欧姆定律极值问题范文第1篇
函数极值问题举例
例1:已知是正数, 求函数
的最小值。
这是一道求函数极值的题目, 下面我们分别用高等数学和初等数学的方法来求解。首先, 我们用高等数学的方法来解。
显然, 此函数的定义域为 (-∞, +∞) , 由于,
所以, 由方程可以解得, 又因为
, 又因为a, b, c均为正数, 所以。因此, 当时, 函数y取最小值, 其最小值为
其次, 我们再用初等数学的方法来求解。记点。则显然有下列关系 (如图1) 。显然, 所以, 函数y的最小值是。例2:已知, 求函数的最小值和最大值。
首先, 我们用传统的高等数学中条件极值的方法来求解。作辅助函数:
由方程组
可解得:, 再经过必要的判断后知:当时, 函数取最小值, 最小值为;当x=x1, y=y1时, 函数函数取最大值, 最大值为。
其次, 我们再用初等数学的方法来解决此问题。
因为表示一个圆心在圆上找两点, 使得函数分别在这两点处取得最大值和最小值。而我们可以把函数理解为直线OP的斜率 (如图2) 从而, 原问题就是在圆上找两点, 使得直线的斜率分别达到最小值和最大值。于是得到问题的解法如下:记点为圆上任意一点, 则, 设置先OP的解析表达式为y=kx, 显然。
由, 解得
即
因此, 函数的最小值和最大值分别为:。
两种方法的比较, 通过以上两个例子, 我们看到:用初等数学方法解极值问题时, 方法比较灵活、多变。而用高等数学的方法解极值问题时, 有统一的方法, 其解法是程序化的。其次, 用初等方法显得简捷直观;而高等的方法则较为烦琐和抽象。一般来说, 高等的方法是一般方法, 而初等方法往往是特殊方法, 是因题而异的。
从培养学生思维能力的角度来看, 初等方法更能培养学生的分析、观察能力。因此, 学生对初等方法的掌握对将来更好的学习高等方法是十分重要的。
最后, 我们再举两个例子来说明:对于有些问题, 用高等的方法很容易求解, 而用初等方法则是很困难的。同样, 反过来也是如此。
例3:已知, 求的最大值和最小值。
此问题用初等方法是很方便也是很简单的。但用高等的方法则显得比较麻烦。下面我们就用初等的方法来解此题。
图3所示, 表示单位圆。表示点到单位圆一点的距离, 显然过圆心俄直线po交圆于A, B两点, |PA|最短, |PB|最长。因此所求的最小值和最大值分别为:
, 。
例4:
若, 求函数的最小值。
这个极值问题用初等方法求解是很困难的, 但用高等方法来求解则非常容易。下面是此问题的高等解法。
作辅助函数
于是从
可解出将它们代入,
可得, 于是得到:
由于函数没有最大值, 所以x1, x2……xn就是使函数达到最小值的点, 而最小值为:
通过上述两例, 我们看到:有些特殊的极值问题用初等方法处理是很方便的 (例3) , 而有些极值问题则用高等方法处理是较为方便 (例4) 。总之, 通过两种方法的比较, 我们看到:初等方法和高等方法在解极值问题时各有特点) 。因此, 在求解极值问题时, 要根据问题的特点, 选择最为合适的解决方法。
摘要：讨论函数的极值有初等解法和高等解法两种, 本文分析了两种解法各自的特点并进行了比较, 并通过例题加以论证, 通过比较可以有助于培养学生的学习兴趣, 并对培养学生的能力有一定的作用。
关键词：函数,极值,解法
参考文献
[1] 陈传璋.数学分析 (下册) [M].高等教育出版社.
[2] 马文良.利用函数内何意义求函数极值[J].湖州师范学院学报, 2001 (2) :11～13.
欧姆定律极值问题范文第2篇
1 气象要素极值的计算
选取南阳市1957年至2010年每年的日最大降水极值资料, 并将降水极值资料从大到小按顺序排列, 计算其保证率, 即每年出现某种日最大降水的经验频率值:
式中, m为最大降水排列序号, m=1, …, n;n=50, 样本数。
设计频率P与重现期T的关系是
根据极大值的概率分布, 可以推算出设计频率P对应的极大值XP。故当设计要求的重现期超过已有资料年限时, 需要将频率曲线向小频率方向外延。因此, 需要将已有记录拟合出极大的频率分布, 按照这种分布来客观地延伸频率曲线, 避免工程设计的盲目性。
2 双指数分布函数的求解
双指数分布函数为:
式中, α为尺度参数;β为位置参数, 反映频率分布集中在数轴上的位置。
设计频率P=P (x≥xP) , 则:
移项整理求解取对数得出:
则有:
在最小二乘法意义下求出参数α、β。
则 (1) 式可写为:
两边同时取对数解出:
并求出对应的ym序列值 (m=1, …, 50) 。则可以求解出:
根据均方差运算定理, 对 (3) 式求均方差得:
根据平均值运算定理, 对 (3) 式求平均得:
把、β值代入 (2) 式, 得到内乡县日最大降水拟合直线方程:
其中, xP与ym的相关系数γ=0.978
把、β值代入 (1) 式, 得到内乡县降水双指数极值分布函数:
3 按气象要素极值设计的危险率
每年超过极值xP的概率是P, 不超过极值的概率是1-P。假定各年超过极值xP的值的发生是独立的, 由概率乘法, 在使用n年内均不超过极值xP的概率为 (1-p) n。至少超过极值xP一次的概率, 即危险率:
因此, n越大, 则危险率Pr越大。如果工程设计标准越高, 则频率P越小, 即Pr越小。如工程设计年限n=25年, 指定危险率Pr=20%, 代入上式, 求出设计频率P=1%, 由, 即要按百年一遇的气象要素极值来设计工程。
4 结语
(1) 通过求解得到具有实际应用意义的南阳市日最大降水极值双指数分布函数式是可信的。
(2) 通过南阳市日最大降水拟合直线方程 (4) , 可客观地延伸频率曲线, 避免工程设计的盲目性, 具有实际应用价值。
(3) 通过方程 (4) 、 (5) , 可对需要引用气象要素极值的行业和部门进行年度气象要素极值的标定、检测, 以免使用过期数据, 造成设计上的安全隐患, 同时也可避免因气象要素极值过高估计而导致工程造价过高。
摘要：本文以1957年至2010年南阳市日最大降水极值资料为例, 介绍某气象要素极值的双指数分布函数求解方法。
关键词：气象要素极值,计算方法,双指数分布函数
参考文献
[1] 邬平时, 龚潜江, 吴树立, 等.气象学[M].农业出版社, 1979, 11 (1) :179～182.
[2] 丁裕国, 江志红.气象数据时间序列信号处理[M].气象与环境科学, 1998.