导数公式范文

导数公式范文第1篇

例

1、设当xa,b时，f/(x)g/(x)，求证：当xa,b时，f(x)f(a)g(x)g(a).

例

2、设f(x)是R上的可导函数，且当x1时(x1)f/(x)0.

求证：(1)f(0)f(2)2f(1);(2)f(2)2f(1).

例

3、已知m、nN，且mn，求证：(1m)(1n).

nm

例

4、(2010年辽宁卷文科)已知函数f(x)(a1)lnxax21，其中a2，证明： x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.例

5、(2010年全国Ⅱ卷理科)设函数fxxaIn1x有两个极值点x

1、x2，且

2x1x2，证明：fx2

12In2.

4a0，b0，例

6、已知函数f(x)xlnx，求证：f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).xln(1x)x; 1x

11112ncln(2)设c0，求证：.2cn1cn2c2ncnc例

导数公式范文第2篇

例

1、设当xa,b时，f/(x)g/(x)，求证：当xa,b时，f(x)f(a)g(x)g(a).

例

2、设f(x)是R上的可导函数，且当x1时(x1)f/(x)0.

求证：(1)f(0)f(2)2f(1);(2)f(2)2f(1).

例

3、已知m、nN，且mn，求证：(1m)(1n).

nm

例

4、(2010年辽宁卷文科)已知函数f(x)(a1)lnxax21，其中a2，证明： x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.例

5、(2010年全国Ⅱ卷理科)设函数fxxaIn1x有两个极值点x

1、x2，且

2x1x2，证明：fx2

12In2.

4a0，b0，例

6、已知函数f(x)xlnx，求证：f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).xln(1x)x; 1x

11112ncln(2)设c0，求证：.2cn1cn2c2ncnc例

导数公式范文第3篇

f(x0)limf(x0x)f(x0)xx0 。

函数 f(x) 在 x0 点的右导数定义为

f(x0)limf(x0x)f(x0)xx0 。

函数 f(x) 在 x0 点导数的左极限定义为

f(x00)limxx00f(x) 。

函数 f(x) 在 x0 点导数的右极限定义为

f(x00)limxx00f(x) 。

在很多情况下，导数的左极限 limxx00导数的右极限 f(x) 往往就是左导数 f(x0) ，xx00limf(x) 往往就是右导数 f(x0) 。

1例如，函数 f(x)x2xx1 。

x1111 ;导

在 x1 点的左导数为 f(1)lim数的左极限为 limx10f(1x)f(1)xx0limx01xx11f(x)lim()lim(2)1 ，两者是一样的。

x10xx10x在 x1 点的右导数为 f(1)lim导数的右极限为 limx10f(1x)f(1)xx0lim(1x)1x2x02 ;

2f(x)lim(x)lim(2x)2 ，两者也是一样的。

x10x10

但有时候，导数的左极限 limxx00f(x) 并不等于左导数 f(x0) ，导数的右极限

xx00limf(x) 并不等于右导数 f(x0) 。

x2例如，函数 f(x)1x0x0 。

在 x0 的左导数为 f(0)limf(0x)f(0)xx0lim(0x)1x2x0;

2导数的左极限为 limf(x)lim(x)lim(2x)0 ，显然两者是不一样的。

x0x0x0在 x0 的右导数为 f(0)limf(0x)f(0)xx0lim(0x)1x2x0;

2导数的右极限为 limf(x)lim(x)lim(2x)0 ，显然两者也是不一样的。

x0x0x012xsin又例如，函数 f(x)x0x0x0 (见下图)。

在 x0 的左导数为

f(0x)f(0)x(x)sinlimx021x0limxsinx0f(0)lim1xx0x1x1x0 ;

而导数的左极限的计算式为

x02limf(x)lim(xsinx01x)lim(2xsinx0cos)lim(cosx01x) ，

这个极限不存在。

在 x0 的右导数为

f(0x)f(0)x1x(x)sinlimx021x0limxsinx0f(0)lim1x1xx0x1x1x0 ;

而导数的右极限的计算式为

x02limf(x)lim(xsinx0)lim(2xsinx0cos)lim(cosx0) ，

导数公式范文第4篇

1、学生对函数的单调性有所遗忘，不会求单调区间。

2、学生对导数的几何意义不能深入理解。

3、学生对求导公式掌握不够熟练，求导出现错误。

4、教师所设计的问题难度偏大，练习题目过少。

5、学生的讨论与参与不够主动。 补救措施：

导数公式范文第5篇

例1, 在区间 (a, b) 内f′ (x) >0是f (x) 在 (a, b) 内单调递增的

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

错解:选 (C) 。

剖析:充分性是显然的, 但是f (x) 在区间 (a, b) 内单调递增, 不一定有f′ (x) >0, 比如函数y=x3在 (-∞, +∞) 上单调递增, 但f(x)=0。

正解:由剖析知正确答案为 (A) 。

2 对函数极值的慨念理解不透彻而致误

例2, 已知函数f (x) =x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10, 求f (2) 的值。

错解:由已知f′ (x) =3x2+2ax+b。

根据f (x) 在x=1处取得极值10,

可知 , 解得 或 。

所以f (2) =18或f (2) =11。

剖析:上述解法的错误之处比较隐蔽。对于可导函数f (x) 来说, 若x=x0是函数的极值点, 则f′ (x0) =0。反之, 不成立。比如, 函数y=x3在x=0处导数为0, 根据函数极值的定义, 显然x=0不是函数y=x3的极值点。

正解:在错解的基础上, 解得a, b的值后, 验证对应的函数是否在x=1处取得极值。

当a=4, b=-11时, f′ (x) =3x2+8x-11。

令f′ (x) =0, 解得x=1或x=-11/3。

当x∈ (-11/3, 1) 时, 当f′ (x) <0;当x∈ (1, +∞) 时, f′ (x) >0, 满足题意。

当a=-3, b=3时, f′ (x) =3x2-6x+3=3 (x-1) 2≥0, 不满足题意, 舍去。

综上f (2) =18。

3 忽视函数的定义域而致误

例3, 求函数f (x) =3x2-2lnx的单调区间。

错解:由题知 。

令f′ (x) =0, 解得 。

当 或 时, f′ (x) >0;

当 时，f′(x)<0。

所以函数f (x) 的单调递增区间为:

单调递减区间为 ( , ) 。

剖析:上述解法错误的原因是没有注意到函数的定义域。当x<0时, 函数是没有意义的。

正解:在错解求解过程中把函数f (x) 的定义域 (0, +∞) 加进去, 可得最后结论为:函数f (x) 的单调递增区间为 ( , +∞) ;单调递减区间为 (0, ) 。

提示:研究函数, 一定要注意“定义域优先”原则。

4 混淆极值和最值的关系而致误

例4, 求函数f (x) =x3-x2-x+1在区间[-1, 2]上的最值。

错解:因为f′(x)=3x2-2x-1=3 (x+1/3) (x-1)

令f′ (x) =0, 则x1=-1/3, x2=1

计算 ，f(1)=0

所以最大值为 , 最小值为0。

剖析:求函数最值时, 一定要考虑区间端点的函数值, 并与极大值和极小值比较。

正解: (在错解的基础上)

又因为端点函数值, f (-1) =0, f (2) =3

所以, 比较得:

函数f (x) =x3-x2-x+1在区间[-1, 2]上的最大值为3, 最小值为0。

提示:要明确区分可导函数极值和最值的关系, (1) 函数的最值是比较整个区间的函数值得出的, 函数的最大值和最小值可以在极值点、区间端点处取得; (2) 函数的最值不一定是极值, 函数的极值也不一定是最值。

5 导数的几何意义理解不透彻而致误

例5, 曲线y=x3在点 (1, 1) 的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为______。

错解:填2。由曲线y=x3在点 (1, 1) 的切线斜率为1, 所以切线方程为y=x, 所以三条直线围成的面积为S=1/2×2×2=2。

剖析:根据导数的几何意义, 曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数, 上面的解答显然是不知道这点, 无故得出切线的斜率为1显然是错误的。

正解:填8/3。因为f′ (x) =3x2, 当x=1时f′ (1) =3。由导数的几何意义知, 曲线在点 (1, 1) 处的切线斜率为3。即斜线方程为y-1=3 (x-1) 得y=3x-2。

导数公式范文第6篇

11ln(x1)x x1

如果f(a)是函数f(x)在区间上的最大(小)值，则有f(x)f(a(或)f(x)f(a))，那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可

2、作差构造函数证明

已知函数f(x)x2lnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方;

构造出一个函数(可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数)，并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。

3、合理换元后构造函数可大大降低运算量以节省时间 (2007年，山东卷)

n1n21)3 都成立. 证明：对任意的正整数n，不等式ln(nn2312

4、从特征入手构造函数证明

若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>-f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：.af(a)>bf(b) 几个构造函数的类型：