三角形教案范文

三角形教案范文第1篇

1.1 教学内容

义务教育课程标准试验教科书《数学》 (人教版) 四年级下册第85页。

1.2 教学目标

(1) 让学生亲自动手, 通过量、剪、拼等活动发现、证实三角形内角和是180°, 并会应用这一知识解决生活中简单的实际问题。 (2) 让学生在动手获取知识的过程中, 培养学生的创新意识、探索精神和实践能力。并通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探究活动, 向学生渗透“转化”数学思想。 (3) 使学生体验成功的喜悦, 激发学生主动学习数学的兴趣。

教学重、难点:让学生经历“三角形内角和是180°”这一知识的形成、发展和应用的全过程。

1.3 教学准备

多媒体课件、学具。

1.4 教学过程

1.4.1 激趣引入 (1) 认识三角形内角

师:我们已经认识了什么是三角形, 谁能说出三角形有什么特点?

生1:三角形是由三条线段围成的图形。生2:三角形有三个角……

师:三条线段围成三角形后, 在三角形内形成了三个角。我们把三角形里面的这三个角分别叫做三角形的内角。

(2) 设疑, 激发学生探究新知的心理。

师:请同学们帮老师画一个三角形, 能做到吗?

生:能。

师:请听要求, 画一个有两个内角是直角的三角形, 开始。

师:有谁画出来啦?生1:不能画。

生2:只能画两个直角。生3:只能画长方形。

师:问题出现在哪儿呢?这一定有什么奥秘?想不想知道?

生:想。

师:那就让我们一起来研究吧! (揭示矛盾, 巧妙引入新知的探究)

1.4.2 动手操作, 探究新知

(1) 研究特殊三角形的内角和。

师:熟悉这副三角板吗?请拿出形状与这块一样的三角板, 并同桌互相指一指各个角的度数。

生:90°、60°、30°。

师:也就是这个三角形各角的度数。它们的和怎样?

生:是180°。师:你是怎样知道的?生:90°+60°+30°=180°。

师:对, 把三角形三个内角的度数合起来就叫三角形的内角和。

师:这个呢?它的内角和是多少度呢?生:90°+45°+45°=180°。

师:从刚才两个三角形内角和的计算中, 你发现什么?

生1:这两个三角形的内角和都是180°。生2:这两个三角形都是直角三角形, 并且是特殊的三角形。

(2) 研究一般三角形内角和

(1) 猜一猜。师:猜一猜其它三角形的内角和是多少度呢?同桌互相说说自己的看法。

生1:180°。

生2:不一定。……

(2) 操作、验证一般三角形内角和是180°。

a小组合作、进行探究。师:所有三角形的内角和究竟是不是180°, 你能用什么办法来证明, 使别人相信呢?

生:可以先量出每个内角的度数, 再加起来。

师:哦, 也就是测量计算, 是吗?那就请四人小组共同研究吧!

师:每个小组都有不同类型的三角形。每种类型的三角形都需要验证, 先讨论一下, 怎样才能很快完成这个任务。 (课前每个小组都发有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形, 指导学生选择解决问题的策略, 进行合理分工, 提高效率。)

b小组汇报结果。师:请各小组汇报探究结果。

生1:180°。生2:175°。生3:182°。…… (3) 继续探究。

师:没有得到统一的结果。这个办法不能使人很信服, 怎么办?还有其它办法吗?

生:用拼合的办法, 就是把三角形的三个内角放在一起, 可以拼成一个平角。

生1:锐角三角形的内角拼在一起是一个平角, 所以锐角三角形的内角和是180°。

生2:直角三角形的内角和也是180°。生3:钝角三角形的内角和还是180°。师:为什么用测量计算的方法不能得到统一的结果呢?

生1:量的不准。

生2:有的量角器有误差。师:对, 这就是测量的误差。

1.4.3 解决疑问

师:现在谁能说说不能画出有两个直角的一个三角形的原因? (让学生体验成功的喜悦)

生:因为三角形的内角和是180°, 在一个三角形中如果有两个直角, 它的内角和就大于180°。

师:在一个三角形中, 有没有可能有两个钝角呢?

生:不可能。

师:为什么?

生:因为两个锐角和已经超过了180°。

师:那有没有可能有两个锐角呢?

生:有, 在一个三角形中最少有两个内角是锐角。

1.4.4 应用三角形的内角和解决问题

(1) 看图求出未知角的度数。 (知识的直接运用, 数学信息很浅显)

(2) 按要求计算。 (数学信息较为隐藏和生活中的实际问题)

(3) 游戏巩固。

(4) 思考题。

1.4.5 全课总结

今天你学到了哪些知识?是怎样获取这些知识的?你感觉学得怎么样?

2 教学反思

这篇教学设计通过施教, 符合新课程理念, 转变学生的学习方式, 能让学生以小组合作的形式进行问题的探索与研究, 学生在整节课中学得轻松。整节课的教学设计, 条理清晰, 层次清楚, 学生思维活跃, 教学一开始从学生熟悉的三角板抽象出特殊的三角形探讨三角形的内角和是180°, 接下来很自然地引导学生探讨所有的三角形的内角和是不是也是180, 过渡自然且有吸引力。

在学习活动的过程中, 先让学生进行测量、计算, 但得不到统一的结果, 再引导学生用把三个角拼在一起得到一个平角进行验证。这时, 有部分学生在拼凑的过程中出现了困难, 花费的时间较长, 在这里用课件再演示一遍正好解决了这个问题。练习设计也具有许多优点, 注意到练习的梯度, 并由浅入深, 照顾到不同层次学生的需求, 也很有趣味性。但还受课本资源的限制, 不能大胆突破教材, 充分利用生活资源。例如:可以出示一块被打烂了的三角形玻璃板, 向学生提出挑战性的问题:老师今天不小心把这块三角形的玻璃板打烂了, 要重新买与原来同样大的一块, 可老师不知道尺寸, 怎么办呢?谁能帮老师解决这个问题呢?让学生利用学过的知识解决生活中常出现的问题, 更能使学生体会到数学不仅来源于生活, 学习数学的目的更是为了解决生活中的问题, 体会到学习数学的重要意义。

摘要：本文以小学四年级数学教材中关于三角形内角和的教学内容为事例, 详细介绍了该课教学内容、教学目标、教学准备、教学过程, 以及教学后的感受。从自身的实践出发落实和体会新课改后的探究式教学模式。

三角形教案范文第2篇

1.已知在三角形ABC中，BE,CF分别是角平分线，D是EF中点，若D到三角形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z，求证：x=y+z

证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点.过F点分别作AC,BC上的高交于P,Q点.

根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=FP,EM=EN.

过D点做BC上的高交BC于O点.

过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J点.则X=DO,Y=HY,Z=DJ.

因为D 是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD同理可证FP=2DJ。

又因为FQ=FP,EM=EN.

FQ=2DJ，EN=2HD。

又因为角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四边形FQNE是直角梯形，而D是中点，所以2DO=FQ+EN

又因为

FQ=2DJ，EN=2HD。所以DO=HD+JD。

因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。

2.在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由。

当∠BON=108°时。BM=CN还成立

证明;如图5连结BD、CE.在△BCI)和△CDE中

∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE

∴ΔBCD≌ ΔCDE

∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN

∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN

∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°

∴∠MBC=∠NCD

又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN

∴ΔBDM≌ ΔCNE∴BM=CN

3.三角形ABC中，AB=AC,角A=58°，AB的垂直平分线交AC与N，则角NBC=()

3°

因为AB=AC，∠A=58°，所以∠B=61°，∠C=61°。

因为AB的垂直平分线交AC于N，设交AB于点D，一个角相等，两个边相等。所以，Rt△ADN全等于Rt△BDN

所以 ∠NBD=58°，所以∠NBC=61°-58°=3°

4.在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点。且角PAQ=45°，求证：PQ=PB+DQ

延长CB到M，使BM=DQ，连接MA

∵MB=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠

∴三角形AMB≌三角形AQD

∴AM=AQ∠MAB=∠DAQ

∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ

∵∠MAP=∠PAQ

AM=AQAP为公共边

∴三角形AMP≌三角形AQP

∴MP=PQ

∴MB+PB=PQ

∴PQ=PB+DQ

5.正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC于点P,求证DP⊥NP

∵直角△BMP∽△CBP

∴PB/PC=MB/BC

∵MB=BN

正方形BC=DC

∴PB/PC=BN/CD

∵∠PBC=∠PCD

∴△PBN∽△PCD

∴∠BPN=∠CPD

∵BP⊥MC

∴∠BPN+∠NPC=90°

∴∠CPD+∠NPC=90°∴DP⊥NP

例1： (基础题) 如图,AC//DF , GH是截线.

∠CBF=40°, ∠BHF=80°.

求∠HBF, ∠BFP, ∠BED.∠BEF

例2： (基础题)

①在△ABC中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A =(度)

②：、。如图，△ABC中，∠A = 60°，∠C = 50°，则外角∠CBD =。 ③已知，在△ABC中， ∠A + ∠B = ∠C，那么△ABC的形状为()

A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、以上都不对

④下列长度的三条线段能组成三角形的是()

A.3cm，4cm，8cmB.5cm，6cm，11cmC.5cm，6cm，10cm

D.3cm，8cm，12cm

⑤如果一个三角形的三边长分别为x，2，3，那么x的取值范围是。 ⑥小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是

_.______.⑦已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为

⑧在△ABC中，AB = AC，BC=10cm,∠A = 80°，则∠B =，

∠C =。BD=______,CD=________

⑨如图，AB = AC，BC ⊥ AD，若BC = 6，则BD =。

⑩画一画如图，在△ABC中：

(1).画出∠C的平分线CD

(2).画出BC边上的中线AE

(3).画出△ABC的边AC上的高BF

例3： (提高)

①△ABC中，∠C=90°，∠B-2∠A=30°，则∠A=，∠B=

③在等腰三角形中，一个角是另一个角的2倍，求三个角?

_______________________

④：在等腰三角形中，，周长为40cm,一个边另一个边2倍，求三个边?

_________________

例4 如图，D是△ABC的∠C的外角平分线与BA

的延长线的交点，求证：∠BAC>∠B

例5：(15，)

例6.ABC为等边三角形，D是AC中点，E是BC延长线上一点，且CE =BC 求证： BD = DE

一、选择题：

1. 等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为()

A.150°B.80°C.50°或80°D.70°

2. 在△ABC中， ∠A=50°， ∠B，∠C的角平分线相交于点O，则∠BOC的度数是()

A.65°B.115°C.130°D.100°

3.如图，如果∠1=∠2=∠3，则AM为△的角平分线，

AN为△的角平分线。

二、填空题：

1. 。

2.3.

4. 已知△ABC中，则∠A + ∠B + ∠C =(度)

5. 。若AD是△ABC的高，则∠ADB =(度)。

6. 若AE是△ABC的中线，BC = 4，则BE ==

7. 若AF是△ABC中∠A的平分线，∠A = 70°，则∠CAF = ∠=(度)。

8. △ABC中，BC = 12cm，BC边上的高AD = 6cm，则△ABC的面积

为。

9. 直角三角形的一锐角为60°，则另一锐角为。

10. 等腰三角形的一个角为45°，则顶角为。

11. 在△ABC中，∠A：∠B：∠C = 1:2:3，∠C =。

12. 如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中共有个直角三角形;

13. △ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB若∠A=70°，则∠BOC=;若∠BOC=120°，∠A=。

三、解答题：

14、如图4，∠1+∠2+∠3+∠4=度;

15、如图;ABCD是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在AC或BD

上钉上一根木条，现量得AB=80㎝，BC=60㎝，

CD=40㎝，AD=50㎝，试问所需的木条长度至少要多长?

16有一天小明对同学说：“我的步子大，一步能走三米(即两脚着地时的间距有三米”。有的同学将信将疑，而小颖说：“小明，你在吹牛”。你觉得小颖的话有道理吗?

17. 图1-4-27，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，

∠ABC的平分线BD交AC于D.求：∠ADB和∠CDB的度数.

.18。已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4。

求等腰三角形各边的长。

19.已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=EC，

求证：AB=AC

.20。.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，

CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。

21.、如图，P、Q是△ABC边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。

.22。如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别

在AC、AB上，且BC=BD=DE=EA，求∠A的度数。

23.、如图，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线。试探求∠F与∠B、∠D之间的关系，并说明理由。

例

1、填空：

。

(6)正二十边形的每个内角都等于。

(7)一个多边形的内角和为1800°，则它的边数为。

(8)n多边形的每一个外角是36°，则n是。

(9)多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有条。

(10)如果把一个多边形截去一个三角形，剩下的多边形的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是。

(11)一多边形除一内角外，其余各内角之和为2570°，

则这个内角等于。

例

5、给定△ABC的三个顶点和它内部的七个点，已知这十个点中的任意三点都不在一条直线上，把原三角形分成以这些点为顶点的小三角形，并且每个小三角形的内部都不包含这十个点中的任一点，求证：这些小三角形的个数是15。

1.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE。当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°?证明你的结论。

解：

当B在BC的中点时四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°证明;在△ADC和△BFC中BF=DC,BC=AC,∠B=∠ACD∴△ADC△≌BFC∴AD=FC,∠DAC=∠BCF=30°∵△AED是等边三角形∴ED=FC，∵∠EAB=∠ BAD=60°∴AD垂直平分ED∴∠BDE=∠DCF=30°

三角形教案范文第3篇

平面向量是高中数学实验教材中新增的一章内容.加入向量，一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵.在数学教学中引导学生积极探索向量在中学数学中各方面的应用，不仅可深人了解数学教材中新增内容和传统内容的内部联系，构建合理的数学知识结构，而且有利于拓展学生的想像力，激发创新活力，显现出向量作为一个工具在数学中的重要性.下面就向量与三角形的重心关系加以引申和应用.

三角形重心向量形式的充要条件：设O为ABC所在平面上一点，O为ABC的重

心OAOBOC0

证明：先证必要性：

如图1以OB,OC为邻边作平行四边形OBDC,则ODOBOC.又OAOBOC0，则OBOCOA，所以OAOD,

O为AD的中点，且A、O、D共线.

又E为OD的中点,因此，O是中线AE的三等分点，且OA2AE

3即O为ABC的重心.再证充分性:设BO、OC与AC、AB分别交于F、G点，则由三角形的中线公式可得， AEBFCG0

222又O为ABC的重心，得AOAE,BOBF,COCG 33

3所以OAOBOC0

引申1若O为ABC内任一点，则有

SOAB.OCSOBC.OASOAC.OB0

证明：如图2,设OA11OA,OB12OB,OC13OC,

且O为ABC的重心，则1OA2OB3OC0

且SAOBSBOCSAOC,记为S,那么，

SOAB

S1OAOBsinAOB1.12OA1OB1sinAOB

2S即S

AOB12.同理可得SOBcS

23，SOACS13.

所以1:2:3SOBC:SOAC:SOAB.则SOAB.OCSOBC.OASOAC.OB0

引申2如图3,已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N 11两点，且AMxAB,ANyAC,则3 xy

证明：点G是ABC的重心，知GAGBGC0,

1得AG(ABAG)(ACAG)0有AG(ABAC)

3又M、N、G三点共线(A不在直线AM上),于是存在,，使得

1AGAMAN)(且1),有AGxAByAC(ABAC)

31113 得于是得1xyxy3运用引申

1、引申2可以解决许多数学问题，使解题过程简单。

例1. 设设O为ABC所在平面上一点，角A、B、C所对边长分别为a,b,c则O为ABC

的内心的充要条件为：aOAbOBcOC0

证明：必要性，由O为ABC的内心，得O到ABC三边的距离相等，记为r, 则SOAB111111ABrcr,SOBCBCrar,SOACACrbr, 22222

2所以SOAB:SOBC:SOACc:a:b

由引申1得SOABOCSOBCOASOACOB0，即aOAbOBcOC0

充分性：由aOAbOBcOC0及SOABOCSOBCOASOACOB0，

得SOAB:SOBC:SOACc:a:b

设O到ABC三边的距离分别为r1,r2,r3, 则SOAB111cr1,SOBCar2,SOACbr3, 222

所以ar1:br2:cr3a:b:c,

可得r1r2r3,即O为ABC的内心。

所以O为ABC的内心的充要条件为：aOAbOBcOC0

例2.已知在ABC中，过重心G的直线交AB于P, 交AC于Q,设APQ的面积为S1，

ABC的面积为S2，且APpPB,AQqQC,则

(1)pq_______________ pq

(2)S1的取值范围是_________________ S2

11APpAQq3 解析：(1)因为,,由引申2得pqAB1pAC1q

1p1q

即1p1q11pq3，推出1,所以1,故填1. pqpqpq

(2)由题可知S2ABAC(1p)(1q)12. S1APAQpqpq

11411S94S1pq21(),所以2<2,即1,故填[,). 由0<92pq24S149S22

运用引申

1、2，还可以轻松解答下列问题.

1. 已知点O为ABC内一点，且存在正数1,2,3使1OA2OB3OC0

设AOB,AOC的面积分别为S1,S2,求S1:S2.

2. 已知点P是ABC内一点，且满足PA2PB3PC0，求ABP与ABC的面积的

比.

3. 已知点O在ABC内部且满足OA2OB3OC0,求ABC与凹四边形ABOC的

三角形教案范文第4篇

平面几何中中三角形的四“心”,即三角形的内心、外心、重心、垂心。在引入向量这个工具后，我们可以从动和静两个角度看三角形中的四“心”的向量表示，其一可以使我们对三角形中的四“心”有全新的认识;其二使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识。

一.从静止的角度看向量的四“心”

1.已知点O是三角形ABC所在平面上一点，若OAOBOC0，则O是三角形ABC的(

)

(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

分析：若OAOBOC0，则OAOBOC，设以OA、OB为邻边的平行四边形为OACB,OC与AB交于点D,则D为AB的中点,由OAOBOC得,OCOC,即C、O、D、C四点共线,故CD为ABC的中线,所以O在边AB的中线上,同理可证, O在边AC的中线上, O在边BC的中线上所以O是三角形ABC的重心.

 2. 已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOBOCOCOA,则O是三角形ABC的(

)

(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

分析:由OAOBOBOC得,OB(OAOC)0,即OBCA0,所以OBC,A同理可证:OCAB,OABC,所以O是ABC的垂心.

3. 已知点O是三角形所在平面上一点，若aOAbOBcOC0,则O是三角形ABC的(

)

(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

分析::若aOAbOBcOC0,又因为OBOAAB,OCOAAC,则(abc)OAbABcAC0.所以AObcABACABAC,因为与分别表示AB和AC方向上的单位向量,设abc|AB||AC||AB||AC|ABAC+,则AP平分BAC.又AO、APAP共线，BO平分BAC，知AO平分BAC。同理可证，|AB||AC|CO平分BAC。从而O是ABC的内心。

2224.已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOC，则O是三角形ABC的(

)

(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

222222分析：因为OAOBOC，所以OAOBOC，即OAOBOC，所以O是ABC的外心。

二.从运动的角度看三角形的四“心”

1.已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OPOA(ABAC),R，则动点P一定通过ABC的(

)

(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心 解:OPOA(ABAC) ,可得AP(ABAC),由于ABAC表示以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线,所以点P在边BC的中线所在直线上,,故动点P的轨迹一定通过ABC的重心. 2.已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足ABAC+ OPOA,R，则动点P一定通过ABC的(

) |AB||AC|(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

ABABACACABAC+ 得，AP+ 。由于+ 表分析：由OPOA|AB||AC||AB||AC||AB||AC|示BAC的平分线所在的方向向量。故当R时，动点则动点P一定通过ABC的内心。

3已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足ABAC+  ,R，则动点P一定通过ABC的(

) OPOA|AB|cosB|AC|coCs(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

ABACABAC+ 得，AP+ 。分析: 由OPOA|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosCABACABBCACBC+ B CBCB,C0由于所以cosAB|B|coAsC|C|cos|AB|coBsA|C|C。即点P的轨迹是过点A且垂直于BC的直线，故动点P的轨迹一定通过ABC的垂心。 APB0C4. 已知O平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OBOCOP2ABAC+ ,R，则动点P一定通过ABC的(

) sA|C|coC|AB|coBs(A)内心

(B)外心

(C)重心

(D)垂心

三角形教案范文第5篇

1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0 2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积) 3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边)

4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²(AP就表示AP向量 |AP|就是它的模)

5 AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心6 AP=λ(AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心 7 AP=λ(AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞)或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心

8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

【以下是一些结论的有关证明】

1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|^2*sin2B)+AC /(|AC|^2*sin2C)},AP•BC=入{(AB•BC /|AB|^2*sin2B)+AC•BC /(|AC|^2*sin2C)},AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|^2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*sin2C)},AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|^2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*2sinC cosC)},AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，即AP•BC=0，P点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+λ

(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

OP-OA=

λλ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过

三

角

形

重

心

。

4.OP=OA+