生活中的反比例函数（精选9篇）
生活中的反比例函数 第1篇
一、反比例函数图像及性质的应用
【例1】 (2013曲靖 ) 某地资源总量Q一定 , 该地人均资源享有量x与人口数n的函数关系图像 ( )
【解析】根据题意有:x=Q /n ;故y与x之间的函数图像是双曲线, 再根据x, n的实际意义, 知x, n应大于0;其图像在第一象限.
【感受】此题考查反比例函数图像及性质在实际生活中的应用, 现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量, 解答此类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系, 然后利用实际意义确定其所在的象限.
【牛刀小试】 (台州市) 反比例函数y=6/ x图像上有三个点 (x 1, y1) , (x2, y2) , (x3, y3) , 其中x1<x2<0<x3, 则y1, y2, y3的大小关系是 ( )
A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y3<y2<y1
二、反比例函数与几何图形的应用
【例2】 (肇庆 ) 如图1, 已知一次函数y1=x+m (m为常数 ) 的图像与反比例函数y2=k/x (k为常数 , k≠0) 的图像相交于点A (1, 3) .
(1) 求这两个函数的解析式及其图像的另一交点B的坐标;
(2) 观察图像, 写出使函数值y1≥y2的自变量x的取值范围.
【解析】把点A (1, 3) 代入函数y2=k/x, 求出待定系数k, 再代入y1=x+m, 求出待定系数m, 两个解析式构成方程组, 解出另一个交点B (-3, -1) , 观察图像, 求出自变量x的范围-3≤x≤0或x≥1.
【感受】利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式, 把函数置入平面直角坐标系中, 是代数与几何的有机组合, 是中考试卷中一道靓丽的风景线。
【牛刀小试】 (成都市) 如图, 已知反比例函数y=k /x与一次函数y=x+b的图像在第一象限相交于点A (1, -k+4) .
(1) 试确定这两个函数的表达式;
(2) 求出这两个函数图像的另一个交点B的坐标, 并根据图像写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.
三、反比例函数与一次函数、二次函数、圆等知识相联系
【例3】 (扬州 ) 如图 , 二次函数y=1 /4 x 2 + (m/ 4 +1) x+m (m<4) 的图像与x轴相交于点A、B两点.
(1) 求点A、B的坐标 (可用含字母m的代数式表示) ;
(2) 如果这个二次函数的图像与反比例函数y=9 /x的图像相交于点C, 且∠BAC的余弦值为4/ 5 , 求这个二次函数的解析式.
【解析】考察二次函数图像与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的解, 解得A (-4, 0) , B (-m, 0) , 再求出反比例图像与一次函数图像的交点C (2, 9/2) , 用待定系数法求出二次函数的解析式y=1 /4 x 2 +5/ 4 x+1.
【感受】考查一次函数 、二次函数与反比例函数结合的试题, 把这几个基本函数结合在一起, 难度不大, 考查基础知识较全面, 只有对这些函数的基本知识比较清楚, 才能正确解答该题.
【牛刀小试】如图, A、B是反比例函数y=2 /x的图像上的两点, AC、BD都垂直于x轴, 垂足分别为C、D, AB的延长线交x轴于点E, 若C、D的坐标分别为 (1, 0) 、 (4, 0) , 则△BDE的面积与△ACE的面积的比值是 ( )
四、反比例与相关物理知识的综合应用
【例4】在某一电路中, 保持电压不变 , 电流I (安培 ) 和电阻R (欧姆) 成反比例, 当电阻R=5欧姆时, 电流I=2安培.
(1) 求I与R之间的函数关系式;
(2) 当电流I=0.5时, 求电阻R的值.
【解析】 (1) 设I=U /R∵R=5, I=2, 于是U=IR=2×5=10, 所以U= 10, ∴I= (10) / R .
(2) 当I=0.5时, R=U/ I = (10) / (0.5) =20 (欧姆) .
【感受】在物理学中, 有很多量之间是反比例函数关系, 因此, 我们可以借助反比例函数图像及性质解决一些物理学问题, 这称为跨学科应用。反比例函数与现实生活联系非常紧密, 用数学模型解释物理量之间的关系浅显易懂.我们要注意跨学科间的综合, 还要注意本学科知识间的整合, 如方程、不等式、函数之间的关系.
【牛刀小试】近视眼镜的度数y (度) 与焦距x (m) 成反比例, 已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m.
(1) 试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式;
(2) 求1000度近视眼镜镜片的焦距.
五、反比例的实际应用
【例5】如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V (m 3 /h) 与排完水池中的水所用的时间t (h) 之间的函数关系图像.
(1) 请你根据图像提供的信息求出此蓄水池的蓄水量;
(2) 写出此函数的解析式;
(3) 若要6h排完水池中的水, 那么每小时的排水量应该是多少?
(4) 如果每小时排水量是5000m 3 , 那么水池中的水将要多少小时排完?
【解析】 (1) 蓄水量为48000 (m 3 ) ; (2) 解析式为V= (48000) /t ; (3) 每小时的排水量为:V= (48000) / 6 =800 (m 3 ) ; (4) 所需时间为t= (48000) / 6 =8000 (m 3 ) .
【感受】反比例函数在排水方面的运用 , 学会把实际问题转化为数学问题, 充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理.
【牛刀小试】某地上年度电价为0.8元, 年用电量为1亿度 , 本年度计划将电价调至0.55~0.75元, 经测算, 若电价调至x元, 则本年度新增用电量y (亿度) 与 (x-0.4) 元成反比例.又当x=0.65元时, y=0.8,
(1) 求y与x之间的函数关系式;
(2) 若每度电的成本价0.3元 , 电价调至0.6元, 请你预算一下本年度电力部门的纯收入多少?
六、与反比例函数相关的开放试题及探究 (阅读类推题型, 以前较少出现)
【例6】两个反比例函数y=3/x, y=-6/x在第一象限 , 第二象限如图所示, 点P1、P2、P3……P10y=3/x的图像上, 它们的横坐标分别是有这样规律的一行数列1, 3, 6, 10, 15, 21……过点P1、P2、P3……P10分别做x轴的平行线, 与y=-6/x的图像交点依次是Q1 Q1……Q10, 则点Q10的横坐标是___________.
【解析】找出一列数的规律 , P10 =55, 算出纵坐标y=3/55, 两函数纵坐标相同, 求出Q10的横坐标是-110.
【感受】这是新课程改革下的一道找规律的题, 让学生独立思考, 自由探索, 发挥观察能力、动手能力, 激活抽象思维.
【牛刀小试】如图所示 , 小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A, 在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉, 改变弹簧秤与点O的距离x (cm) , 观察弹簧秤的示数y (N) 的变化情况。实验数据记录如下:
(1) 把上表中x, y的各组对应值作为点的坐标 , 在坐标系中描出相应的点, 用平滑曲线连接这些点并观察所得的图像, 猜测y (N) 与x (cm) 之间的函数关系, 并求出函数关系式;
(2) 当弹簧秤的示数为24N时 , 弹簧秤与O点的距离是多少cm? 随着弹簧秤与O点的距离不断减小, 弹簧秤上的示数将发生怎样的变化?
复习启示和建议:
综观近3年中考数学试卷, 得到以下启示:
(1) 抓实双基, 掌握常见题型.
(2) 题型新颖 , 源于教材 , 高于教材 , 试题的设置必将依“标”靠“本”, 重视课标教材的导向作用, 充分挖掘课本习题的潜在价值.
(3) 为了更好地体现课改课标的要求, 较好地考查学生的分析问题、解决问题、阅读理解、转化、探究等能力, 问题的设置充满开放性、探索性、挑战性.
为了2014年中考反比例函数复习策略, 给出以下几条复习建议:
(1) 认真学习课标、考纲要求 , 做好复习“双基”的扎实工作.
(2) 研究历年的中考试卷, 把握命题方向及热点分布比例情况.
生活中的反比例函数 第2篇
2016.5.18 本节教学内容《一次函数与反比例函数》是中考复习模块《函数及其图像》的一部分。函数是中考的重点，本节复习内容主要考察图像的性质及解析式的确定，中考题型有选择题、填空题、解答题以及方程与不等式的综合应用题。常见两种函数的结合考察，常常用到数形结合法。华罗庚说：数无形时少直观，形无数时难入微。形可助数，数可助形，故本节复习对学生用数学结合法分析问题、解决问题的能力做重点提升。
就本节的教学从备课到授课反思如下：
一、备课设计
本节课先对比回顾了一次函数、正比例函数及反比例函数的解析式的各种表达方式，后以简图制作，引导学生回顾复习相对的函数图像及其性质，没有文字书写而只有数形结合的文字叙述。教学中特别的在图像中注明k及b的情况。这样的设计意在引起学生数形结合法的应用意识，同时也能帮助学生更为深刻的回顾基础知识。在回顾的最后，提出了函数中的面积归纳。习题设计将问题归类求解，分为交点问题、面积问题及解析式问题，题型有选择、填空和解答。设计上强调数形结合法的应用。本节的设计不足之处是习题选择还不够精，对学生的估计不到位，解答题预留时间不足。
二、教学方法
反比例函数中的数学思想 第3篇
一、分类讨论思想
分类讨论思想就是根据问题可能存在的情况，进行分类讨论，从而解决问题的一种数学思想。这是一种重要的数学思想，对培养思维的周密性大有好处。在分类讨论时应明确标准，不重不漏。
已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在反比例函数y=的图像上，且x1＞x2，比较y1与y2的大小。
分析 讨论反比例函数图像的增减性有一个前提条件：x在哪一象限内，而已知条件中点是否在同一象限不确定，所以要分类讨论。
解 （1）当两点在同一象限时，即当x1＞x2＞0或0＞x1＞x2时，由于k＞0，所以y随x的增大而减小。因为x1＞x2，所以y1＜y2；
（2）当两点不在同一象限时，即当x1＞0＞x2时，因为k＞0，x1＞0，所以y1＞0。同理y2＜0，所以y1＞y2。
点评 比较函数值的大小问题时，若反比例函数y=中的k的符号不确定时要进行分类。
二、数形结合思想
数形结合，主要是指数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。
如图1，正比例函数y1=k1x的图像与反比例函数y2=的图像相交于A、B点，已知点A的坐标为（4，n），BD⊥x轴于点D，且S△BDO=4。过点A的一次函数y3=k3x+b与反比例函数的图像交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）。
（1）求正比例函数y1、反比例函数y2和一次函数y3的解析式；
（2）结合图像，求出当k3x+b＞＞k1x时x的取值范围。
分析 （1）因为S△BDO=4，由k的几何意义得y2=。由A点可得y1，由A、E两点可得y3。在第（2）问中，就是求y3＞y2＞y1时x的取值范围，要结合图像，通过观察直接写出结果。
解 （1）y1=x；y2=；y3=-2x+10；
（2）x＜-4或1＜x＜4。
点评 对第（2）问，以形助数观察出结果很重要，不要去解不等式，直接观察图像就可得出答案，这也是解这类题的通法。
三、方程思想
方程思想就是根据所要解决的问题建立方程模型。
如图2，P1是反比例函数y=（k＞0）图像在第一象限的一点，点A1的坐标为（2，0）。
（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？
（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标。
分析 第（2）问中有正三角形，可想到作正三角形底边上的高：作P1C⊥OA1于C，作P2D⊥A1A2于D。先求出P1的坐标，则函数的解析式也就知道了。若能表示出P2的坐标，则可代入函数解析式列方程求解。
解 （1）△P1OA1的面积将逐渐减小；
（2）作P1C⊥OA1于点C，因为△P1OA1为等边三角形，
所以OC=1，P1C=，所以P1（1，）。
把点P1的坐标代入y=，得k=，所以反比例函数的解析式为y=。
作P2D⊥A1A2于点D，设A1D=a，则OD=2+a，P2D=a，所以P2（2+a，a）。
把点P2的坐标代入y=，得（2+a）a=，化简得a2+2a-1=0。
解得：a=-1±。
因为a＞0，所以a=-1+。
所以点A2的坐标为（2，0）。
点评 若把图2中的两个正三角形改为正方形或等腰直角三角形，仍可列方程求解。
四、转化思想
转化思想就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题来解决的一种数学思想。
如图3，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图像交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）
A.3B.
C.2D.4
分析 连接AO、BO，将S△ABC转化为S△ABO，然后运用k的几何意义求解。
解 因为AB∥x轴，所以△ABC与△ABO同底等高。
所以S△ABC=S△ABO=S△APO+S△PBO=+=，故答案选B。
分类思想在反比例函数中的应用 第4篇
一、关于分类思想
分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法,也是研究数学问题的重要思想方法.在数学中,如果一个命题的题设或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法就叫做分类讨论法.在解题中正确、合理、严谨的分类,可将一个复杂的问题大大的简化,达到化整为零,化繁为简,化难为易,化一般为特殊,化抽象为具体,分而治之的目的,使思维目的明确.这一思想方法在中学数学中得以广泛地使用,如给概念下定义、图形的讨论、定理的证明、法则的推导等多方面.要用分类讨论法解答的数学题目,往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性,既能全面考查学生的数学能力又能考查学生的思维能力.
分类讨论思想,贯穿于整个中学数学的全部内容中,是中学教学的一个重点课题,也是一个难点问题.在近几年的中考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查,体现出其重要的位置.小到填空、选择题,大到压轴题都非常容易见到它的身影,学生稍不留神就会因“考虑不周”而遗漏可能的答案,从而导致失分较多,究其原因主要是平时的教与学中,对“分类讨论”的数学思想渗透不够.因此在平时的教与学中,要有意识地渗透分类思想,结合初中的某些知识,列出若干种具体化问题,作为一种解题的方法传授给学生,因为这类问题能使复杂的问题简单化,是培养学生思维的发散性和思维的严谨性的最好途径,能提高学生的研究能力.
二、反比例函数的性质
反比例函数图像的性质是反比例函数的教学重点,反比例函数undefined的性质由k决定,结合图像,当k>0时,双曲线的两支分别位于一、三象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,双曲线的两支分别位于二、四象限内,y随x的增大而增大.双曲线与x轴、y轴都没有交点,而是越来越接近x轴、y轴.
把握好反比例函数性质的内容对于学生解决许多问题有很好的帮助,但运用该性质解决问题存在难度,学生需要在理解的基础上熟练运用.在反比例函数的掌握应用中,由于k对函数性质的影响,分类思想得到充分体现,尤其是与一次函数结合,用分类思想去比较理解反比例函数与一次函数,帮助学生将所学知识串联起来,提高学生的综合能力,使学生更直观、更清楚地看清两函数的区别.
三、反比例函数中分类思想的应用
1.比较函数值的大小
已知点(x1,y1),(x2,y2)都在反比例函数undefined的图像上,且x1>x2,比较y1与y2的大小.
分析 本题图像如图1所示,对x1>x2需分类讨论.
解 ①当x1>x2>0时,(x1,y1)和(x2,y2)都在第一象限,由图像可知0
②当x1>0>x2时,(x1,y1)在第一象限,∴y1>0,(x2,y2)在第三象限,∴y2<0,∴y1>0>y2;
③当0>x1>x2时,(x1,y1)和(x2,y2)都在第三象限,由图像可知y1
本题结合图像,通过分类讨论,不仅能正确判断出y1,y2的大小,而且能正确判断出y1,y2的符号.
2.利用分类思想讨论反比例函数与一次函数的交点情况
求两个函数的交点,即图像的公共点,方法是把两个函数的关系式联立组成方程,解得的解就是交点坐标.
(1)反比例函数undefined与正比例函数y=k2x图像的交点
分类讨论如下:①k1>0,k2>0,图像如图2a所示,此时有两个交点;②k1<0,k2<0,图像如图2b所示,此时有两个交点;③k1>0,k2<0,图像如图2c所示,此时没有交点;④k1<0,k2>0,图像如图2d所示,此时没有交点.
通过以上分析,可见,对于函数undefined和y=k2x,当k1k2>0时,两图像相交且有两个交点,这两个交点关于原点对称;当k1k2<0时,两图像没有交点.
(2)反比例函数undefined与正比例函数y=k2x+b图像的交点
两个函数联立组成一个二元方程组,可化成一个一元二次方程,所以交点个数由方程实数解的个数决定,并且和实数解的个数一致.分类讨论如下:(以b>0为例)
①k1>0,k2>0,图像如图3a所示,此时有两个交点;
②k1>0,k2<0,图像如图3b所示,有两种情况,两图像有一个交点或者没有交点;
③k1<0,k2<0,图像如图3c所示,此时有两个交点;
④k1<0,k2>0,图像如图3d所示,有两种情况,两图像有一个交点或者没有交点.
通过以上分析,可见,对于函数undefined和y=k2x+b,当k1k2>0时,两图像相交且有两个交点;当k1k2<0时,两图像有一个交点或者没有交点.
3.利用分类思想比较一次函数值与反比例函数值的大小
两函数y1=x+1与undefined的图像如图4,试问当x取何值时,y1>y2?从图像上可知,当x=2或x=-3时,y1=y2;要使y1>y2,即当取一个特定的x值,一次函数图像上的点要高于反比例函数,所以借助直线x=-3和直线x=2,以及y轴,就把整个坐标平面分成了四部分,即x<-3,-3
四、结 语
《反比例函数》教学反思 第5篇
例题非常简单，在例题的处理上我注重了学生解题步骤的培养，同时通过两次变式进一步巩固解法，并拓宽了学生的思路。在变式训练之后，我又补充了一个综合性题目的例题，(在上学期曾有过类似问题的,由于时间的久远学生不是很熟悉)但在补充例题的处理上点拨不到位，导致这个问题的解决有点走弯路。
题组(三)在本节既是知识的巩固又是知识的检测，通过这组题目的处理，发现学生对本节知识的掌握还可以。从整体来看，时间有点紧张，小结很是仓促，而且是由老师代劳了，没有让学生来谈收获，在这点有些包办的趋势。
《反比例函数》拓展精练 第6篇
A. 正比例函数 B.反比例函数
C.一次函数 D.不能确定
2.在同一直角坐标平面内，如果直线y=k1x与双曲线y=没有交点，那么k1和k2的关系一定是（ ）.
A.k1<0，k2>0 B.k1>0，k2<0
C.k1、k2同號 D.k1、k2异号
3.已知某村今年的荔枝总产量是p吨（p是常数），设该村荔枝的人均产量为y（吨），人口总数为x（人），则y与x之间的函数图象 是（ ）.
4.已知反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1<0 5.如图1，函数y=x与y=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则△ABC的面积为 6.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-3，0）、（3，0），点P在反比例函数y=的图像上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为 个. 7.双曲线y1、y2在第一象限的图象如图2，y1=，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是__________. 8.如图3，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=-x-（k+1）在第二象限的交点.AB⊥x轴于B，且S△ABO=. （1）求这两个函数的解析式； （2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积. 9.工匠制作某种金属工具要经过材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8 min时，材料的温度降为600 ℃.煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度 y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系.（如图4）已知该材料的初始温度是32 ℃. （1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； （2）根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ （答案见下期） 一、运用题组教学,巧求反比例函数的k值 反比例函数是历年中考数学的一个重要考点章节,且多以大题的形式出现,常常结合三角形、四边形等相关知识综合考查.所以,应该引起广大学生的重视.反比例函数中k的几何意义也是其中很重要的知识,常在中考选择题、计算大题中进行考查.这类考题大多考点简单但方法灵活,目的在于考查学生的数学图形思维.本次专题目的在于让学生掌握反比例函数k几何意义这一知识要点,灵活利用这一知识点解决数学问题,并熟悉与反比例函数k几何意义的常见考查方式和解题思路. A.-1 B.-2 C.0 D.1 考点反比例函数图像上点的坐标特征. 分析把点A(-1,1)代入函数解析式,即可求得m=-2的值. 故选B. 点评本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征,经过函数的某点一定在函数的图像上. A.-12 B.-27 C.-32 D.-36 考点菱形的性质;反比例函数图像上点的坐标特征. 分析根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标(-8,4),然后利用待定系数法求出k=-32即可. 故选C. 点评本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式,解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标. 二、运用题组教学,巧求反比例函数与一次函数的综合题 反比例函数是中考命题的主要考点,近几年中考试卷中出现了不少将反比例函数与其他函数、几何图形、方程(组)等综合编拟的解答题.其中,将反比例函数与其他函数综合命题是中考命题的新动向. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)当一次函数的值小于反比例函数的值时,直接写出x的取值范围. 考点反比例函数与一次函数的交点问题. 分析(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式,求出m=4,从而确定反比例函数的解析式,把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标(-2,-2),把A,B的坐标代入一次函数的解析式,即可求出a=2,b=2,从而确定一次函数的解析式y=2x+2; (2)根据函数的图像即可得出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围:x<-2或0<x<1. 点评本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式及利用图像比较函数值的大小.解题的关键是:确定交点的坐标. (1)求m,n的值; (2)若点D与点C关于x轴对称,求△ABD的面积. 考点反比例函数与一次函数的交点问题. 分析(1)由题意,将A坐标代入一次函数与反比例函数解析式,即可求出m=-1与n=1; 点评本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题;通常先求得反比例函数解析式;较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和. 在物理规律或公式中, 各个物理量在一定的条件下都存在着比例关系。如液体压强P = ρ液gh中, 当液体密度ρ液一定时, 液体内部压强P与深度h成正比例关系, 液体内部同深度h处, 液体内部压强P与液体密度ρ液成正比例关系。又如, 吸热或放热公式Q = cm△t, 当物质的比热容C和物体质量m一定时, 物体吸收或放出的热量Q与物体升高或降低的温度△t成比例关系, 当物体质量m和物体升高或降低的温度△t一定时, 物体吸收或放出的热量Q与物质的比热容C成正比例关系, 当物体吸收或放出的热量Q与物体质量m一定时, 物体升高或降低的温度△t与物质的比热容C成反比例关系; 又比如, 电功率的计算公式P = UI, 当通过电路的电流I一定时 ( 如在串联电路中) , 电流做功的功率P与加在电路两端的电压U成正比例关系, 当加在电路两端的电压U一定时 ( 如在并联电路中) , 电流做功的功率P与通过电路的电流I成正比例关系, 当电流通过电路做功的功率P一定时, 通过电路的电流I与加在电路两端的电压U成反比例关系等。很多物理问题所描述的现象都可分成开始状态和最终状态, 而且在状态变化的过程中至少存在一个物理量是不变的 ( 一定的) , 根据物理现象所表达的物理规律, 分别找出开始状态和最终状态中的已知量和未知量, 并确定未知量和已知量之间的比例关系, 列出比例式, 进行计算分析问题。 一、可以不用求出中间量 所谓的中间量就是物理现象变化过程中始终不变的物理量。通常情况下, 大多数人解答物理问题的办法是: 先根据物理现象的开始状态中各个已知量和中间量存在的物理规律, 求出中间量, 然后再根据现象变化后的最终状态中的未知量跟已知量和中间量存在的物理规律, 求出未知量, 像这样按部就班地解答物理问题, 不但运算过程繁琐、运算量大、运算速度慢、浪费时间, 而且容易出错。若根据物理规律或公式, 利用比例关系, 列出始末状态对应的比例式, 省去中间过程。这不但可以简化运算过程、减少运算量、提高运算速度、节省时间, 还可避免因中间过程出错而引起整个问题都错, 提高解决问题的准确性。 例1. 加在某导体两端的电压是36V, 导体中的电流是0. 9A, 若导体两端电压变为6V, 则通过这段导体的电流是多少? 分析: 此题按常规解法, 应先根据开始状态中的电压 ( U1= 36V) 和电流 ( I1= 0. 9A) , 利用欧姆定律求出导体的电阻R, 而因为导体的电阻是导体本身的一种特性, 不随加在导体两端的电压和通过导体的电流的变化而变化, 故而可以再根据求得的导体电阻值和最终状态中的电压值 ( U2= 6V) , 利用欧姆定律求出此时通过导体的电流I2, 在这过程中, 若导体的电阻R求错了, 那最后的电流I2也会跟着错了。而此题中导体的电阻R是一个不变的物理量, 根据欧姆定律, 当导体电阻R一定时, 通过导体的电流I与加在导体两端的电压U成正比例, 列出比例式, 根据比例式可求出得, I1, 把已知量U2、U1、I1的值代入上式中, 求出I2的值, 简单、省时、不易错。 解: 根据欧姆定律, 在导体电阻R一定时, 通过导体的电流与加导体两端的电压U成正比, 即 答: 通过这段导体的电流是0. 15A。 二、可约去比例式中相同的数, 简化运算过程 在很多物理现象变化的过程中, 开始状态和最终状态的同一物理量往往存在一定的倍数关系, 利用比例式计算时, 可直接约掉式中的分子和分母相同的公约数或数级 ( 如103) 。在选择题和填空题中, 开始状态和最终状态中描述的同一物理量的数值往往较小。这种情况下, 利用比例关系用口算就可以得出结果, 从而减少了由于运算量较大时出现的错误, 大大地节省时间和提高解题的准确性及速度。 例2. 0一根质地、粗细均匀的木棒重力900N, 放在水平面上, 如下图, 若在木棒的一端用竖直向上的力将木棒抬起, 这力应多大? 分析: 此题中的木棒可以看作杠杆, 因为木棒是水平的, 且动力F是竖直向上的, 所以动力臂L1等于木棒的总长度AB, 而由于木棒的质地、粗细是均匀的, 故而这里作为阻力的木棒重G的作用点就在木棒的几何中心点上, 且重力是竖直向下的, 所以阻力臂L2就等于木棒的一半长度1 /2AB, 根据杠杆平衡时力与力臂是成反比例关系, 列出比例式:, 可求得动力·G , 将已知的动力臂L1、阻力臂L2和阻力G的值分别代入上式, 约去L1和L2相同的数, 简化运算过程, 即可求出动力F的值。此题若改为选择题或填空题时, 根据杠杆平衡时力跟力臂是成反比例的, 抬起木棒的过程中, 由于动力臂 ( L1= LAB) 等于阻力臂的2倍, 所以动力F就等于阻力G的二分之一, 即, 这就更简单了, 不用笔算, 甚至口算就行了。 解: 依题意, 有: 根据杠杆平衡条件: 可得: 答: 这个力应为450N。 三、比例式中同一物理量的单位统一即可 常规情况下, 应用物理规律或公式进行计算时, 公式中的每一个物理量都应采用国际基本单位, 才能代入公式中进行计算, 而实际问题中很多物理量所给单位都是常用单位。这就使得我们在计算前应先进行单位换算, 若单位换算错了, 最后的结果也跟着错了。对此也是学生最容易搞错的一个环节, 而应用比例关系求解物理问题时, 比例式中同一物理量不论是用基本单位, 还是用常用单位都可以, 只要单位统一, 都可以对约, 不影响计算结果。这不但可以避免因单位换算搞错而做错题目, 而且学生做题时节省时间和提高了解题的准确性及速度。 例3. 有一粗细均匀的平底试管质量为50g, 高为25㎝, 在试管内装入70g的砂子并放入水中, 试管露出水面的高度为15㎝, 若要使试管不沉入水中, 最多可往试管中装入多少克砂子? 分析: 此题中在试管加入70g砂子时试管处于漂浮状态, 这时试管所受浮力F浮1与试管和砂子的总重 ( m0+ m1) g相等, 当向试管加入砂子直至试管口与水面相平时, 试管处于悬浮状态, 这时试管所受浮力F浮2与试管和砂子的总重 ( m0+ m2) g也相等, 再根据阿基米德原理F浮= ρ水gsl , 可得m总g = ρ水gsl , 而这两种状态下, 液体的密度ρ水和试管的横截面S是一定的, 这时试管和砂子的总质量m总与试管浸入水中的长度l成正比例关系, 据此列出比例式可求得最多装入的砂子。至此, 常规计算都是先将砂子质量m1和m2、试管质量m0和试管浸入水中的长度l1和l2的单位转化为基本单位再代入式中进行计算。这不但使数据复杂化, 还使运算过程更麻烦, 然而在这比例式中, 由于l1和l0的单位可以对约。若直接使用题中提供的常用单位时, 不仅式中数据不复杂, 运算还简单多了。 解: 依题意, 不管是初始状态还是终了状态, 都有F浮= m总g, 又据阿基米德原理 ∵这两状态中的ρ水和试管的横截面S是一定的, ∴试管和砂子的总质量m总与试管浸入水的长度l是成正比例的, 答: 最多可往试管内装入250g的砂子。 四、可不用笔算直接分析解题 在很多填空题和选择题中, 物理现象变化的初始状态和最终状态中各个物理量都没有具体数值, 只是要求根据物理规律判断最终状态中的某个物理是怎么变化的 ( 即是变大、变小或不变) 。此类题型若用比例关系来分析解答, 成正比例关系时, 最终状态中的物理量会随着初始状态中的某一个物理量的增大 ( 或减小) 而增大 ( 或减小) ; 成反比例关系时, 最终状态中的物理会随初始状态中的某一物理量的增大 ( 或减小) 而减小 ( 或增大) 。学生掌握其规律可以节省解题时间, 提高解题速度。 例4. 如下图所示, 当滑动变阻器R1的滑片P向右滑动时, 电流表A的示数___, 电压表V的示数___ 。 ( 电源电压保持不变) ( 填“变大”“变小”或“不变”) 。 分析: 此类题型中, 滑动变阻器R1的滑片P右边的电阻线被变阻器R1 上方连接滑片P的导线短路, 在电路中不起作用, 这时滑动变阻器R1的滑片P左边的电阻线与电路中的定值电阻R0是串联的, 而串联电路中通过变阻器R1的电流跟通过定值电阻R0的电流是相等的。根据欧姆定律I = U , 当通过导体的电流一定时, 加在导体两端的电压U跟导体的电阻R是R成正比例关系的, 即加在定值电阻R0和变阻器R1两端的电压是按定值电阻R0和变阻器R1的阻值大小进行正比分配的, 也就是说电阻大的导体, 它两端的电压也跟着大, 当变阻器R1的滑片P向右滑动时, 连入电路中的电阻变大, 则加在变阻器R1两端的电压也变大, 所以电压表V的示数将变大; 又因为串联电路中的总电阻是等于各个分电阻之和, 即R = R1+ R0, 且电路中的总电压U是不变的, 根据欧姆定律I =U/R , 在总电压U一定的情况下, 电路中的总电流I跟电路中的总电阻R是成反比例关系的, 即通过电路中的总电流I会随电路中的总电阻R的增大而减小, 滑动变阻器R1的滑片P向右滑动时, 连入电路中的电阻变大, 电路中的总电阻R也变大。所以, 电路中的总电流I反而变小, 即电流表A的示数将变小。 答: 电流表A的示数变小, 电压表V的示数变大。 综上所述, 不难看出应用函数的比例关系解答物理问题, 可以简化运算过程、减小运算量、节省时间、提高解题速度和准确性, 这对提高学生的物理成绩和激发学生学习物理的兴趣具有很大意义。因此, 教师在教学过程中培养学生学会物理问题用数学来解题的方法。 摘要：数学的理念在物理教学中得到广泛运用, 因此, 教师要善于引导学生运用数学方法来解决物理问题, 这具有很大的意义。比如数学函数的比例关系, 来解决物理的问题, 学生可以简化繁琐运算过程、减小运算量, 为解题节省时间、提高解题速度及准确性, 从而激发他们学习物理的兴趣。 1. 一般地，形如_____的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数．反比例函数也可写成y=kx-1的形式，其中自变量x≠0，常数k≠0． 2. 反比例函数的图象是_____，双曲线的两个分支不会与坐标轴相交． 当_____时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而_____；当_____时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而_____． 3. 在反比例函数y=■（k为常数，k≠0）中，k的几何意义是_____. 4. 一般地，知道了函数图象上任意一点的坐标，要确定函数的解析式，可采用_____法，即先设出函数解析式，然后将点的坐标代入，从而确定比例系数． 5. 利用反比例函数解决实际问题时，首先要建立_____，确定_____，再利用_____解决问题. ■ 反比例函数是初中数学中极其重要的一种函数，是历年中考命题的热点，在全国各地中考试题中都有所体现，常见题型有填空题、选择题和解答题，主要考查反比例函数的意义，反比例函数的图象及其性质，反比例函数与几何图形知识、学科外知识的综合，反比例函数的实际应用等，考题有难有易， 解题的关键在于牢固掌握反比例函数的概念、图象及性质，数形结合——将几何图形和代数知识有机结合起来，使抽象的问题更形象、直观，化数为形，由形想数，使问题得以轻易解决. ■ （2011江苏盐城）对于反比例函数y=■，下列说法正确的是（ ） A． 图象经过点（1，-1） B． 图象位于第二、四象限 C． 图象是中心对称图形 D． 当x＜0时，y随x的增大而增大 ■ C. ■ 本题考查反比例函数的图象及性质． 反比例函数的对称性和增减性是考查的热点，同学们经常不对范围进行限定，就直接说函数值随自变量怎么变化，导致出错． 对于本题，将（1，-1）代入解析式验证可知A选项不成立；当k＞0时，反比例函数图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，可知B，D选项不成立；反比例函数是中心对称图形，所以C选项正确． ■ （2011四川南充）小明乘车从南充到成都，行车的平均速度y km/h和行车时间x h之间的函数图象是（ ） ■ ■ B. ■ 本题考查反比例函数的图象，解题时需先确定函数关系式及自变量的取值范围，可设路程为s，得函数解析式y=■（s>0）， 从而其函数图象为双曲线的一支，在第一象限． ■ （2011贵州六盘水）若点（-3，y■），（-2，y■），（1，y■）在反比例函数y=■的图象上，则下列结论正确的是（ ） A． y■>y■>y■ B． y■>y■>y■ C． y■>y■>y■ D． y■>y■>y■ ■ C. ■ 本题主要考查反比例函数的性质，解题时抓住k＞0，在各象限内y随x的增大而减小的特点作出判断，也可以画出反比例函数y=■的图象，再由x■，x■，x■的值找到图象上相应y■，y■，y■的位置，通过比较三者的大小得出结论；还可以直接将-3，-2，1代入y=■中，求出y■，y■，y■的具体值进行大小比较. ■ （2011河北）根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图2，若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连结OP，OQ，有以下结论： ■ ①当x＜0时，y＝■；②△OPQ的面积为定值；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④MQ＝2PM；⑤∠POQ可以等于90°. 其中正确的结论是（ ） A． ①②④ B． ②④⑤ C． ③④⑤ D． ②③⑤ ■ B. ■ 本题以程序为背景，综合考查同学们对反比例函数的图象与性质的掌握与应用．根据程序流程图，不难确定出y与x的函数关系式为y=－■，x<0，■，x>0.结合这两个函数的图象与性质，可判断②④⑤为正确结论. ■ （2011内蒙古呼和浩特）在同一直角坐标系中，反比例函数y=■的图象与一次函数y=kx+b的图象相交，且其中一个交点A的坐标为（-2，3），若一次函数的图象又与x轴相交于点B，且△AOB的面积为6（点O为坐标原点），求一次函数与反比例函数的解析式. ■ 将点A（-2，3）代入y=■中，得m=-6. 所以反比例函数的解析式为y=-■. 又由△AOB的面积为6，得点B的坐标为（4，0）或（-4，0）. 将A，B两点的坐标代入一次函数解析式中，得一次函数的解析式为y=－■x+2或y=■x+6. ■ 本题综合考查了一次函数、反比例函数、三角形面积公式、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识，以及函数与方程、分类讨论、待定系数法等数学思想方法． ■ （2011四川内江）如图3，正比例函数y■=k■x与反比例函数y■=■交于A，B两点，已知A（4，n），BD⊥x轴于点D，且S■=4． 过点A的一次函数y■=k■x+b与反比例函数交于另一点C，且与x轴交于点E（5，0）． ■ （1）求正比例函数y■、反比例函数y■和一次函数y■的解析式. （2）结合图象，求出当k■x+b＞■＞k■x时x的取值范围． ■ （1）正比例函数的解析式为y■=■x ，反比例函数的解析式为y■=■，一次函数的解析式为y■= －2x+10. （2）由图象知当k■x+b＞■＞k■x时，x＜-4或1＜x＜4. ■ 本题主要考查反比例函数和正比例函数、一次函数的知识，又涉及几何图形和不等式解集问题. 解题的关键是数形结合，抓住各种函数图象的交点，这是唯一能沟通它们的要素． ■ （2011湖北仙桃）如图4，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线y=■交于A3，■，B（-5，a）两点，AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E. ■ （1）求点B的坐标及直线AB的解析式. （2）判断四边形CBED的形状，并说明理由. ■ （1）点B的坐标为（-5，-4），直线AB的解析式为y=■x+■. （2）四边形CBED是菱形，理由如下：点D的坐标是（3，0），点C的坐标是（-2，0），由BE∥x轴，点E的坐标是（0，-4），而CD=5， BE=5， 且BE∥CD，说明四边形CBED是平行四边形. 在Rt△OED中，ED2＝OE2＋OD2，所以ED＝CD. 所以四边形CBED是菱形.生活中的反比例函数 第7篇
函数的比例关系在物理学中的应用 第8篇
2011中考之反比例函数 第9篇