1 数学分析课程[1]给出了函数的定义
给定两个实数集D和M, 若有对应法则f, 使对D内每一个数x都有唯一的一个数y∈M与它相对应, 则称f是定义在数集D上的函数, 记作f:D→M或y=f (x) , x∈D
由函数的定义说明了决定函数的两要素是定义域和对应法则, 只要两个函数的定义域和对应法则相同, 那么它们就表示同一个函数。因此, 函数的表示法只与定义域和对应法则有关, 而与用什么字母来表示变量 (自变量, 因变量) 无关, 这种特性就称为函数表示法的无关特性。
2 函数表示法无关特性的应用
第一, 函数表示法的无关特性可以用来解决由f[g (x) ]的表达式求函数f (x) 的表达式的问题。只需令g (x) =t, 解出x=φ (t) , 代入函数的表达式, 由函数表示法的无关特性得出的f (x) 表达式;或者经过几次由函数表示法的无关特性的应用得到一个方程组, 再用此方程组即可求出f (x) 的表达式。下面举例说明:
例1:设 , 其中x≠0, x≠1, 求f (x) 。
解:利用函数表示法的无关特性:
例2:f (x) 满足 (a≠1) , φ (x) 在x≠1有意义的已知函, 求f (x) 的表达式。
解:令 则 代入原方程可得
第二, 利用函数表示法的无关特性在解决某些高等数学问题时可以使问题得到简化, 便于求解。
(1) 求某些函数的极限问题时, 利用函数表示法的无关特性, 可以转化极限过程。
例:求
解:令1/x=t, 则x=1/t;当x→∞时, t→0
(2) 在计算某些定积分时, 利用函数表示法的无关特性, 可以使复杂的计算变得简单。
例:求
解:令x=-u
(3) 在求抽象复合函数的偏导问题时, 利用函数表示法的无关特性, 便于画出结构式, 使计算偏导数时, 不重不漏。
例:设z=f (x2-y2, exy) , f具有二阶连续偏导数, 求,
解:令u=x2-y2, v=exy
则画出函数结构式为:f
由上可见, 函数表示法的无关特性是解决函数问题的一种常用的有效方法, 灵活运用函数表示法的无关特性, 在解题过程中可以带来很大的方便。
摘要：本文介绍了函数表示法的无关特性, 并通过典型的实例说明了函数表示法的无关特性在解决函数问题时的重要作用。
关键词：函数,无关特性,应用
参考文献
[1] 华东师大数学系.数学分析 (上册, 第三版) [M].北京, 高等教育出版社, 2001, 6.[1]华东师大数学系.数学分析 (上册, 第三版) [M].北京, 高等教育出版社, 2001, 6.