人教版植树问题教案

作为一位不辞辛劳的人民教师，通常需要准备好一份教案，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。教案应该怎么写才好呢？以下是小编整理的《人教版植树问题教案》，仅供参考，大家一起来看看吧。

第一篇：人教版植树问题教案

人教版五上数学《植树问题》教案

学习目标：

1.学生会探究发现一条线段上两端植树和一端植两种情况植树问题的规律。

2.使学生经历和体验复杂问题简单化的解题策略和方法。

3.让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，激发数学兴趣，体会数学价值。

学习过程：

一、知识铺垫

马路一边栽了25棵梧桐树。如果每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树，一共要栽多少棵?

1. 你都知道了些什么?

2. 一共要栽多少棵树?你是怎样想的。

二、自主探究

大象馆和猴山相距60m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树(两端不栽)，相邻两棵树之间的距离是3m。一共要栽多少棵树?

1. 你都知道了 。

2. 你认为一共要栽多少棵树?你会计算吗?试一试吧!

总结

植树问题

总长( )=( )

两 端 栽： 棵 数=( ) +

1一 端 栽： 棵 数=( )

两端不栽： 棵 数=( ) -1

三、课堂达标

1.小明家门前有一条35m的小路，绿化队要在路旁栽一排树。每隔5m栽一棵树(一端栽，一端不栽)。一共要栽多少棵?

2.一条走廊长32m，每隔4m摆放一盆植物(两端不放)。一共要放多少盆植物?

3. 一根木头长10m，要把它平均分成5段。每锯下一段需要8分钟。锯完一共要花多少分钟?

第二篇：人教版五年级上册《植树问题》教学设计

教学目标：

1.经历将实际问题抽象出植树问题模型的过程，借助学生自己的手指及画线段图的方法，掌握种树棵数与间隔数之间的关系。

2.会应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。

3.感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养应用意识和解决实际问题的能力。

教学重点、难点：

发现植树的棵数和间隔数的关系，并运用发现的规律解决实际问题。发现不同情形下间隔数与物体个数之间的关系。

教学过程

一、谈话导入，揭示课题。

提出问题、引发思考、探究规律。

1、每位同学都有一双灵巧的小手，它不但会写字，画画、干活，在它里面还藏着有趣的数学知识，你想了解它吗?请举起你的左手，请每一位学生高举起左手，并将五指伸直，关拢。

师：现在请每位同学将五指张开，数一数，张开后有几个空格?(4个)

师：在数学上，我们把这个空格叫“间隔”。刚才，我们把五指张开，有4个空格，也就是4个间隔。

2、大家清楚地看到，5个手指之间有4个间隔，那么，将手指换成小树，5棵小树之间有几个间隔(4个)，6棵呢?7棵呢?

今天，我们就来学习有趣的植树问题。(点课件并板书课题)

3、在我们的生活中《植树问题》应用广泛。例如，马路边种的树，安装的路灯及衣服上的纽扣等。(课件出示)

二、探究新知：

(一)动手实践，探索规律。

1、创设情境，提出问题。(课件出示)

接下来，请同学们来当一回小小的设计师：为了美化校园，我校在全长20米的小路一边植树，请按照每隔5米栽一棵的要求用线段图设计植树方案，并说明理由。指名学生读题。

2、从题中你了解到哪些重要的数学信息，可以解决什么问题?生：我先算出20米里包含了几个5米，即20÷5=4(段)20,5，4分别表示什么意思?(总长÷每段的长度=段数)4段就是4棵吗?跟你的同伴讨论一下，可以在这条小路上怎样栽树?然后将植树方案设计在你的学习单上。(要求：在学习单上的线段上画出栽树的不同情况，有困难的同学可以问问老师，也可以问同学。先设计好的同学帮帮你的同伴。) 3、汇报交流。选一名学生设计的植树方案上台展示，并让学生说明理由。(有跟他一样设计的同学请举手。)

(二)、课件演示植树方案(线段图)，加深认识。

1、老师也设计了几种植树方案，请同学们看大屏幕：(师边出示课件边叙述，线段上有几个点，就代表栽了几棵树：在20米长的小路一端栽上一棵，接着再栽一棵，再栽一棵，再栽一棵，小路的另一端也栽一棵，一共栽了5棵树有4个间隔。发现了什么?师板书：两端都栽：棵树=间隔数+1。算式：20÷5=4(个)

4+1=5(棵)

2、接着课件演示第二种植树方案：生活中有时马路边一端有一建筑物，我们就这样来栽树。发现数的棵数与间隔数有什么关系?当然，建筑物可能是在右边，也可能是在左边。只栽一端：棵树=间隔数。算式：20÷5=4(个)

4棵(板书)

3、还有一种情况，马路两端都有建筑物，我们就这样来栽。发现：两端都不栽：棵树=间隔数—1。算式：20÷5=4(个)

4-1=3(棵)(板书)

4、小结：我们能不能请出我们的宝贝小手来帮助我们记住刚才的植树规律。(让学生说在一条线段上植树的三种植树规律)

三、生活应用。

现在我们用刚才学会的本领来解决生活中的问题，请同学们看屏幕：课件出示：

1、学校图书室在12米长的教室里摆放书架，每隔2米摆放一个(两端要放)。可以摆放多少个书架?

(1)请我们班的女生给我们读题目。

(2)理解“两端”是什么意思?它类似于我们刚才学习的哪一种植树规律? (3)、算一算，可以摆放多少个书架?动手做一做吧。 (4)、反馈答案。

12÷2=6(个)

6+1=7(个)

2、解决实际问题。

大象馆和猩猩馆相距60米。绿化队要在两馆间的小路一旁栽树，相邻两棵树之间的距离是3米。一共要栽几棵树?(学生独立完成。) 问：这道题是不是应用植树问题的规律解决的?

3、马拉松比赛全程约42km。平均每3km设置一处饮水服务点(起点不设，终点设)，全程一共有多少处这样的服务点?

(学生自由读题，注意抓重点词句理解题意：“起点不设，终点设”属于哪一种植树方案?

师：看来，应用植树问题的规律，不仅仅能解决植树的问题，生活中很多类似的现象也能用植树问题的规律来解决。

四、回顾整理，反思提升

这节课你们有什么收获?(主要让学生说，) 小结：今天我们研究了在一条直的小路上植树的三种情况。发现了两端都栽：棵树=间隔数+1;只栽一端：棵树=间隔数;两端不栽：棵树=间隔数—1。以后同学们在做题的时候，一定要注意分清是“两端都栽”“只栽一端”还是“两端不栽”。

五、布置作业。

请同学们下课后找找我们身边的“植树问题”，其实生活中还有许多类似植树问题的现象，如剪绳子、爬楼梯、敲钟等等，有兴趣的同学不妨也去研究研究，并发现他们的规律。看看谁找的多，发现的规律多?

第三篇：小学数学人教版五年级上册7数学广角——植树问题C卷

姓名:________

班级:________

成绩:________

小朋友们，经过一段时间的学习，你们一定进步不少吧，今天就让我们来检验一下!

一、选择题

(共3题;共6分)

1.

(2分)

同学们做操，18人一行，每相邻两人之间间隔2米，每行从第一个人到最后一个人之间的距离是(

)米。

A

.

38

B

.

36

C

.

34

2.

(2分)

一个灯塔上的信号灯，闪5下用了20秒，30秒最多闪(

)下。

A

.

7

B

.

8

C

.

9

3.

(2分)

小朋友在一个四边形的四周战队(每个角都要站)，每边站8人，每边有(

)个间隔。

A

.

7

B

.

8

C

.

9

二、填空题

(共4题;共4分)

4.

(1分)

一位魔术师把一根1米长的带子，按20厘米折一折的方法全部折好，折成一捆，再在它的中间剪开，猜猜，这时带子是________段.

5.

(1分)

(2019·黔东南)

把一根长

米的木头锯成长度相等的6段，每段长________米，每段是全长的________，如果锯断一次需要2分钟，锯成6段共需要________分钟。

6.

(1分)

一根铁丝长20米，把它剪成4米长的小段，需剪________次。

7.

(1分)

一个实心方阵，每列站8人，这个方阵最外层站________人，这个方阵一共有________人。

A.32

B.64C.28

三、解答题

(共7题;共35分)

8.

(5分)

3月12日是植树节，同学们到郊外的路边植树，在路的一边从头到尾一共种了81棵树，相邻两棵树之间的距离为10米，这条路有多长?(两端都要植树)

9.

(5分)

为了创建绿色小学，学校在教学楼和图书馆间的小路两旁栽了58棵水杉树，相邻两棵树间的距离都是3米，路两端的树距楼也是3米。教学楼和图书馆之间的小路长多少米?

10.

(5分)

你能给下列问题选出正确答案吗?请在正确答案后面的(

)里面画“√”。

11.

(5分)

贝贝家的东边有一块三角形草地，草地的三条边分别长72米、120米、180米，在草地的周围每隔6米栽一棵海棠，在相邻的两棵海棠之间等距离地栽两棵月季花。一共栽了多少棵海棠?相邻的两棵海棠之间的月季花相距多少米?

12.

(5分)

(2019五上·武昌期末)

明珠小区的车位不足，在小区路的一边每5米安置一个车位，用“⊥”标志隔开.在一段100m长的路边最多可停放多少辆车?要画几个“⊥”标志?

13.

(5分)

一游人以均匀的速度在小路上散步，他从第1棵树处走到第12棵树处用了11分钟，如果这个游人走了25分钟，应走到第几棵树处?

14.

(5分)

某市举行长跑比赛，全程20km，平均每2.5km设置一处医疗救助站(起点不设，终点设)，全程一共设了多少个医疗救助站?

参考答案

一、选择题

(共3题;共6分)

1-1、

2-1、

3-1、

二、填空题

(共4题;共4分)

4-1、

5-1、

6-1、

7-1、

三、解答题

(共7题;共35分)

8-1、

9-1、

10-1、

11-1、

12-1、

13-1、

14-1、

第四篇：人教版一年级数学下册《解决问题》教案

教学目标：

1、熟悉解决问题的一般步骤，能解决含有多与条件的实际问题。

2、经历画一画、说一说、算一算等活动，进一步熟悉画图的策略。

3、感受画图在解决问题过程中的作用，感受数学与日常生活的联系。 教学重点：

解决多余条件的实际问题。 教学难点：

根据问题选择相关的信息。 教学准备：课本情境图、小棒 教学过程：

一、创设情境，生成问题

小朋友们，在不知不觉中春天已经来到了我们身边，你们喜欢春天吗?为什么? 生：……

师：看来春天真是一个很受大家欢迎的季节!二年级的小朋友在体育老师的带领下在足球场踢足球呢，让我们一起来看一看吧!(出示主题图) 师：从图中你知道了什么?

二、探索交流，解决问题

1、可能的答案：

(1)6个同学在踢球，3个同学在加油

(2)有1个女同学，有8个男同学

(3)有16个同学来踢球，已经来了9个人。

2、师：你能根据这些信息提出问题吗?比一比，看谁提出的问题最多，试一试(先同桌互说，然后指名说，教师根据学生的回答进行板书)，还能提出不同的问题吗?

3、想一想，你能根据这些信息列出算式吗?试一试

(板演，齐练，评讲)

师：

(1)这一题中，已知条件(数学信息)是什么?问题是什么?

(2)根据生的回答小结：知道总数一共是16人，其中一部分已经来了9人，要求另一部分还有几人没来，用减法。

(3)师：能根据已知条件解决“还有几人没来?”这个问题吗?怎样列式计算?(“踢进了4个”这个信息与人数无关，所以是多余信息) 根据生的回答板书：16-9=7(人) (4)师：“16-9”怎样算?

A、想加法算减法：因为9+7=16，所以16-9=7

B、10-9=1 1+6=7

请个别生说算理后板书得数“7”及单位名称(人)，并强调应用题得数后面都要写上单位名称，并加上括号。

(5)强调应用题要答。师板书“答：还有7人没来”

全班口答一遍。

师：刚刚有小朋友还提到这两个信息，我们一起读一读。全班齐读：有8个女同学，有6个男同学。

(1)师：前面我们说过在应用题中，这些已经告诉我们的信息都叫做什么?(生：已知条件)，你能根据这两个已知条件提出合适的问题吗?

(2)小组讨论后进行回报

(3)我们能根据已知的两个条件来解决这些问题吗?

根据学生依次将三个问题的算式、得数和单位名称板书于对应的问题下，并进行集体口答。

三、巩固应用，内化提高

1、小明家有14只鸡和5只鸭。公鸡有6只，母鸡有几只?

(1)读一读，你知道了什么?

(2)想求“母鸡有几只”?要用哪两个有关系的信息?

(3)让学生完成后，再说一说算式什么意思?

2、练习五的第二题。

四、回顾整理，反思提升 这节课，我们学习了什么?

板书设计： 解决问题

一共有16人。

还有几人没来?

已经来了9人。

有一队踢进了4个

多余的

16—9=7(人)

第五篇：高三数学第二轮复习教案 不等式的问题 人教版

高三数学第二轮复习教案 不等式问题的题型与方法三

(3课时)

一、考试内容

不等式，不等式的基本性质，不等式的证明，不等式的解法，含绝对值不等式

二、考试要求

1.理解不等式的性质及其证明。

2.掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。

3.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 4.掌握简单不等式的解法。

5.理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。

三、复习目标

1.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法.通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力; 2.掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式;

3.通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题;

4.通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力;

5.能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题.

6.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识.

四、双基透视

1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化.在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰.

2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用.

3.在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰.通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用.

4.比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值).

5.证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，将会起到很好的促进作用.在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的.

6.证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点.

7.不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用.因此不等式应用问

用心 爱心 专心

117号编辑

1 题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用.在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中.诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。

8.不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式;另一类是建立函数式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件.利

0000用不等式解应用题的基本步骤：1审题，2建立不等式模型，3解数学问题，4作答。

五、注意事项

1.解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解，。

2.解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。

3.不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。

4.根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。

六、范例分析

b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____.

分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口.怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”?M中的元素又有什么特点? 解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)

(2)当1≤y≤3时，所以当y=1时，xmin=4.

说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质.即求集合M中的元素满足关系式

2a2a0 例2.解关于x的不等式： xxa9分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数a进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。 解：当xa时，不等式可转化为xaxa 即2229xxa2a9x9ax2a0用心 爱心 专心

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2

ax317a bxaxa 当xa时不等式可化为即222ax(ax)2a9x9ax2a0a2ax或xa332a317a故不等式的解集为(,,a。

336例3. 己知三个不等式：①2x45x

②

x21 ③2x2mx10 2x3x2 (1)若同时满足①、②的x值也满足③，求m的取值范围;

(2)若满足的③x值至少满足①和②中的一个，求m的取值范围。

分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足①、②的x值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在,0和3,)内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。 解：记①的解集为A，②的解集为B，③的解集为C。 解①得A=(-1，3);解②得B=0,1)(2,4,AB0,1)(2,3)

(1) 因同时满足①、②的x值也满足③，ABC 设f(x)2x2mx1，由f(x)的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即f(0)01017即m

3f(3)03m170(2) 因满足③的x值至少满足①和②中的一个，CAB,而AB(1,4因 此C(1,4方程2x2mx10小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而 可满足ABf(1)1m031f(4)4m310,解之得m1 4m144说明：同时满足①②的x值满足③的充要条件是：③对应的方程2x+mx-1=0的两根分别在(-∞，0)和[3，+∞)内，因此有f(0)<0且f(3)≤0，否则不能对A∩B中的所有x值满足条件.不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系.

例4.已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a≥5.

分析：回忆二次函数的几种特殊形式.设f(x)=ax+bx+c(a≠0).①

顶点式.f(x)=a(x-x0)+f(x0)(a≠0).这里(x0，f(x0))是二次函数的顶点，x0=

222用心 爱心 专心

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3

))、(x2，f(x2))、(x3，f(x3))是二次函数图象上的不同三点，则系数a，b，c可由

证明：设二次三项式为：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，a∈N. 依题意知：0

f(0)>0，f(1)>0.

又f(x)=ax-a(x1+x2)x+ax1x2为整系数二次三项式，

所以f(0)=ax1x

2、f(1)=a·(1-x1)(1-x2)为正整数.故f(0)≥1，f(1)≥1. 从而

f(0)·f(1)≥1.

① 另一方面，

且由x1≠x2知等号不同时成立，所以

由①、②得，a2>16.又a∈N，所以a≥5.

说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活.根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键.

例5.设等差数列{an}的首项a1>0且Sm=Sn(m≠n).问：它的前多少项的和最大? 分析:要求前n项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列. 解:设等差数列{an}的公差为d，由Sm=Sn得

ak≥0，且ak+1<0.

(k∈N).

用心 爱心 专心

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4

说明：诸多数学问题可归结为解某一不等式(组).正确列出不等式(组)，并分析其解在具体问题的意义，是得到合理结论的关键.

例6.若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围. 分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组).由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来.即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解.

解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx.于是

解法一(利用基本不等式的性质) 不等式组(Ⅰ)变形得

(Ⅰ)所以f(-2)的取值范围是[6，10]. 解法二(数形结合)

建立直角坐标系aob，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分.因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系.如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10.即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10.

解法三(利用方程的思想)

又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而

1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，

① 所以

3≤3f(-1)≤6.

② ①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10.

说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形.要避免出现以下一种错解：

用心 爱心 专心

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5

2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11.

(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题.若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高.

例7.(2002 江苏)己知a0,函数f(x)axbx2， (1)当b0时，若对任意xR都有fx1,证明：a2b;

时，证明：对任意x[0,1]，|f(x)|1的充要条件是b1a2b; (2)当b1时，(3)当0b1讨论：对任意x[0,1]，|f(x)|1的充要条件。

a2a2)证明：(1)依题意，对任意xR，都有f(x)1.f(x)b(x 2b4baa2f()1,a0,b0a2b.

2b4b(2)充分性：b1,ab1,对任意x0,1,可推出:axbx2b(xx2)x

x1,即axbx21;又b1,a2b,对任意x0,1,可知

11axbx22bxbx2(2bxbx2)max2bb()21,即axbx21bb1f(x)1

必要性：对任意x0,1,f(x)1,f(x)1,f(1)1

11即ab1ab1;又b101,由fx1知f1bb即a11,a2b,故b1a2b b综上,对任意x0,1,f(x)1的充要条件是b1a2b

(3)a0,0b1时,对任意x0,1,f(x)axbx2b1 即f(x)1;又由f(x)1知f(1)1,即ab1,即ab1

b12(b1)2) 而当ab1时,f(x)axbx(b1)xbxb(x 2b4bb10b1,12b在0,1上,y(b1)xbx2是增函数,故在x1时取得最大值1f(x)1

22当a0,0b1时,对任意x0,1,f(x)1的充要条件是ab1

例8.若a>0，b>0，a3+b3=2.求证a+b≤2，ab≤1.

分析：由条件a3+b3=2及待证的结论a+b≤2的结构入手，联想它们之间的内在联系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法，架起沟通二者的“桥梁”. 证法一

(作差比较法) 因为a>0，b>0，a3+b3=2，所以

33332222(a+b)-2=a+b+3ab+3ab-8=3ab+3ab-6

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6 =3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a+b)]=-3(a+b)(a-b)≤0，

3即

(a+b)≤23.

证法二

(平均值不等式—综合法) 因为a>0，b>0，a3+b3=2，所以

所以a+b≤2，ab≤1.

说明：充分发挥“1”的作用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮. 证法三

(构造方程) 设a，b为方程x2-mx+n=0的两根.则

因为a>0，b>0，所以m>0，n>0且Δ=m2-4n≥0.①

因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n]，所以

3

32所以a+b≤2.

由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1.所以 ab≤1.

说明：认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到解决问题的切入点.

证法四

(恰当的配凑) 因为a>0，b>0，a3+b3=2，所以

2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)，

于是有6≥3ab(a+b)，从而

8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，

所以a+b≤2.(以下略)

即a+b≤2.(以下略) 证法六

(反证法) 假设a+b>2，则

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>2(22-3ab).

因为a3+b3=2，所以2>2(4-3ab)，因此ab>1.

①

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7 另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)·ab>2ab， 所以ab<1.

② 于是①与②矛盾，故a+b≤2.(以下略) 说明：此题用了六种不同的方法证明，这几种证法都是证明不等式的常用方法.

2例9.设函数f(x)=ax+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相

分析：因为x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x0)+f(x0). 证明：由题意知，a≠0.设f(x)=a(x-x0)+f(x0)，则又二次方程ax+bx+c=±x无实根，故

2Δ1=(b+1)-4ac<0，

2

Δ2=(b-1)-4ac<0.

222所以(b+1)+(b-1)-8ac<0，即2b+2-8ac<0，即

22

b-4ac<-1，所以|b-4ac|>1.

说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径.

例10.(2002理)某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

解：设2001年末的汽车保有量为a1，以后每年末的汽车保有量依次为a2,a3....，每年新增汽车2

2

2

x万辆。

由题意得an10.94anx即an1xx0.94(an) 0.060.06xx)0.94n10.060.0630令a60,解得x(30)0.06n n110.94上式右端是关于n的减函数,且当n时,上式趋于3.6an(30故要对一切自然数n满足an60,应有x3.6,即每年新增汽车不应超过3.6万辆

例11.已知奇函数f(x)在(， 0)(0，)上有定义，在(0，)上是增函数，f(1)0,又知函数g()sin2mcos2m,[0,],集合

2Mm恒有g()0,Nm恒有f(g())0,求MN 分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题。

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8

解奇数函数f(x)在(0，)上是增函数，f(x)在(，0)上也是增函数。g()0g()0又由f(1)0得f(1)f(1)0满足的条件是f(g()0f(1)g()1 即g()(1(0，])，即sin2mcos2m1,2也即cos2mcor2m20 令tcos,则t[0,1],又设(t)t2mt2m2,0t

1要使(t)0,必须使(t)在[0，1]内的最大值小于零

m0m01 当0即m0时，(t)max(0)2m2,解不等式组知m 2m202mm28m802当01即0m2时,(t)max,24 0m22解不等式组m8m80得422m24m2m03当1即m2时，(t)maxm1,解不等式组

2m10得m2综上：MNmm422

例12.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。

(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少? (2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小?

lh,柱体体积为：底面积乘以4高，21.414，72.646本题结果均精确到0.1米)

(半个椭圆的面积公式为s=分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力。 解：1)建立如图所示直角坐标系，则P(11，4.5)

x2y2椭圆方程为：221

ab将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程得

447887,此时l2a33.3故隧道拱宽约为33.3米 77x2y21124.522)由椭圆方程221得221

abab1124.522114.522,ab99ababab991124.521slh,当s最小时有22

422ab292a112,b此时l2a31.1,hb6.42a故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.

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9

例13.已知n∈N，n>1.求证

分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观其“形”，它具有较好规律，因此不妨采用构造数列的方法进行解.

则

说明：因为数列是特殊的函数，所以可以因问题的数学结构，利用函数的思想解决.

x22x2例14.已知函数f(x)

x1fx1nfxn12n2. (2)设x是正实数，求证：

分析：本例主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。基本思路先将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对值不等式的性质及函数的性质。证明(1)再利用二项展开式及基本不等式的证明(2)。 (1)设〈0x1,0t1,求证：txtxftx1(x1)211f(tx1)tx 证明：(1)f(x)x1tx111f(tx1)txtx2tx2,当且仅当tx1时，上式取等号。

txtxtx0x1,0t1tx1,f(tx1)2

s(txtx2(t2x2)2t2x2(txtx)22(t2x2)2t2x2 2当tx时,s4t24;当tx时s4x24

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10

txtx2f(tx1)即txtxf(tx1)

(2)n1时，结论显然成立

n当n2时，f(x1)f(x1)(xn1n11112)(xnn)Cnxn1Cnxn22..... xxxx1111n2n112n2n1Cnx2n2Cnxn1Cnxn2Cnxn4......Cnn4Cnn2

xxxx111112n1Cn(xn2n2)Cn(xn4n4)....Cn(xn2n2) 2xxxn1112n1122(CnCn...Cn)CnCn...Cn2n2 2

例15.(2001年全国理)己知i,m,n是正整数，且1imn (1)证明：niAmmiAn (2)证明：1mn1n

miiAmm1m2mi1证明：(1)对于1im,有Amm.(m1)......( mi1),mi......mmmmmiAnnn1n2ni1同理i......由于mn,对整数k1,2,......,i1,有

nnnnniiinkmkAnAmi,ii即miAnniAm nmnmii(2)由二项式定理有(1m)iinmCii0nin,(1n)niCm,由(1)知miAnniAm

miiii0mAAiii(1imn),而Cnn,CmmmicnniCm(1imn)

i!i!因此

imCnniCm,又moCnnoCm1,mCnnCmmn,miCn0 iiioo11ii2i2niimii0i0mm(min)mCnniCm即(1m)n(1n)m。

七、强化训练

1.已知非负实数x，y满足2x3y80且3x2y70，则xy的最大值是( ) A.78 B. C.2 D. 3 332.已知命题p：函数ylog0.5(x22xa)的值域为R，命题q：函数y(52a)x

是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是 ( )

A.a≤1 B.a<2 C.1

3224.求a，b的值，使得关于x的不等式ax+bx+a-1≤0的解集分别是：

(1)[-1，2];(2)(-∞，-1]∪[2，+∞);(3){2};(4)[-1，+∞). 5. 解关于x的不等式1a2xaax(a0且a1)

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6.(2002北京文)数列xn由下列条件确定：x1a0,xn1(1)证明：对于n2,总有xn21a x,nNn2xna, (2)证明：对于n2,总有xnxn1.

7.设P=(log2x)+(t-2)log2x-t+1，若t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值，试求x的变化范围.

8.已知数列anbn中， 的通项为an,前n项和为sn,且an是sn与2的等差中项，数列b1=1，点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上。 Ⅰ)求数列an、bn的通项公式an,bn Ⅱ)设bn的前n项和为Bn, 试比较

111...与2的大小。 B1B2BnⅢ)设Tn=bb1b2...n,若对一切正整数n,Tnc(cZ)恒成立,求c的最小值 a1a2an

八、参考答案

1.解：画出图象，由线性规划知识可得，选D 2.解：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数x2xa的判别式44a0，从而a1;命题q为真时，52a1a2。

若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。

若p为真，q为假时，无解;若p为假，q为真时，结果为1

(1) 当a1时，由图1知不等式的解集为xxa或1x3 (2) 当1a3时，由图2知不等式的解集为xx1或ax3 (3) 当a3时，由图3知不等式的解集为xx1或3xa

4.分析：方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通.

2解(1)

由题意可知，a>0且-1，2是方程ax+bx+a2-1≤0的根，所以

2用心 爱心 专心

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(3)由题意知，2是方程ax+bx+a-1=0的根，所以

24a+2b+a-1=0.

①

22又{2}是不等式ax+bx+a-1≤0的解集，所以

2

2(4)由题意知，a=0.b<0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以

a=0，b=-1.

说明：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间相互联系相互渗透，并在一定条件下相互转换。

5.分析：在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观，形象的图象关系，对含参数的不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰。

解：设ta，原不等式化为1t2at(t0)设y11t2(t0),y2at，在同一坐标系中作出两函数图象 xy1y2,故(1)当0a1时,0t1,即0ax1x0,)

当1a2时,如右图,解方程1tat得t1,2(2)222a2a2222

a2aa2a22aa2atx(loga,loga)22222时，原不等式的解集为φ (3)当a综上所述，当a(0,1)时，解集为0,);当a(1,2)时，解集为

22a222a2(loga,loga);当a226.证明：(1)x1a0及xn1(xn2,)时，解集为φ。

12a1aa)知xn0,从而xn1(xn)xna(nN) xn2xnxn当n2时xna成立

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(2)当n2时，xn2a0,xn11a1a(xn),xn1xn(xn) 2xn2xn1axn=0.n2时,xnxn1成立 2xn7.分析：要求x的变化范围，显然要依题设条件寻找含x的不等式(组)，这就需要认真思考条件中“t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值.”的含义.你是怎样理解的?如果继续思考有困难、请换一个角度去思考.在所给数学结构中，右式含两个字母x、t，t是在给定区间内变化的，而求的是x的取值范围，能想到什么?

解：设P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1.因为 P=f(t)在top直角坐标系内是一直线，所以t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值的充要条件

解得log2x>3或log2x<-1.

说明：改变看问题的角度，构造关于t的一次函数，灵活运用函数的思想，使难解的问题转化为熟悉的问题.

8.分析：本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识。 略解：Ⅰ)an2n,bn2n1

Ⅱ)Bn=1+3+5+„+(2n-1)=n

21111111...222...2B1B2Bn123n 111111111..1(1)()...() 1223(n1).n223n1n111122...2nB1B2Bn1352n1 Ⅲ)Tn= 22...n①

222211352n1Tn234...n1② 222221111222n1①-②得Tn233...nn1

222222212n1134737Tn3n23T2

又422223241622n满足条件Tnc的最小值整数c3。

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