了更为合理的概念;兰春霞对广义积分的教学作了一个整体的设计, 这对该部分教学有作用.在纵观广义积分的教学研究中, 关于广义积分的引入都以曲线undefined与x轴、x=1所围成的面积而引入∫undefinedundefined, 对于这样的引入仔细深究是不妥的.因为面积是一块封闭区域的大小, 而以上三条曲线所得到的区域不是封闭的, 因此, 如上引入容易引起学生的不可接受.其实可以让一个点从点 (1, 1) 沿曲线undefined运动, 并过该点作x轴的垂线, 这时所围成的区域随着点的运动而不停地变化, 然后请学生分析这在该点区域无穷远时, 区域的面积的极限.这样便可得到undefined∫undefinedundefined.最后由此引入无穷限的广义积分.这样引入克服了谈论非封闭区域的面积, 使学生更容易接受.
四、微元法的教学研究状况以及应注意的问题
微元法是利用定积分求解实际问题的一种快速分析法.该方法的特点是先给出解决实际问题的近似策略, 其次通过分析, 建立问题的积分表达式, 然后通过求解积分表达式得出问题的解.该方法在掌握方面有一定的难度, 却非常适用.因此, 对该方法的教学研究也一直受到关注.张新建对微元法的教学提了几点注记, 罗桂銮对微元法的教学提出了一点注记, 所有这些对微元法的教学有一定作用.但关于微元法的教学, 完全可以采用原理的证明, 最后通过归纳原理得出微元法.
设有一个量Q分布在区间[a, b]上, 若在区间[a, b]上任意取一小区间段[x, x+Δx], 且这时能把这一段的关于Q的近似值算出来:ΔQ≈f (x) Δx, 而且误差ΔQ-f (x) Δx=0 (Δx) , 则dQ=f (x) dx, ∫undefineddQ=∫undefinedf (x) dx, Q=∫undefinedf (x) dx, 所以要计算Q, 只要能求出Q在任意小区间[x, x+Δx]的一个比Δx高阶的近似值, 则Q就计算出来.
通过上面可以看出, 要求Q只要求出微分, 然后积分就得到Q, 这就是微元法.
在实际运用中, 特别是工程方面的书籍, 都按想当然的方式给出量Q在[x, x+Δx]的一个近似值, 然后就说那个近似值是所求的量的微分, 然后积分就得出结果;根本不验证所取的近似值是否是所求的量的微分.这样做的结果是使得很多学生在求任意一条曲线y=f (x) , x∈[a, b]的弧长时, 很自然地取曲线在小区间段[x, x+Δx]上的弧长近似取为Δl≈Δx, dl=dx, l=∫undefineddx=b-a, 这个结果学生知道显然是错的, 但就找不出原因, 这样的学生可不是少数.究其原因是没有讲清微元的核心, 近似不能任意取, 一定要求所取的近似值是微分.
五、结论
不定积分、定积分、广义积分、微元法等这些概念是数学分析的基础概念, 本文根据作者多年的教学经验, 给出了这些概念的一些教学研究, 分析了学生容易出错的原因以及教学中应给予注意的事项, 旨在促进教学质量的提高.这些教学经验, 通过实际教学的检验, 教学效果良好.
摘要：《数学分析》课程是数学专业和信息与计算科学专业的重要基础课, 该门课教学质量直接影响这两个专业学生的后续学习, 对该门课的教学研究一直受到广泛的重视.教学的严谨、明确、不含糊是提高教学质量与激起学生学习兴趣的必不可少的条件, 也是衡量教学质量高低的重要方面.本文就数学分析教学中关于不定积分、定积分、广义积分、微元法等的教学给出了一些注记, 旨在提高教学质量.
关键词：数学分析,不定积分,定积分,微元法,教学质量
参考文献
[1]数学分析.华东师范大学数学系.北京:高等教育出版社, 2006.
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[4]相秀芬.几个不定积分计算问题的教学体会[J].承德石油高等专科学校学报, 2007, 9 (2) , 52-55.
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[11]张新建, 朱健民.关于“高等数学”教材对定积分元素法处理的几点注记[J].大学数学, 2008, 24 (2) , 163-166.
鲁迅小说注记 第2篇
《孔乙己》的故事完全是通过咸亨酒店一个小伙计的眼睛来观察，用他的口气来叙述的，他本人也是故事中的一个角色，当然是一个次要的角色。
就用故事中一个角色来讲故事，先前虽然也曾有人试验过，但在当时还算是新的办法；中国小说历来的叙述者，要么是一个类乎代表官方、掌握全部情况的史官，要么是一个身在民间而无所不知的说书艺人——他们俯看庐山，全局在胸，指挥如意；现在却用一个此山中人来说话，所有的情况就全变化了。原来是怎么看都行的中国画，现在是定点透视的西洋画。
鲁迅的高妙之处在于，手法虽然全新，而仍然具有中国画的笔墨气韵，并没有让人不习惯的洋气。鲁迅早就说过，中国未来的文化应当“外之既不后于世界之思潮，内之仍弗失固有之血脉”（《坟·文化偏至论》），一篇《孔乙己》，就已经具体而微地把这样美妙的理想落实下来了。
《孔乙己》不仅充满中国的民族特色，而且带有绍兴的地方色彩。在小酒店里喝点老酒，来一碟茴香豆，这是绍兴啊。
故事的叙述者“我”是一个老实孩子，被推荐进咸亨酒店以后，掌柜以为样子太傻，怕侍候不了长衫主顾，安排在外面当小伙计，然而“外面的短衣主顾，虽然容易说话，但唠唠叨叨缠夹不清的也很不少。他们往往要亲眼看着黄酒从坛子里舀出来，看过壶子底里有水没有，又亲眼看壶子放在热水里，然后放心；在这严重监督下，羼水也为难”。这小伙计不会在酒壶子里羼水，于是被安排去专门温酒，干最低级的工作。
“看过壶子底里有水没有”，这句话颇不容易理解，每次在舀酒之前先在壶子里放上水，岂不太露骨了吗？
这就得了解当年绍兴酒店里的一套操作过程，周作人有《谈酒》一文，说得最为清楚，他写道，当年绍兴人到酒店喝酒，“平常起码总是两碗，合一‘串筒’，价值似乎是六文一碗。串筒略如倒写的凸字，上下部如一与三之比，以洋铁为之，无盖无嘴，可倒而不可筛。据好酒家说，酒以倒为正宗，筛出来的不大好吃。唯酒保于量酒之前先‘荡’（置水于器内，摇荡而洗涤之谓）串筒，荡后往往将清水之一部分留在筒内，客嫌酒淡，常起争执。故喝酒老手必先戒堂倌勿荡串筒，并监视其量好放在温酒架上。”原来羼水的奥妙在于荡串筒时留部分水在里面，这样酒就可以少舀一些还是满满的一筒，成本就降低了。
“串筒”一词地方色彩过浓，鲁迅改为比较普通的“壶子”，精明的顾客“看过壶子底里有水没有”，即指了解堂倌在荡串筒时有没有做手脚，以免吃亏。等到酒舀好了放到温酒架上去以后，酒店伙计就不好再捣鬼了。小说里的“我”太老实了，没有资格荡串筒舀酒，只能专事温酒这一种无聊的职务。
不会忽悠顾客的伙计在掌柜眼中不是好伙计，只能干些技术含量最低或完全没有这种含量的低级工作；然而就只这样的小家伙，也不大瞧得起孔乙己。
要彻底读通鲁迅小说，最好能更多地了解绍兴地方文化，在这方面，周作人提供的材料具有无可代替的重大价值。周作人的《谈酒》一文作于1926年6月20日，收入《泽泻集》（上海北新书局1927年版），后来又收入他的自选集《知堂文存》（上海天马书店1933年版）。
《一件小事》
《一件小事》大约取材于鲁迅自己的经历。据孙席珍先生回忆说，鲁迅曾在课堂上说过“我写《一件小事》……是真的遇见了那件事，当时没想到一个微不足道的洋车夫，竟有那样崇高的品德，他确实使我受了深刻的教育，才写那篇东西的”（《鲁迅先生怎样教导我们的》，《鲁迅诞辰百年纪念集》，湖南人民出版社1981年版，第99页）。作品中的“S门”很可能就是顺治门亦即宣武门，为鲁迅上下班的必经之地。
不过这篇小说仍然不能看成是完全的实录，作品中的“我”也不能等同于鲁迅本人。鲁迅说过，他的小说“所写的事迹，大抵有一点见过或听过的缘由，但决不全用这事实，只是采取一端，加以改造，或生发开去，到足以完全发表我的意见为止”（《南腔北调集·我怎么做起小说来》）。他不写现在之所谓“纪实小说”，不专门用某一个人做模特儿。
鲁迅还有一个深刻的论点：“纵使谁整个的进了小说，如果作者手腕高妙，作品久传的话，读者所见的就是书中人，和这曾经实有的人倒不相干了”（《且介亭杂文末编·〈出关〉的“关”》）。鲁迅没有用过这种办法，而即使用此法，优秀小说中的人物还是一个艺术形象，具有独立的生命，而不必同那曾经实有的人、确有的事等量齐观。读小说而致力于索隐是没有什么意思的——可惜索隐派至今顽健如昔，在《红楼梦》研究中尤为猖獗，在鲁迅研究中也远未绝迹。
《故乡》
《故乡》也部分地取材于鲁迅自己的经历，但也并非完全的实录。《故乡》结尾处（倒数第三自然段）有一通著名的议论：
我竟与闰土隔绝到这地步了，但我们的后辈还是一气，宏儿不是正在想念水生么。我希望他们不再像我，又大家隔膜起来……然而我又不愿他们为了一气，都如我的辛苦辗转而生活，也不愿他们都如闰土的辛苦麻木而生活，也不愿都如别人的辛苦恣睢而生活。他们应该有新的生活，为我们未经生活过的。
早在《故乡》发表之初（《新青年》第九卷第一号，1921年5月），茅盾就曾指出，这一段乃是作者的点题之笔（详见《评四五六月的创作》，《小说月报》第12卷第8期，1921年8月），此意后来颇有人加以发挥。这里的问题在于，“辛苦辗转”、“辛苦麻木”这两种生活所指比较明确；而“别人的辛苦恣睢而生活”则所指不甚分明，一种流行的意见说，这里的“辛苦”是反语，“恣睢”则是放纵、凶暴的意思，指的是压迫者、剥削者，他们作恶多端，因此遭到鲁迅的坚决反对云云。
这样的理解好像有点奇怪，前两个“辛苦”不是反语，到第三个忽然成了反语，修辞中似无此格，以鲁迅行文之谨严，恐怕不能这样鹘突。而“恣睢”一词本是放纵无拘束的意思，《史记·李斯列传》引申子曰：“有天下而不恣睢，命之曰以天下为桎梏”；司马贞《索隐》云：“恣睢犹放纵也，谓肆情纵恣也”；《现代汉语词典》将“恣睢”解释为“任意胡为”。在《故乡》中肆情纵恣的是谁？只有一个人，她就是如今外形有似圆规的杨二嫂。
杨二嫂也很辛苦，早年她家开豆腐店，用现在的话说是个体户，做的是很辛苦的小买卖，所以她自称“小户人家”——根本不是什么压迫者、剥削者。那时她三十多岁，擦着白粉终日在里面坐着，化装售货，还是安分守己的，并未任意胡为。
可是到二十年后，她就“恣睢”起来了。说话信口开河，尖酸刻薄，而说来说去无非想占点小便宜，打那些木器家具的主意，未能如愿后行为就有些不轨——
“啊呀啊呀，真是愈有钱，便愈是一毫不肯放松，愈是一毫不肯放松，便愈有钱……”圆规一面愤愤的回转身，一面絮絮的说，慢慢向外走，顺便将我母亲的一副手套塞在裤腰里，出去了。
后来她又无中生有地告发闰土在灰堆里埋着十多个碗碟，“自以为很有功，便拿了那狗气杀，飞也似的跑了，亏伊装着这高底的小脚，竟跑得这样快”。
这样的人能当面为盗贼，岂不正是“任意胡为”或“恣睢”么？这个女人品行不大好；她顺手牵去的都是不值钱而很实用的小东西，煞费苦心地着眼于此其实也正表现了她的可怜。如果不是生活非常辛苦又何至于如此？当年她一心一意卖豆腐，并没有这样恣睢啊。
艰难的生活逼得“我”这样的知识分子辗转四方，不遑宁处；闰土这样忠厚老实的农民则变为麻木，一味苦熬苦受；而小市民杨二嫂则变成为了一点蝇头小利而不惜任意胡为的可怜虫，失去了做人的尊严。麻木和恣睢都是不觉悟，只是表现形态不同而已。“我”和母亲对杨二嫂的言行都未加追究，甚至连一句明白批评的话也没有说，这样的处理流露了作者深厚的人道主义情怀。
作品对杨二嫂当然是不以为然的，但问题主要不在她个人的品质，而在逼人向下的社会。麻木和放纵均为作者所不取，他希望青年一代能同这种扭曲的生活决裂，过上新的生活。
与人性扭曲共生的是人与人之间的隔膜。二十年前，“我”与闰土是关系亲密的朋友，“我”的一家与斜对门的杨二嫂豆腐铺也是和睦的邻居，那时的人际关系还不像现在这样隔膜和猜忌。痛感人性的异化和人际关系的恶化，呼唤人性的复归，寄希望于社会的进步，就是《故乡》的主题所在。
从艺术构思上来说，作者塑造辛苦恣睢的杨二嫂这一形象，不仅可以拿来衬托辛苦麻木的闰土，拓宽社会生活面，也便于稍稍打断“我”与闰土之关系史这条主线，然后再把它连起来。情节展开的线索如果过于单一，容易显得单薄乏味，一泻无余；只有断而复续，穿插有致，才能引人入胜，具有更好的效果。
《故乡》的主线表现的是人性的异化和人际关系的恶化，而杨二嫂这条副线所表现的则是另一种形态的人性异化和人际关系恶化，主题集中，而又富于立体感，颇合于艺术的辩证法。
杨二嫂关于“一毫不肯放松”与“有钱”之关系的感慨，用在“我”身上固然不确，但确为明通之论。用非正面形象的议论来揭露社会的黑暗，是许多小说中都用过的妙法，例如《金瓶梅》中的帮闲应伯爵、巴尔扎克笔下的大盗伏脱冷，都说过一些暴露世态与心态的至理名言，肆无忌惮的小人也自有其深刻之处。
就形象类型的角度说，杨二嫂是鲁迅笔下小市民形象系列中的重要人物之一，在农民和知识分子以外，鲁迅小说中小市民形象值得引起人们的注意，《狂人日记》中的大门外立着围观狂人的那一伙人、《孔乙己》中的诸酒客、《药》中的诸茶客都是些小市民，但都是群象，没有细写；华老栓是鲁迅笔下第一个具体的小市民，其特色在于辛苦、老实、迷信、落后；杨二嫂是第二个，辛苦而恣睢；此后还有《孤独者》中的大良、二良的祖母，特色在于深入骨髓的势利。比较起来，圆规杨二嫂给人留下的印象最深，可以说是一个不朽的典型。
《故乡》的最后两个自然段写道：
我想到希望，忽然害怕起来了。闰土要香炉和烛台的时候，我还暗地里笑他，以为他总是崇拜偶像什么时候都不忘却。现在我所谓希望，不也是我自己手制的偶像么？只是他的愿望切近，我的愿望茫远罢了。
我在朦胧中，眼前展开一片海边碧绿的沙地来，上面深蓝色的天空中挂着一轮金黄的圆月。我想，希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路，其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。
这两段和倒数第三自然段加起来构成《故乡》的结尾，而这三段本身恰恰形成一个“之”字形的格局。
倒数第三自然段提出一种希望，希望下一代过上新的有别于自己、闰土以及杨二嫂那样的生活；但是怎样才能实现这样的希望呢，没有具体的办法，于是“我”又复怀疑以至嘲笑自己的希望，甚至说不过是一种新的偶像崇拜。这是深刻的反思，曲折地表现了鲁迅本人既相信进化论又怀疑进化论的思想矛盾。寄希望于以宏儿和水生为代表的下一代，相信青年必胜于老年，未来必胜于过去，而同时又觉得这样的希望相当渺茫。这样的矛盾在鲁迅的思想深处长期存在。
所以可以说，这倒数第二自然段否定了前面的倒数第三自然段。
既然进化论式的希望相当渺茫，那么放弃它另寻新途如何？可是一时还找不到，于是只好折回来，自我安慰道，只要大家都来奋斗，总会好起来的，路是走出来的，地上本没有路，走的人多了，也便成了路。这就回到了倒数第三自然段。
肯定——否定——否定之否定。《故乡》结尾的这三段盘旋曲折，发人深思。这里最应注意的是否定之否定并非单纯地回到肯定，这里有着新的因素，那就是实现希望要靠实践，要靠大家都来向前走。“走的人多”，大家都觉悟了都行动起来了，自然就有路在脚下。
完全规划好的路线图是没有的，让我们摸着石头过河，团结起来向着前方走吧。鲁迅的这个思想很深刻，现在看来尤其是如此。
《阿Ｑ正传》
《阿Ｑ正传》要写辛亥革命。未庄其实没有人懂革命是怎么回事，于是不约而同地跑到静修庵去“革命”。革命就是要打倒曾经神圣的东西——他们的这一理解不能说没有道理。
赵秀才和假洋鬼子采取了两项革命行动，一是砸掉一块“皇帝万岁万万岁”的龙牌，一是顺手牵走观音娘娘座前的一个宣德炉。
阿Ｑ也到静修庵去“革命”，但比较糊涂，还没有想到搞打砸抢；尽管他后来也在土谷祠里大做其美梦，要弄些具体的好处。
这就是所谓“一时并写两面，使之相形”（《中国小说史略·明之人情小说（上）》评《金瓶梅》语）。中外小说中多见此种笔法，而鲁迅写来在有意无意之间，尤为高妙。
据许广平介绍，鲁迅曾有为《阿Ｑ正传》写续集的打算，思路是“从小Ｄ身上发展，但是他不像阿Ｑ”。不知道这是什么时候的计划。
为成功的作品写续集往往是吃力不讨好的事情。鲁迅也终于没有写。
许广平的这一介绍见于她的《阿Ｑ的上演》一文，该文是为许幸之编导的《阿Ｑ正传》首次公演（1939年7月，上海辣斐花园剧场）的特刊而作，后收入《许广平忆鲁迅》和《许广平文集》。在那次演出中，王竹友饰阿Ｑ，乔奇、韩非、舒适等著名演员都参加了演出。
《社戏》
《社戏》前半用不少篇幅写当年北京剧场里的情形，然后写在故乡看社戏的往事，前后形成强烈的对比。
许多年前曾经有一种流行的意见，认为“北京戏园内外一片乌烟瘴气的景象正是北洋军阀统治时期北京社会乃至整个中国黑暗社会的一个缩影。文章通过这些描写揭露了当时中国社会的丑恶现实，批判了辛亥革命‘后十年’的政治腐败，表现了作者对黑暗的旧中国深恶痛绝”〔1〕。学术界诸如此类的意见甚多，所以便要拿来供中学老师在教学时参考。现在看来这样的分析当然会觉得很古怪，北洋军阀统治时期固然乌烟瘴气，他早年在故乡看社戏是清朝末年，那时就不是“黑暗的旧中国”吗？
《社戏》的前后对比不是从政治或社会的角度去对比，甚至主要也不是从戏剧方面作对比。早年在乡下看的那次社戏，戏本身并不精彩——老旦咿咿呀呀唱个没完没了，同去的小朋友们有的吁气，有的打呵欠，有的竟破口喃喃的骂，结果很快就回来了，一路上还骂那老旦。说那一夜的戏好，主要是怀念农家少年对自己的真挚情谊，怀念故乡农村美好的风光。归途中吃豆子一节，最能表明农民及其子弟的人情之美。而与此成为强烈对比的是北京的戏园里不但有“冬冬喤喤之灾”，而且拥挤不堪，长凳座位类乎私刑拷打的刑具，观众之间态度冷漠，令人觉得“这里不适于生存”。作品在这里还特别提到一位绅士，很看不起人，一面看戏一面吁吁地喘气；戏园外面有一堆人，“大概是看散戏之后出来的女人们的”。
离开作品的实际进行庸俗的大杀风景的政治社会分析，这不是哪一本书的问题，而是曾经流行过的一种常见病。这样的毛病甚至影响了某些外国学者，例如美国的威廉·莱尔也曾批评鲁迅“离开了社会问题”，而一味欣赏“简单淳朴的乡下人未被污染的善意”〔2〕。
《在酒楼上》
鲁迅小说中写景的成分甚少，而偶一涉笔却精彩绝伦，例如《在酒楼上》写“我”住在旅馆里，“窗外只有渍痕斑驳的墙壁，贴着枯死的莓苔，上面是铅色的天，白皑皑的绝无精彩，而且微雪飞舞起来了”；于是就走到“一石居”酒楼去——
楼上“空空如也”，任我拣得最好的座位，可以眺望楼下的废园。这废园大约是不属于酒家的，我先前也曾眺望过许多回，有时也在雪天里。但现在从惯于北方的眼睛看起来，却很值得惊异了：几树老梅竟斗雪开着满树的繁花，仿佛毫不以深冬为意；倒塌的亭子边还有一株山茶树，从暗绿的密叶里显出十几朵红花来，赫赫的在雪中明得如火，愤怒而且傲慢，如蔑视游人的甘心于远行……
着墨无多，境界全出，这一段曾得到评论家谢六逸先生的激赏，说“这一段描写，非懂得南画趣味的人写不出来。西欧的作品里面，很不容易看到这样的表现。这点足见作者艺术修养的湛深”。
所谓南画就是南宗文人画，这一派认为“意高则笔简；繁皴浓染，刻画形似，生气漓矣”（程正揆《青溪遗稿》卷二十二《题卧游图后》）。钱钟书先生则指出此派“以最省略的笔墨获取最深远的艺术效果，以削减笔墨来增加意境”。拿这些话来品题鲁迅这一段写景，亦复密合无间。
《孤独者》
《孤独者》写主人公魏连殳失业后的情状道：
有一天，我路过大街，偶然在旧书摊前停留，却不禁使我感到震悚，因为在那里陈列着的一部汲古阁初印本《史记索隐》正是连殳的书。他喜欢书，但不是藏书家，这种本子，在他是算作贵重的善本，非万不得已，不肯轻易出卖的。难道他刚失业才两三月，就一贫至此么？
这一个细节，取材于鲁迅本人类似的经历。鲁迅也喜欢书，历年来买得不少，却也卖过一次。他有一部祖传的明抄本《立斋闲录》，在他的藏书中算是比较珍贵的一种，但曾经打算将此书和另外几种也比较值钱的书卖了，来缓解经济危机。晚年他在一篇文章中回忆其事道：
我家并不是藏书家，我真不解怎么会有这明抄本。这书我一直保存着，直到十多年前，因为肚子饿得慌了，才和别的两本明抄和一部明刻的《宫闺秘典》去卖给以藏书家和学者出名的傅某，他使我跑了三四趟之后，才说一总给我八块钱，我赌气不卖，抱回来了，又藏在北平的寓里；但久已没有人照管，不知道现在究竟怎样了（《且介亭杂文·病后杂谈之余》）。
卖书救穷，原来也有他本人的经验。如果鲁迅自己不说，还真不知道他也有这等故事。《立斋闲录》四卷，明代宋端仪的一部杂著，记录了明太祖至英宗时若干朝野杂事；《宫闺秘典》全名《皇明宫闺秘典》，一名《酌中志》，凡二十四卷，明末刘若愚著。这两部书比较冷僻，所以到小说里就改用更有名更常见的书。
此所谓“迁想妙得”；也可见鲁迅本人“喜欢书，但不是藏书家，这种本子，在他是算作贵重的善本，非万不得已，不肯轻易出卖的”。而他终于没有卖掉。当时鲁迅并未失业，只是遭遇欠薪，就窘迫如此。
注释：
〔1〕《鲁迅作品教学问答》，四川人民出版社1979年版，第80—81页。
教学注记 第3篇
1 密度定理
设y=g (x) 是连续的实值函数, X是连续型随机变量, 那么Y=g (X) 也是一个连续型的随机变量。若已知随机变量X的密度函数, 则可以利用如下的密度定理很方便地求出随机变量f (X) 的概率密度。
定理1:设连续型随机变量X的密度函数为fX (x) , 且y=g (x) 是严格单调函数, 其反函数x=h (y) 连续可导, α=min[g (x) ], β=mix[g (x) ], 则Y=g (X) 的密度函数为
证明:当y<α时, FY (y) =P (Y≤y) =P (Ф) =0, fY (y) =F'Y (y) =0;
当y<β时, FY (y) =P (Y≤y) =P (Ω) =1, fY (y) =F'Y (y) =0;
当α≤y≤β时, 若g (x) 为严格单调增函数, 则g' (x) >0, 因其反函数x=g-1 (y) 存在且亦为严格单调增函数即, 则:[g-1 (y) ]'>0
若g (x) 为严格单调减函数, 则g' (x) <0, 此时[g-1 (y) ]'<0,
定理1是目前大学概率统计教材[1][2]所给出的严格单调密度定理, 在符合条件时使用起来比分布函数法要简单。但定理1中的条件很苛刻, 要求函数在定义域上严格单调时, 以致其适用范围不广。实际上, 一般情况下函数都是非严格单调的, 但是任意连续非单调函数都可以表示为分段严格单调函数, 因此可以将严格单调密度定理推广到如下的分段单调密度定理。
定理2:设连续型随机变量X的密度函数为fX (x) , 函数y=g (x) 在不相重叠的区间Ii (i=1, 2, Λ) 上逐段严格单调, 且在每个单调区间Ii内的反函数x=hi (y) 具有连续导数, 相应地y的区间为 (αi, βi]。则Y=g (X) 也是连续型随机变量, 且其密度函数为
其中, (α, β) 为函数y=g (x) 的值域。
证明:当y≤α或y≥β时, 显然fY (y) =0;
利用密度函数与分布函数的关系立即可得定理2.
2 实例分析
有了分段单调密度定理, 求连续型随机变量函数的密度就方便多了。但是, 要注意定理2中参与求和的项由所给y值决定, 而不是一成不变的。
下面的示例展示了在课堂教学中如何利用密度定理解决问题。
例1:设随机变量Xi (i=1, 2) 分别具有如下的密度函数, 分别求Y=sin Xi的密度函数。
解:y=sinx的图像如上图, 可以看出, 它在 (0, π) 及 (-π/2, π) 上分段单调。
(1) Y=sin X1在上单调递增, 反函数为x=arcsiny;在 (0, π) 上单调递减, 反函数为x=x-arcsiny, 于是Y=sin X1的密度函数为:
当-1<y≤0时, Y=sin X2的密度函数为:
综合起来, Y=sin X2的密度函数为:
从上述的解题过程中, 我们可以清楚地看到, 对随机变量的函数进行分段以后, 就可以直接应用密度定理。需要注意的是, 对y需要分段处理, 否则会出现错误。比如, 在示例第二问中, 如果按照分别严格单调处理, 只会得到错误的密度函数。
3 结束语
求一维连续型随机变量函数的密度函数时, 严格单调函数可以直接应用密度定理;非单调函数将其分割成若干单调区间后, 也可以应用密度定理。
摘要：讨论了求一维连续型随机变量函数的密度函数的方法, 给出了适用范围更广的分段单调密度定理。
关键词：连续型随机变量,密度函数,单调函数,教学注记
参考文献
[1]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社, 1982.
[2]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计[M].第四版.北京:高等教育出版社, 2008.
[3]冯强, 王荣波.关于一维连续型随机变量函数分布的注记[J].科学技术与工程, 2008, 8 (7) :1774-1776.
关于河流名称注记中的几个问题探究 第4篇
认识地图的基础是地图三要素：方向、比例尺和图例与注记。方向、比例尺都没有太大问题，教材中阐述很明确，但是在图例与注记中，关于注记只有一句话：“地图上的文字说明。”（七上P5）其实地图上的注记分为名称注记、说明注记和数字注记三种。名称注记用于说明各种事物的专有名称，如山脉名称，江、河、湖、海、地区、国家、大洲、大陆、岛屿名称等，是最常见的一种。说明注记用于说明各种事物种类、性质或特征，它是用以补充图形符号的不足，常用简注形式表示（如石油用“油”、松树用“松”等表示）。数字注记用于说明事物的数量特征，例如地形高程、比高、路宽、水深等（如：珠穆朗玛峰 8844.43）。同时，借助不同字体、字号、颜色的注记也能够进一步标明事物的性质、种类及数量差异。因此，地图注记在地图图面上与图形符号是构成一种相辅相成的整体。[1]18
地图上的注记排列得是否恰当，对图面效果影响很大。
一般而言，教材中出现的地图必须是具有权威性、科学性、普遍性的地图。但是通过这几年的教学实践，发现目前现行教材中使用的部分地图并不完全符合这些特点，特别是在注记方面并不是特别科学，容易对学生产生某些误导。
如：人教版教材《历史与社会》七年级下册P45的太湖流域图（图1）。
这是一张介绍太湖流域的地图，从图中读出太湖流域水网密布、城镇众多的特点。湖州是太湖流域的重要成员，这部分教学内容，同时也属于湖州乡土教育的内容。湖州人民傍水而居，其母亲河是苕溪。教师在教学中会有意识地指导学生找到湖州的位置，并找到从湖州注入太湖的两条河流——东苕溪、西苕溪。但是有很多学生第一眼看到的是——库水石赋、溪苕西（图2）。然后有些稍微聪明一点的同学会反应过来，“哦，念反了，是西苕溪，发源于赋石水库”。当然很多学生并不会觉得这有什么问题，反正我最后能理解就行了。不过作为教师，我们应该思考，为什么一门专业学科教材的正规地图会使读者产生某些误解呢？问题出在哪里？到底是地图出了问题，还是教师在读图指导上不够细致？地图上河流的正确标注方法应该是怎样的？虽然说多数学生在阅读时如果发现文句不通顺，可能会自主倒着阅读，不会造成太大的问题，但是如果这个题目变成——请学生用笔将“西苕溪”名称标注在图中，那么应该按照怎样的顺序来标注才是最准确的？
下面图3、图4两张地图都是来自较为官方的正规发布的，其中河流名称的标注却是截然不同的。那么在地图上河流的名称到底应该如何标注？遵循哪些原则？
为了解决这些疑问，我上网查阅了地图上河流名称标注的相关资料，查找了各类各级关于太湖流域的地图（包括历史上太湖流域的地图），咨询了高中部分地理教师和专业人员，得出以下观点。
不论河流、山脉、铁路等线状、条状的地理事物在地图上图例边上的注记应遵循以下原则：
1. 东西向——水平字列（典型如：长江）。
2. 南北向——垂直字列（典型如：尼罗河）。
3. 东北—西南、西北—东南走向——雁行字列（典型如：大兴安岭）。
4.字符连线与注示物走向平行，成自然弯曲，字向不直立——屈曲字列（如：京九线、陇海线等）。[1]58
我找遍所有个人能找到的参考文献，都只有这四条原则。但是河流的流向是随着地形变化而发生任意曲折的，并且具体到河流的上游、中游、下游某一段的标注是否又有一些具体的要求和原则呢？答案是没有。因此某些时候出现误读就不可避免了。
鉴于此，我觉得河流名称的注记除了遵守上述四原则外，还应该进行部分细化。
1.阅读顺序优先原则。一般人的阅读顺序是自上到下（自北向南），自左到右（自西向东），大多数南北向或东西向流向很明显的河流，应该遵循这一原则。典型的如：长江流域图（图5，七下P20），长江干流东西向，标注从左到右；支流多南北向，标注从上到下。
2.部分东北—西南走向，或者西北—东南走向的河流，可以考虑河流的主干更加偏向于南北还是东西。东北—西南走向，但是更加偏向南北向（<45°），如印度河标注基本上就是从上到下；更加偏向东西向（<45°），如恒河标注基本上就是从左到右。
3.遇到某些比较长的河流，它们的流向曲折蜿蜒，上、中、下游有明显的变化。首先，可以依据它的主干流向确定标注原则。其次，如果地图的比例尺较大，地图中出现的是河流的某一段，那么则根据这一段的主导流向来确定名次标注。
4.以上标注方法，都是基于《地图学》注记标注原则的细化。但是如果在河流的标注原则中，再加上一条“按照从上游到下游的顺序标注”，那么所有问题都可解决了。这样不仅不会出现学生误读，而且在某些政区图、交通图等非地形图上，也都根据河流名称判断河流的流向，并据此判断出当地的地形起伏和地势特点。如本文中第一张太湖流域的地图（图1）。太湖流域水网密布，加上地势低平，河流蜿蜒曲折，因此名称在标注的时候经常出现各种误读，如果都依据从上游到下游来标注，学生理解就非常方便，并且也可以读出太湖流域以及周边城镇的地势特点。
上述想法是基于一个教学一线教师在教学实践中的理解。地图注记的标注其实并不是一个小问题，以上观点希望能给有关部门和同行一些启示。
参考文献：
关于一类变换半群的注记 第5篇
设TX是集合X上关于映射的合成作成的半群, E是X上的非平凡等价关系, 则TE (X) ={f∈TX: (a, b) ∈E, (f (a) , f (b) ) ∈E}是TX的子半群。取定θ∈TE (X) , 定义集合TE (X) 上的新的运算“o”:fog=fθg, 其中fog为能通常映射的合成, 则在新的运算“o”下, TE (X) 作成了一个半群, 将其记为TE (X;θ) 。用E (TE (X;θ) ) 表示半群TE (X;θ) 的全体幂等元集合。
通常, 半群S称为左 (右) 零半群, 如果对任意的a, b∈S, 有ab=a (ab=b) 。本文中未说明的概念及符号, 请参见文献[1]。
裴惠生等人已经研究半群TE (X;θ) 上的格林关系和正则条件[2], 在此基础上秦美青等人给出E (TE (X;θ) ) 是左零半群、右零半群的充要条件。他们给出E (TE (X;θ) ) 是半群的充要条件为:对任意f, g∈E (TE (X;θ) ) , 对每个y∈fθg (X) , 有fθgθ (y) =y[3]。这个条件是非常强的, 一般情况下, 当运算θ确定, 并非所有E (TE (X;θ) ) 的元素满足上述条件, E (TE (X;θ) ) 不构成半群;而E (TE (X;θ) ) 构成左零半群、右零半群的条件更强。因此, E (TE (X;θ) ) 的所有元素构成左零半群、右零半群的情形是不常见的。本文给出了TE (X;θ) 的非空子集是左零半群、右零半群的充要条件。这样的结论更适合一般情况。
1主要结论及证明
引理1[2] 设f, g是TE (X;θ) 的正则元, 则以下陈述成立:
(1) (f, g) ∈L当且仅当π (f) =π (g) ;
(2) (f, g) ∈R 当且仅当f (X) =g (X) ;
(3) (f, g) ∈H当且仅当π (f) =π (g) , f (X) =g (X) 。
定理1 设S是TE (X;θ) 的非空子集, 则S是左零半群的充要条件是:
(1) S⊆E (TE (X;θ) ) ;
(2) 对任意f, g∈S, 有π (f) =π (g) 。
证明 必要性:任意取f∈S, 则由S是左零半群知, fof=f, 即f∈E (TE (X;θ) ) , 从而由f的任意性知S⊆E (TE (X;θ) ) 。任取f, g∈S, 则由S是左零半群知, 有fog=f, gof=g, 从而fLg。由f, g∈S⊆E (TE (X;θ) ) , 易知f, g是正则的, 从而由引理1知, π (f) =π (g) 。
充分性:任意取f, g∈S, 由条件知f, g是幂等元。显然f, g是正则元;由π (f) =π (g) , 及引理1知, fLg, 于是存在h, k∈T
定理2 设S是TE (X;θ) 的非空子集, 则S是右零半群的充要条件是:
(1) S⊆E (TE (X;θ) ) ;
(2) 对任意f, g∈S, 有f (X) =g (X) 。
证明 必要性:任意取f∈S, 则由S是右零半群知, fof=f, 即f∈E (TE (X;θ) ) , 从而由f的任意性知S⊆E (TE (X;θ) ) 。任取f, g∈S, 则由S是右零半群知, 有fog=g, gof=f, 从而fRg。由f, g∈S⊆E (TE (X;θ) ) , 易知f, g是正则的, 从而由引理1知, f (X) =g (X) 。
充分性:任意取f, g∈S, 由条件知f, g是幂等元。显然f, g是正则元;由f (X) =g (X) , 及引理1知, fRg, 于是存在h, k∈T
参考文献
[1] Howie J M.Fundamentals of semigroup theory.New York:OxfordUniversity Press, 1995
[2] Pei Huisheng Sun Lei.Green's relations for the variants of transforma-tion semigroups preserving an equivalence relation.Communication inAlgebra, 2007;35:1971—1986
关于Romberg求积公式注记 第6篇
Romberg求积公式是常用的一个的求积公式, 文献[1]给出了显式公式, 但对其代数精度和误差的讨论不准确, 本文对Romberg求积公式作进一步的讨论, 分析其优缺点。
1 显式Romberg求积公式及计算量分析
Romberg求积公式是用几个粗造的近似值的线性组合而得到的。方法如下:
一般计算到R1就满足精度要求, 如若精度不够, 在以此递推计算。
将式 (1) — (9) 式代入 (10) 式化简, 得到Romberg求积的显式公式:
显式Romberg求积公式需要计算9个函数值和11次乘法运算。而传统的递推Romberg求积公式需要计算9个函数值和23次乘法运算。很显然显式Romberg求积公式比传统的递推公式计算量小。
2 Romberg求积公式代数精度和误差分析
文献[1]未加证明给出Romberg求积公式代数精度为9, 很显然此结果不准确, 文献[2,3]均明确指出Romberg求积公式代数精度为7。并且可以验证“Romberg求积公式代数精度为7”为正确结果。
大多数文献未给出Romberg求积公式的误差, 文献[1]结果有误。这里讨论Romberg求积公式的误差, 方法如下:
假设∫baf (x) dx
令a=-4, b=4, h=1, f (x) =x8代入上式得到:
因此Romberg求积公式的误差为
3 Newton-Cotes公式
与显式Romberg求积公式计算量相当的系列Newton-Cotes公式是n=8的Newton-Cotes公式。公式如下[4]:
n=8的Newton-Cotes公式的代数精度为9。很显然, n=8的Newton-Cotes公式比显式Romberg求积公式优越。
4 Gauss求积公式
求积公式代数精度为7, 计算量比较少的是4点Gauss公式, 公式如下[4]:
(14) 式中,
很显然4点Gauss公式计算量比显式Romberg求积公式少, 但代数精度均为7。
5 结论
本文对Romberg求积公式进行了分析, 可以得到如下结论:
(1) 显式Romberg求积公式比传统的递推公式计算量少;
(2) n=8的Newton-Cotes公式与显式Romberg求积计算量相同, 但精度高;
(3) 4点Gauss公式与显式Romberg求积精度相同, 但计算量少。
从上面分析可知, 常用的Romberg求积并不是一个理想的求积公式, 完全可以用Newton-Cotes公式和Gauss公式代替。
摘要：对Romberg求积公式进行了详细分析。讨论了其显式公式, 给出了其误差公式。与Newton-Cotes和Gauss求积公式进行了比较分析, 得出Romberg求积并不是一个理想的求积公式。
关键词：Romberg求积,误差,Newton—Cotes公式,Gauss求积公式
参考文献
[1]冯天祥, 冉戎.显示Romberg求积公式及其误差.重庆三峡学院学报, 2005;21 (3) :58—59
[2]王能超.数值分析简明教程 (第二版) .北京:高等教育出版社, 2005:92—93
[3]孙志忠, 袁慰平, 闻震初.数值分析.南京:东南大学出版社, 2002:198—199
对正定矩阵判定方法的注记 第7篇
1 文[1]中定义及其定理的描述
文[1]中首先定义了矩阵初等行运算Ⅰ) 交换两行。
Ⅱ) 以非零实数乘以某行。
Ⅲ) 将某行替换为它与其他行的倍数的和。
原文定理描述:令A为n×n对称矩阵。A可仅使用行运算Ⅲ化为上三角的, 且主元全为正的。则A为正定的。
2 上述定理的反例
例1我们对实对称矩阵A仅实用行运算Ⅲ
由文[1]中的判定方法、则实对称矩阵A为正定矩阵。
但是实对称矩阵为正定矩阵的一个充分必要条件是, 它的各阶顺序主子式全都大于零。
而上例中的二阶顺序主子式为
所以实对称矩阵A并不是一个正定矩阵。
由以上例题即可看出文[1]中的定理是存在缺陷的。
3 产生错误的原因
错误产生的原因在于、使用矩阵行运算Ⅲ将实对称矩阵A化为上三角形的过程中没有任何的限制。那么对一个矩阵
使用行运算Ⅲ的过程中会改变矩阵A的顺序主子式的值, 也可能引起符号的改变。原因如下:
给矩阵的第j行乘以一个非零数k加到矩阵的第i行上变为矩阵B, 当i<j时, 矩阵A的第i阶顺序主子式的值为
矩阵B的第i阶顺序主子式的值为
且。它们的符号也可能是不同的。
如例1中
当我们给A的第三行乘以2加到A的第二行上变为矩阵B时, 矩阵B的二阶顺序主子式
, 且符合发生了改变。因此我们已经不能再通过矩阵B的顺序主子式的符号来判断矩阵A的正定性了。
4 方法改进建议
在使用运算Ⅲ把矩阵A化为上三角形矩阵B的过程中, 我们对运算三做一个限制:给矩阵的第j行乘以一个非零数k加到矩阵的第i行上变为矩阵B, 要求i>j时可以实施。否则不能进行。
此时, 矩阵A的第i阶顺序主子式的值为
矩阵B的第i阶顺序主子式的值为
且。当然它们的符号一定也是相同的。
那么我们就可以通过矩阵B的各阶顺序主子式的符号得出矩阵A的各阶顺序主子式的符号了。当矩阵B为上三角形矩阵、且主对角线上都是正数是。矩阵A的各阶顺序主子式一定是大于零的。矩阵A一定是正定的。既文[1]中的定理可做如下修改必然成立。
定理令A为n×n对称矩阵。A可仅使用行运算Ⅲ (给矩阵的第j行乘以一个非零数k加到矩阵的第i行上、要求i>j时可以实施。否则不能进行) , 化为上三角的矩阵B, 且B的主对角线上的元素全为正。则矩阵A为正定的。
摘要：本文对文[1]给出的正定矩阵的一个判定方法、以反例形式指出该方法的不足之处, 分析其存在缺陷的原因, 并加以修正。
关键词：正定矩阵,判定方法,注记
参考文献
[1]Steven J.Leon.线性代数[M].张文博, 等, 译.北京:机械工业出版社, 2010.
浅淡地形图的高程注记 第8篇
平面图与地形图的区别, 平面图只有二维信息, 地形图是承载了三维信息, 增加了高程信息, 而大比例尺地形图的高程信息, 在图上的表现形式, 在平地上主要是用高程注记点配合陡坎、斜坡等符号表示。在丘陵地、山地地区主要是用高程注记点配合等高线及各种地貌符号表示。高程注记点在大比例尺地形图上注记密度、及在各种地形情况下的注记位置, 直接影响地形图实用性、美观性。
笔者在多年的大比例尺地形图检查中, 发现地形图的高程信息的错误, 主要是1.高程注记点的密度不够, 或局部高程注记点不够;2.高程注记点有粗差;3.需要注记的地方没有注记。
根据《城市测量规范》CJJ8-99规定, 地形图上高程注记点应分布均匀, 以丘陵地区高程注记点为例, 其间距宜符合下表的规定。
丘陵地区高程注记点间距 (m)
注:平坦及地形简单地区可放宽至1.5倍, 地貌变化大的丘陵地、山地与高山地应适当加密。
在实际作业时, 图面上每个方格网 (10×10㎝) 的高程注记一般为5-10个。
2 高程注记点在不同地形情况下的不同位置注记
地面上的地形、地貌千变万化, 高程注记点在各种地物、地貌上的注记位置也不尽相同, 下面按不同地形条件, 分别叙述高程注记点的注记位置。
2.1 丘陵地及山地
丘陵地、山地的高程信息主要是用高程注记点配合等高线及各种地貌符号表示, (等高线的绘制不在本文的讨论范围) 。高程注记点一般测注在地形特征点上, 如山顶、鞍部、山脊、山脚、谷底、谷口、沟底、沟口、坎上、坎下、凹地、台地以及其它地面倾斜变换处。在陡崖上下、露岩的边上也须测注高程注记点。山上的独立坟按其轮廓测出, 加注高程注记点;公墓测出范围, 视占地范围测注高程。
2.2 平地
水田都是比较平整, 高程相差不大, 一块水田只须测注1个高程注记点, 就能代表一块田的高度, 但是在1︰500比例尺测图时, 图面上的高程注记点显得很稀少, 因此必须在田埂交叉处和拐弯处测注一些高程注记点, 以增加高程注记点的密度。如果旱地、果园、苗圃与水田一样平整, 可与水田一样测注;如果旱地、果园、苗圃起伏不平, 则须在高低变化处、制高点部位及有代表性的地方测注高程注记点。
各种梯田坎、旱地坎必须坎上坎下测注高程注记点或量注比高。
2.3 居民地
2.3.1 城镇居民地:
街道、巷道交叉中心建筑物墙基脚和相应的地面、其他地面倾斜变化处均须测注高程;街道、巷道中心线在实地每间隔10～15m左右注记一个高程, 较宽的街道则须在人行道、慢车道、路边、路中心线呈品字形测注高程注记点, 双向车道的则应分别注记, 较宽的中央绿化带也应测注高程点;广场、较大的绿地、较大的庭院内或空地上则须根据密度间隔测注高程点。
2.3.2 农村居民地:
房前的水泥地、村中道路的、通道、空地等, 测注在能代表一般地面高度的适中位置;地形地貌变换处、宅基地边沿与耕地的交界处、居民地内部的小片旱地、树林也须测注高程点;山区居民地的房前屋后的坎上坎下须测注高程点或量注比高。独立地物如宝塔、烟囱、水塔等的地物基部的地面也应测注高程。
2.4 水系
江、河、湖、塘、水库的水涯线、岸边的加固坎、陡坎、斜坡均须测注高程。江、河、湖、海、水库的防洪堤、大坝上须测注堤顶高程, 并在实地每间隔10～15m左右注记一个高程。陡岸下边缘与水涯线间的河滩宽度大于图上2mm时应测注高程注记点。山区的溪流中的沙滩或大型江、河、湖、海、水库的滩涂, 按一定的间隔测注高程。大型的公用水井应测注地面高程和地面至水面的深度, 以分式注记。
2.5 道路
常规铁路的轨顶实地每间隔10～15m测注高程注记点, 高速铁路、电气化铁路在安全因素许可下, 尽量测注高程点;高速公路、各种等级道路, 在实地每间隔10～15m的道路中心测注高程注记点, 较宽的公路则须在人行道、慢车道、路边、路中心线呈品字形测注高程注记点, 双向车道的则应分别注记, 较宽的中央绿化隔离带也应测注高程点;主要道路交叉口和转折处及高度变换处也应测注高程注记点;大车路、乡村路、小路上按图上每隔4-6cm测注高程点;路堤、路堑的上下也应测注高程点或量注比高;一般桥梁的桥顶应注记高程, 大型桥梁的桥面根据密度间隔测注高程点。
2.6 管线
主要管线支架的基础地面须测注高程点;路面上的管道检修井上也测注高程注记点。
2.7 其它特殊地区
采石场、乱掘地等不便于勾绘等高线的区域, 适当测注高程点;对已经征用、但尚末施工的待建地, 不注其它符号, 只注高程注记点。
3 高程注记产生错误的原因以及与高程模型 (DEM) 的关系
3.1 高程注记点产生错误的原因
高程注记点产生错误的原因有很多, 如在外业采集数据时, 已知点点位错、已知点高程错、仪器高量错、棱镜高量错;仪器设置时把已知点高程、仪器高、棱镜高输入错等等;最常出错的是在外业采点, 由于通视的原因, 临时变动棱镜高, 又没及时与测站的观测沟通, 以致高程错;在内业编辑地形图注记高程点时, 有时为了图面美观, 而违规作业, 易地注记高程点, 使高程出错。
3.2 高程注记与高程模型 (DEM) 的关系
地形图上的高程注记点和具有属性 (已赋值) 的等高线, 可作为构建数字高程模型 (DEM) 的数据源, 反过来数字高程模型 (DEM) 以可以检查地形图的高程注记点和等高线的赋值是否有粗差。如数字高程模型 (DEM) 的数据源, 采用数字地形图的等高线和高程注记点, 那么高程注记点的密度、陡坎的比高等, 还须满足数字高程模型 (DEM) 数据源的要求。
4 结束语
地形图的质量好差, 主要取决于测量员的工作态度、责任心和技术水平。对于作业员来说, 对地形图的质量要求, 不能只要求合格品, 应有更高层次的追求, 把自已完成的成果, 看成是一件艺术品, 不但要消除差、错、漏, 提高地形图的实用性, 更要注意图面上的合理性与美观性
参考文献
[1]中华人民共和国行业标准:城市测量规范CJJ 8-99
[2]中华人民共和国国家标准:国家基本比例尺地图图式第1部分:1∶500、1∶1000、1∶2000地形图图式GB∕T 20257.1-2007
[3]浙江省地方标准:1:5001:10001:2000基础数字地形图测绘规范DB33/T552-2005
教学注记 第9篇
关键词：LISP语言；CASS软件；高程修正
引言
在测量内业处理中，经常会用到批量修改高程注记这个操作，如将所测高程点整体降低2米，如若数据庞大，逐个修改显然不太现实，本文介绍三种处理方法，此问题将迎刃而解。
1.通过excel表的功能进行批量修改
打开南方cass7.0软件，通过以下操作将高程点生成.dat文件，工程应用>高程点生成数据文件>有编码数据文件，框选高程点即可生成.dat格式文件，打开.dat文件，将数据全部复制到新建的excel表中进行以下操作，数据>分列>点选分隔符号>下一步>勾选逗号>下一步>完成。将高程一列进行减2操作，将原高程数据列隐藏，在各列后插入一列，第一列空白列全部填入，，（英文状态下），第二三个空白列全部填入，（英文状态下），然后全选复制到.dat文件中，将全部空格替換掉，即转换成.dat文件的高程格式，在南方cass7.0软件中通过以下操作，绘图处理>改变当前图形比例尺>展高程点即完成对高程数据的批量修改。
2.通过.csv文件实现高程的批量修改
该方法是对方法1的改进，同方法1将高程点生成.dat格式文件的步骤后，将.dat文件的后缀名直接改为.csv，打开该.csv文件，将高程一列数据做-2处理后保存后，将文件后缀名改为.dat，同方法1中进行展点操作即完成对高程数据的批量修改，该方法较方法1简便。
3.通过LISP语言编程实现高程的批量修改
将该gcxz.LSP文件存入自己指定的路径，如C：＼program files＼CASS7.0.打开南方cass7.0软件，打开文件，输入命令appload，弹出加载/卸载应用程序框，查找范围按上述指定的路径找到gcxz.LSP，点击加载，成功加载后点击关闭。在文件命令行处输入gcxz，命名修改后的数据文件名，点击保存，在命令行处输入修正值-2，即完成高程批量修正的操作。
4.结论
上述三种方法均能实现对高程数据进行批量修正的操作，方法1较为繁琐，方法2较之方法1较精简，操作简单，效率较高。显然方法3最为简便直接，大大提高了工作效率，可推广使用。
参考文献
[1]白晓红等. LISP语言特点综述 延安大学学报（自然科学版） 199年03期
[2]张明星等. 利用Autocad LISP语言修改地形图高程数据[J]科技信息 2011（07）
关于幂级数的一点注记 第10篇
一、幂级数的概念
(一) 幂级数
(二) 收敛半径与收敛区间
正数R通常叫作幂级数的收敛半径.由幂级数在x=±R处的收敛性决定.
(三) 收敛半径的求法
1.对于不缺项的幂级数
①当0<ρ<+∞时, 有R=1/ρ.
②当ρ=0时, 定义R=+∞.
③当ρ=+∞时, 定义R=0.
②当ρ=0时, 定义R=+∞.
③当ρ=+∞时, 定义R=0.
二、将函数展开成幂级数
定理[1]:假设函数f (x) 在x0的某一邻域具有各界导数, 则f (x) 在该领域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f (x) 的泰勒公式中的余项Rn (x) 当n→∞时的极限为0.
《高等数学》 (第五版下册, 同济大学应用数学系主编) 第十一章第四节 (P.222) 给出了m=1/2及m=-1/2时 (1+x) m的二项展开式:
但是该教材并未指出上面两个式子为何在端点处成立, 下面我们给出证明.
证明:对于 (1) 式, 左端显然在x=±1处连续, 我们只需证明 (1) 式右端的幂级数在x=±1处均收敛即可.对于x=1, (1) 式右端即
对于 (2) 式, 等式左端在x=1处连续, 但在x=-1处间断, 实际上x=-1是该函数的无穷间断点.
对于x=-1, (2) 式右端即
对于x=1, (2) 式右端即
三、总结
本文介绍了幂级数的概念、性质等, 并对教材中的一个问题进行了详细的解答, 也是本文的创新点, 有助于学生加深对幂级数收敛性的理解, 也可供同行教师教学时作为参考.
摘要：本文介绍了幂级数的概念及相关性质, 并针对某类函数的幂级数展开进行了较详细的解释, 有助于加强学生对该知识点的理解, 同时也可供同行教师参考.
关键词：高等数学,函数,幂级数
参考文献
[1]同济大学应用数学系.高等数学 (下册) [M].北京:高等教育出版社, 2007.