函数概念范文

函数概念范文第1篇

【摘要】本文为研究函数在一点连续的概念教学，在APOS理论的视角下，经过一系列内化、压缩、解压缩的心理机制，建立 “函数在某一点的连续性”的三个等价定义的图式，形成概念域.

【关键词】APOS理论;连续性

一、引 言

函数的连续性是函数的一个最基本的概念，是运用极限方法对连续性现象进行研究，而函数在一点的连续性的三种定义的关系是认知连续性概念的思维障碍点.杜宾斯基提出APOS理论，主要应用于概念教学，注重概念的形成与学生思维建构的过程.因此，本文以APOS理论为基础，教师要能够有针对性地为“函数在一点的连续性”的教学方案提供依据，帮助学生克服对连续性概念的认知障碍.

二、相关概念

（一）函数在一点连续的定义

在连续函数的概念中，对于函数在一点的连续性，有下面三种常见的定义方式：

定义1 设函数f（x）在某U（x0）上有定义，若limx→x0f（x）=f（x0），则称f（x）在点x0连续.

定义2 设函数f（x）在某邻域U（x0）上有定义，记Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），有limΔx→0Δy=0，则称f（x）在点x0连续.

定义3 设函数f（x）在某邻域U（x0）上有定义，若对任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时有，都有|f（x）-f（x0）|<ε，則称f（x）在点x0连续.

（二）APOS理论

杜宾斯基以皮亚杰提出的建构主义为基础，提出了数学概念学习的APOS理论模型.该理论模型认为学生学习数学概念是要进行心理建构的，此建构过程要经历以下四个阶段：活动、过程、对象、图式.其中，“活动”是个体通过一步一步的外显性（或记忆性）指定去变换一个客观的数学对象.当“活动”经过多次重复而被个体熟悉后，就可被内化为一种称之为“程序”的心理操作.当个体能把“程序”作为整体进行操作时，这一程序就变成了一种心理“对象”.一个数学概念的“图式”是指相应的“活动”“程序”“对象”以及与某些一般原理相联系的其他“图式”所形成的一种个体头脑中的认知框架，可以用于解决与这个概念相关的问题.“活动”“过程”“对象”也可看作数学知识的三种状态，“图式”是由这三种知识结构构成的一种认知结构.

三、APOS理论视角下函数在一点连续的概念的教学研究

（一）运用APOS理论的可行性分析

学生对于“连续性”的初始概念图像，是坐标平面上一条连绵不断的曲线，而不是在一点上具有连续性，故而函数在一点的连续性与学生所认知的连续性的概念形象就产生了认知冲突，可能导致学习障碍.内化与压缩作为APOS理论的重要心理机制，可以对函数在一点连续性的学习障碍提供解释与解答.教师可利用APOS理论，在过程阶段与对象阶段，结合函数极限构造函数在一点连续的概念图像，将极限概念过渡到连续性概念，帮助学生克服函数在一点连续性的学习困难，从而形成对函数在一点连续的真正理解.

对于函数在一点连续的三个等价定义，在教材安排上，不同版本的教材采用的编排顺序不同，但都是在学习函数极限之后，采用上述定义中的某个定义引入连续性概念，进而将另外两个定义作为等价定义给出.因此，在认知层面上，对上述三种定义的教学，要把握极限理论中极限概念和连续性概念的联系.选取不同的定义引入连续性概念，会影响初学者对该概念的理解以及所出现的学习障碍.

（二）APOS视角下函数在一点连续的概念的教学研究

从几何直观上看，连续函数是坐标平面上一条连绵不断的曲线，故学生对连续性并非完全陌生的，将学生所认知的自然界的连续变化反映在数学上，就是量的变化，而反映这种连续变化现象的数量关系就是函数的连续性.连续函数的概念是“隐性”的，需要通过外显的活动，将连续性呈现出来，由此获得连续函数概念的“表象”.

（三）关于三个定义的教学研究

1.定义1的教学研究

问题1：分别画出①f（x）=x，②f（x）=1x，③f（x）=x+2（x≥0），x-2（x<0）的图像，并思考下述问题：（1）图像是否连续？若是不连续，又在哪里间断？图像断开的原因是什么？（2）当x→0时，函数极限值分别是多少？

通过解答（1），学生单个地分析函数是否连续以及图像断开的原因，将这个过程经过多次重复后，学生能通过对比①②③发现x=0是②③是否连续的关键点.解答（2）时，当图像出现间断，学生不得不运用函数左、右极限进行计算.学生通过计算，便会猜想当x趋于0时的函数极限、函数在x=0处的函数值与函数的图像连续存在联系.这种思考过程即心理机制上的内化，进而达到“程序”阶段.

问题2：接下来脱离具体情境，将x=0拓展到x=x0的情况，将情境中的函数图像归纳为下述情况，如图1，图2，图3所示，继续思考上述问题.

教师引导学生思考：若是函数在点x0处出现间断，依照问题1的思考过程，借助图像，运用左、右极限的知识加以理解.对于图1，函数在点x0处出现间断，对于函数曲线上断开的点f（x0）可归为左侧图像，那么，函数在点x0处的左极限恰好等于这一点的函数值f（x0），即limx→x-0f（x）=f（x0）.对于图2，函数曲线上断开的点f（x0）可归为右侧图像，那么，函数在点x0处的右极限恰好等于这一点的函数值f（x0），即limx→x+0f（x）=f（x0）.对于图3，函数在点x0处没出现间断，那么这点不仅可以归为左侧图像，也可以归为右侧图像，由左右极限的定义，可得limx→x0f（x）=f（x0）.

教师要让学生意识到：曲线在某一点连续与不连续的差别，在于曲线在该点处的函数值是否产生了“突变”，并且发现函数在点x0连续应满足三个条件：函数f（x）在某邻域U（x0）上有定义;极限limx→x0f（x）存在;极限limx→x0f（x）的值等于点x0处的函数值f（x0）.此时，上述“程序”就已经被“压缩”为一种“对象”.

最后，教師引出函数在点x0处连续的定义为：设函数f（x）在某邻域U（x0）上有定义，若limx→x0f（x）=f（x0），则称f（x）在点x0连续.

完成这个过程，APOS理论视域下，函数在一点连续的定义与函数极限的联系，是之前所习得的函数极限图式的进一步发展，形成函数连续性概念的新图式.

2.定义3的教学研究

问题3：由于函数在一点的连续性是通过极限定义的，所以可类比函数极限的定义，试着用ε-δ语言叙述定义1.

学生思考：类比函数极限的定义，可由定义1得到其ε-δ语言，如表1所示：

教师细致分析，让学生领会：讨论极限时，假定f（x）在点x0某空心邻域U。（x0）上有定义（f（x）在点x0可以没有定义），而“函数f（x）在点x0连续”，则要求f（x）在某邻域U（x0）上有定义.此时，对于|f（x）-f（x0）|<ε，当x=x0时总是成立的，所以在极限定义中的“0<|x-x0|<δ”换成了在连续定义中的“|x-x0|<δ”.

最后教师总结定义：设函数f（x）在某邻域U（x0）上有定义，若对任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，都有|f（x）-f（x0）|<ε，则称f（x）在点x0连续.

这样，围绕limx→x0f（x）=f（x0）这个“对象”，定义1与定义3建立等价关系.

3.定义2的教学研究

对于定义2，教师可通过几何知识更为直观地进行教学.为理解“函数y=f（x）在点x0连续”的概念，教师引入增量的概念，记Δx=x-x0，称为自变量x（在点x0）的增量或改变量.设y0=f（x0），相应的函数y（在点x0）的增量记为Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0）=y-y0.其中，自变量的增量Δx或函数的增量Δy为实数.

问题4：引进了增量的概念之后，固定点x0，反复变化下图中Δx的大小，观察其对应的Δy如何变化.

教师引导学生理解自变量的增量Δx或函数的增量Δy可以为正数、0或者负数.当Δx>0时，自变量x增大，函数的增量Δy>0，反之，当Δx<0时，自变量x减小，函数的增量Δy<0.

在“活动”阶段，学生依次对h（x）和f（x）的图像实施Δx的变化，以观察其对应的Δy的变化.重复多次“活动”后，慢慢就内化为“程序”，学生能对比发现图4的函数y=h（x）的图像在点x0处间断，保持x0不变，当Δx趋近于0时，点N沿曲线趋近于点N′，此时Δy为定值，在点x0处不连续.图5的函数y=f（x）的图像是一条连续变化的曲线，令f（x0）=M，f（x0+Δx）=N，保持x0不变，当Δx趋近于0时，点N沿曲线趋近于点M，Δy趋近于0.学生对整个区间上函数值的增量随自变量的增量变化趋势有整体认识，上述“程序”就被“压缩”成一种“对象”.

最后，教师总结得到定义2：设函数f（x）在某邻域U（x0）上有定义，记Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），有limΔx→0Δy=0，则称f（x）在点x0连续.

此时，学生对“函数在一点连续”的三个定义有了完整的形式化表述，但对三个定义的等价关系的认识还处于分离的状态，所以，认识需要上升到“图式”阶段.教师要引导学生对定义2进行“解压缩”，在定义2中，令Δx=x-x0，则Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），当Δx→0时，有x→x0，Δy→0，则[f（x0+Δx）-f（x0）]→0，即f（x）→f（x0），可得limx→x0f（x）=f（x0）.该过程围绕“limx→x0f（x）=f（x0）”，定义1与定义2建立等价关系.

四、总 结

对于“函数在某一点的连续性”的三个等价定义的教学，教师应引导学生主动建构，把握学生对概念的思维障碍点，避免让学生死记数学概念，而无法理解“函数在某一点的连续性”的三个等价定义之间的关系.

【参考文献】[1]李士锜.数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2001.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[4]罗新兵，罗增儒.数学概念表征的初步研究[J].数学教育学报，2003（02）：21-23.

[5]Ed Dubinsky，Kirk Weller，Michael A.Mcdonald，Anne Brown.Some Historical Issues and Paradoxes Regarding the Concept of Infinity： An Apos-Based Analysis： Part 1[J].Educational Studies in Mathematics，2005（3）：335-359.

[6]D Tall，S Vinner.Concept Image and Concept Definition in Mathematics with Particular Reference to Limits and Continuity[J].Kluwer Academic Publishers，1981（2）：151-169.

函数概念范文第2篇

集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容.本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力.

函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变：思维从静止走向了运动、从运算转向了关系.函数是高中数学的核心内容， 是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主线就可以把数学知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些.函数与不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联系.用函数的思想去理解这些内容，是非常重要的出发点.反过来，通过这些内容的学习，加深了对函数思想的认识.函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终.高中数学课程中，函数有许多下位知识，如必修1第二章的幂、指、对函数数，在必修四将学习三角函数.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.

二、学情分析

1.学生的作业与试卷部分缺失，导致易错问题分析不全面.通过布置易错点分析的任务，让学生意识到保留资料的重要性.

2.学生学基本功较扎实，学习态度较端正，有一定的自主学习能力.但是没有养成及时复习的习惯，有些内容已经淡忘.通过自主梳理知识，让学生感受复习的必要性，培养学生良好的复习习惯.

3.在研究例4时，对分类的情况研究的不全面.为了突破这个难点，应用几何画板制作了课件，给学生形象、直观的感知，体会二次函数对称轴与所给的区间的位置关系是解决这类问题的关键.

三、设计思路

本节课新课中渗透的理念是：“强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性”.在本节课的学习过程中，教师没有把梳理好的知识展示给学生，而是让学生自己进行知识的梳理.一方让学生体会到知识网络化的必要性，另一方面希望学生养成知识梳理的习惯.在本节课中不断提出问题，采取问题驱动，引导学生积极思考，让学生全面参与，整个教学过程尊重学生的思维方式，引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题.通过自主分析、交流合作，从而进行有机建构，解决问题，改变学生模仿式的学习方式.在教学过程中，渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想.在教学过程中通过恰当的应用信息技术，从而突破难点.

四、教学目标分析

(一)知识与技能

1.了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，集合的基本运算. A：能从集合间的运算分析出集合的基本关系.B：对于分类讨论问题，能区分取交还是取并.

2.理解函数的定义，掌握函数的基本性质，会运用函数的图象理解和研究函数的性质. A：会用定义证明函数的单调性、奇偶性.B：会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关系.

(二)过程与方法

1.通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化.

2.在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合与函数的本质. (三)情感态度与价值观

在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力.在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的信心.在例4的解答过程中，渗透动静结合的思想，让学生养成理性思维的品质.

五、重难点分析

重点：掌握知识之间的联系，洞悉问题的考察点，能选择合适的知识与方法解决问题.

难点：含参问题的讨论，函数性质之间的关系.

六.知识梳理(约10分钟)

提出问题

问题1：把本章的知识结构用框图形式表示出来.

问题2：一个集合中的元素应当是确定的、互异的、无序的，你能结合具体实例说明集合的这些基本要求吗?

问题3：类比两个数的关系，思考两个集合之间的基本关系.类比两个数的运算，思考两个集合之间的基本运算，交、并、补.

问题4：通过本章学习，你对函数概念有什么新的认识和体会吗? 请结合具体实例分析，表示函数的三种方法，每一种方法的特点.

问题5：分析研究函数的方向，它们之间的联系.

在前一次晚自习上，学生相互展示自己的结果，通过相互讨论，每组提供最佳的方案.在自己的原有方案的基础上进行补充与完善.

学生回答问题要点预设如下：

1.集合语言可以简洁准确表达数学内容.

2.运用集合与对应进一步描述了函数的概念，与初中的函数的定义比较，突出了函数的本质函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.

3.函数的表示方法主要有三种，这三种表示方法有各自的适用范围，要根据具体情况选用.

4.研究函数的性质时，一般先从几何直观观察图象入手，然后运用自然语言描述函数的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征，也是数学学习和研究中经常使用的方法.

函数概念范文第3篇

函数的奇偶性是必修1第2章《函数》中的内容。它是学习函数的基础,函数一共有两个性质,一个是单调性为前一节的内容, 此时我们所看到的奇偶性为函数的另一个性质。奇偶性的学习能使学生在画图解题时更简便化、研究具体函数时更形象 化。同时本课时授课的对象是高一年级的学生, 通过前面的学习, 其实他们对函数的概念与简单性质有一定的认识。这节课的学习能让学生更好地研究函数, 培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。因此, 在整个课堂教学设计中始终围绕这个主题进行双边活动,由于是新授课,所以还要把握好教学的广度、难度。

1问题情境引入

让学生感受生活中的美———对称美。

利用多媒体欣赏自然界中一些美丽的对称现象: 蝴蝶、脸谱、太极八卦图、雪花……

根据初中所学的知识,可以知道前两张图片是轴对称图形, 形, 第三张图片是中心对称图形, 最后一张图片既是轴对称又是中中心对称图形。从自然界中的这些对称现象我们来寻找一下函数 数中的对称。

2复习回顾引入

同学们回想一下,我们已学过哪些函数的图像具有对称性? 一般情况下,同学们都会说出y=x2、y=1 /x (反比例函数)。

请同学参与画出2个函数的图像:

首先从图像上的点与点之间的对应引导学生发现函数具有有的对称和谐美,归纳出奇、偶函数的定义。

从特殊的 f(1)=1=f(-1)g(1)=1=-g(-1)

到一般的 f(x0)=x02=f(-x0) g(x0)=1 /x0 =-g(-x0)

再从数值上分别观察一下,这两个函数代数特征。从而引出函数的奇偶性的定义。

这样的课堂设计周密、自然,一环套一环,体现了数学思想方法的渗透和发掘,比如类比、数形结合等。在新课程中非常注重新课的导入,本节课开始以“投影一些生活中优美的对称现象的图片”的情境吸引了学生的注意力,再复习已学的简单函数观察两个函数图象的对称性自然地导入了新课。在奇偶性概念探索过程中,培养学生思维的深刻性,广阔性和观察、归纳、探究的能力。在学生感受对称美的同时,激发学生学习数学的兴趣,培养学生锲而不舍的求学精神。

函数概念范文第4篇

函数的充分必要条件, 并在能初等化的前提下, 介绍具体化这类函数为初等函数的方法。为此, 先给出两个引理如下。

其中k为任意实数。等式 (1) 的正确性是显然的。 (如图1所示)

引理2:如果分段函数

等式 (2) 的构造方法如下:xf) (的图形如图2所示。连接BA、两点的直线斜率, 所以连接BA、两点的直线方程为。

等式 (3) 的构造方法如下:

与引理2中的函数相比较, 这里的相当于a;相当于c;00, ba分别相当于b和d, 故由等式 (2) 即可得到等式 (3) 。

定理2如果分段函数

等式 (4) 的构造方法如下:

令x-x0=t, 则

将右边各括号展开再合并, 得

定理3分段函数能化为初等函数的充要条件是。

证明:必要性:若f (x) 能化为初等函数, 则xf在x0连续,

从而有f (x0-0) =f (x0+0) ,

而

充分性若, 由定理2, 知xf) (可表示成初等函数。

摘要：函数是数学中最重要的概念之一, 它从量这个侧面反映着现实世界中事物的运动、变化及相互联系、相互制约的关系。分段函数是一类特殊的函数。本文主要从分段函数与初等函数的关系出发, 研究用初等函数表示一类特殊的分段函数。

关键词：分段函数,初等函数,连续性,构造法

参考文献

[1] 余元希, 田万海, 毛宏德.初等代数研究 (下) [M].高等教育出版社, 1988.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析 (上) (第2版) [M].高等教育出版社, 1991.

[3] 陈传璋, 金福临, 朱学炎, 等.数学分析 (上) (第2版) [M].高等教育出版社, 1983.

[4] 吉林大学数学系.数学分析 (上) [M].人民教育出版社, 1978.

函数概念范文第5篇

2.1.2指数函数及其性质教学设计

一、教学目标：

知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。

过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

二、教学重点、难点：

教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

三、教学过程：

(一)创设情景

问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x次后,得到的细胞分裂的个数 y与 x之间,构成一个函数关系,能写出 x与 y之间的函数关系式吗?

学生回答: y与 x之间的关系式,可以表示为y=2x。

问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示。

学生回答: y与 x之间的关系式,可以表示为y=0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1.指数函数的定义

一般地，函数yaa0且a1叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. x问题：指数函数定义中，为什么规定“a0且a1”如果不这样规定会出现什么情况?

(1)若a<0会有什么问题?(如a2,x1则在实数范围内相应的函数值不存在) 2(2)若a=0会有什么问题?(对于x0,a无意义)

(3)若 a=1又会怎么样?(1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定a0且 a1.

练1：指出下列函数那些是指数函数：

x1(1)y4x(2)yx4(3)y4x(4)y4(5)yx(6)y

xx练2：若函数2.指数函数的图像及性质

是指数函数，则a=------

1在同一平面直角坐标系内画出指数函数y2x与y的图象(画图步骤：列表、

21描点、连线)。由学生自己画出y3与y的函数图象

3xxx 然后，通过两组图象教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。

特别地，函数值的分布情况如下：

(四)巩固与练习

例1： 比较下列各题中两值的大小

教师引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。

(1)(2)两题底相同，指数不同，(3)(4)两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。

(5)题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小。 (6)题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。 例2：已知下列不等式 , 比较m,n的大小 :

设计意图：这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。

(五)课堂小结

(六)布置作业