函数教学范文第1篇
1 加强学生对函数概念的理解
初中课本上运用“变量说”将函数描述为:设在一个变化过程中有两个变量x与y, 如果变量y随着x的变化而变化, 并对于x在某个变化范围内的每一个值, 按照某个对应规则, 都有唯一确定的y值和它对应, 那么y就是x的函数, x称为自变量, x的取值范围称为函数的定义域, 和x的值对应的y值称为函数值, 函数值的全体称为函数的值域。高中阶段, 运用“对应说”函数被定义为:设A, B是两个非空的数集, 如果按某种对应法则f对于集合A中的每一个元素x, 在集合B中都有唯一的元素y和它对应, 这样的对应叫做从A到B的一个函数记作:A y=f (x) , x∈A。
以上两种函数的定义, 各有各的不同特点。“变量说”是最朴素、最根本的, 便于和实际相结合, 初学者更容易接受。“对应说”抽象化的程度较高, 对于研究函数的精细性质具有一定的优势。适合在高中阶段介绍给学生。
讲述函数概念时, 我们需要注意以下细节问题。
1.1 实现由静到动的转变
学生由于长期在常量范围内计算、思维, 因此以为变量一直是变, 常量永远是不变。在引入函数概念之前, 需要完成从常量到变量的转变, 这是函数教学的一个重点。例如“一架飞机每小时飞行1000千米, 问5小时此架飞机飞行的距离是多少?”小学生只能给出正确的答案, 但很少能够注意到路程S和时间t的关系。对于初中生我们要能引导他得出S=1000t的函数公式。在高中的实际教学中, 我们可以把S表示为数轴上的一个定点, 而把t看成是一个动点。取自变量t的一系列特定值, 列出相应的另一个变量S (t) 的对应值, 在坐标系上描绘出这些点, 这样会使学生能够比较容易地感受到变量的真实意义。
1.2 突出变量之间的依赖关系
自变量和因变量之间的依赖关系是函数。通常表示为y=f (x) , f表示x和y之间的对应关系。对于定义域内的任意一个x, 通过对应关系f, 对应唯一的一个y值。我们可以例举生活中的例子, 让学生找出自变量x, 然后再找出依赖此变量x的变化而变化的因变量y, 最后设法找出它们之间的对应关系。从实际事例中寻找函数关系, 构造事物变化过程中的具体函数关系, 有利于加强学生对函数的理解。
2 加强学生对函数图像的应用
在函数的教学中, 我们不但要让学生深刻的理解函数的概念。还要不断帮助学生归纳各种初等函数的图形性质, 并且教会学生快速画出初等函数的图形, 这样在其今后的解题中将会发挥重大的作用。函数一般分为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数, 下面以二次函数为例, 来谈一下函数教学的研究体会。
在教学中, 我们要引导学生对函数的图像特征进行归纳总结。可以先介绍特殊的二次函数的表达式y=ax2 (a≠0) , 通过赋予x特殊的数值来对其图像进行描绘, 进而归纳图像特征:图像形状为抛物线;顶点为原点;对称轴为y轴;a决定其开口方向, a>0时开口向上, a<0时开口向下。进而通过将y=ax2 (a≠0) 的图像向上下左右平移, 引出二次函数的一般表达式y=ax2+bx+c (a≠0) 并将其配方为y=a (x+b/2a) 2+ (4ac-b2) /4a总结其图像特征: (1) a决定抛物线的开口方向, a>0时开口向上, a<0时开口向下; (2) 函数的对称轴为x=-b/2a; (3) 函数的顶点坐标为 (-2b/a, (4ac-b2) /4a) ; (4) c决定图像与y轴的交点位置, c>0时, 图像与y轴交在正半轴, c<0, 图像与y轴交在负半轴, c=0, 图像与y轴交在原点; (5) △=b2-4ac决定图像与x轴的交点个数, △>0时, 图像与x轴有两个交点, △<0时, 图像与x轴无交点, △=0时, 图像与x轴无交点。
掌握了函数的基本特征后, 学生就能对任一个二次函数进行绘制了, 进而在一些有关函数的解题过程中就可以通过数形结合进行求解, 不仅直观易发现解题途径而且能避免复杂的计算与推理, 大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其尤为重要, 因此我们要引导学生加强对函数图形的掌握, 培养数形结合的这种思想意识, 做到胸中有图, 见数想图, 以开拓自己的思维视野。
摘要：数形结合的思想是数学中一种重要的思想方法, 而在函数的教学中把刻画数量关系的数和具体直观的图形有机结合, 用代数的语言揭示几何要素及其关系, 同时将几何问题转化为代数问题, 扬数之长, 取数之优, 使抽象思维与形象思维珠联璧合, 不但可以提高学生对图形世界的直观感知而且可以使学生更好地理解函数, 更加快捷准确的求解答案。
关键词：函数,图像,研究
参考文献
[1] 吴志鹃.二次函数图像的教学设计[J].希望月刊 (上半月) , 2007 (11) :108.
[2] 梁小瑜.加强函数图像教学, 衔接初高中数学教学[J].师道.教研, 2010 (6) :27～28.
函数教学范文第2篇
【摘要】本文为研究函数在一点连续的概念教学，在APOS理论的视角下，经过一系列内化、压缩、解压缩的心理机制，建立 “函数在某一点的连续性”的三个等价定义的图式，形成概念域.
【关键词】APOS理论;连续性
一、引 言
函数的连续性是函数的一个最基本的概念，是运用极限方法对连续性现象进行研究，而函数在一点的连续性的三种定义的关系是认知连续性概念的思维障碍点.杜宾斯基提出APOS理论，主要应用于概念教学，注重概念的形成与学生思维建构的过程.因此，本文以APOS理论为基础，教师要能够有针对性地为“函数在一点的连续性”的教学方案提供依据，帮助学生克服对连续性概念的认知障碍.
二、相关概念
（一）函数在一点连续的定义
在连续函数的概念中，对于函数在一点的连续性，有下面三种常见的定义方式：
定义1 设函数f（x）在某U（x0）上有定义，若limx→x0f（x）=f（x0），则称f（x）在点x0连续.
定义2 设函数f（x）在某邻域U（x0）上有定义，记Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），有limΔx→0Δy=0，则称f（x）在点x0连续.
定义3 设函数f（x）在某邻域U（x0）上有定义，若对任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时有，都有|f（x）-f（x0）|<ε，則称f（x）在点x0连续.
（二）APOS理论
杜宾斯基以皮亚杰提出的建构主义为基础，提出了数学概念学习的APOS理论模型.该理论模型认为学生学习数学概念是要进行心理建构的，此建构过程要经历以下四个阶段：活动、过程、对象、图式.其中，“活动”是个体通过一步一步的外显性（或记忆性）指定去变换一个客观的数学对象.当“活动”经过多次重复而被个体熟悉后，就可被内化为一种称之为“程序”的心理操作.当个体能把“程序”作为整体进行操作时，这一程序就变成了一种心理“对象”.一个数学概念的“图式”是指相应的“活动”“程序”“对象”以及与某些一般原理相联系的其他“图式”所形成的一种个体头脑中的认知框架，可以用于解决与这个概念相关的问题.“活动”“过程”“对象”也可看作数学知识的三种状态，“图式”是由这三种知识结构构成的一种认知结构.
三、APOS理论视角下函数在一点连续的概念的教学研究
（一）运用APOS理论的可行性分析
学生对于“连续性”的初始概念图像，是坐标平面上一条连绵不断的曲线，而不是在一点上具有连续性，故而函数在一点的连续性与学生所认知的连续性的概念形象就产生了认知冲突，可能导致学习障碍.内化与压缩作为APOS理论的重要心理机制，可以对函数在一点连续性的学习障碍提供解释与解答.教师可利用APOS理论，在过程阶段与对象阶段，结合函数极限构造函数在一点连续的概念图像，将极限概念过渡到连续性概念，帮助学生克服函数在一点连续性的学习困难，从而形成对函数在一点连续的真正理解.
对于函数在一点连续的三个等价定义，在教材安排上，不同版本的教材采用的编排顺序不同，但都是在学习函数极限之后，采用上述定义中的某个定义引入连续性概念，进而将另外两个定义作为等价定义给出.因此，在认知层面上，对上述三种定义的教学，要把握极限理论中极限概念和连续性概念的联系.选取不同的定义引入连续性概念，会影响初学者对该概念的理解以及所出现的学习障碍.
（二）APOS视角下函数在一点连续的概念的教学研究
从几何直观上看，连续函数是坐标平面上一条连绵不断的曲线，故学生对连续性并非完全陌生的，将学生所认知的自然界的连续变化反映在数学上，就是量的变化，而反映这种连续变化现象的数量关系就是函数的连续性.连续函数的概念是“隐性”的，需要通过外显的活动，将连续性呈现出来，由此获得连续函数概念的“表象”.
（三）关于三个定义的教学研究
1.定义1的教学研究
问题1：分别画出①f（x）=x，②f（x）=1x，③f（x）=x+2（x≥0），x-2（x<0）的图像，并思考下述问题：（1）图像是否连续？若是不连续，又在哪里间断？图像断开的原因是什么？（2）当x→0时，函数极限值分别是多少？
通过解答（1），学生单个地分析函数是否连续以及图像断开的原因，将这个过程经过多次重复后，学生能通过对比①②③发现x=0是②③是否连续的关键点.解答（2）时，当图像出现间断，学生不得不运用函数左、右极限进行计算.学生通过计算，便会猜想当x趋于0时的函数极限、函数在x=0处的函数值与函数的图像连续存在联系.这种思考过程即心理机制上的内化，进而达到“程序”阶段.
问题2：接下来脱离具体情境，将x=0拓展到x=x0的情况，将情境中的函数图像归纳为下述情况，如图1，图2，图3所示，继续思考上述问题.
教师引导学生思考：若是函数在点x0处出现间断，依照问题1的思考过程，借助图像，运用左、右极限的知识加以理解.对于图1，函数在点x0处出现间断，对于函数曲线上断开的点f（x0）可归为左侧图像，那么，函数在点x0处的左极限恰好等于这一点的函数值f（x0），即limx→x-0f（x）=f（x0）.对于图2，函数曲线上断开的点f（x0）可归为右侧图像，那么，函数在点x0处的右极限恰好等于这一点的函数值f（x0），即limx→x+0f（x）=f（x0）.对于图3，函数在点x0处没出现间断，那么这点不仅可以归为左侧图像，也可以归为右侧图像，由左右极限的定义，可得limx→x0f（x）=f（x0）.
教师要让学生意识到：曲线在某一点连续与不连续的差别，在于曲线在该点处的函数值是否产生了“突变”，并且发现函数在点x0连续应满足三个条件：函数f（x）在某邻域U（x0）上有定义;极限limx→x0f（x）存在;极限limx→x0f（x）的值等于点x0处的函数值f（x0）.此时，上述“程序”就已经被“压缩”为一种“对象”.
最后，教師引出函数在点x0处连续的定义为：设函数f（x）在某邻域U（x0）上有定义，若limx→x0f（x）=f（x0），则称f（x）在点x0连续.
完成这个过程，APOS理论视域下，函数在一点连续的定义与函数极限的联系，是之前所习得的函数极限图式的进一步发展，形成函数连续性概念的新图式.
2.定义3的教学研究
问题3：由于函数在一点的连续性是通过极限定义的，所以可类比函数极限的定义，试着用ε-δ语言叙述定义1.
学生思考：类比函数极限的定义，可由定义1得到其ε-δ语言，如表1所示：
教师细致分析，让学生领会：讨论极限时，假定f（x）在点x0某空心邻域U。（x0）上有定义（f（x）在点x0可以没有定义），而“函数f（x）在点x0连续”，则要求f（x）在某邻域U（x0）上有定义.此时，对于|f（x）-f（x0）|<ε，当x=x0时总是成立的，所以在极限定义中的“0<|x-x0|<δ”换成了在连续定义中的“|x-x0|<δ”.
最后教师总结定义：设函数f（x）在某邻域U（x0）上有定义，若对任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，都有|f（x）-f（x0）|<ε，则称f（x）在点x0连续.
这样，围绕limx→x0f（x）=f（x0）这个“对象”，定义1与定义3建立等价关系.
3.定义2的教学研究
对于定义2，教师可通过几何知识更为直观地进行教学.为理解“函数y=f（x）在点x0连续”的概念，教师引入增量的概念，记Δx=x-x0，称为自变量x（在点x0）的增量或改变量.设y0=f（x0），相应的函数y（在点x0）的增量记为Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0）=y-y0.其中，自变量的增量Δx或函数的增量Δy为实数.
问题4：引进了增量的概念之后，固定点x0，反复变化下图中Δx的大小，观察其对应的Δy如何变化.
教师引导学生理解自变量的增量Δx或函数的增量Δy可以为正数、0或者负数.当Δx>0时，自变量x增大，函数的增量Δy>0，反之，当Δx<0时，自变量x减小，函数的增量Δy<0.
在“活动”阶段，学生依次对h（x）和f（x）的图像实施Δx的变化，以观察其对应的Δy的变化.重复多次“活动”后，慢慢就内化为“程序”，学生能对比发现图4的函数y=h（x）的图像在点x0处间断，保持x0不变，当Δx趋近于0时，点N沿曲线趋近于点N′，此时Δy为定值，在点x0处不连续.图5的函数y=f（x）的图像是一条连续变化的曲线，令f（x0）=M，f（x0+Δx）=N，保持x0不变，当Δx趋近于0时，点N沿曲线趋近于点M，Δy趋近于0.学生对整个区间上函数值的增量随自变量的增量变化趋势有整体认识，上述“程序”就被“压缩”成一种“对象”.
最后，教师总结得到定义2：设函数f（x）在某邻域U（x0）上有定义，记Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），有limΔx→0Δy=0，则称f（x）在点x0连续.
此时，学生对“函数在一点连续”的三个定义有了完整的形式化表述，但对三个定义的等价关系的认识还处于分离的状态，所以，认识需要上升到“图式”阶段.教师要引导学生对定义2进行“解压缩”，在定义2中，令Δx=x-x0，则Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），当Δx→0时，有x→x0，Δy→0，则[f（x0+Δx）-f（x0）]→0，即f（x）→f（x0），可得limx→x0f（x）=f（x0）.该过程围绕“limx→x0f（x）=f（x0）”，定义1与定义2建立等价关系.
四、总 结
对于“函数在某一点的连续性”的三个等价定义的教学，教师应引导学生主动建构，把握学生对概念的思维障碍点，避免让学生死记数学概念，而无法理解“函数在某一点的连续性”的三个等价定义之间的关系.
【参考文献】[1]李士锜.数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2001.
[2]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.
[3]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[4]罗新兵，罗增儒.数学概念表征的初步研究[J].数学教育学报，2003（02）：21-23.
[5]Ed Dubinsky，Kirk Weller，Michael A.Mcdonald，Anne Brown.Some Historical Issues and Paradoxes Regarding the Concept of Infinity： An Apos-Based Analysis： Part 1[J].Educational Studies in Mathematics，2005（3）：335-359.
[6]D Tall，S Vinner.Concept Image and Concept Definition in Mathematics with Particular Reference to Limits and Continuity[J].Kluwer Academic Publishers，1981（2）：151-169.
函数教学范文第3篇
1 从函数的“变量说”过渡到“对应说”
函数概念的教学要从实际背景和定义两方面帮助学生理解函数的本质。初中阶段从学生容易掌握的描述性函数定义入手, 即采用函数的变量说, 便于和实际相联系。
构建函数的一般概念之后, 然后通过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等具体函数的研究, 结合图像分析, 继续加深学生对函数概念的理解。在这里, 要注意函数体现变量之间的各种各样的关系, 不要错误的以为函数就是y=kx+b一种类型。
进入高中阶段, 要求用两个数集之间对应的方式来阐述函数的意义。此时学生需要抽象的思考, 跳出函数的具体表达式的限制, 把“对应法则”作为函数概念的核心。这就是要求从变量说过渡到对应说。
对应说的函数概念, 可以形象化地的解释为一架加工机。它把自变量加工成因变量。例如, 正方形的面积y是边长x的函数, 记为y=x2, 对于每一个自变量x的值, 就有一个面积y=x2与之对应。这好像在加工机f中, 每输入一个x, 就输出一个x (y的值是x2) , 于是, 这个函数f就相当于“平方机”的作用。
在引入函数概念之前, 需要完成从常量到变量的转变。字母除了表示定数外, 还可以表示变化的量。在学习函数之前, 初中学生可能写出S=100t, 但是他们仍然不能从这一式子中看到变化过程。对于表达式x+y=5, 在学生已有的认知图式中就是两个定数相加为5, 并不能想到两个量之间有“此消彼长”的内在联系, 事实上, 此前学生的经验只涉及常量的运算, 字母或符号在他们的认知结构中只是代表一个特定的具体数量, 这就是说, 把一个算式和运动联系起来并不容易。
在实际教学中, 我们可以把定数表示为数轴上的一个定点, 而把变量看成式一个动点。特别地, t从0变到10就是动点沿数轴从0运动到10;再取自变量t的一系列特定值, 列出相应的另一个变量S (t) 的对应值, 并在坐标系上描出这些点, 这样学生就容易感受到变量的真实意义。
2 理清初等函数概念教学中几个典型的问题
问题1函数y=f (x+1) 中的自变量x是还是x+1?
答:函数y=f (x+1) 中的自变量x是, 如, 则, 显然函数f (x+1) 中的自变量x是, 而不是 (x+1) , 一般的, 复合函数y=f (g (x) ) 的自变量都是x, 而不是g (x) 。
问题2已知f (x) 的定义域为[0, 1], 为什么f (x2) 的定义域由不等式确定?
答:为方便于理解, 我们构造一个具体的函数, , , f (x2) 的定义域为。一般的, 设函数f (x) 的定义域为D, 则函数y=f (g (x) ) 的定义域为。
问题3已知f (x+1) =x2+x, 求f (x) 时, 作变量代换t=x+1, 得f (t) =t2-t, 故f (x) =t2-t.这里为什么能将t换成x?
答:我们知道, 当且仅当两个函数的三要素相同时, 两个函数是同一函数。函数f (t) =t2-t与f (x) =x2-x的三要素都相同, 它们是同一个函数, 所以能将f (t) =t2-t中的t换成x, 本题实际上是求函数的对应法则, 它与表示自变量的字母无关。
问题4若函数y=f (x) 存在反函数, 函数y=f-1 (x+1) 的反函数是吗?答:函数y=f (x+1) 的反函数一般不是y=f-1 (x+1) , 按求反函数的步骤可得, y=f (x+1) 的反函数为y=f-1 (x+1) -1。
3 结语
(1) 初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合步骤所构成、并且可以用一个式子表示的函数[2], 教师在进行初等函数教学时, 最重要的是引导学生对初等函数基本的概念进行抽象或概括。
(2) 教师应适当选择和设计具有挑战性和开放性的问题, 以提高学生的探索层次, 扩展学生的思维空间。
摘要：中学初等函数教学是中学数学中的一个重点和难点, 本文运用了文献资料法和笔者的多年经验对中学初等函数概念的教学做出了实质性的建议, 希望能促进函数教学的发展和学生学习的进步。
关键词：中学,初等函数概念,教学建议
参考文献
[1] 匡继昌.什么是初等函数[J].数学通报, 2007 (7) .
函数教学范文第4篇
学期初,学校安排我上一节导学案模式下的公开课,结合教学进度,我定下教学内容为必修一第二章第五节简单的幂函数第一课时，在自己的精心准备和同事的热情帮助下,这节公开课上的非常成功，当然也有一些需要改进的地方,下面就本节课简单反思如下。
这节课我选择主体借助导学案，多媒体辅助的教学模式。
在教学的知识目标中我确定为:了解幂函数的概念，观察图像归纳其性质.而把函数奇偶性放入第二课时，这即使得本节课突出了幂函数概念的中心，也降低了整体难度,合适数量的知识点，对一节公开课来说是有必要的。
教学内容的安排上，首先多媒体给出生活中五个生活实例，学生由此提取出高中阶段常见的五个幂函数模型,由此引出幂函数定义，这样做符合由特殊到一般的认知规律,实际效果也挺好，分析幂函数概念时还是要更慢些，仔细些，概念毕竟是图像、性质的基础。最好由同学们先观察特点总结，充分调动学生的积极主动性。掌握定义后，我安排了一个名为火眼金睛的快速小练环节。紧接着是学以致用。由抽签决定的四组同学上台展示，这是本节课与传统课堂不同之处，也是体现学生参与效果的重要一环。四组用了大概6分钟的时间完成所有要展示的内容，板书工整，旁边有方法、数学思想、注意事项的旁白，这体现出前两周训练的成果。然后各组代表依次完成展示，期间教师结合学生讲解补充解疑。
我考虑导学案刚开始试行，还在摸索成长阶段，一些典型例题教师还是可以适当讲解的。所以，我结合多媒体补充了两个与导学案相似且有联系的典例。最后多媒体给出本节课的总结。
函数教学范文第5篇
随着教学模式的不断进步, 在高中数学中也不断涌现出全新的教学模式。问题解决教学模式是通过解决学生难以解决的数学问题, 达到针对性的教学效果, 帮助学生更好的理解高中数学知识。在我国的高中数学教学过程中, 由于高中数学知识纷繁复杂, 难度较大, 学生在学习的过程中都会感受到沮丧的情绪, 针对学生在学习过程中遇到的难题, 教师要采用问题解决式的教学模式来进行教学。以下主要论述了在高中函数的教学中如何使用问题解决式的教学模式。
二、函数概念教学中的问题解决式教学方式
在高中数学的函数教学当中, 函数概念的学习是其他函数知识学习的基础和前提。因此高中数学教师在开展函数教学时, 要注意对学生函数基础的教学。具体来说, 在高中数学函数基础的教学中, 主要是要让学生明确“是什么?”这一问题。在高中数学教师开展数学函数知识的概念教学中, 应该让学生适当的总结在函数概念课程当中经常出现的问题, 从这些问题的解题方法和思路进行讲解, 让学生对自己所学到的函数基础概念知识进总结和运用, 也便于学生在今后探索更加高深的函数解题思路和方法。一般来说, 函数基础概念课程上所提出的问题包含了以下几个方面: 其一是关于函数概念的内涵内容; 其二是考察了函数概念的外延内容; 其三则是要求学生运用函数概念进行问题的判别。
在具体的教学实例当中可以分为以下几个步骤开展问题解决式教学模式。
首先是高中数学教师可以在课堂上将之前关于函数的知识提出来, 让学生再次回归和复习关于一次函数和二次函数的定义和基础内容。
然后教师就可以在课堂上引入相关教学问题, 比如让学生观察等式:
y = x, y = x2, y = x3, 学生分别对其进行回答, 为一次函数或者正比例函数、二次函数和三次函数。然后让同学们观察y = x2, y = x - 1, 以上两个函数分别是哪种类型的函数。然后将上述讲解的五个函数结合在一起, 让学生共同观察其中的特征并且让学生对其进行讨论。最终由教师将其中的特征进行引导表达出其中的共同点即: 幂的底数是自变量, 指数则是常数, 并在最后引入幂函数的定义:
一般的, 类似y = xα ( α∈R) 的函数都被称之为幂函数, 其中, α 为常数。
其次就是对函数概念的讲解, 在这部分教学内容当中, 教师可以将自己任务概念中容易出现混淆的地方特别讲解UC胡来, 然后让学生提出需要注意和忽略的地方, 教师再进行概念上的补充讲解, 帮助学生更好的理解函数知识的基本概念。
三、函数定理或公式中问题解决式的教学
在高中数学的函数教学当中, 概念是其基础, 而定理和公式则是内容的核心。在高中函数知识当中, 定理和公式都占据了重要的地位。在函数知识当中尤其是三角函数的部分, 有许多需要学生进行记忆的公式。学生只有记忆下这些需要明确的公式和定理, 才能在学习当中遇到函数类型的题目时运用相关的定理和公式去解决问题。因此, 高中数学教师在教授函数定理的内容时需要格外注意以下几点: 首先是要让学生充分的熟悉和了解函数知识当中的公式和定理, 让学生掌握公式定理的适用范围、使用时机等;其次是要让学生明确该项公式和定理的推导过程和思路, 让学生体会其中的解题思维; 然后是要让学生了解定理公式之间的联系并且记忆下来, 教师要在其中充分发挥自己的教学引导作用, 让学生根据其中的联系来进行记忆, 为今后的解题打下良好的基础; 最终是要总结公式和定理的解题技巧, 这方面需要教师通过大量的实际例题来进行讲解, 帮助学生积累这方面的知识。
在实际的教学实例当中, 如下图图1 - 1 所示, 首先在单位圆当中, 作出∠α, 然后以逆时针方向在∠α 上作∠β, 以顺时针方向在∠α 下做∠β, 那么∠AOC = α + β, ∠BOD= α + β。当A的坐标为 ( 1, 0 ) , B的坐标为 ( cosα, sinα) , C的坐标为 ( cos ( α + β) , sin ( α + β) ) , D的坐标 ( cosβ, -sinβ) 。
得到:
利用该式子, 将其中的 β 替换成- β; 通过一系列的推理, 可以得到六个公式。证明了两角和的余弦公式是高中三角函数当中的核心内容。
四、函数课程中问题的问题解决式教学
在函数问题的解决教学当中, 高中数学教师首先应该做到的是营造良好的学习氛围, 让学生能够在轻松活跃的环境中完成学习; 其次是要创设良好的学习情境, 让学生根据教师所设置的问题, 对数学函数知识进探究; 然后要做到的是教师要对学生进行鼓励, 让学生创造更多解题的方法和思路; 最后是要教师和学生一起来进行探讨, 归纳函数问题解决方法的中心, 将其概括成为一般定理。
在具体的教学案例中, 高中数学教师可以将多媒体信息技术运用到其中。例如在解决关于圆和直线联系的问题方面, 教师就可以通过多媒体技术来制作一个会动的圆 ( 见下图) , 让其在直线上运用并且归纳出其中的轨迹。通过这样的教学方式能够让学生更加直观和例题的了解圆中的轨迹问题。
五、结论
问题解决式教学方法能够从学生难以解决的问题入手, 帮助学生体会和学习其中的知识内涵, 达到深入探究高中数学知识的成效。以上主要是通过高中数学的函数教学知识来展示了具体的教学实例, 说明了高中数学的教学过程中该如何利用问题解决式教学方法来开展教学活动。也希望能够为今后高中数学开发更多教学方式提供参考经验。
摘要：高中数学教师在教学中已经开始使用问题解决的教学模式来开展教学活动, 并且在其中取得了良好的教学效果。本文以高中数学的函数教学为例, 阐述了高中数学教学中使用问题解决的教学模式是如何开展教学活动的, 希望在今后为高中数学教学的开展提供一些可行性的经验。
关键词：高中数学,函数教学,问题解决教学
参考文献
[1] 马文杰.高一函数教学中学生数学解题错误的实证研究[D].华东师范大学, 2014, 11:21-26.
[2] 任兴发.化归思想在高中函数教学中的应用研究[D].内蒙古师范大学, 2013, 12:45-49.
[3] 汤勇, 修建伟.高中数学问题解决教学研究——以函数教学为例[J].中学课程辅导 (教师教育) , 2015, 12:37.
函数教学范文第6篇
托马斯说:“函数概念是近代数学思想之花”。函数概念是数学最基本、最重要的概念之一, 函数思想充满在数学各个领域。初中阶段函数概念只是一个描述性的概念。高中阶段, 函数概念有了进一步的阐述, 是建立在集合概念基础上的, 增加了定义域、对应法则与值域, 被理解为集合A到集合B的映射。因此高中函数概念是在新的高度去同化与提升原有概念, 函数概念的教学是在激活学生原有知识, 让学生参与概念发展的全过程进行主动建构, 以达到深入理解和掌握函数概念的教学目的。
另一方面, 教会学生正确理解函数概念, 对学生今后怎样学习数学概念起了典型的示范作用。概念既是数学的实体, 又是数学思维的工具;是浓缩的知识点, 是数学内容的基本点, 是逻辑导出定理、公式、性质、法则的出发点, 是建立学生认知结构的着眼点;所以概念的学习是数学学习的核心, 概念课的教学是教师落实基础的关键, 是学生打好基础的首要环节。
明确了函数概念教学的重要意义之后, 需要认真考虑的是教学如何进行?下面从构建和谐教学的角度, 举出一个教学设计, 请大家批评。
1 创设“亲和”的教学情景
教学是一门创造性的艺术。兴趣是最好的老师, 是学生产生学习动力的源泉, 而兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验。结合当前热点, 选择使学生感兴趣的话题导入课题是值得提倡的, 这样可以体现数学的亲和力。
例如, 刘谦的魔术走红了春晚。因此如果现在创设情景, 可以选择变“数学魔术”引入课题:“请学生心里任意想一个数, 把这个数字记好, 把它乘以2, 加上3, 再乘以5, 最后减去4的平方, 告诉你计算后的结果, 就可以猜出你心里想的数。”学生们在好奇中很快地全身心地投入了进来。
在学生迫切想破解“魔术”时, 教师可以写出如下过程:
这就是y=10x-1, 初中里学过的一次函数。
接着回顾初中学习过的函数概念以及一次函数、二次函数、反比例函数与它们的解析式、图象。
这样引进课题不仅创设了具有“亲和力”的教学情景, 至少还可以达到下列目的:
(1) 活跃课堂。心理学告诉我们, 人的大脑接受新异刺激时, 大脑皮层会出现优势的兴奋中心, 从而使思维高度活跃。
(2) 温故知新。破解“魔术”的结果是学生们熟悉的一次函数, 很自然地联想起初中学过的内容。
(3) 理解符号。在将中间过程简化为X→→y时, 已经为函数的抽象符号f作了伏笔。
2 创造“和合”的讨论氛围
概念教学一般都要经历概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的应用等阶段, 否则认识的概念不够完善, 形成的概念也不巩固。概念课上必须通过具体例子, 说明概念的内涵与外延, 认识概念的本质;通过反例、错解等检验所认识的概念, 在辨析与变式中深化概念;然后在应用概念解决问题的过程中巩固概念。因此, 在教学中必须让学生在轻松欢快的气氛中讨论、争辩, 继而统一认识, 即创造一个“和合”的氛围。
如, 在带领学生阅读教材上函数的定义之后, 可以提出下列问题让学生思考、互相讨论, 然后再给出答案。
答:不是。定义域是空集。
(2) y=sinx, x∈{0°, 30°, 45°, 60°, 90°}是否函数?
答:不是。定义域不是数集, 所以以后我们要引进弧度。
(3) y=1是否函数?
答:是。可以用y= (x2+1) 0帮助理解。
(4) 农作物的产量y是否给农作物的施肥量x的函数?
答:不是。产量没有确定值, 是相关关系。
(5) 某人的身高是否是年龄的函数?每个人的身高是否是年龄的函数?
答:某人, 是;每人, 不是。某人的每一年龄, 身高都有确定值。
(6) 下列表格中的y是否x的函数?
答:不是。因为5没有对应的数, 3对应了4和5, 不唯一。
(7) 下列图形是否是函数的图象?
如图5所示。
答:图1、图3不是, 图2、图4是的。
还可以提一些问题, 根据学生实际情况而定。根据学生已有的知识和能力的现状来组织教学, 这是一条最基本的教学原则。提出这些问题, 是为了让学生以更高的角度理解函数, 以“疑”激学, 引起学生兴趣和争议, 使学生形成“认知冲突”, 激发起求知欲, 最后达到和合统一。
3 构建“和谐”的教学环境
在经过争议后, 再指导学生看书。函数这个概念从产生、发展到成熟经历了几个世纪的争论和人为的加工, 虽然初中学过函数, 但要让学生从集合的角度自己发现函数的定义是不切实际的, 所以让学生阅读教材, 再用互动讨论法, 由学生自己比较新的概念与初中概念的异同, 从而逐字逐句的理解函数的定义。让学生自主找到并解释概念的关键词, 发挥学生的主体性, 使教与学两方面达到和谐、共振, 从而使教学效果取得最大值。
古语云:“授人以鱼, 仅供一饭之需;教人以渔, 则终身受用无穷。”在教学中, 除了要把此概念传授给学生之外, 更重要的是教会他们学习概念的方法:咬文嚼字, 讨论辨析。使他们经历理解—辨析—暴露问题—再理解的过程。著名教育家叶圣陶也曾说过:“教是为了不教。”
在引导学生理解定义时要进一步强调以下问题:
(1) A、B必须是非空的数集。
(2) 强调三个一:A中的任意一个数x, 某一个对应法则f, B中有惟一一个数y与之对应。
(3) 函数由三个要素组成, 其中起决定因素的是定义域A和对应法则f。
(4) f (x) 的符号含义:y=f (x) 为“y是x的函数”的数学表示, 仅是一个函数符号, 表示集合A到集合B的一个特殊对应, 并非表示f (x) 是f与x相乘。
如果从映射角度理解, 还应该举例让学生辨析, 如:
(1) 事先给出两个集合A, B的, 定义域X必须⊇A, 值域Y必须⊆B.
例若A={x|0≤x≤4}, B={y|0≤y≤2},
则与都不是A到B的函数.
解:对于前一个, AX;对于后一个, YB.
(2) 用Venn图表示函数, 数集A中不能有闲置元素 (如下例的D, 不符合每一) , 不能有散射现象 (如下例的E, 不符合唯一) .
例下列对应关系中, 是函数的有.
如图6所示。
(3) 用普通语言表示函数, f必须对A的每一元素都能作用, 作用后必须在B中.
例下列A到B的对应关系中, 函数是 (④) .
①A=N, B=R, f:取倒数
②A=B=N, f:除以2
③A=B=R, f:开平方
④A=B=R+, f:开平方
解:自然数0没有倒数, (1) 不是函数;除以2后的元素不一定是整数, (2) 不是函数;负数不能开平方, (3) 不是函数.正实数都可以开平方, 且是正实数, (4) 是函数.r·
最后, 可以适当介绍关于函数的文化:函数是一个转译词, 在英文中原单词是function。最早是1895年, 由清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书中这样写道:“凡此变数函彼变数, 则此为彼之函数”, 在古代“函”通“含”, 意为包含。“凡式中含天, 为天之函数”, 中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量的。
巩固练习与布置作业都要根据学生的实际情况而定。对函数概念的教学欲“毕其功于一役”可能是困难的, 要允许学生有一个认识过程。
实践证明, 这样的教学过程、师生互动等教学环境是和谐的, 教学效果是显著的。教学不仅应该构建和谐, 也完全可以构建和谐!
摘要：学生只有在和谐的课堂中才能充分发挥自己的潜能, 才能构建知识。本文以函数概念第一课时的设计为例, 阐述如何在教学中构建和谐。