导数是数学分析中最基本的概念之一, 学生对导数概念及其性质的正确理解掌握对其以后的学习至关重要。通过导数基本概念和基本性质的课程教学, 学生一般可掌握导数定义、几何意义、性质和导数计算等。但仅仅掌握这些基本知识是远远不够的, 有必要在习题课引导学生对导数作进一步探讨, 以加深学生对导数的理解和掌握。
探讨1:若存在, 则f在0x处可导?
[分析]此探讨源于导数定义, 即定义中h能否减弱为n-1?甚至能否减弱为h∈Q?答案是否定的, 如Dirichlet函数D (x) 处处不可导, 但是上述极限存在。
探讨2:若存在, 则f在0x处可导?
[分析]此探讨源于命题:若f在0x处可导, 则极限存在。
其逆命题是否成立?答案是否定的, 我们应注意到该式中并未涉及到f (x0) , 即使上述极限存在, f在0x处可能不连续甚至可能没有定义。如:|x|或者x-2 (x≠0) 在x=0处。
探讨3:若f在0x处左右可导, 则f在0x处连续。
[分析]此探讨源于我们熟知的定理:若f在0x处可导, 则f在0x处连续。也就是其条件能否减弱为左右可导一般同学可能认为该命题是错误的。因为f在0x处可导当且仅当f在0x处左右可导并且左右导数相等, 而此时左右导数未必相等。事实上, 上面的定理可以叙述为:若f在0x处左 (右) 可导, 则f在0x。处左 (右) 连续, 而f在0x处连续等价于f在0x处左右连续。故该探讨是正确的。
探讨4:若f在0x处可导, 则存在0x的邻域U (x0) , 使得f在U (x0) 上连续。
[分析]此探讨源于上述定理, 即结论可否加强为存在邻域U (x0) , 使得f在U (x0) 上连续?答案是否定的, 如f (x) =x2 D (x) 仅在x=0处连续可导, 而在x≠0处均不连续。
探讨5:是否存在整个R上定义但仅在一点可导的函数?
[分析]此探讨源于函数|x|, 我们知道它仅在一点x=0处不可导。由探讨4知答案是肯定的。进一步, 是否存在整个上定义但仅在有限个点可导的函数?如何构造这样的函数?我们有结论:若可导函数f, g仅有有限个交点,
仅在这些交点处连续, 又若f, g在这些点处导数值相等, 则仅在这些点处可导。
探讨6:初等函数在其定义域上可导。
[分析]此探讨源于定理:初等函数在其定义域上连续。答案是否定的, 如初等函数|x|, 在x=0处就不可导。
探讨7设函数f, g一个可导而另一个不可导f±g, f⋅g, f/g (g≠0) , 那么以及复合 (假设能复合) 是否一定不可导
[分析]此探讨源于定理:可导函数的和差积商以及复合仍可导。我们说f±g一定不可导, 而其余的未必不可导。证明和举例留给读者。
探讨8:设函数f在0x处可导, 试讨论|f|在0x处的可导性。
[分析]此探讨源于函数|x|在x=0处不可导。由连续函数局部保号性可以证明:若函数f在0x处可导, f (x0) ≠0, 则|f|在0x处可导。而当f (x0) =0时, |f|在0x处可能可导也可能不可导, 如x3在处x=0。事实上, 我们有结论:若f在x0处可导, 且f (x0) =0, 则当f' (x0) =0时, |f|在0x处可导;而当f' (x0) ≠0时, |f|在0x处不可导。
探讨9:如何讨论分段函数在分段点处的可导性。
[分析]分段函数在分段点处的可导性历来是数学分析考试考核的重点。一般可用左右导数定义来考察可导性, 但用定义来讨论可导性是很多学生的薄弱环节, 是否有较简便的方法我们可先讨论函数在分段点处的连续性, 若不连续, 则函数必不可导;若连续, 则可求分段点两侧函数的导函数, 再对导函数取极限求得左右导数, 最后判定分段点处的可导性。具体地, 设
f, g分别为x
摘要：本文给出了导数概念性质习题课教学中应深入探讨的一些问题。
关键词：导数,可导性,连续性
参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析 (上册, 第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2001.
[2] 庄亚栋, 王慕三.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 1990.
[3] 汪林.数学分析中的问题和反例[M].云南:云南科技出版社, 1990.