导数证明不等式方法范文

导数证明不等式方法范文第1篇

例

1、设当xa,b时，f/(x)g/(x)，求证：当xa,b时，f(x)f(a)g(x)g(a).

例

2、设f(x)是R上的可导函数，且当x1时(x1)f/(x)0.

求证：(1)f(0)f(2)2f(1);(2)f(2)2f(1).

例

3、已知m、nN，且mn，求证：(1m)(1n).

nm

例

4、(2010年辽宁卷文科)已知函数f(x)(a1)lnxax21，其中a2，证明： x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.例

5、(2010年全国Ⅱ卷理科)设函数fxxaIn1x有两个极值点x

1、x2，且

2x1x2，证明：fx2

12In2.

4a0，b0，例

6、已知函数f(x)xlnx，求证：f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).xln(1x)x; 1x

11112ncln(2)设c0，求证：.2cn1cn2c2ncnc例

导数证明不等式方法范文第2篇

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 设a>0，函数g(x)=(a^2+14)e^x+4.ξ

1、ξ2∈[0，4]，使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<1成立，求a的取值范围.

二、交点与根的分布

三、不等式证明

(一)做差证明不等式

(二)变形构造函数证明不等式

四、不等式恒成立求字母范围

(一)恒成立之最值的直接应用

(二)恒成立之分离参数

(三)恒成立之讨论字母范围

五、函数与导数性质的综合运用

六、导数应用题

导数证明不等式方法范文第3篇

一、比较法：

ab等价于ab0;而ab0等价于a

b1.即a与b的比较转化为与0

或1的

比较.使用比较发时，关键是要作适当的变形，如因式分解、拆项、加减项、通分等，这是第一章中许多代数不等式的证明及其他各章初等不等式的证明所常用的证明技巧.二、综合法与分析法：

综合法是由因导果，即是由已知条件和已知的不等式出发，推导出所要证明的不等式;分析法是执果索因，即是要逐步找出使结论成立的充分条件或者充要条件，最后归结为已知的不等式或已知条件.对于条件简单而结论复杂的不等式，往往要通过分析法或分析法与综合法交替使用来寻找证明的途径.还要注意：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各种不等式;第二，要善于利用题中的隐含条件;第三，不等式的各种变性技巧.三、反证法：

正难则反.设所要证的不等式不成立，从原不等式的结论的反面出发，通过合理的逻辑推理导出矛盾，从而断定所要证的不等式成立.要注意对所有可能的反面结果都要逐一进行讨论.四、放缩法：

要证ab，又已知(或易证)ac，则只要证cb，这是利用不等式的传递性，将原不等式里的某些项适当的放大或缩小，或舍去若干项等以达证题目的.放缩法的方法有： ①添加或舍去一些项，如：a21a;n(n1)n;

②将分子或分母放大(或缩小);

③利用基本不等式，如：

log3lg5(

n(n1)lg3lg522)2lglglg4; n(n1);

④利用常用结论：

k1k

1k1

1k

11k1k



12k

1k

;

1k(k1)

1k1

1k

1k1

1k



1k(k1)1k

;



(程度大)

1k



1



(k1)(k1)



2k1

(



) ; (程度小)

五、换元法：

换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.如：

已知x2y2a2，可设xacos,yasin;

已知x2y21，可设xrcos,yrsin(0r1); 已知

xaxa

2

2

ybyb

22

1，可设xacos,ybsin;

22

22

已知



1，可设xasec,ybtan;

六、数学归纳法法：

与自然数n有关的许多不等式，可考虑用数学归纳法证明，数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中有专门的研究.但运用数学归纳法时要注意：

第一，数学归纳法有多种形式.李大元就证明了下述七种等价的形式：设P(n)是与n有关的命题，则

(1)、设P(n0)成立，且对于任意的kn0，从P(k)成立可推出P(k1)成立，则P(n)对所有大于n0的n都成立.(2)、设m是任给的自然数，若P(1)成立，且从P(k)(1km)成立可推出

P(k1)成立，则P(n)对所有不超过m

的n都成立.(3)、(反向归纳法)设有无穷多个自然数n(例如n2m)，使得P(n)成立，且从P(k1)成立可推出P(k)成立，则P(n)对所有n成立.

(4)、若P(且P(n)对所有满足1nk的n成立可推出P(k1)成立，1)成立，则P(n)对所有n成立.(5)、(最小数原理)自然数集的非空子集中必有一个最小数.

(6)、若P)且若P(k),P(k1)成立可推出P(k2)成立，则P(n)1(,P(2)成立，对所有n成立.(7)、(无穷递降法)若P(n)对某个n成立可推出存在n1n，使得P(n1)成立，则P(n)对所有n成立.

此外，还有螺旋归纳法(又叫翘翘板归纳法)：设有两个命题P(n),Q(n)，若

P(1)

成立，又从P(k)成立可推出Q(k)成立，并且从Q(k)成立可推出P(k1)成

立，其中k为任给自然数，则P(n),Q(n)对所有n都成立，它可以推广到两个以上的命题.这些形式虽然等价，但在不同情形中使用各有方便之处.在使用它们时，若能注意运用变形和放缩等技巧，往往可收到化难为易的奇效.

对于有些不等式与两个独立的自然数m,n有关，可考虑用二重数学归纳法，即若要证命题P(m,n)对所有m,n成立，可分两步：①先证P(1,n),P(m,1)对所有m,n成立;②设P(m1,n),P(m,n1)成立，证明P(m1,n1)也成立. 第二，数学归纳法与其它方法的综合运用，例如，证明

n



k

11k

sinkx0,(0x)

就要综合运用数学归纳法，反证法与极值法;有时可将n换成连续量x，用微分法或积分法.

第三，并不是所有含n的不等式都能用数学归纳法证明的.

七、构造法：

通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点.笔者将在第三章中详细地介绍构造法.八、利用基本不等式：

善于利用已知不等式，特别是基本不等式去发现和证明新的不等式，是广泛应用的基本技巧.这种方法往往要与其它方法结合一起运用.

22

例1 已知a，bR，且ab1.求证：a2b2

252

.

证法一：(比较法)a,bR,ab1

b1a

a2b2

22

252

ab4(ab)

22

92

122(a

12)0

a(1a)4

92

2a2a

12

即a22b22

证法二：(分析法)

252

(当且仅当ab时，取等号).

a22B2

252

ab4(ab)8

22

252

b1a

225122

(a)0a(1a)4822

显然成立，所以原不等式成立.

点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.

证法三：(综合法)由上分析法逆推获证(略).

证法四：(反证法)

假设(a2)2(b2)2

252

，则 a2b24(ab)8

252

252

.

由ab1，得b1a，于是有a2(1a)212

1

所以(a)0，这与a0矛盾.

22

.

所以a2b2

252

.

证法五：(放缩法)

∵ab1

∴左边=a2b2

a2b221252ab4

222

=右

边.

点评：根据不等式左边是平方和及ab1这个特点，选用基本不等式

ab

ab2.

2

证法六：(均值换元法)

∵ab1，

所以可设a

12t

，b

12

t， 1

∴左边=a2b2(t2)2(t2)2

5525252

=右边. tt2t

2222

22

当且仅当t0时，等号成立.

点评：形如ab1结构式的条件，一般可以采用均值换元.

证法七：(利用一元二次方程根的判别式法)

设ya2b2，由ab1，有y(a2)2(3a)22a22a13， 所以2a22a13y0，

因为aR，所以442(13y)0，即y故a2b2

22

252

.

252

.

下面，笔者将运用数学归纳法证明第一章中的AG不等式.在证明之前，笔者先来证明一个引理.

引理：设A0，B0，则(A+B)nAn+nA(n-1)B，其中nN. 证明：由二项式定理可知

n

(A+B)=AniBiAn+nA(n-1)B

n

i0



(A+B)A+nA

nn(n-1)

导数证明不等式方法范文第4篇

【关键词】 融资租赁; 数学模型及解集; 不等额支付及分类; 融资费用

租赁是指在约定的期间内,出租人将资产使用权让与承租人以获取租金的协议。在市场经济条件下,越来越多的企业把通过租赁取得相关资产的使用权作为本企业融资的一种重要形式并给予了高度的关注,积极加以推动,其业务需求有日益增长之势。在租赁业务中,承租人取得资产的使用权是以支付租金为代价的。承租人向出租人支付的租金中,包含了本金和利息两个部分,这就需要将未确认的融资费用按一定的分摊方法确认为当期融资费用。

按照租赁准则的规定,承租人在分摊未确认的融资费用时,应当采用实际利率法。实际利率法的实施,使得租赁业务中未确认融资费用的分摊建立在公允价值的基础之上,其确认更为合理、计量更加规范。这为企业租赁业务向多元化方向发展,支付租金方式向多样化需求探索,提供了应遵循的原则和思路。

目前,租赁业务中承租人在租期内采用的是等额支付租金的方法。然而,承租人在技术、资金、人力资源等方面实力不同,在项目生产、营销、盈利等方面能力也不尽相同。实务中会经常遇到不等额支付租金的需求,对这种需求必须给予正面回应。本文以融资租赁业务实际利率法为依据,试图建立起融资租赁支付租金方法的数学模型,并以模型为依托,深入分析不等额支付租金方法的可行性,及其广泛的实用性。以此解决融资租赁支付租金方式多样化的实际需求,从而进一步积累和丰富租赁业务支付租金方式的内涵和外延。这对于企业融资决策开阔视野、拓宽思路,无疑将是一种有益的尝试和探索。

一、不等额支付租金方法可行性分析

(一)建立融资租赁支付租金方法的数学模型

要探索不等额支付租金方法是否具有可行性,就需要深入揭示租赁业务支付租金方法的实质和其内在的规律。笔者以融资租赁为例,对不等额支付租金方法进行可行性分析。在此基础上,对融资租赁支付租金的方法进行分类。

租赁准则对融资租赁在实际利率的选择上是有条件、分层次的(内含、合同、银贷利率);对“融资租入固定资产”入账金额也有相关规定,有关论述从略。

例1:甲承租人租入一项固定资产,租期n年,每年末支付租金为A万元,租赁合同利率为r,最低租赁付款额的现值为M万元,租赁固定资产公允价值为G万元,且G≥M。

假如认定本例满足融资租赁标准。

首先确定:“融资租入固定资产”入账金额为M万元。(M与G孰低确定)

等额支付租金方法下,各年支付租金A万元,其现值需满足下式:

A/(1+r)+……+A/(1+r)n=M (1)

而不等额支付租金方法下,设各年支付租金序列为:A1…At…An,其现值也必须满足下式:

A1/(1+r)+……+An/(1+r)n=M(2)

而当At=A时,(2)式=(1)式。这就意味着(2)式已涵盖了(1)式,或言之融资租赁支付租金的方法可以利用(2)式求解来确定。从上述推论可知,不等额支付租金方法并没有改变融资租赁业务的实质:即各年所支付租金的折现额等于“融资租入固定资产”入账金额。

从(2)式中知道,系数1/(1+r)……1/(1+r)n,在每一个确认的实际利率(内含、合同、银贷)r下,都是一个确定的常数。而At作为未知数是一个变量。如果用ft来表示At的系数1/(1+r)t,变量xt来表示At的金额,这样上式就是一个标准的n元线性应用方程:f1x1+f2x2+……+fn-1xn-1+fnxn=M。本文将这一n元线性方程作为探寻融资租赁支付租金方法的数学模型。这样,把A1…At…An的确认计量过程,看成n元线性方程求解的过程。线性代数推导可以证明,该方程可有无数个不同的解,而实务中每一个解就一一对应一种支付租金的方法。其任意解α可表示成:α=α0+k1η1+k2η2+……+kn-1ηn-1,其中α0是非齐次线性方程FX=M的一个特解,η1,η2……ηn-1是齐次线性方程FX=0的基础解系。解α具体表现形式为:α=(A1…At…An)。即使考虑到At≥0,仍有大量的符合实际应用的解可选用,本文将其称为支付租金方法方程的实用解集(简称解集)。从数学模型建立到求解过程来看,用解集代表全部融资租赁支付租金的方法(等额、不等额),从理论上讲是可行的,也是可靠的。这就为寻求融资租赁多样化、差异化的支付租金方法提供了坚实的数理基础。

(二)融资租赁支付租金方法的分类

从融资租赁支付租金方法方程的解集构成来分类,融资租赁支付租金方法可分为:等额、不等额支付租金两种基本类型。而从支付租金方法的还本能力来分类,融资租赁不等额支付租金类型首先可分为:较大能力还本(各年支付租金序列中,还本按较大支付能力计算)、较小能力还本(各年支付租金序列中,还本按较小支付能力计算)支付租金两种基本方式。其次,等额还本支付租金方法(各年支付的租金序列中,还本按相等能力计算,即等本约束条件下的特定解)是较大能力和较小能力还本支付租金方式的平衡点和临界点,其地位特殊,本文将其升列为支付租金基本方式。而等额支付租金类型(等额约束条件下的特定解)是租赁的常规方法,按还本能力分应归属于较小能力还本支付租金方式。这样,融资租赁支付租金的两种基本类型按还本能力为标准就可细分为:较大能力还本(简称较大本)、等额还本(简称等本)、较小能力还本(简称较小本)支付租金三种基本方式。这里,笔者将解集中具有同质性支付租金方法(解)组成的子集称为支付租金的一种方式。

二、不等额支付租金类型未确认融资费用的确认与计量

假设解αk满足不等额类型支付租金方式,则其各年支付租金序列为:αk=(A1…At…An),第t年支付租金额为:At。

(一)融资费用分摊率的确定

由于αk是方程的解,则有:A1/(1+r)+……+An/(1+r)n

=M,融资费用分摊率(实际利率)为合同利率r(下同)。

(二)未确认融资费用的分摊

设第1年初本金额为C0=M(下同),第t年末应付本金减少额为Ct(下同),融资费用为Lt(下同),应付本金减少额为Bt(下同)。

应付本金余额的确认与计量:

融资费用的确认与计量:Lt=Ct-1r

应付本金减少额的确认与计量:Bt=At-Lt

其中,等本方式未确认融资费用的分摊:

假设解αj满足等本支付租金方式(特解),则其各年支付租金序列为αj=(A1…At…An),则有:

At=M/n+Mr[1-(t-1)/n]

Ct=Ct-1(1+r)-At=M(1-t/n)

Lt=Mr[1-(t-1)/n]

Bt=M/n

不等额支付租金类型的解αk(包括αj)都可通过下式直接转化成等额支付租金类型下的解αi=(A1…At…An),At=A。

总之,较大本、等本、较小本支付租金的方式是按还本能力进行的分类,这样分类在很大程度上可以满足融资租赁业务支付租金方式多样性的需求,可作为融资租赁在支付租金方式上创新的参考。

三、融资费用差异分析

假设例1中,租期n=5年,M=5 000万元,r=6%(下同)。为了便于比较,本文从较大本支付租金方式中選取最大能力还本(最大本)和中等较大能力还本(中大本)两种支付租金方法(特解)来编制未确认融资费用分摊表。

最大本:A1=5 000(1+6%)=5 300万元,A2=……=A5=0(分摊表略)

租金合计:5 300万元,融资费用合计:300万元,应付本金减少额合计:5 000万元

中大本(具体见表1):A1=1 600万元,A2=1 400万元,A3=1 200万元,A4=1 000万元,A5=595万元

等本(具体见表2):A1=1 300万元,A2=1 240万元,A3=1 180万元,A4=1 120万元,A5=1 060万元

从较小本支付租金方式中选取等额、中等较小能力还本(中小本)和最小能力还本(最小本)三种支付租金方法(特解)来编制未确认融资费用分摊表。

等额(具体见表3):A1=1 187万元,A2=1 187万元,A3=

1 187万元,A4=1 187万元,A5=1 187万元

中小本(具体见表4):A1=400万元,A2=594万元,A3=

1 076万元,A4=1 828万元,A5=2 332万元

最小本:A1=A2=A3=A4=0,A5=5 000(1+6%)5=6 691万元 (分摊表略)

租金合计:6 691万元,融资费用合计:1 691万元,应付本金减少额合计:5 000万元

未确认融资费用分摊表中,从各年支付租金额来看:较大、等本与等额相比,前期支付租金额较大,后期支付租金额逐年较小。虽然前期支付压力大,但后期压力逐年减轻。而较小本前期支付租金额较小,后期支付租金额逐年增大,因而其后期支付風险加重。从各年承担融资费用来分析:虽三种支付方式第一年承担费用相等,且后期承担费用有逐步减小之趋势,但与等额相比,较大、等本年承担费用的环比率下降显著,而较小本年承担费用环比率下降较小。下面本文以还本率、费用率两个指标对上述方式的还本强度和费用水平给予综合评价(见表5)。其计算公式为:费用率=确定的融资费用总额/租金总额,还本率=应付本金减少总额(本金)/租金总额=1-费用率。

评价表中,从相对数字来看:融资费用率越高,还本能力越弱;反之,融资费用率越低,还本能力越强。从绝对数字来看,等本与较大本及较小本与等本相比,等本、较小本多支付的租金额就是其融资费用的增加额。融资费用的增加使其资金使用成本随之提高。这也进一步说明,还本能力的降低是融资资金使用成本上升的内因。而最大本、最小本方法的提出,为承租人在不等额支付租金类型中选择适当的方法时,指明了参考区域。这为承租人的融资决策提供了应用空间,有着较强的指导性和实用性。

相对于等额支付租金方法而言,有一定支付租金能力的承租人,选择等本方式是较为合理的;而对于支付租金具有很高保证度的承租人,优选较大本方式是较为理想的。虽然较小本方式承担了较高的融资费用,但是对于融资租赁项目前期资金紧张、后期收益预期显著增加的承租人来说,也不失为一种备用选择。总之,融资租赁支付租金方法决策应重视提高还本能力,这是降低承租人费用负担的治本之策。

四、结论

本文通过建立融资租赁支付租金方法的n元线性方程数学模型,将等额、不等额支付租金方法统归于方程的解集之中,并深入分析了各支付方式还本及融资费用之差异。这使得融资租赁支付租金方式的内涵更为充实、外延更加丰富。如果不等额支付租金方法代表的是支付租金方法的普遍性,那么等额等支付租金方式、方法就代表的是支付租金方式的特殊性。普遍性寓于特殊性之中,特殊性因普遍性而存在。这些支付租金的方式和方法从内涵上讲,就是通过租金以实际利率逐期折现的方式,实现了或支付了“融资租入固定资产”的入账价值M。从外延上讲,不等额支付租金方法,不仅各期支付的租金不同,租金中所含的应付本金减少额和所应承担的融资费用也不相同,而且,其支付的总租金额和承担的总融资费用也各不尽相同。正是不等额支付租金方法的引入,极大丰富了融资租赁支付租金方法的外延,才使得支付租金方法的数学模型的存在成为一种现实的可能;或者说,也正是因为支付租金方法的数学模型,能够满足融资租赁市场对支付租金方式个性化发展的需要,才能使其具有生机和活力。当然,对于承租人选择的支付租金方式,只有出租人对承租人的信誉、财务盈利性、偿债能力、还本风险、保证措施等方面进行综合评估认可后,方能达成协议。●

【主要参考文献】

[1] 企业会计准则讲解[M].人民出版社,2006.

导数证明不等式方法范文第5篇

1 常用方法

1.1比较法(作差法)[1]

在比较两个实数a和b的大小时，可借助ab的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断(正号、负号、零).变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等. 例1 已知：a0，b0，求证：证明 ab2ab2ab.

b)2abab2ab2ab2ab(a20，

故得 1.2作商法

. 在证题时，一般在a，b均为正数时，借助作商——变形——判断(大于1或小于1). 例2 设ab0，求证：aabbabba. 证明 因为 ab0， 所以 而

abaab1或

ab1来判断其大小，步骤一般为：

1，ab0.

baababbabab1，

故 aabbabba. 1.3分析法(逆推法)

从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件(可明显成立的不等式、已知不等式等)，其每一步的推导过程都必须可逆. 例3 求证：57115. 证明 要证351941557115，即证1223516215，即

35215，，41516，154，1516. 由此逆推即得 57115. 1.4综合法

1 [2]

中原工学院

证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法. 例4 已知：a，b同号，求证：证明 因为a，b同号， 所以 则

ababba2.

ab0，baabbaab0， ba2ba2,

即 1.5反证法[3]

2. 先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的. 例5 已知ab0，n是大于1的整数，求证：nanb. 证明 假设 nanb， 则 n即

baba1，

1，

故 ba， 这与已知矛盾，所以nanb. 1.6迭合法

把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证. 例6 已知：a1a2an1，b1b2bn1，求证: a1b1a2b2anbn1. 222222[4]证明 因为a1a2an1，b1b2bn1， 所以 a1a2an1，b1b2bn1. 由柯西不等式

a1b1a2b2anbna1a2an222222222222222b1b2bn111,

222中原工学院

所以原不等式获证. 1.7放缩法[5]

在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项(或负项)而使不等式的各项之和变小(或变大)，或把和(或积)里的各项换以较大(或较小)的数，或在分式中扩大(或缩小)分式中的分子(或分母)，从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头.常用方法为：改变分子(分母)放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法. 例7 求证： 21345656999910000999910000220.01. ,则 证明 令pp2123412234225622999910000121232241999910000221110001110000,

所以 p0.01. 1.8数学归纳法[6]

对于含有n(nN)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在nk(nN)时成立的假设下，还能证明不等式在nk1时也成立，那么肯定这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成立. 例8 已知：a,bR，nN，n1，求证：anbnan1babn1. 证明 (1)当n2时，a2b2abab2ab，不等式成立; (2)若nk时，akbkak1babk1成立，则

ak1bk1a(ab)abkkkbk1a(ak1babk1)abkbk1

=akbabk(a2bk12abkbk1)akbabkbk1(ab)2akbabk， 即ak1bk1akbabk成立. 根据(1)、(2)，anbnan1babn1对于大于1的自然数n都成立. 1.9换元法

在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化. 例9 已知：abc1，求证：abbcca13.

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证明 设a13t，b13at(tR)，则c13(1a)t，

111111abbccatatat(1a)tt(1a)t33333313(1aa)t22

13,

13所以 abbcca1.10三角代换法

. 借助三角变换，在证题中可使某些问题变易. 例10 已知：a2b21，x2y21，求证：axby1. 证明 设asin，则bcos;设xsin，则ycos 所以 axbysinsincoscoscos()1. 1.11判别式法

通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式. 例11 设x,yR，且x2y21，求证：yax1a2. 证明 设myax，则yaxm 代入x2y21中得 x2(axm)21， 即 (1a2)x22amx(m21)0 因为x,yR，1a20，所以0，

即 (2am)24(1a2)(m21)0， 解得 m1a2，故yax1a2. 1.12标准化法[8]

形如f(x1,x2,,xn)sinx1sinx2sinxn的函数，其中0xi，且

x1x2xn为常数，则当xi的值之间越接近时，f(x1,x2,,xn)[7]

的值越大(或不变);当x1x2xn时，f(x1,x2,,xn)取最大值，即

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nf(x1,x2,,xn)sinx1sinx2sinxnsinx1x2xnnAB2. 标准化定理：当AB为常数时，有sinAsinBsin证明：记ABC，则

f(x)sinAsinBsin22.

AB2sinAsin(CA)sin2C2, 求导得 f(A)sin(C2A)， 由f(A)0得 C2A，即AB. 又由 f(A)cos(BA)0, 知f(A)的极大值点必在AB时取得. 由于当AB时，f(A)0，故得不等式. 同理，可推广到关于n个变元的情形. 例12 设A,B,C为三角形的三内角，求证：sin证明 由标准化定理得， 当ABC时， sinA2sinB2sinA2sinC2B2sin12C2A2sinB2sinC218.

， 取最大值，

8181故 sin1.13等式法

. 应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明. 例13(1956年波兰数学竞赛题)、a,b,c为ABC的三边长，求证：

2ab2ac2bcabc222222444.

12(abc)证明 由海伦公式SABC两边平方，移项整理得

16(SABC)2p(pa)(pb)(pc)，其中p.

2ab2ac2bcabc222222444

而SABC0, 所以 2a2b22a2c22b2c2a4b4c4. 1.14分解法

按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基

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本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的. 例14 n2，且nN，求证：1证明 因为 11213112131nn(nn11).

111n(11)111n23n

2324312n1n13n1nn23243n1nnnn1. 所以 11.15构造法[9-10]

n(nn11). 在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的. 例15 已知：x2y21，a2b22，求证：b(x2y2)2axy2. 证明 依题设，构造复数z1xyi，z2abi，则z11，z22 所以 z12z2(xyi)2(abi)[a(x2y2)2bxy][b(x2y2)2axy]i

b(xy)2axyIm(z1z2)z12222z22

故 b(x2y2)2axy1.16排序法[11]

利用排序不等式来证明某些不等式.

2. 排序不等式：设a1a2an，b1b2bn，则有

a1bna2bn1anb1a1bt1a2bt2anbtna1b1a2b2anbn,

其中t1,t2,,tn是1,2,,n的一个排列.当且仅当a1a2an或b1b2bn时取等号. 简记作：反序和乱序和同序和.

例16 求证：a2b2c2d2abbccdda. 证明 因为a,b,c,dR有序，所以根据排序不等式同序和最大， 即 a2b2c2d2abbccdda. 1.17借助几何法[12]

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借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易. 例17 已知：a,b,mR，且ab，求证：

ambmab. 证明 (如图1.17.1)以b为斜边，a为直角边作RtABC. 延长AB至D，使BDm，延长AC至E，使EDAD，过C作AD的平行线交DE于F，则ABC∽ADE，令CEn， 所以 aABam

又CECF，即nm， 所以

bACbnamabmambnb.

EnFCbDmBaA

图1.17.1

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2 利用函数证明不等式

2.1函数极值法

通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的. 例18 设xR，求证：4cos2x3sinx2证明 f(x)cos2x3sinx12sin当sinx3218.

231x3sinx2sinx2

48时， f(x)max2;

481当sinx1时，

f(x)min4. 故 4cos2x3sinx22.2单调函数法[13-14]

当x属于某区间，有f(x)0，则f(x)单调上升;若f(x)0，则f(x)单调下降.推广之，若证f(x)g(x)，只须证f(a)g(a)及f(x)g(x),(x(a,b))即可. 例 19 证明不等式

ex1x，x0.

证明 设f(x)ex1x,则f(x)ex1.故当x0时，f(x)0,f严格递增;当x0,f(x)0,f18. 严格递减.又因为f在x0处连续，

则当x0时，

f(x)f(0)0,

从而证得

ex1x,x0

2.3中值定理法

利用中值定理：f(x)是在区间[a,b]上有定义的连续函数，且可导，则存在，ab，满足f(b)f(a)f()(ba)来证明某些不等式，达到简便的目的.

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例20 求证：sinxsinyxy. 证明 设 f(x)sinx，则sinxsiny(xy)sin(xy)cos 故 sinxsiny(xy)cosxy. 2.4利用拉格朗日函数

例 21 证明不等式

3(1a1b1c)13abc, 其中a,b,c为任意正实数. 证明 设拉格朗日函数为对

L(x,y,z,)xyz(1x1y1z1r).

对L求偏导数并令它们都等于0，则有

Lxyzx20，

Lyzxy20，

Lzxyx20，

L1x1y1z1r0.

由方程组的前三式，易的

1x1y1zxyz.

把它代入第四式，求出13r.从而函数L的稳定点为xyz3r,(3r)4.

1x1y1z1r为了判断f(3r,3r,3r)(3r)3是否为所求条件极小值，我们可把条件看作隐函数zz(x,y)(满足隐函数定理条件)，并把目标函数f(x,y,z)xyz(x,y)F(x,y)看作f与zz(x,y)的复合函数.这样，就可应用极值充分条件来做出判断.为此计算如下：

zxzx22,zyzy22,

Fxyzyzx2,Fyxzxzy2,

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F2yz3,Fzz2z22z3,

xxx3xyyxxy2xz3Fyyy3.

当xyz3r时，

Fxx6rFyy,Fxy3r,

F2xxFyyF27r20.

xy由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点.这样就有不等式xyz(3r)3(x0,y0,z0,111xyz1r).

令xa,yb,zc,则r(111abc)1,代入不等式有

abc[3(11a1b1c)]3

或 3(111ab1c)3abc(a0,b0,c0).

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3 利用著名不等式证明

3.1利用均值不等式[15-16]

设a1,a2,,an是

n个正实数，则

a1a2anna1a2an，当且仅当

na1a2an时取等号.

nn例22 证明柯西不等式 (a22nibi)(ai)(b2i).

i1i1i1证明 要证柯西不等式成立，只要证

nnn aa2ibiib2i (1)

i1i1i1nn令 a2iA2,b2iB2, (2)

i1i1n式中A0,B0,则(1)即 aibiABi1

naibi即

i1AB1 (3)

a2b22211下面证不等式(3),有均值不等式，

a1b1A2B2A2B22，

2即

2a1b1a21ABA2b1B2，

2a22b22a22a2ABA2b2nbna2同理

nB2， ，

ABA2bnB2. 将以上各式相加，得

nn2na2ib2i(abi11ABii)2i2i1AB (4)

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根据(2)，(4)式即

2AB(aibi)2.

i1n因此不等式(3)成立，于是柯西不等式得证. 3.2利用柯西不等式[17-18]

n例23 设aiR，i1，2，„，n.求证：i11n2aiai.

ni12证明 由柯西不等式

nnnn2n22aiai1ai1nai.

i1i1i1i1i122两边除以n即得.

说明：两边乘以1n后开方得

1niani11n2iani1.当ai为正数时为均值不等式中的算术平均不大于平方平均. 3.3利用赫尔德不等式[19] 例24 设a,b为正常数，0xab2，nN，求证：

n22n22 nansinxcosx2bn22

n2bn2bn2aa22证明 n= sinxcosxn2 nnnsinxcosxsinxcosx2a nsinx2n2sinx22nn22bncosxn2cosx2nn2

即

asinxn= an2bn2

n2ancosxb2n2bn222

3.4利用詹森不等式[20] 例 25 证明不等式

abc(abc)3abc, 其中a,b,c均为正数.

abc证明 设 f(x)xlnx,x0.由f(x)的一阶和二阶导数

f(x)lnx1,f(x)1x

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可见，f(x)xlnx在x0时为严格凸函数.依詹森不等式有

f(abc3)13(f(a)f(b)f(c)),

从而

abcabc3ln313(alnablnbclnc),

即

(abccbc3)abaabc.

又因3abcabc3,所以

导数证明不等式方法范文第6篇

两个常见不等式的证明及推广

作者：姬婷 魏春强

来源：《学园》2013年第13期

【摘 要】本文根据两个常见不等式的证明和分析，引发联想，进而推广，得到命题1和命题2。

【关键词】平均值不等式 幂平均不等式 推广

【中图分类号】O12 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810(2013)13-0016-01参考文献

[1]陈传理、张同君.竞赛数学教程[M].北京：高等教育出版社，2004