近年来, 高考形成了以向量、导数、概率为纽带的新的知识网络交汇点, 函数与导数、平面向量、概率统计已成为新课程高考的几个热点和亮点, 学生复习备考应给予足够的重视。
就导数问题, 在高考中都是通过导函数的研究, 从而解决可导函数的极值、单调性、待定参数的取值范围、证明不等式等问题, 且有难度增大, 综合性较强的趋势。
1下列就一些相关问题作简要讨论
1.1对于单调性:
这是应用导数解决的最基本问题之一, 它简单方便, 即是若需要确定函数的单调区间I, 则是:若x∈I, 恒有f′ (x) >0时, f (x) 在区间I上单调增加;若x∈I, 恒有f′ (x) <0时, f (x) 在区间I上单调减少。
1.2求极值、最大值、最小值问题:
一般情况是函数在x=x0处连续, 若在该点邻近左右两侧一阶导数变号, 则函数在该点取极值, 且若在左侧f′ (x) >0, 右侧f′ (x) <0, 则f (x0) 为极大值;若在左侧f′ (x) <0, 右侧f′ (x) >0, 则f (x0) 为极小值。
如果在某个范围内只有一个极值:若是极大值, 则为最大值;若是极小值, 则为最小值。
1.3不等式的证明、求待定参数的取值范围:
这些问题均可通过单调性, 或从极值的讨论而推得, 应该让学生把这些要点理解并熟练掌握, 能综合应用。
2下面举例进行讨论:
2.1证明不等式, 求切线等问题:
(2) .用导数来证明: (即用单调性来证明)
2.已知函数f (x) =x3-x, 设a>0, 如果过点 (a, b) 可作曲线y=f (x) 的三条切线。证明:-a
证明:因为要f (a) ≠b, 所以此题实际上是曲线外一点 (a, b) 可作曲线的三条切线来推证不等式成立, 因此与切线方程及相关的问题有关, 可通过切线方程来推证。
由曲线y=f (x) 在点M (t, f (t) ) 处的切线方程为y= (3t2-1) x-2t3可得过点 (a, b) 的切线应为b= (3t2-1) a-2t3, 即有2t3-3at2+a+b=0, 若令g (t) =2t3-3at2+a+b.通过求函数g=g (t) 的一阶导数并确定其单调区间及极大值与极小值, 可得极大值为a+b, 极小值为b-f (a) .
若过点 (a, b) 可作曲线y=f (x) 的三条切线, 方程2t3-3at2+a+b=0关于t必有三个相异实根, 此时三次曲线g=g (t) 与t轴有三个交点, 即函数g=g (t) 有三个零点。函数g=g (t) 有三个零点的充要条件是极大值大于零且极小值小于零同时成立, 所以问题得到证明。
若过点 (a, b) 可作曲线y=f (x) 的二条切线, 则方程2t3-3at2+a+b=0关于t必有二个相异实根, 且其中有一个根是二重根, 此时三次曲线g=g (t) 与t轴只有二个交点, 即函数g=g (t) 有二个零点。则极大值或极小值中有一个为零, 而另一个不为零, 所以能证明-a
若过点 (a, b) 只可作曲线y=f (x) 的一条切线, 则方程2t3-3at2+a+b=0关于t只有一个实根, 另二个根是一对共轭复根, 此时三次曲线g=g (t) 与t轴只有一个交点, 即函数g=g (t) 只有一个零点。则应为极大值a+b<0或极小值b-f (a) >0, 故不等式b<-a或b>f (a) 仅有一个成立。
对于a<0, 同理可证明相应的结论, 只是上面各不等式均要反向才成立。
对于此题能通过对函数g=g (t) 的极大值及极小值的讨论而证明不等式成立的关键是求出极大值与极小值, 而求极大值与极小值又只有通过用导数最准确简便。
2.2讨论参数的取值范围、极值、最大值最小值问题:
1.设函数f (x) = (x+1) 1n (x+1) .若对所有的x>0, 都有f (x) >ax成立, 求实数a的取值范围。
解:本题是一个不等式及确定参数a的取值范围的综合题, 考虑到不等式, 所以可以用单调性来推证, 即用导数来讨论。
若令g (x) =f (x) -ax= (x+1) 1n (x+1) -ax, 则应求g (x) >0的所有a的取值范围, 又因g (0) =0, 所以须证g (x) >g (0) 即可。
因为g' (x) =1n (x+1) +1-a,
令g' (x) =0解得x=ea-1-1, 当x>ea-1-1时, g' (x) >0, 所以g (x) 为增函数。
当-1
所以要对所有x>0时都有g (x) >g (0) 的充要条件为ea-1-1<0.
由此得a<1, 即a的取值范围是 (-∞, 1].
2.已知a>0, 函数f (x) = (x2-2ax) ex.
(1) .当x为何值时, f (x) 取得最小值;
(2) .设f (x) 在[-1, 1]上为单调函数, 求a的取值范围。
解:本题用导函数的性质方法及推理来讨论, 考虑x∈R, f (x) 的最小值应是极小值, 即须用导数按求极值的步骤进行讨论。f (x) 在[-1, 1]上为单调函数, 实质上就是f' (x) >0或f' (x) <0恒成立时求a的取值范围。
(1) .对函数f (x) 求导数得:
f' (x) =[x2+2 (1-a) x-2a]ex, 令f' (x) =0得[x2+2 (1-a) x-2a]ex=0, 从而得x2+2 (1-a) x-2a=0, 解得
因为a>0, 所以x1<-1.而当x2>0时, f (x) =x (x-2a) ex>0;当x=0时, f (x) =x (x-2a) ex=0.
又f (x) 在 (x1, x2) 内单减, 在 (x2, +∞) 内单增,
所以当时f (x) 取得最小值。
(2) .对于a>0, f (x) 在[-1, 1]上为单调函数的充要条件是x2>1, 即解得, 即的取值范围是.
此题由a>0所产生的x1、x2的范围是解本题的关键, 另外, f (x) >m恒成立, 此即可讨论出的最小值问题。
3通过分析讨论及例题解析, 对以上一系列问题均可用导数来研究讨论, 用导数讨论一般比初等方法简单方便。因此应熟练掌握导数及其有关特性, 应用导数解决相关问题。