1 复值函数的概念
根据实值函数的概念, 引入复值函数的概念与复合复值函数如下:
定义1.2 (复合复值函数) 设有一个复值函数w=f (u) 与实函数u=φ (t)
记E*={t|φ (t) ∈D}∩E。若E*不为空, 则对每一个t∈E*, 可通过实值函数u=φ (t) 对应D内唯一的一个值u, 而u又是通过复值函数f (u) 对应唯一的一个值w。这就确定了一个定义在E*上的复值函数, 它以t为自变量, w为因变量, 记作
称为复值函数f (u) 和实值函数φ (t) 的复合函数。并称f (u) 为外函数, φ (t) 为内函数, u为中间变量。复值函数f (u) 和实值函数φ (t) 的复合运算也可记为
定义1.3设z (t) =φ (t) +iψ (t) 是定义在区间α≤t≤b上的复值函数, 若φ (t) 和ψ (t) 均是α≤t≤b上的有界函数, 则称z=z (t) 是α≤t≤b上的有界复值函数。
2 复值函数的导数
定义2.1 (在一点可导) 设复值函数z=z (t) 在区间[α, b]的某个邻域U (t0) 上有定义, 若极限
存在, 则称复值函数z=z (t) 在t0处可导, 并称该极限为复值函数z=z (t) 在点t0处的导数, 记作z' (t0) 或者dz (t0) /dt。
定义2.2 (单侧导数) 设复值函数z=z (t) 在区间[α, b]上一点t0的某右邻域[t0, t0+δ]上有定义, 若右极限
存在, 则称该极限值为z=z (t) 在点t0的右导数, 记作z'+ (t0) 。
类似的, 可定义左导数
右导数和左导数统称为单侧导数。
定义2.3 (在区间上可导) 如果复值函数z=z (t) 在区间[α, b]上每一点都可导, 且在α点存在右导数, 在b点存在左导数, 那么就称复值函数z=z (t) 在区间[α, b]上可导。
设z1 (t) , z2 (t) 是定义在区间α≤t≤b上的可导复值函数, c是复值常数, 容易验证下列复值函数的求导法则[3]:
3 复值复合函数的导数
定理4.1设实函数u=r (t) 在点t0可导, 复值函数g=z (u) 在点u0=r (t0) 可导, 则复值复合函数 (z莓r) (t) 在t0可导, 且
定理4.2复值函数z=z (t) 在t0处可导, 则它在t0处连续。
例4.1讨论复值函数z (t) =1/t2+iet在t=1的连续性。
解因为实函数φ (t) =1/t2和实函数ψ (t) =et在t=1处均是可导的, 所以z (t) =1/t2+iet在t=1处可导, 根据定理3.4可知z (t) =1/t2+iet在t=1的连续性。
结束语
本文首先引入复值函数的概念, 给出了复值函数连续、单侧导数的概念以及复值复合函数的求导法则。可导性是复值函数的一个重要性质, 本文还给出了复值函数在一点可导必连续, 具有重要的应用价值。
摘要：本文研究了复值函数的分析性质, 提出了复值函数单侧导数的概念。给出了复值复合函数的求导法则。证明了复值函数在一点可导必连续。给出复值函数在求解中的应用例子。
关键词：复值函数,复合复值函数,复值函数单侧导数,复值复合函数的导数
参考文献
[1] 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松.常微分方程.第三版.北京:高等教育出版社, 2006.